Đề KTCL ôn thi Đại học lần 2 năm học 2013-2014 môn Toán (khối A, A1) - Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc

Chia sẻ: La Minh đức | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

77
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mời các bạn cùng tìm hiểu và tham khảo "Đề KTCL ôn thi Đại học lần 2 năm học 2013-2014 môn Toán (khối A, A1)" của Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc. Đề thi gồm có hai phần thi là phần chung và phần riêng cùng với phần nâng cao với các câu hỏi tự luận có kèm đáp án và hướng dẫn giải chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề KTCL ôn thi Đại học lần 2 năm học 2013-2014 môn Toán (khối A, A1) - Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ KTCL ÔN THI ĐẠI HỌC LẦN 2 NĂM HỌC 20132014 Môn: TOÁN; Khối A, A1 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) 2 x - 1 Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y = ( C ) . x - 2 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. b) Tìm trên (C) tất cả các điểm M sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai tiệm cận của (C) tại hai điểm A, B sao cho AB = 2 10 . 1 - cos x æ 7 p ö Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình: + sin x = 2 sin ç 2 x + ÷ . tan x è 4 ø ìï 4 y - 1) x 2 + 1 = 2 x 2 + 2 y + 1 Câu 3 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình: í( 4 2 2 . ïî x + x y + y = 1 0 dx Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân: I = ò 2 . p 1 - 2sin 2 x + 2 cos x - 4 a 13 Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, AD = BC = , AB = 2 a , 4 3 a CD = , mặt phẳng ( SCD ) vuông góc với mặt phẳng ( ABC D ) . Tam giác ASI cân tại S, với I là trung 2 điểm của cạnh AB, SB tạo với mặt phẳng ( ABC D ) một góc 30 o . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa SI và CD. Câu 6 (1,0 điểm). Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn ( a + b )( b + c )( c + a ) = 8 . Tìm giá trị nhỏ nhất 1 1 1 1 của biểu thức P = 3 + + + . abc a + 2b b + 2c c + 2 a II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B) A. Theo chương trình Chuẩn Câu 7a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có đường chéo AC nằm trên đường thẳng d : x + y - 1 = 0 . Điểm E ( 9; 4 ) nằm trên đường thẳng chứa cạnh AB, điểm F ( -2; - 5 ) nằm trên đường thẳng chứa cạnh AD, AC = 2 2 . Xác định tọa độ các đỉnh của hình thoi ABCD biết điểm C có hoành độ âm. Câu 8a (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : x - y + z - 2 = 0 , mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 - 4 x + 2 y + 2 z - 3 = 0 và hai điểm A (1; - 1; - 2 ) , B ( 4; 0; - 1 ) . Viết phương trình mặt phẳng (a ) song song với AB, vuông góc với mặt phẳng (P) và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có bán kính bằng 3 . Câu 9a (1,0 điểm). Gọi M là tập hợp các số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập M, tính xác suất để số được chọn là số có tổng các chữ số là một số lẻ. B. Theo chương trình Nâng cao Câu 7b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có điểm C ( 5;1 ) , trung tuyến AM, điểm B thuộc đường thẳng x + y + 6 = 0 . Điểm N ( 0;1 ) là trung điểm của đoạn AM, điểm D ( -1; - 7 ) không nằm trên đường thẳng AM và khác phía với A so với đường thẳng BC đồng