Đề tài: Khai triển tiệm cận của hàm sinh bởi phân hoạch số nguyên và ứng dụng

Chia sẻ: Nguyễn Đức Thụy | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:80

Thêm vào BST

Báo xấu

102
lượt xem 18
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Lý thuyết phân hoạch có lịch sử khá lâu trong những thời kỳ chính hành thành củ lý thuyết số Toán học. Tuy nhiên, những phát hiện mang tính chất đột phá diễn ra ở thế kỷ XVIII, xuất phát từ những công trình nghiên cứu của nhà toán học...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề tài: Khai triển tiệm cận của hàm sinh bởi phân hoạch số nguyên và ứng dụng

L i c m ơn Nhân d p lu n văn đư c hoàn thành tác gi xin bày t lòng bi t ơn chân thành, sâu s c t i TS. Nguy n Văn Hào đã t n tình hư ng d n tác gi trong quá trình th c hi n lu n văn. Tác gi xin đư c g i l i c m ơn chân thành Ban giám hi u trư ng Đ i h c sư ph m Hà N i 2, phòng Sau đ i h c, các th y cô giáo trong nhà trư ng và các th y cô giáo d y cao h c chuyên ngành Toán gi i tích đã t o đi u ki n thu n l i trong quá trình tác gi h c t p và nghiên c u. Tác gi xin bày t lòng bi t ơn t i gia đình, ngư i thân đã đ ng viên và t o m i đi u ki n đ tác gi có th hoàn thành b n lu n văn này. Hà N i, tháng 07 năm 2012 Tác gi Ki u Thanh Hà
L i cam đoan Tôi xin cam đoan, dư i s hư ng d n c a TS. Nguy n Văn Hào, lu n văn “Khai tri n ti m c n c a hàm sinh b i phân ho ch s nguyên và ng d ng” đư c hoàn thành, không trùng v i b t kỳ lu n văn nào khác. Trong quá trình làm lu n văn, tôi đã k th a nh ng thành t u c a các nhà khoa h c v i s trân tr ng và bi t ơn. Hà N i, tháng 07 năm 2012 Tác gi Ki u Thanh Hà
M cl c M đ u. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Chương 1. M T S KI N TH C CHU N B . . . . . . . . . . 6 1.1. S ph c và m t ph ng ph c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.1. Khái ni m và m t s tính ch t cơ b n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2. S h i t c a dãy s ph c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.3. Các t p h p trong m t ph ng ph c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2. Hàm bi n ph c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.1. Hàm liên t c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.2. Hàm ch nh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.3. Chu i lũy th a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.4. Tích phân ph c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3. Khai tri n ti m c n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.3.1. M t s khái ni m b c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.3.2. Dãy ti m c n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.3.3. Đ nh nghĩa c a Poincarés v khai tri n ti m c n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.3.4. Chu i lũy th a ti m c n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.3.5. Tính ch t c a khai tri n ti m c n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Chương 2. HÀM SINH B I CHU I VÔ H N . . . . . . . . . 