intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Đề tài nghiên cứu khoa học: Bài giảng điện tử môn "Lý thuyết Galoa" theo hướng tích cực hóa nhận thức người học

Chia sẻ: Minh Van Thuan | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:115

Thêm vào BST
Báo xấu
159
lượt xem 29
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề tài nghiên cứu khoa học: Bài giảng điện tử môn "Lý thuyết Galoa" theo hướng tích cực hóa nhận thức người học trình bày bốn chương, với các nội dung về mở rộng thị trường; nhóm Galois; giải được bằng căn thức; mở rộng Galois và định lý cơ bản của lý thuyết Galois.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề tài nghiên cứu khoa học: Bài giảng điện tử môn "Lý thuyết Galoa" theo hướng tích cực hóa nhận thức người học

  1. L im đ u Chương 1. M r ng trư ng Chương 2. Nhóm Galois Chương 3. Gi i đư c b ng căn th c Chương 4. M r ng Galois. Đ nh lý cơ b n c a lý thuy t Galois Đ tài NCKH "Bài gi ng đi n t môn ’Lý thuy t Galoa’ theo hư ng tích c c hóa nh n th c ngư i h c" Ch nhi m đ tài: Ths. Ngô Th Ngoan Đ I H C KHOA H C - ĐHTN Thành viên tham gia: TS. Nguy n Văn Hoàng Ngô Th Ngoan, Nguy n Văn Hoàng Lý thuy t Galois
  2. L im đ u Chương 1. M r ng trư ng Chương 2. Nhóm Galois Chương 3. Gi i đư c b ng căn th c Chương 4. M r ng Galois. Đ nh lý cơ b n c a lý thuy t Galois L im đ u - Lý thuy t Galois là s phiên d ch và k t n i c a lý thuy t v đa th c, lý thuy t trư ng và lý thuy t nhóm. Công th c nghi m (ch s d ng các phép toán đ i s trên các h s c a đa th c) c a đa th c b c hai đã đư c con ngư i bi t t r t lâu. Đ n gi a th k 16, công th c nghi m c a đa th c b c ba đư c hình thành, sau đó kho ng ba trăm năm, d a trên ý tư ng c a Largrange và Cauchy, Abel đã ch ng minh không có công th c nghi m c a đa th c b c năm. Đ n năm 1829, Abel đã đưa ra đi u ki n đ đ m t đa th c v i b c tùy ý có công th c nghi m. Ngay sau đó, năm 1831 Galois phát minh ra s k t n i gi a nhóm v i m i đa th c, s d ng các tính ch t c a nhóm này, đưa ra đi u ki n c n và đ đ m t đa th c có công th c nghi m. Ngô Th Ngoan, Nguy n Văn Hoàng Lý thuy t Galois
  3. L im đ u Chương 1. M r ng trư ng Chương 2. Nhóm Galois Chương 3. Gi i đư c b ng căn th c Chương 4. M r ng Galois. Đ nh lý cơ b n c a lý thuy t Galois - M c tiêu c a môn h c Lý thuy t Galois là tìm hi u ki n th c đ th y đư c s k t n i đó và đ n đư c Đ nh lý L n c a Galois chính là đi u ki n c n và đ đ m t đa th c gi i đư c b ng căn th c. - Môn h c Lý thuy t Galois là môn h c r t hay, c n thi t và là môn h c khó. Nó đòi