thời khoảng cách từ A và D tới đường thẳng BC bằng nhau. Xác định tọa độ các điểm A, B. Câu 8b (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1; 1; 1), B(-1; 0; 2), C (0; - 1; 0) . Tìm tọa độ điểm D trên tia Ox sao cho thể tích khối tứ diện ABCD bằng 1, khi đó hãy viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Câu 9b (1,0 điểm). Giải bất phương trình: x - 6.15log3 x + 5log3 (3 x ) ³ 0 . Hết Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm! Cảm ơn thầy Nguyễn Duy Liên (lientoancvp@vinhphuc.edu.vn) đã gửi tới www.laisac.page.tl
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ĐÁP ÁN KTCL ÔN THI ĐẠI HỌC LẦN 2 NĂM HỌC 20132014 Môn: TOÁN; Khối A, A1 I. LƯU Ý CHUNG: Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa. Với Câu 5 nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó. Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn. II. ĐÁP ÁN: CÂU Ý NỘI DUNG ĐIỂM 1 2,0 điểm a TXĐ: D = R \ {2} Các giới hạn lim y = 2; lim y = 2; lim+ y = +¥; lim - y = -¥ x ®+¥ x ®-¥ x ®2 x ® 2 0,25 Suy ra x = 2 là tiệm cận đứng, y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị. 3 Sự biến thiên: y ' = - < 0, "x Î D ( x - 2) 2 0,25 Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-¥ ; 2) và (2; +¥ ) Bảng biến thiên x -¥ 2 +¥ y’ - - 0,25 2 +¥ y -¥ 2 æ 1 ö æ 1 ö Đồ thị: Giao với trục Ox tại ç ; 0 ÷ , giao với trục Oy tại ç 0; ÷ , đồ thị có tâm đối xứng è 2 ø è 2 ø là điểm I (2; 2) 0,25 b æ 2 a - 1 ö Giả sử M ç a; ÷ , ( a ¹ 2 ) thuộc đồ thị (C). Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M có dạng è a - 2 ø 0,25 -3 2 a - 1 (D) : y = 2 ( x - a ) + (a - 2) a - 2 6 Gọi A là giao của tiệm cận đứng với (D ) , suy ra A (2; + 2) a - 2 0,25 B là giao của tiệm cận ngang với (D ) , suy ra B(2a - 2; 2) 36 Khi đó AB = (2a - 4) 2 + , theo bài ra ta có phương trình (a - 2) 2 0,25 2 36 4(a - 2) + = 40 Û (a - 2)4 - 10(a - 2)2 + 9 = 0 (a - 2) 2
é a = 1 é(a - 2) = 1 2 ê a = 3 Ûê Û ê 2 ë(a - 2) = 9 ê a = -1 0,25 ê ë a = 5 Vậy có 4 điểm M thỏa mãn là (1; -1), (3;5), (- 1;1), (5;3) . 2 1,0 điểm 1 - cos x æ 7 p ö + sin x = 2 sin ç 2 x + ÷ (1) . tan x è 4 ø 0,25 Đk: {sin x ¹ 0 cos x ¹ 0 Û sin 2 x ¹ 0 Û x ¹ k p 2 ( k Î ¢ ) (1) Û (1 - cos x ) cos x + sin 2 x = sin x ( sin 2 x - cos 2 x ) écos 2 x = 0 0,25 Û cos 2 x ( cos x + sin x - 1) = 0 Û ê æ p ö 1 êsin ç x + ÷ = ë è 4 ø 2 p k p +) cos 2 x = 0 Û x = + ( k Î ¢ ) 0,25 4 2 é x = k 2 p ( l ) æ p ö 1 p k p +) sin ç x + ÷ = Ûê p . Vậy (1) có nghiệm x = + ( k Î ¢ ) . 0,25 è 4 ø 2 ê x = + k 2 p ( l ) 4 2 ë 2 3 1,0 điểm ïì( 4 y - 1) x 2 + 1 = 2 x 2 + 2 y + 1 (1) í 4 2 2 ( I ) . ïî x + x y + y = 1 (2) 0,25 2 2 Đặt x + 1 = t ³ 1 Þ phương trình (1) có dạng 2t - ( 4 y - 1) t + 2 y - 1 = 0 2 2 ét = 2 y - 1 D = ( 4 y - 1) - 8 ( 2 y - 1) = ( 4 y - 3 ) Þ ê 1 0,25 êt = (l ) ë 2 ì y ³ 1 +) Với t = 2 y - 1 ³ 1 Û x 2 + 1 = 2 y - 1 Û í 2 2 thay vào (2) ta được 0,25 î x = 4 y - 4 y 2 16 y 2 ( y - 1) + 4 y 2 ( y - 1) + y 2 - 1 = 0 Û y = 1 (do y ³ 1 ) Þ x = 0 0,25 Vậy, hệ (I) có nghiệm (0;1) . 4 1,0 điểm Ta có: 1 0 0 0 dx dx dx cos 2 x 0,25 I = ò 2 = ò p sin 2 x - 4sin x cos x + 3cos 2 x = ò p tan 2 x - 4 tan x + 3 p 1 - 2sin 2 x + 2cos x - - - 4 4 4 1 Đặt t = tan x Þ dt = 2 dx Đổi cận : cos x p 0,25 x - 0 4 t - 1 0 0 0 0 dt dt 1 æ 1 1 ö Vậy I = ò 2 =ò = ò ç - ÷ dt 0,25 -1 t - 4t + 3 -1 (t - 1)(t - 3) 2 -1 è t - 3 t - 1 ø 0 1 æ t - 3 ö 1 1 3 = ç ln ÷ = ( ln 3 - ln 2 ) = ln 2 è t - 1 ø -1 2 2 2 0,25