39 2.1. Lý thuy t cơ b n v phân ho ch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.1.1. M t s khái ni m và ví d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.1.2. Các hàm sinh b i tích vô h n m t bi n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.1.3. Bi u di n đ th c a các phân ho ch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.2. Các hàm sinh b i chu i vô h n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 1
2.3. ng d ng c a phân ho ch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Chương 3. TI M C N C A HÀM SINH B I TÍCH VÔ H N................................................... 62 3.1. Bi n đ i Mellin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.1.1. Đ nh nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.1.2. Ví d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.2. Đ nh lý c a Meinardus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.3. Các ng d ng c a đ nh lý 3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 K t lu n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Tài li u tham kh o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 2
M đ u 1. Lí do ch n đ tài Lý thuy t phân ho ch có l ch s khá lâu trong nh ng th i kỳ hình thành c a lý thuy t s Toán h c. Tuy nhiên, nh ng phát hi n mang tính ch t đ t phá di n ra th k XVIII, xu t phát t nh ng công trình nghiên c u c a nhà toán h c vĩ đ i Leonard Euler. Ngay sau th i kỳ đó lý thuy t phân ho ch đã đư c nhi u nhà toán khác góp s c nghiên c u và phát tri n. Chúng ta có th k ra đây đ minh ch ng cho v n đ đã nêu qua các công trình nghiên c u c a các nhà toán h c n i ti ng Cayle, Gauss, Jacobi, Lagrange, Legendre, Littllewood, Rademacher, Ramanu- jan, Schur và Sylvester .... Lý thuy t phân ho ch có nhi u áp d ng trong nh ng v n đ l n c a toán h c, đáng k đây ta có th nói đ n bài toán kinh đi n v phân tích s nguyên dư i d ng t ng các bình phương, đ nh lý s nguyên t , t ng các s nguyên khác, ... Cùng v i s phát tri n trên đây c a lĩnh v c lý thuy t s , m t hư ng nghiên c u cũng đư c hình thành t khá s m là lý thuy t gi i tích ti m c n. Trong gi i tích toán h c nhi u chu i s ta có th ch ng minh h i t c a nó m t cách đơn gi n, tuy nhiên đ tính t ng c a nó thì không h đơn gi n. Gi i tích ti m c n và m t ph n trong lĩnh v c là lý thuy t chu i ti m c n. đây, ngoài vi c quan tâm đ n vi c tính t ng c a các chu i s h i t , trong lý thuy t s các nhà toán h c còn nghiên c u đ n chu i phân kỳ có th đư c s d ng cho s tính toán giá tr c a m t đ i 3