h i sinh viên n m v ng các ki n th c c a nhi u môn h c: Đ i s Đ i cương, Đa th c, Lý thuy t nhóm, Lý thuy t trư ng. Th i gian trên l p quá ít cho vi c gi ng d y và h c t p c a th y và trò. - Vì v y chúng tôi ch n đ tài thi t k bài gi ng đi n t cho môn h c này đ gi m b t áp l c v th i gian và ki n th c. Mong mu n các em có th h c t t môn h c và th y yêu thích nó, th y đư c s đ p đ c a toán h c trong m i quan h ch t ch gi a các lĩnh v c c a toán h c. Ngô Th Ngoan, Nguy n Văn Hoàng Lý thuy t Galois
  4. L im đ u 1.1 M r ng trư ng Chương 1. M r ng trư ng 1.2 Trư ng phân rã c a đa th c Chương 2. Nhóm Galois 1.3 C u trúc trư ng h u h n Chương 3. Gi i đư c b ng căn th c • Bài t p Chương 1 Chương 4. M r ng Galois. Đ nh lý cơ b n c a lý thuy t Galois 1.1 M r ng trư ng B đ 1.1 Cho F là trư ng và f (x) ∈ F [x] là đa th c b t kh quy. Khi đó K = F [x]/(f (x)) là trư ng và x = x + (f (x)) là m t nghi m c a f (x). Hơn n a ta có đơn c u ϕ : F −→ K, do đó ta có th coi F là trư ng con c a K. Ch ng minh - Đ t I = (f (x)). Vì f (x) b t kh quy nên K = F [x]/I là vành giao hoán khác 0. L y g(x) + I ∈ K sao cho g(x) ∈ I. Khi đó (g(x), f (x)) = 1. Suy ra t n t i / q(x), p(x) ∈ F [x] sao cho 1 = q(x)g(x) + p(x)f (x). T đó 1 + I = q(x)g(x) + I = (q(x) + I)(g(x) + I). Ch ng t g(x) + I kh ngh ch trong K, do v y K là trư ng. Ta th y ϕ : F −→ K, a −→ a + I là m t đơn c u. Đ t x = x + I ∈ K. Gi s f (x) = n ai xi . Khi đó f (x) = n ai xi = n (ai xi + I) i=0 i=0 i=0 = ( n ai xi ) + I = f (x) + I = 0. Suy ra x là nghi m c a f (x). i=0 Ngô Th Ngoan, Nguy n Văn Hoàng Lý thuy t Galois
  5. L im đ u 1.1 M r ng trư ng Chương 1. M r ng trư ng 1.2 Trư ng phân rã c a đa th c Chương 2. Nhóm Galois 1.3 C u trúc trư ng h u h n Chương 3. Gi i đư c b ng căn th c • Bài t p Chương 1 Chương 4. M r ng Galois. Đ nh lý cơ b n c a lý thuy t Galois Đ nh nghĩa 1.2 Cho F là trư ng con c a trư ng K. Khi đó quan h F ⊆ K đư c g i là m t m r ng trư ng, nó còn đư c kí hi u b i K/F . M t dãy các m r ng trư ng F1 ⊆ F2 ⊆ . . . ⊆ Fn , thư ng đư c g i là m t tháp các trư ng. Chú ý 1.3 N u K/F là m t m r ng trư ng, thì K là m t F -không gian véctơ, trong đó phép nhân m t ph n t c a F v i m t véctơ c a K xác đ nh b i F × K −→ K, (a, x) −→ ax. Kí hi u [K : F ] = dimF K và g i là b c c a m r ng trư ng. Đ nh lý 1.4 Cho f (x) ∈ F [x] là đa th c b t kh quy, đ t K = F [x]/(f (x)). Khi đó K/F là m t m r ng trư ng và [K : F ] = deg(f (x)). Ngô Th Ngoan, Nguy n Văn Hoàng Lý thuy t Galois
