intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Đề tài nghiên cứu khoa học: Bài giảng điện tử môn "Lý thuyết Galoa" theo hướng tích cực hóa nhận thức người học

Chia sẻ: Minh Van Thuan | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:115

Thêm vào BST
Báo xấu
158
lượt xem 29
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề tài nghiên cứu khoa học: Bài giảng điện tử môn "Lý thuyết Galoa" theo hướng tích cực hóa nhận thức người học trình bày bốn chương, với các nội dung về mở rộng thị trường; nhóm Galois; giải được bằng căn thức; mở rộng Galois và định lý cơ bản của lý thuyết Galois.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề tài nghiên cứu khoa học: Bài giảng điện tử môn "Lý thuyết Galoa" theo hướng tích cực hóa nhận thức người học

  1. L im đ u Chương 1. M r ng trư ng Chương 2. Nhóm Galois Chương 3. Gi i đư c b ng căn th c Chương 4. M r ng Galois. Đ nh lý cơ b n c a lý thuy t Galois Đ tài NCKH "Bài gi ng đi n t môn ’Lý thuy t Galoa’ theo hư ng tích c c hóa nh n th c ngư i h c" Ch nhi m đ tài: Ths. Ngô Th Ngoan Đ I H C KHOA H C - ĐHTN Thành viên tham gia: TS. Nguy n Văn Hoàng Ngô Th Ngoan, Nguy n Văn Hoàng Lý thuy t Galois
  2. L im đ u Chương 1. M r ng trư ng Chương 2. Nhóm Galois Chương 3. Gi i đư c b ng căn th c Chương 4. M r ng Galois. Đ nh lý cơ b n c a lý thuy t Galois L im đ u - Lý thuy t Galois là s phiên d ch và k t n i c a lý thuy t v đa th c, lý thuy t trư ng và lý thuy t nhóm. Công th c nghi m (ch s d ng các phép toán đ i s trên các h s c a đa th c) c a đa th c b c hai đã đư c con ngư i bi t t r t lâu. Đ n gi a th k 16, công th c nghi m c a đa th c b c ba đư c hình thành, sau đó kho ng ba trăm năm, d a trên ý tư ng c a Largrange và Cauchy, Abel đã ch ng minh không có công th c nghi m c a đa th c b c năm. Đ n năm 1829, Abel đã đưa ra đi u ki n đ đ m t đa th c v i b c tùy ý có công th c nghi m. Ngay sau đó, năm 1831 Galois phát minh ra s k t n i gi a nhóm v i m i đa th c, s d ng các tính ch t c a nhóm này, đưa ra đi u ki n c n và đ đ m t đa th c có công th c nghi m. Ngô Th Ngoan, Nguy n Văn Hoàng Lý thuy t Galois
  3. L im đ u Chương 1. M r ng trư ng Chương 2. Nhóm Galois Chương 3. Gi i đư c b ng căn th c Chương 4. M r ng Galois. Đ nh lý cơ b n c a lý thuy t Galois - M c tiêu c a môn h c Lý thuy t Galois là tìm hi u ki n th c đ th y đư c s k t n i đó và đ n đư c Đ nh lý L n c a Galois chính là đi u ki n c n và đ đ m t đa th c gi i đư c b ng căn th c. - Môn h c Lý thuy t Galois là môn h c r t hay, c n thi t và là môn h c khó. Nó đòi h i sinh viên n m v ng các ki n th c c a nhi u môn h c: Đ i s Đ i cương, Đa th c, Lý thuy t nhóm, Lý thuy t trư ng. Th i gian trên l p quá ít cho vi c gi ng d y và h c t p c a th y và trò. - Vì v y chúng tôi ch n đ tài thi t k bài gi ng đi n t cho môn h c này đ gi m b t áp l c v th i gian và ki n th c. Mong mu n các em có th h c t t môn h c và th y yêu thích nó, th y đư c s đ p đ c a toán h c trong m i quan h ch t ch gi a các lĩnh v c c a toán h c. Ngô Th Ngoan, Nguy n Văn Hoàng Lý thuy t Galois