lư ng mà theo nghĩa nào đó có th đư c xem như là "t ng" c a chu i. Trư ng h p đi n hình là đ i v i chu i hàm, b ng s x p x b i m t s h ng đ u tiên c a chu i th c s mang đ n hi u qu mong mu n. Trong h u h t các trư ng h p các s h ng đ u tiên c a chu i gi m nhanh (khi bi n đ c l p ti n nhanh t i giá tr gi i h n c a nó), nhưng nh ng s h ng b t đ u tăng tr l i. M t trong các hư ng nghiên c u v n đ này đư c g i là lý thuyêt chu i ti m c n. Vi c nghiên c u s x p x ti m c n c a các hàm sinh b i phân ho ch c a s nguyên là m t hư ng thu hút s chú ý c a các nhà Toán h c. Đ hoàn thành lu n văn đào t o Th c s chuyên ngành Toán gi i tích và đư c s đ nh hư ng c a ngư i hư ng d n em ch n đ tài "Khai tri n ti m c n c a hàm sinh b i phân ho ch s nguyên và ng d ng". 2. M c đích nghiên c u Nghiên c u v lý thuy t phân ho ch, lý thuy t ti m c n. V n đ khai tri n ti m c n c a hàm sinh b i phân ho ch s nguyên. 3. Nhi m v nghiên c u Nghiên c u m t cách c th v m t s khái ni m, tính ch t c a phân ho ch. Khai tri n ti m c n c a hàm sinh b i phân ho ch s nguyên và m t s ng d ng c a nó. 4
4. Đ i tư ng và ph m vi nghiên c u Phân ho ch s nguyên. V n đ khai tri n ti n c n c a hàm sinh b i phân ho ch s nguyên. 5. Phương pháp nghiên c u Đ c sách, nghiên c u tài li u, t ng h p ki n th c, v n d ng cho m c đích nghiên c u. 6. D ki n đóng góp c a lu n văn Trình bày v lý thuy t phân ho ch s nguyên, lý thuy t ti m c n. Nghiên c u m t cách có h th ng v khai tri n ti m c n c a hàm sinh b i phân ho ch s nguyên và m t s áp d ng. 5
Chương 1 M TS KI N TH C CHU N B 1.1. S ph c và m t ph ng ph c 1.1.1. Khái ni m và m t s tính ch t cơ b n S ph c là s có d ng z = x + iy; x, y ∈ R và i là đơn v o mà i2 = −1. Ta g i x là ph n th c và y là ph n o, kí hi u x = Rez, y = Imz. T p h p các s ph c đư c kí hi u b i C. T p h p các s ph c đư c đ ng nh t v i m t ph ng R2 b i phép tương ng C → R2 z = x + iy → (x, y). M t cách t nhiên, ngư i ta g i Ox là tr c th c, Oy là tr c o. Phép c ng và nhân các s ph c đư c th c hi n m t cách thông thư ng như các phép toán trên t p h p s th c v i lưu ý r ng i2 = −1. Ta có z1 + z2 = (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 ) và z1 .z2 = (x1 + iy1 )(x2 + iy2 ) = x1 x2 + ix1 y2 + iy1 x2 + i2 y1 y2 = (x1 x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + y1 x2 ). 6
V i m i s ph c z = x + iy, ta xác đ nh modul c a s ph c z là |z| = x2 + y 2 . S ph c liên h p c a s ph c z = x + iy đư c kí hi u là z = x − iy. ¯ Không khó khăn, ta có th ki m tra đư c z+z¯ z−z ¯ Rez = ; Imz = 2 2i và 1 z¯ |z|2 = z.¯; z = 2 v i z = 0. z |z| S ph c khác 0 đư c bi u di n dư i d ng c c z = r.eiθ v i r > 0, θ ∈ R đư c g i là argument c a s ph c z (argument c a s ph c z đư c xác đ nh m t cách duy nh t v i s sai khác m t b i s c a 2π) và eiθ = cos θ + i sin θ. B i vì eiθ = 1, nên r = |z| và θ là góc h p b i chi u dương c a tr c Ox và n a đư ng th ng xu t phát t g c t a đ đi qua đi m z. Cu i cùng, ta lưu ý r ng z = r.eiθ và w = s.eiϕ thì z.w = r.s.ei(θ+ϕ) . 1.1.2. S h i t c a dãy s ph c Dãy s ph c {zn } đư c g i là h i t đ n s ph c w ∈ C và vi t là w = lim zn ⇔ lim |zn − w| = 0. n→∞ n→∞ D dàng ki m tra r ng   lim Rez = Rew, n  n→∞ w = lim zn ⇔ n→∞  lim Imz = Imw.  n n→∞ 7