  6. L im đ u 1.1 M r ng trư ng Chương 1. M r ng trư ng 1.2 Trư ng phân rã c a đa th c Chương 2. Nhóm Galois 1.3 C u trúc trư ng h u h n Chương 3. Gi i đư c b ng căn th c • Bài t p Chương 1 Chương 4. M r ng Galois. Đ nh lý cơ b n c a lý thuy t Galois Ch ng minh Đ t d = deg(f (x)) và I = (f (x)). Khi đó K = F [x]/I là trư ng và là F -không gian véctơ.Đ t S = {1 + I, x + I, . . . , xd−1 + I}. Ta s ch ng t S là cơ s c a K.L y tùy ý g(x) ∈ F [x], khi đó t Đ nh lý phép chia v i dư, t n t i q(x), r(x) ∈ F [x] sao cho g(x) = f (x)q(x) + r(x), v i r(x) = a0 + a1 x + . . . + ad−1 xd−1 ∈ F [x]. Do đó g(x) + I = r(x) + I = a0 (1 + I) + a1 (x + I) + . . . + ad−1 (xd−1 + I). M t khác, gi s ∃b0 , b1 , . . . , bd−1 ∈ F sao cho b0 (1 + I) + b1 (x + I) + . . . + bd−1 (xd−1 + I) = 0, suy ra b0 + b1 x + . . . + bd−1 xd−1 chia h t cho f (x). Ch ng t b0 = b1 = . . . = bd−1 = 0. V y [K : F ] = deg(f (x)). Ngô Th Ngoan, Nguy n Văn Hoàng Lý thuy t Galois
  7. L im đ u 1.1 M r ng trư ng Chương 1. M r ng trư ng 1.2 Trư ng phân rã c a đa th c Chương 2. Nhóm Galois 1.3 C u trúc trư ng h u h n Chương 3. Gi i đư c b ng căn th c • Bài t p Chương 1 Chương 4. M r ng Galois. Đ nh lý cơ b n c a lý thuy t Galois Đ nh nghĩa 1.5 Cho E/F là m r ng trư ng và α1 , . . . , αn ∈ E. Khi đó trư ng con bé nh t c a E ch a F và α1 , . . . , αn , kí hi u là F (α1 , . . . , αn ), và nó đư c g i là m r ng c a F b ng cách ghép thêm các ph n t α1 , . . . , αn . Nh n xét 1.6 i) F (α1 , . . . , αn ) là giao c a m i trư ng con c a E ch a F và α1 , . . . , αn . ii) Khi n = 1 và α = α1 , ta g i F (α)/F là m r ng đơn. f (α1 , ..., αn ) iii) M i ph n t c a F (α1 , . . . , αn ) có d ng ,v i g(α1 , ..., αn ) f (x1 , ..., xn ), g(x1 , ..., xn ) ∈ F [x1 , . . . , xn ] và g(α1 , . . . , αn ) = 0. iv) Gi s E/F là m r ng trư ng và α ∈ E. Ta xét c u trúc c a F (α)/F như sau. Ngô Th Ngoan, Nguy n Văn Hoàng Lý thuy t Galois
  8. L im đ u 1.1 M r ng trư ng Chương 1. M r ng trư ng 1.2 Trư ng phân rã c a đa th c Chương 2. Nhóm Galois 1.3 C u trúc trư ng h u h n Chương 3. Gi i đư c b ng căn th c • Bài t p Chương 1 Chương 4. M r ng Galois. Đ nh lý cơ b n c a lý thuy t Galois Trư ng h p 1. α là ph n t đ i s trên F . L y f (x) ∈ F [x] − {0} là đa th c có b c bé nh t nh n α là nghi m. Khi đó f (x) là đa th c b t kh quy trên F . Xét ánh x δ : F [x] −→ F [α], g(x) −→ g(α), rõ ràng δ là toàn c u và có Ker δ = (f (x)). Do đó F [x]/(f (x)) ∼ F [α], suy ra F (α) ∼ F [α]. = = Trư ng √ p này ta nói F (α)/F là m r ng đơn đ i s .Ví d : h Q( 2) ∼ Q[x]/(x2 − 2). = Trư ng h p 2. α là ph n t siêu vi t trên F . Ánh x δ : F [x] −→ F [α], g(x) −→ g(α) là toàn c u, và có Ker δ = {g(x) ∈ F [x] | g(α) = 0} = 0. Suy ra F [α] ∼ F [x]. Do đó = F (α) ∼ F (x) = { h(x) | g(x), h(x) ∈ F [x], h(x) = 0}. = g(x) Trư ng h p này ta nói F (α)/F là m r ng đơn siêu vi t.Ví d : Q(π) ∼ Q(x). = Ngô Th Ngoan, Nguy n Văn Hoàng Lý thuy t Galois