  4. L im đ u 1.1 M r ng trư ng Chương 1. M r ng trư ng 1.2 Trư ng phân rã c a đa th c Chương 2. Nhóm Galois 1.3 C u trúc trư ng h u h n Chương 3. Gi i đư c b ng căn th c • Bài t p Chương 1 Chương 4. M r ng Galois. Đ nh lý cơ b n c a lý thuy t Galois 1.1 M r ng trư ng B đ 1.1 Cho F là trư ng và f (x) ∈ F [x] là đa th c b t kh quy. Khi đó K = F [x]/(f (x)) là trư ng và x = x + (f (x)) là m t nghi m c a f (x). Hơn n a ta có đơn c u ϕ : F −→ K, do đó ta có th coi F là trư ng con c a K. Ch ng minh - Đ t I = (f (x)). Vì f (x) b t kh quy nên K = F [x]/I là vành giao hoán khác 0. L y g(x) + I ∈ K sao cho g(x) ∈ I. Khi đó (g(x), f (x)) = 1. Suy ra t n t i / q(x), p(x) ∈ F [x] sao cho 1 = q(x)g(x) + p(x)f (x). T đó 1 + I = q(x)g(x) + I = (q(x) + I)(g(x) + I). Ch ng t g(x) + I kh ngh ch trong K, do v y K là trư ng. Ta th y ϕ : F −→ K, a −→ a + I là m t đơn c u. Đ t x = x + I ∈ K. Gi s f (x) = n ai xi . Khi đó f (x) = n ai xi = n (ai xi + I) i=0 i=0 i=0 = ( n ai xi ) + I = f (x) + I = 0. Suy ra x là nghi m c a f (x). i=0 Ngô Th Ngoan, Nguy n Văn Hoàng Lý thuy t Galois
  5. L im đ u 1.1 M r ng trư ng Chương 1. M r ng trư ng 1.2 Trư ng phân rã c a đa th c Chương 2. Nhóm Galois 1.3 C u trúc trư ng h u h n Chương 3. Gi i đư c b ng căn th c • Bài t p Chương 1 Chương 4. M r ng Galois. Đ nh lý cơ b n c a lý thuy t Galois Đ nh nghĩa 1.2 Cho F là trư ng con c a trư ng K. Khi đó quan h F ⊆ K đư c g i là m t m r ng trư ng, nó còn đư c kí hi u b i K/F . M t dãy các m r ng trư ng F1 ⊆ F2 ⊆ . . . ⊆ Fn , thư ng đư c g i là m t tháp các trư ng. Chú ý 1.3 N u K/F là m t m r ng trư ng, thì K là m t F -không gian véctơ, trong đó phép nhân m t ph n t c a F v i m t véctơ c a K xác đ nh b i F × K −→ K, (a, x) −→ ax. Kí hi u [K : F ] = dimF K và g i là b c c a m r ng trư ng. Đ nh lý 1.4 Cho f (x) ∈ F [x] là đa th c b t kh quy, đ t K = F [x]/(f (x)). Khi đó K/F là m t m r ng trư ng và [K : F ] = deg(f (x)). Ngô Th Ngoan, Nguy n Văn Hoàng Lý thuy t Galois
  6. L im đ u 1.1 M r ng trư ng Chương 1. M r ng trư ng 1.2 Trư ng phân rã c a đa th c Chương 2. Nhóm Galois 1.3 C u trúc trư ng h u h n Chương 3. Gi i đư c b ng căn th c • Bài t p Chương 1 Chương 4. M r ng Galois. Đ nh lý cơ b n c a lý thuy t Galois Ch ng minh Đ t d = deg(f (x)) và I = (f (x)). Khi đó K = F [x]/I là trư ng và là F -không gian véctơ.Đ t S = {1 + I, x + I, . . . , xd−1 + I}. Ta s ch ng t S là cơ s c a K.L y tùy ý g(x) ∈ F [x], khi đó t Đ nh lý phép chia v i dư, t n t i q(x), r(x) ∈ F [x] sao cho g(x) = f (x)q(x) + r(x), v i r(x) = a0 + a1 x + . . . + ad−1 xd−1 ∈ F [x]. Do đó g(x) + I = r(x) + I = a0 (1 + I) + a1 (x + I) + . . . + ad−1 (xd−1 + I). M t khác, gi s ∃b0 , b1 , . . . , bd−1 ∈ F sao cho b0 (1 + I) + b1 (x + I) + . . . + bd−1 (xd−1 + I) = 0, suy ra b0 + b1 x + . . . + bd−1 xd−1 chia h t cho f (x). Ch ng t b0 = b1 = . . . = bd−1 = 0. V y [K : F ] = deg(f (x)). Ngô Th Ngoan, Nguy n Văn Hoàng Lý thuy t Galois
  7. L im đ u 1.1 M r ng trư ng Chương 1. M r ng trư ng 1.2 Trư ng phân rã c a đa th c Chương 2. Nhóm Galois 1.3 C u trúc trư ng h u h n Chương 3. Gi i đư c b ng căn th c • Bài t p Chương 1 Chương 4. M r ng Galois. Đ nh lý cơ b n c a lý thuy t Galois Đ nh nghĩa 1.5 Cho E/F là m r ng trư ng và α1 , . . . , αn ∈ E. Khi đó trư ng con bé nh t c a E ch a F và α1 , . . . , αn , kí hi u là F (α1 , . . . , αn ), và nó đư c g i là m r ng c a F b ng cách ghép thêm các ph n t α1 , . . . , αn . Nh n xét 1.6 i) F (α1 , . . . , αn ) là giao c a m i trư ng con c a E ch a F và α1 , . . . , αn . ii) Khi n = 1 và α = α1 , ta g i F (α)/F là m r ng đơn. f (α1 , ..., αn ) iii) M i ph n t c a F (α1 , . . . , αn ) có d ng ,v i g(α1 , ..., αn ) f (x1 , ..., xn ), g(x1 , ..., xn ) ∈ F [x1 , . . . , xn ] và g(α1 , . . . , αn ) = 0. iv) Gi s E/F là m r ng trư ng và α ∈ E. Ta xét c u trúc c a F (α)/F như sau. Ngô Th Ngoan, Nguy n Văn Hoàng Lý thuy t Galois