Dãy s ph c {zn } đư c g i là dãy Cauchy n u lim |zn − zm | = 0. Đi u m,n→∞ này tương đương theo ngôn ng sau: v i m i ε < 0 t n t i s nguyên dương N sao cho |zn − zm | < ε; v i m i n, m ≥ N. 1.1.3. Các t p h p trong m t ph ng ph c Cho z0 ∈ C và r > 0, ta g i đĩa m tâm z0 bán kính r là t p h p Dr (z0 ) = {z ∈ C : |z − z0 | < r} . Đĩa đóng tâm z0 bán kính r là t p h p Dr (z0 ) = {z ∈ C : |z − z0 | ≤ r} . Biên c a đĩa đóng ho c m là đư ng tròn Cr (z0 ) = {z ∈ C : |z − z0 | = r}. Đĩa có tâm z0 = 0 và bán kính 1 g i là đĩa đơn v , kí hi u là D = {z ∈ C : |z| ≤ 1} . Cho t p Ω ⊂ C, đi m z0 ∈ Ω đư c g i là đi m trong c a Ω n u t n t i r > 0 sao cho Dr (z0 ) ⊂ Ω. Ph n trong c a Ω kí hi u là int Ω g m t t c các đi m trong c a Ω. T p Ω là t p m n u m i đi m c a nó đ u là đi m trong. T p Ω đư c g i là t p đóng n u ph n bù c a nó C\Ω là m . Đi m z ∈ C đư c g i là đi m gi i h n c a t p Ω n u t n t i m t dãy các đi m zn ∈ C sao cho zn = z và lim zn = z. Chúng ta có th ki m n→∞ tra đư c r ng m t t p Ω là đóng n u nó ch a m i đi m gi i h n c a nó. Bao đóng c a t p Ω là h p c a Ω và các đi m gi i h n c a nó, ký hi u ¯ ¯ là Ω. Biên c a Ω kí hi u là ∂Ω = Ω\ int Ω. 8
T p Ω là b ch n n u ∃M > 0 sao cho |z| < M v i m i z ∈ Ω. N u t p Ω là b ch n, thì ta xác đ nh đư ng kính c a nó b i s diam(Ω) = sup {|x − y| : x, y ∈ Ω} . T p Ω đư c g i là compact n u nó đóng và b ch n. Đ nh lý 1.1. T p Ω ⊂ C là compact n u và ch n u m i dãy {zn } ∈ Ω có m t dãy con {znk } h i t t i m t đi m z nào đó trong Ω. M t ph m c a Ω là m t h các t p m {Uα } sao cho Ω ⊂ Uα . Liên α quan đ n h các ph m đ i v i các t p compact đư c cho b i tiêu chu n. Đ nh lý 1.2. T p Ω là compact n u và ch n u m i ph m c a Ω có m t con h u h n. M nh đ 1.1. (Nguyên lý Cantor) N u Ω1 ⊃ Ω2 ⊃ ... ⊃ Ωn ⊃ ... là m t dãy các t p compact khác r ng trong C mà diam(Ωn ) → 0 khi n → ∞, thì t n t i duy nh t đi m chung c a các t p h p này, nghĩa là t n t i duy nh t đi m w ∈ Ωn v i m i n. 1.2. Hàm bi n ph c 1.2.1. Hàm liên t c Cho hàm f (z) xác đ nh trên t p Ω ⊂ C. Ta nói r ng f (z) liên t c t i đi m z0 ∈ Ω n u th a mãn m t trong hai đi u ki n tương đương sau (i) V i m i ε > 0 t n t i δ > 0 sao cho v i m i z ∈ Ω và |z − z0 | < δ thì |f (z) − f (z0 )| < ε. 9