  9. L im đ u 1.1 M r ng trư ng Chương 1. M r ng trư ng 1.2 Trư ng phân rã c a đa th c Chương 2. Nhóm Galois 1.3 C u trúc trư ng h u h n Chương 3. Gi i đư c b ng căn th c • Bài t p Chương 1 Chương 4. M r ng Galois. Đ nh lý cơ b n c a lý thuy t Galois Đ nh nghĩa 1.7 Cho E/F là m r ng trư ng. Khi đó - E/F đư c g i là m r ng h u h n n u [E : F ] < ∞. - E/F đư c g i là m r ng đ i s n u m i ph n t c a E đ u là ph n t đ i s trên F . B đ 1.8Cho E/K và K/F là các m r ng trư ng. Khi đó [E : F ] = [E : K][K : F ]. Do đó E/F là m r ng h u h n n u và ch n u c E/K và K/F là các m r ng h u h n. Ch ng minh L y {αi }i∈I là m t cơ s c a K-không gian vectơ E, và {βj }j∈J là m t cơ s c a F -không gian vectơ K. Khi đó ta ch ng minh đư c r ng {αi βj }(i,j)∈I×J là m t cơ s c a F -không gian vectơ E. Nh n xét 1.9 i) M i m r ng h u h n E/F là m r ng đ i s . Th t v y, gi s [E : F ] = n. L y α ∈ E. Khi đó 1, α, . . . , αn ph thu c tuy n tính. Nên ∃a0 , a1 , . . . , an ∈ F không đ ng th i b ng 0 đ a0 + a1 α + a2 α2 + . . . + an αn = 0. Suy ra α đ i s trên F . Ngô Th Ngoan, Nguy n Văn Hoàng Lý thuy t Galois
  10. L im đ u 1.1 M r ng trư ng Chương 1. M r ng trư ng 1.2 Trư ng phân rã c a đa th c Chương 2. Nhóm Galois 1.3 C u trúc trư ng h u h n Chương 3. Gi i đư c b ng căn th c • Bài t p Chương 1 Chương 4. M r ng Galois. Đ nh lý cơ b n c a lý thuy t Galois ii) M i m r ng đơn đ i s là m r ng h u h n. Th t v y, gi s E = F (α) v i α là ph n t đ i s trên F . L y f (x) ∈ F [x] là đa th c b t kh quy b c n nh n α là nghi m. Khi đó E = F [x]/(f (x)) ∼ { n−1 ai αi | ai ∈ F } = i=0 là F −không gian véc tơ chi u n. iii) Gi s E = F (α1 , . . . , αn ) v i α1 , . . . , α2 là ph n t đ i s trên F . Khi đó E/F là m r ng h u h n. Th t v y, có tháp trư ng F ⊆ F (α1 ) ⊆ F (α1 , α2 ) ⊆ . . . ⊆ F (α1 , . . . , αn ) = E, trong đó m i bư c là m t m r ng đơn đ i s . Vì th E/F là m r ng h u h n. iv) Nói chung, m t m r ng đ i s không là m r ng h u h n. Ch ng√ n, l y F = Q và E = Q(S). Trong đó h p S = { 2 | p là s nguyên t } ⊆ R và Q(S) là trư ng con nh nh t c a R ch a Q và S. Khi đó, E/F là m r ng đ i s nhưng không là m r ng h u h n. Ngô Th Ngoan, Nguy n Văn Hoàng Lý thuy t Galois