5 1,0 điểm S K A I F B M D H E C Gọi M, E lần lượt là trung điểm của AI và CD. Do ( SCD ) ^ ( ABCD ) và SA = SI Þ trong mặt phẳng (ABCD) và qua M kẻ đưởng 0,25 thẳng vuông góc với AB cắt CD tại H thì H là hình chiếu của S trên mp(ABCD) Qua E kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB tại F a 13 a a 3 a 3 Þ EF = , IF = Þ EI = Þ HM = Þ HB = a 3 0,25 4 4 2 2 · = 30 o Þ SH = a ( SB, ( ABCD ) ) = ( SB, HB ) = SBH æ 3a ö a 3 ç + 2 a ÷ 3 1 1 2 ø 2 = 7 a 3 (đvtt) 0,25 VABCD = SH . S ABCD = a è 3 3 2 24 CD / / ( SAB ) và SI Ì ( SAB ) Þ d ( CD , SI ) = d ( CD , ( SAB ) ) = d ( H , ( SAB ) ) HM ^ AB Þ ( SHM ) ^ ( SAB ) . Gọi HK là đường cao của tam giác SHM suy ra 0,25 a 21 HK ^ ( SAB ) Þ d ( CD, SI ) = HK = . 7 6 1,0 điểm 8 = ( a + b )( b + c )( c + a ) ³ 8abc Þ abc £ 1 8 = ( a + b )( b + c )( c + a ) = ( a + b + c )( ab + bc + ca ) - abc 0,25 ³ ( a + b + c ) 3 abc ( a + b + c ) - abc 3 8 + abc 9 3 suy ra ( a + b + c ) £ £ Þ a + b + c £ 3 0,25 3abc 3 abc abc 1 3 1 P³ 3 + ³ 3 + 3 abc ³ 2 0,25 abc a + b + c abc Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1 . Vậy, Pmin = 2 Û a = b = c = 1 . 0,25 7.a 1,0 điểm B E I J A C E' F D
· nên E’ thuộc Gọi E’ là điểm đối xứng với E qua AC, do AC là phân giác của góc BAD AD. EE’ vuông góc với AC và qua điểm E ( 9; 4 ) nên có phương trình x - y - 5 = 0 . ìx - y - 5 = 0 ì x = 3 0,25 Gọi I là giao của AC và EE’, tọa độ I là nghiệm hệ í Ûí Þ I ( 3; 2 ) îx + y -1 = 0 î y = -2 Vì I là trung điểm của EE’ nên E '(-3; - 8) uuuur Đường thẳng AD qua E '(-3; - 8) và F (-2; - 5) có VTCP là E ' F (1;3) nên phương trình 0,25 là: 3( x + 3) - ( y + 8) = 0 Û 3 x - y + 1 = 0 Điểm A = AC Ç AD Þ A(0;1) . Giả sử C (c;1 - c) . Theo bài ra AC = 2 2 Û c 2 = 4 Û c = 2; c = - 2 . Do hoành độ điểm C âm nên 0,25 C (- 2;3) Gọi J là trung điểm AC suy ra J (- 1; 2) , đường thẳng BD qua J và vuông góc với AC có phương trình x - y + 3 = 0 . Do D = AD Ç BD Þ D(1; 4) Þ B(- 3; 0) 0,25 Vậy A (0;1) , B(-3;0), C (- 2;3), D(1; 4). 8.a 1,0 điểm Mặt cầu (S) có tâm I ( 2; - 1; - 1 ) , bán kính R = 3 ur uuur uuur ur 0,25 Mặt phẳng (P) có vtpt n1 (1; - 1;1) , AB ( 3;1;1) Þ éë AB, n1 ùû = ( 2; - 2; - 4 ) r Do mặt phẳng (a ) / / AB và (a ) ^ ( P ) Þ (a ) có vtpt n (1; - 1; - 2 ) 0,25 Suy ra phương trình mặt phẳng (a ) : x - y - 2 z + m = 0 (a ) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có bán kính bằng 3 5 + m m = 1 0,25 Þ d ( I , (a ) ) = 6 Û = 6 Û éê 6 ë m = -11 Vậy, có hai mặt phẳng (a ) thỏa mãn là x - y - 2 z + 1 = 0 và x - y - 2 z - 11 = 0 0,25 9.a 1,0 điểm Giả sử số tự nhiên có ba chữ số thuộc tập M là a1a2 a 3 Số các phần tử của M: a 1 có 6 cách chọn 0,25 a 2 có 6 cách chọn a 3 có 5 cách chọn Þ M = 6.6.5 = 180 Số các số tự nhiên trong M có tổng các chữ số là số lẻ: 0,25 TH1: Có 1 chữ số lẻ và 2 chữ số chẵn Þ có C31 .C42 .3!- C31 .C4 1 .2! = 84 số TH2: Có 3 chữ số lẻ Þ có 3! = 6 số Þ có 90 số trong tập M có tổng các chữ số là số lẻ 0,25 90 1 Suy ra xác suất cần tìm là = . 0,25 180 2 7.b 1,0 điểm A N B I C G M D Do A, D nằm khác phía so với BC và cách đều BC suy ra BC đi qua trung điểm I của 0,25 AD.