(ii) V i m i dãy {zn } ⊂ Ω mà lim zn = z0 thì lim f (zn ) = f (z0 ). n→∞ n→∞ Hàm f (z) đư c g i là liên t c trên Ω n u nó liên t c t i m i đi m c a Ω. T ng và tích c a các hàm liên t c cũng là hàm liên t c. Đi u đó đư c suy ra t b t đ ng th c tam giác ||f (z)| − |f (z0 )|| ≤ |f (z) − f (z0 )| . Chúng ta nói r ng hàm f (z) đ t giá tr c c đ i (tương ng, c c ti u) t i đi m z0 ∈ Ω n u |f (z)| ≤ |f (z0 )| (tương ng |f (z)| ≥ |f (z0 )|); v i m i z ∈ Ω. Đ nh lý 1.3. Hàm liên t c trên t p compact Ω là b ch n và đ t giá tr l n nh t, giá tr bé nh t trên Ω. 1.2.2. Hàm ch nh hình Cho hàm ph c f (z) xác đ nh trên t p m Ω. Hàm f (z) đư c g i là ch nh hình t i đi m z0 ∈ Ω n u t n t i gi i h n c a bi u th c thương vi phân f (z0 + h) − f (z0 ) ; khi h → 0, (1.1) h đó 0 = h ∈ C v i z0 + h ∈ Ω. Gi i h n trên đư c ký hi u b i f (z0 ) và g i là đ o hàm c a hàm f (z) t i đi m z0 . Như v y, ta có f (z0 + h) − f (z0 ) f (z0 ) = lim . h→0 h Hàm f g i là ch nh hình trên Ω n u nó ch nh hình t i m i đi m c a Ω. N u M là t p đóng c a C, ta nói f (z) là ch nh hình trên M n u f (z) là ch nh hình trên m t t p m nào đó ch a M . Hàm f ch nh hình trên C đư c g i là hàm nguyên. 10
Ví d 1.1. Hàm f (z) = z là ch nh hình trên m t t p con m b t kỳ trong C và f (z) = 1. Th t v y, ta có f (z0 + h) − f (z0 ) (z + h) − z f (z0 ) = lim = lim = 1. h→0 h h→0 h T đó, ta suy ra đa th c P (z) = a0 + a1 z + · · · + an z n ch nh hình trên m t ph ng C và P (z) = a1 + 2a2 z + · · · + nan z n−1 . Đi u đó đư c suy ra t m nh đ 1.2 đư c trình bày sau ph n này. Ví d 1.2. Hàm f (z) = z là không ch nh hình. Th t v y, ta tính thương ¯ vi phân c a hàm này như sau f (z0 + h) − f (z0 ) z + h − z ¯ ¯ ¯ h ¯ z+h−z ¯ = = = . h h h h B ng vi c chuy n qua gi i h n trên tr c th c và trên tr c o ta th y ngay r ng thương vi phân không t n t i khi h → 0. T đ ng th c (1.1) ta th y hàm f (z) là ch nh hình t i z0 ∈ Ω n u và ch n u t n t i h ng s a sao cho f (z0 + h) − f (z0 ) − a.h = h.ψ(h) (1.2) v i ψ(h) là m t hàm xác đ nh khi h đ nh và lim ψ(h) = 0. Dĩ nhiên, h→0 ta có a = f (z0 ). T công th c (1.2) ta cũng th y hàm f ch nh hình thì f là liên t c. Các k t qu v phép toán đ i v i đ o hàm c a hàm bi n ph c cũng tương t như hàm bi n th c. Ta có m nh đ sau 11
M nh đ 1.2. N u các hàm f và g ch nh hình trên Ω, thì các hàm (i) f ± g ch nh hình trên Ω và (f ± g) = f ± g ; (ii) f.g ch nh hình trên Ω và (f.g) = f .g + f.g ; f (iii) thêm n a, n u g(z0 ) = 0, thì ch nh hình t i z0 ∈ Ω và g f f .g − f.g = . g g2 Ngoài ra, n u f : Ω → U và g : U → C là các hàm ch nh hình thì hàm h p g ◦ f cũng là hàm ch nh hình. Bây gi chúng ta làm sáng t m i quan h gi a đ o hàm th c và ph c. Th c v y, dư i d ng bi n th c hàm f (z) = z tương ng ánh x F : ¯ (x, y) → (x, −y) kh vi theo nghĩa th c. Đ o hàm c a nó t i m t đi m là ánh x tuy n tính đư c cho b i đ nh th c Jacobian c a nó, ma tr n 2 × 2 các đ o hàm riêng c a các hàm t a đ . Nh l i r ng hàm F (x, y) = (u(x, y), v(x, y)) đư c g i là kh vi t i m t đi m P (x0 , y0 ) n u t n t i phép bi n đ i tuy n tính J : R2 → R2 sao cho |F (P0 + H) − F (P0 ) − J(H)| → 0 khi |H| → 0, H ∈ R2 . (1.3) |H| M t cách tương đương, ta có th vi t F (P0 + H) − F (P0 ) = J(H) + |H| .ψ(H), v i |ψ(H)| → 0 khi |H| → 0. Phép bi n đ i tuy n tính J là duy nh t và g i là đ o hàm c a F t i 12