  11. L im đ u 1.1 M r ng trư ng Chương 1. M r ng trư ng 1.2 Trư ng phân rã c a đa th c Chương 2. Nhóm Galois 1.3 C u trúc trư ng h u h n Chương 3. Gi i đư c b ng căn th c • Bài t p Chương 1 Chương 4. M r ng Galois. Đ nh lý cơ b n c a lý thuy t Galois Đ nh nghĩa 1.10 i) Cho F là trư ng, và f (x) ∈ F [x] phân tích đư c thành tích các nhân t b t kh quy (không nh t thi t phân bi t) f (x) = p1 (x) . . . pk (x). Ta nói f (x) là đa th c tách đư c n u m i pi (x) không có nghi m b i. ii) Cho E/F là m r ng trư ng, khi đó α ∈ E đư c g i là ph n t tách đư c n u α siêu vi t trên F ho c đa th c t i ti u c a α (t c là, đa th c b t kh quy, h t cao nh t b ng 1 và nh n α là nghi m) là đa th c tách đư c. iii) M r ng trư ng E/F đư c g i là m r ng tách đư c n u m i ph n t c a E đ u là ph n t tách đư c. Ngô Th Ngoan, Nguy n Văn Hoàng Lý thuy t Galois
  12. L im đ u 1.1 M r ng trư ng Chương 1. M r ng trư ng 1.2 Trư ng phân rã c a đa th c Chương 2. Nhóm Galois 1.3 C u trúc trư ng h u h n Chương 3. Gi i đư c b ng căn th c • Bài t p Chương 1 Chương 4. M r ng Galois. Đ nh lý cơ b n c a lý thuy t Galois Đ nh nghĩa 1.11 Trư ng F đư c g i là trư ng hoàn thi n n u m i đa th c khác h ng trong F [x] đ u là đa th c tách đư c. Nh n xét 1.12 Cho p(x) ∈ F [x] là đa th c b t kh quy. N u đ o hàm p (x) = 0 thì deg(p (x)) < deg(p(x)). Do đó (p(x), p (x)) = 1, vì th t n t i u(x), v(x) ∈ F [x] sao cho 1 = u(x)p(x) + v(x)p (x). T đó, n u p(x) có nghi m b i α trong m t m r ng E ⊇ F thì α là m t nghi m chung c a p(x) và p (x); do đó 1 = u(α)p(α) + v(α)p (α) = 0 là đi u mâu thu n. V y p(x) không có nghi m b i, t c là p(x) tách đư c. Ngô Th Ngoan, Nguy n Văn Hoàng Lý thuy t Galois
  13. L im đ u 1.1 M r ng trư ng Chương 1. M r ng trư ng 1.2 Trư ng phân rã c a đa th c Chương 2. Nhóm Galois 1.3 C u trúc trư ng h u h n Chương 3. Gi i đư c b ng căn th c • Bài t p Chương 1 Chương 4. M r ng Galois. Đ nh lý cơ b n c a lý thuy t Galois 1.2 Trư ng phân rã c a đa th c Đ nh nghĩa 1.13 Cho m r ng trư ng E/F và f (x) ∈ F [x]. Ta nói f (x) phân rã trong E n u f (x) đư c vi t thành tích nh ng nhân t tuy n tính trong E[x]. Ta nói E là trư ng phân rã c a f (x) trên F n u f (x) phân rã trong E và nó không phân rã trong m i trư ng con th c s c a E (khi đó thư ng nói g n là E/F là trư ng phân rã c a f (x)). √ √ Ví d : f (x) = x2 − 2 ∈ Q[x]. Ta có f (x) = (x + 2)(x − 2) trong R[x], √ đó f (x) phân rã trong R. Ta cũng th y f (x) phân do √ rã trong Q( 2). Hơn n a, Q( 2) không có trư ng con trung √ √ gian nào gi a Q và √ 2) (vì n u √ n t i K sao cho Q ⊆ K ⊆ Q( 2), Q( t khi đó 2 = [Q( 2) : Q] = [Q( 2) : K][K : Q]; do đó [K : Q] = 1 √ √ ho √ [Q( 2) : K] = 1; suy ra K = Q( 2) ho c K = Q). V y c Q( 2) là trư ng phân rã c a f (x) trên Q. Ngô Th Ngoan, Nguy n Văn Hoàng Lý thuy t Galois