Gọi G ( a; b ) là giao điểm của DN và MI suy ra G là trọng tâm của tam giác ADM ì 1 uuur uuur ì -1 = 3 a ï a = - 3 æ 1 5 ö 0,25 Þ ND = 3 NG Û í Ûí Þ G ç - ; - ÷ î -8 = 3 ( ) ïb = - b - 1 5 è 3 3 ø î 3 Phương trình đường thẳng BC đi qua G và C : x - 2 y - 3 = 0 Tọa độ của B là nghiệm của hệ phương trình: { x - 2y -3 = 0 x+ y+6=0 Û x = -3 y = -3 { Þ B ( -3; - 3 ) . 0,25 Þ M (1; - 1) Þ A ( - 1;3 ) . Vậy, A ( -1;3) , B ( -3; - 3 ) 0,25 8.b 1,0 điểm uuur uuur uuur Giả sử D ( t ; 0;0 ) , t > 0 . Ta có: AB ( -2; -1;1) , AC ( -1; -2; -1) , AD ( t - 1; -1; -1 ) 0,25 uuur uuur uuur uuur uuur [ AB, AC ] = ( 3; -3;3) Þ [ AB, AC ]. AD = 3(t - 1) 1 uuur uuur uuur 1 ét = 3 0,25 Theo bài ra VABCD = [ AB, AC ]. AD = 1 Û 3(t - 1) = 1 Û ê Þ D ( 3;0;0 ) 6 6 ët = -1 ( L ) Giả sử mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 ì 2a + 2b + 2c + d = -3 ï -2 a + 4c + d = -5 0,25 ( a + b + c - d > 0 ) . Vì (S) qua A, B, C, D nên ta có hệ ïí-2b + d = -1 2 2 2 ï ïî 6a + d = -9 Giải hệ trên ta được a = -2, b = 2, c = -3, d = 3 Vậy phương trình mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 - 4 x + 4 y - 6 z + 3 = 0 0,25 2 2 2 Hay ( x - 2) + ( y + 2) + ( z - 3) = 14 . 9.b 1,0 điểm 1 log 3 x ĐK: x > 0 . Ta có: x - 6.15log3 x + 5log3 (3 x ) ³ 0 Û 3log3 x - 6.15 2 + 5.5log 3 x ³ 0 0,25 log 3 x log 3 x log 3 x æ3ö æ 3 ö Û3 log3 x -6 ( 3. 5 ) log 3 x + 5.5 ³ 0 Û ç ÷ è5ø - 6 çç ÷÷ + 5 ³ 0 0,25 è 5 ø log 3 x æ 3 ö ét £ 1 Đặt t = çç ÷÷ , t > 0 . Ta được t 2 - 6t + 5 ³ 0 Û ê è 5 ø ë t ³ 5 log 3 x 0,25 æ 3 ö Với t £ 1 Û çç ÷÷ £ 1 Û log 3 x ³ 0 Û x ³ 1 è 5 ø log 3 x log 3 5 æ 3 ö Với t ³ 5 Û çç ÷÷ ³ 5 Û log 3 x £ log 3 5 Û 0 < x £ 9 5 è 5 ø 5 0,25 æ log 3 5 ù Vậy, tập nghiệm của BPT là S = ç 0;9 5 ú È [1; +¥) . è û Hết Cảm ơn thầy Nguyễn Duy Liên (lientoancvp@vinhphuc.edu.vn) đã gửi tới www.laisac.page.tl