P0 . N u F kh vi thì các đ o hàm riêng c a u và v t n t i và   ∂u ∂u J = JF (x, y) =  ∂x ∂y  . ∂v ∂v ∂x ∂y Trong trư ng h p kh vi ph c đ o hàm f t i z0 là s ph c f (z0 ). Trong khi đó trư ng h p kh vi th c thì nó là m t ma tr n. Tuy nhiên, chúng có m i quan h đ c bi t. Đ tìm đư c quan h đó, ta xét gi i h n trong (1.1). + N u h = h1 + ih2 mà h2 = 0, (hi ∈ R) thì ta vi t z = x + iy, z0 = x0 + iy0 và f (z) = f (x, y). Ta th y r ng f (x0 + h1 , y0 ) − f (x0 , y0 ) ∂f f (z0 ) = lim = (z0 ). h1 →0 h1 ∂x + N u h = ih2 , thì f (x0 , y0 + h2 ) − f (x0 , y0 ) 1 ∂f f (z0 ) = lim = (z0 ). h2 →0 ih2 i ∂y Do đó, đ hàm f ch nh hình t i z0 thì ta ph i có ∂f 1 ∂f = . ∂x i ∂y Vi t f = u + iv, tách ph n th c và ph n o, đ ng th i s d ng đ ng 1 th c = −i ta nh n đư c i ∂f 1 ∂f ∂u ∂v 1 ∂u ∂v = ⇔ +i = +i ∂x i ∂y ∂x ∂x i ∂y ∂y ∂u ∂v ∂v ∂u ⇔ +i = −i . ∂x ∂x ∂y ∂y T đó, ta suy ra ∂u ∂v ∂v ∂u = và =− . ∂x ∂y ∂x ∂y 13
Chúng ta có th làm rõ hơn m i quan h này, b ng vi c xác đ nh hai toán t vi phân ∂ 1 ∂ 1 ∂ ∂ 1 ∂ 1 ∂ = + và = − . ∂z 2 ∂x i ∂y ∂z ¯ 2 ∂x i ∂y M nh đ 1.3. N u f ch nh hình t i z0 , thì ∂f ∂f ∂u (z0 ) = 0 và f (z0 ) = (z0 ) = 2 (z0 ). ∂z ¯ ∂z ∂z N u vi t F (x, y) = f (z), thì F kh vi theo nghĩa th c và 2 det JF (x0 , y0 ) = |f (z0 )| . Đ nh lý 1.4. Gi s f = u + iv là hàm ph c xác đinh trên t p m Ω. N u u và v là các hàm kh vi liên t c và th a mãn phương trình Cauchy - Riemann trên Ω, thì f ch nh hình trên Ω và ∂f f (z) = . ∂z Ch ng minh. Ta vi t ∂u ∂u u(x + h1 , y + h2 ) − u(x, y) = h1 + h2 + |h| θ1 (h) ∂x ∂y và ∂v ∂v v(x + h1 , y + h2 ) − v(x, y) = h1 + h2 + |h| θ2 (h), ∂x ∂y trong đó θj (h) → 0 khi |h| → 0 và h = h1 + ih2 . S d ng phương trình Cauchy - Riemann, ta nh n đư c ∂u ∂v f (z + h) − f (z) = −i (h1 + ih2 ) + |h| θ(h), ∂x ∂y v i θ(h) = θ1 (h) + θ2 (h) → 0 khi |h| → 0. Do đó f là ch nh hình và ∂u ∂f f (z) = 2 = . ∂z ∂z 14
1.2.3. Chu i lũy th a Chu i lũy th a là chu i có d ng ∞ an z n , (1.4) n=0 trong đó an ∈ C, n = 0, 1, 2, .... Chúng ta có nh n xét r ng n u chu i (1.4) h i t t i đi m z0 nào đó, thì nó cũng h i t v i m i z trong đĩa |z| ≤ |z0 |. Bây gi ta s ch ng minh r ng luôn t n t i m t đĩa m mà trên đó chu i (1.4) h i t tuy t đ i. ∞ Đ nh lý 1.5. (Hadamard) Cho chu i lũy th a an z n . Khi đó, t n t i n=0 s 0 ≤ R ≤ +∞ sao cho (i) N u |z| < R thì chu i h i t tuy t đ i. (ii) N u |z| > R thì chu i phân kỳ. Hơn n a, n u ta s d ng quy ư c 1/0 = ∞ và 1/∞ = 0, thì s R đư c tính b i công th c 1 1 = lim sup |an | n . R n→∞ S R đư c g i là bán kính h i t c a chu i và mi n |z| < R đư c g i là đĩa h i t . Chú ý. Trên biên c a đĩa h i t |z| = R, thì có th chu i h i t cũng có th phân kỳ. Các ví d thêm n a v chu i lũy th a h i t trong toàn m t ph ng ph c là các hàm lư ng giác ∞ ∞ z 2n n z 2n+1 cos z = (−1) và sinz = (−1)n . n=0 (2n)! n=0 (2n + 1)! 15