  14. L im đ u 1.1 M r ng trư ng Chương 1. M r ng trư ng 1.2 Trư ng phân rã c a đa th c Chương 2. Nhóm Galois 1.3 C u trúc trư ng h u h n Chương 3. Gi i đư c b ng căn th c • Bài t p Chương 1 Chương 4. M r ng Galois. Đ nh lý cơ b n c a lý thuy t Galois Đ nh lý 1.14 Cho F là m t trư ng và f (x) ∈ F [x] là đa th c có b c dương. Khi đó luôn t n t i trư ng phân rã E c a f (x) trên F . Ch ng minh Đ t n = deg(f (x)). Ta ch ng minh b ng b ng quy n p theo n. Khi n = 1, ta ch n E = F . Gi s n > 1. Ta l y p(x) là m t ư c b t kh quy c a f (x), khi đó deg(p(x)) ≥ 1. Đ t K = F [x]/(p(x)), ta th y F ⊆ K là m t m r ng trư ng và p(x) có m t nghi m α1 ∈ K. Trong K[x], đa th c f (x) vi t đư c f (x) = (x − α1 )g(x), v i deg(g(x)) = n − 1. Áp d ng gi thi t quy n p đ i v i trư ng K và đa th c g(x), suy ra t n t i trư ng phân rã T c a đa th c g(x) trên K. Do đó g(x) có n − 1 nghi m α2 , . . . , αn ∈ T (đây cũng là các nghi m c a f (x)). Đ t E = F (α1 , . . . , αn ), suy ra E là trư ng phân rã c a f (x) trên F . Ví d : Trư ng phân rã c a f (x) = x2 + 1 trên Q là Q(i); trư ng phân rã c a f (x) = x2 + 1 trên R là C = R(i). Ngô Th Ngoan, Nguy n Văn Hoàng Lý thuy t Galois
  15. L im đ u 1.1 M r ng trư ng Chương 1. M r ng trư ng 1.2 Trư ng phân rã c a đa th c Chương 2. Nhóm Galois 1.3 C u trúc trư ng h u h n Chương 3. Gi i đư c b ng căn th c • Bài t p Chương 1 Chương 4. M r ng Galois. Đ nh lý cơ b n c a lý thuy t Galois B đ 1.15 Cho ϕ : F → F , a −→ a là m t đ ng c u trư ng. Khi đó ta có đ ng c u vành c m sinh ϕ∗ : F [x] → F [x], f (x) = n ai xi −→ n ai xi = f (x). Gi s p(x) ∈ F [x] là i=0 i=0 đa th c b t kh quy trên F và g i p(x) = ϕ∗ (p(x)) ∈ F [x]. G i α và α th t là nghi m c a p(x) và p(x). Khi đó có duy nh t đ ng c u trư ng ϕ : F (α) → F (α) m r ng ϕ và ϕ(α) = α. Ch ng minh Ta có nh n xét p(x) và p(x) cùng có b c và cùng b t kh quy. T gi thi t ta có các đ ng c u u : F (α) ∼ F [x]/(p(x)), f (α) −→ f (x) + (p(x)); = ϕ ∗ : F [x]/(p(x)) → F [x]/(p(x)), f (x) + (p(x)) −→ f (x) + (p(x)); v : F (α) ∼ F [x]/(p(x)), f (α) −→ f (x) + (p(x)). = Đ t ϕ = v −1 ϕ∗ u, khi đó ϕ : F (α) → F (α) th a mãn B đ . Gi s t n t i ψ : F (α) → F (α) là m r ng c a ϕ và ψ(α) = α. Khi đó, v i m i f (α) = n ai αi ∈ F (α), ta có i=0 ψ(f (α)) = f (α) = ϕ(f (α)). V y ψ = ϕ. Ngô Th Ngoan, Nguy n Văn Hoàng Lý thuy t Galois
  16. L im đ u 1.1 M r ng trư ng Chương 1. M r ng trư ng 1.2 Trư ng phân rã c a đa th c Chương 2. Nhóm Galois 1.3 C u trúc trư ng h u h n Chương 3. Gi i đư c b ng căn th c • Bài t p Chương 1 Chương 4. M r ng Galois. Đ nh lý cơ b n c a lý thuy t Galois H qu 1.16 Cho p(x) là đa th c b t kh quy và α, β là hai nghi m c a p(x). Khi đó t n t i duy nh t m t đ ng c u trư ng ϕ : F (α) → F (β) là m r ng c a idF và ϕ(α) = β. Ch ng minh K t qu đư c suy ra t B đ 1.15, b ng cách ch n F = F và ϕ = idF . Đ nh lý 1.17 Cho ϕ : F → F , a −→ a là m t đ ng c u trư ng. Cho f (x) = n ai xi ∈ F [x] và l y f (x) = n ai xi ∈ F [x] là i=0 i=0 đa th c tương ng v i f (x) qua ϕ∗ (v i ϕ∗ như trong B đ 1.15). L y E là trư ng phân rã c a f (x) trên F , và l y E là trư ng phân rã c a f (x) trên F . Khi đó ∼ (i) T n t i m t đ ng c u trư ng ϕ : E → E là m r ng c a ϕ. ∼ (ii) N u f (x) tách đư c thì có chính xác [E : F ] m r ng ϕ c a ϕ. Ngô Th Ngoan, Nguy n Văn Hoàng Lý thuy t Galois
  17. L im đ u 1.1 M r ng trư ng Chương 1. M r ng trư ng 1.2 Trư ng phân rã c a đa th c Chương 2. Nhóm Galois 1.3 C u trúc trư ng h u h n Chương 3. Gi i đư c b ng căn th c • Bài t p Chương 1 Chương 4. M r ng Galois. Đ nh lý cơ b n c a lý thuy t Galois Ch ng minh Ta có nh n xét deg(f (x)) = deg(f (x)). (i) Ta ch ng minh b ng quy n p theo [E : F ] ≥ 1. N u [E : F ] = 1 thì E = F và f (x) phân rã trong F ; khi đó f (x) cũng ∼ phân rã trong F ; vì th E = F . Do đó ta l y ϕ = ϕ. Gi s [E : F ] > 1, khi đó t n t i nhân t b t kh quy p(x) c a f (x) có deg(p(x)) ≥ 2. G i α ∈ E là m t nghi m c a p(x). L y p(x) = ϕ∗ (p(x)) ∈ F [x] và g i α ∈ E là m t nghi m c a p(x). T đó theo B đ 1.15, t n t i đ ng c u ϕ : F (α) → F (α) là m r ng c a ϕ và ϕ(α) = α. Lưu ý r ng E và E l n lư t cũng là trư ng phân rã c a f (x) trên F (α) và c a f (x) trên F (α). Vì [E : F ] = [E : F (α)][F (α) : F ] và [F (α) : F ] = deg(p(x)) ≥ 2, nên [E : F (α)] < [E : F ]. T đó theo gi thi t quy n p, t n t i ∼ ∼ đ ng c u trư ng ϕ : E → E là m r ng c a ϕ, do đó ϕ là m r ng c a ϕ. Ngô Th Ngoan, Nguy n Văn Hoàng Lý thuy t Galois
  18. L im đ u 1.1 M r ng trư ng Chương 1. M r ng trư ng 1.2 Trư ng phân rã c a đa th c Chương 2. Nhóm Galois 1.3 C u trúc trư ng h u h n Chương 3. Gi i đư c b ng căn th c • Bài t p Chương 1 Chương 4. M r ng Galois. Đ nh lý cơ b n c a lý thuy t Galois (ii) Ta cũng quy n p theo [E : F ]. N u [E : F ] = 1 thì E = F và ∼ ch có duy nh t m r ng ϕ c a ϕ, chính là ϕ. Gi s [E : F ] > 1, và p(x) là nhân t b t kh quy c a f (x) có deg(p(x)) = d ≥ 2. ∼ L y α ∈ E là m t nghi m c a p(x). Gi