B ng tính toán đơn gi n, ta nh n đư c các công th c Euler dư i d ng mũ ph c eiz + e−iz eiz − e−iz cosz = và sinz = . 2 2 ∞ Đ nh lý 1.6. Chu i lũy th a f (z) = an z n xác đ nh m t hàm ch nh n=0 hình trong đĩa h i t c a nó. Đ o hàm c a f (z) cũng là m t chu i lũy th a thu đư c b ng cách đ o hàm t ng s h ng c a chu i v i hàm f (z), t c là ∞ f (z) = nan z n−1 . n=0 Hơn n a, f (z) có cùng bán kính h i t v i f (z). 1 Ch ng minh. B i vì lim n n = 1, nên ta có n→∞ 1 1 lim sup |an | n = lim sup |nan | n . n→∞ n→∞ ∞ ∞ Do đó, chu i an z n và nan z n−1 có cùng bán kính h i t . Đ ch ng n=0 n=0 minh kh ng đ nh th nh t, chúng ta ph i ch ng minh chu i ∞ g(z) = nan z n−1 n=1 b ng đ o hàm c a f (z). Ký hi u R là bán kính h i t c a f (z) và gi s |z0 | < r < R. Ta vi t f (z) = Sn (z) + EN (z) v i N ∞ n SN (z) = an z và EN (z) = an z n . n=0 n=N +1 16
Khi đó, n u ch n h sao cho |z0 + h| < r, thì ta có f (z0 + h) − f (z0 ) SN (z0 + h) − SN (z0 ) − g(z0 ) = − S N (z0 ) h h + (S N (z0 ) − g(z0 )) EN (z0 + h) − EN (z0 ) + . h Ta th y ∞ EN (z0 + h) − EN (z0 ) (z0 + h)n − z0 n ≤ |an | h h n=N +1 ∞ ≤ |an |nrn−1 . n=N +1 đó ta đã s d ng |z0 | < r và |z0 + h| < r. Bi u th c v ph i là ph n dư c a m t chu i h i t , t g(z) là h i t tuy t đ i v i m i |z| < R. Do đó, v i m i ε > 0 t n t i N1 sao cho v i m i N ≥ N1 ta có EN (z0 + h) − EN (z0 ) ε < . h 3 T lim S N (z0 ) = g(z0 ) nên ta tìm đư c N2 mà v i m i N ≥ N2 ta có N →∞ ε |S N (z0 ) − g(z0 )| < . 3 C đ nh N > max {N1 , N2 } thì ta có th tìm đư c δ > 0 sao cho |h| < δ thì SN (z0 + h) − SN (z0 ) ε − S N (z0 ) < . h 3 Do đó f (z0 + h) − f (z0 ) − g(z0 ) < ε h khi |h| < δ. 17
H qu 1.1. Chu i lũy th a kh vi vô h n l n trong đĩa h i t c a nó. Đ o hàm c a chu i lũy th a là m t chu i lũy th a thu đư c b ng cách l y đ o hàm c a t ng s h ng c a nó. M t hàm f (z) xác đ nh m t t p con m Ω đư c g i là gi i tích (ho c có khai tri n chu i lũy th a) t i đi m z0 ∈ Ω n u t n t i chu i lũy th a ∞ an (z − z0 )n tâm t i z0 v i bán kính h i t dương sao cho n=0 ∞ f (z) = an (z − z0 )n n=0 v i m i z trong lân c n c a đi m z0 . N u f (z) có khai tri n chu i lũy th a t i m i z ∈ Ω, thì ta nói r ng f (z) gi i tích trên Ω. T đ nh lý 1.6, ta th y r ng m t hàm gi i tích trên Ω thì cũng ch nh hình trên đó. 1.2.4. Tích phân ph c M t đư ng cong tham s là m t hàm z : [a, b] → C t → z(t) = x(t) + iy(t). Đư ng cong đư c g i là trơn n u t n t i đ o hàm z (t) liên t c trên đo n [a, b] và z (t) = 0, v i m i t ∈ [a, b]. T i các đi m t = a và t = b các đ i lư ng z (a) và z (b) đư c hi u như gi i h n m t phía z(a + h) − z(a) z(b + h) − z(b) z (a) = lim+ và z (b) = lim− . h→0 h h→0 h Đư ng cong đư c g i là trơn t ng khúc n u z(t) liên t c trên đo n [a, b] và t n t i các đi m a0 = a < a1 < ... < an = b, đó z(t) là trơn trên 18