s ϕ : E → E là m t m ∼ r ng tùy ý c a ϕ. Khi đó n u đ t α = ϕ(α) thì α là m t nghi m ∼ ∼ c a p(x). Ta th y ϕ(F (α)) = F (α), do đó ϕ|F (α) : F (α) → F (α) là m t đ ng c u trư ng, và là m t m r ng c a ϕ. Như v y m i ∼ đ ng c u trư ng ϕ : E → E mà là m t m r ng tùy ý c a ϕ, đ u thu đư c b ng cách m r ng t ϕ qua hai bư c: th nh t ta m r ng t ϕ lên đ ng c u ϕ : F (α) → F (α) (trong đó α, α l n lư t ∼ là nghi m c a p(x), p(x)), th hai ta m r ng t ϕ lên ϕ. Ngô Th Ngoan, Nguy n Văn Hoàng Lý thuy t Galois
  19. L im đ u 1.1 M r ng trư ng Chương 1. M r ng trư ng 1.2 Trư ng phân rã c a đa th c Chương 2. Nhóm Galois 1.3 C u trúc trư ng h u h n Chương 3. Gi i đư c b ng căn th c • Bài t p Chương 1 Chương 4. M r ng Galois. Đ nh lý cơ b n c a lý thuy t Galois - Vì f (x) tách đư c nên p(x) có d nghi m phân bi t α. Khi đó, t B đ 1.15, ta có d đ ng c u trư ng ϕ : F (α) → F (α) là m r ng c a ϕ, tương ng v i d nghi m α. Lưu ý r ng E cũng là trư ng phân rã c a f (x) trên F (α), và E cũng là trư ng phân rã c a f (x) trên F (α); hơn n a [E : F (α)] = [E : F ]/d < [E : F ]. T đó và t gi thi t quy n p ta suy ra r ng ng v i m i m t trong s d đ ng c u ϕ như trên có chính xác [E : F ]/d đ ng c u trư ng ∼ ϕ : E → E là m r ng c a ϕ; do đó có t t c là d × ([E : F ]/d) = [E : F ] m r ng c a ϕ theo cách như trên. H qu 1.18 (Tính duy nh t c a trư ng phân rã) Cho f (x) ∈ F [x] là đa th c có b c dương. Khi đó trư ng phân rã c a f (x) trên F là duy nh t sai khác m t đ ng c u gi nguyên các ph n t c a F . Ngô Th Ngoan, Nguy n Văn Hoàng Lý thuy t Galois
  20. L im đ u 1.1 M r ng trư ng Chương 1. M r ng trư ng 1.2 Trư ng phân rã c a đa th c Chương 2. Nhóm Galois 1.3 C u trúc trư ng h u h n Chương 3. Gi i đư c b ng căn th c • Bài t p Chương 1 Chương 4. M r ng Galois. Đ nh lý cơ b n c a lý thuy t Galois Nh n xét 1.19 T ch ng minh Đ nh lý 1.14 và H qu 1.18, ta th y: n u f (x) ∈ F [x] có b c n > 0 và có n nghi m α1 , . . . , αn thì trư ng phân rã c a f (x) trên F là E = F (α1 , . . . , αn ). Ví d . Xét f (x) = x3 − 2 ∈ Q[x]. Ta th y f (x) có 3 nghi m là √ α, αε, αε2 (v i α = 3 2 ∈ R, và ε là m t căn nguyên th y b c 3 c a đơn v .) Khi đó trư ng phân rã E c a f (x) trên Q là E = Q(α, αε, αε2 ). Rút g n ta đư c E = Q(α, ε). Th t v y, ta có α, α ∈ E, suy ra = α−1 (α ) ∈ E. Ngô Th Ngoan, Nguy n Văn Hoàng Lý thuy t Galois
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

LV.09: Bộ Luận Văn Tốt Nghiệp Chuyên Ngành Quản Trị Kinh Doanh
81 tài liệu
1643 lượt tải
THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2