  8. L im đ u 1.1 M r ng trư ng Chương 1. M r ng trư ng 1.2 Trư ng phân rã c a đa th c Chương 2. Nhóm Galois 1.3 C u trúc trư ng h u h n Chương 3. Gi i đư c b ng căn th c • Bài t p Chương 1 Chương 4. M r ng Galois. Đ nh lý cơ b n c a lý thuy t Galois Trư ng h p 1. α là ph n t đ i s trên F . L y f (x) ∈ F [x] − {0} là đa th c có b c bé nh t nh n α là nghi m. Khi đó f (x) là đa th c b t kh quy trên F . Xét ánh x δ : F [x] −→ F [α], g(x) −→ g(α), rõ ràng δ là toàn c u và có Ker δ = (f (x)). Do đó F [x]/(f (x)) ∼ F [α], suy ra F (α) ∼ F [α]. = = Trư ng √ p này ta nói F (α)/F là m r ng đơn đ i s .Ví d : h Q( 2) ∼ Q[x]/(x2 − 2). = Trư ng h p 2. α là ph n t siêu vi t trên F . Ánh x δ : F [x] −→ F [α], g(x) −→ g(α) là toàn c u, và có Ker δ = {g(x) ∈ F [x] | g(α) = 0} = 0. Suy ra F [α] ∼ F [x]. Do đó = F (α) ∼ F (x) = { h(x) | g(x), h(x) ∈ F [x], h(x) = 0}. = g(x) Trư ng h p này ta nói F (α)/F là m r ng đơn siêu vi t.Ví d : Q(π) ∼ Q(x). = Ngô Th Ngoan, Nguy n Văn Hoàng Lý thuy t Galois
  9. L im đ u 1.1 M r ng trư ng Chương 1. M r ng trư ng 1.2 Trư ng phân rã c a đa th c Chương 2. Nhóm Galois 1.3 C u trúc trư ng h u h n Chương 3. Gi i đư c b ng căn th c • Bài t p Chương 1 Chương 4. M r ng Galois. Đ nh lý cơ b n c a lý thuy t Galois Đ nh nghĩa 1.7 Cho E/F là m r ng trư ng. Khi đó - E/F đư c g i là m r ng h u h n n u [E : F ] < ∞. - E/F đư c g i là m r ng đ i s n u m i ph n t c a E đ u là ph n t đ i s trên F . B đ 1.8Cho E/K và K/F là các m r ng trư ng. Khi đó [E : F ] = [E : K][K : F ]. Do đó E/F là m r ng h u h n n u và ch n u c E/K và K/F là các m r ng h u h n. Ch ng minh L y {αi }i∈I là m t cơ s c a K-không gian vectơ E, và {βj }j∈J là m t cơ s c a F -không gian vectơ K. Khi đó ta ch ng minh đư c r ng {αi βj }(i,j)∈I×J là m t cơ s c a F -không gian vectơ E. Nh n xét 1.9 i) M i m r ng h u h n E/F là m r ng đ i s . Th t v y, gi s [E : F ] = n. L y α ∈ E. Khi đó 1, α, . . . , αn ph thu c tuy n tính. Nên ∃a0 , a1 , . . . , an ∈ F không đ ng th i b ng 0 đ a0 + a1 α + a2 α2 + . . . + an αn = 0. Suy ra α đ i s trên F . Ngô Th Ngoan, Nguy n Văn Hoàng Lý thuy t Galois
  10. L im đ u 1.1 M r ng trư ng Chương 1. M r ng trư ng 1.2 Trư ng phân rã c a đa th c Chương 2. Nhóm Galois 1.3 C u trúc trư ng h u h n Chương 3. Gi i đư c b ng căn th c • Bài t p Chương 1 Chương 4. M r ng Galois. Đ nh lý cơ b n c a lý thuy t Galois ii) M i m r ng đơn đ i s là m r ng h u h n. Th t v y, gi s E = F (α) v i α là ph n t đ i s trên F . L y f (x) ∈ F [x] là đa th c b t kh quy b c n nh n α là nghi m. Khi đó E = F [x]/(f (x)) ∼ { n−1 ai αi | ai ∈ F } = i=0 là F −không gian véc tơ chi u n. iii) Gi s E = F (α1 , . . . , αn ) v i α1 , . . . , α2 là ph n t đ i s trên F . Khi đó E/F là m r ng h u h n. Th t v y, có tháp trư ng F ⊆ F (α1 ) ⊆ F (α1 , α2 ) ⊆ . . . ⊆ F (α1 , . . . , αn ) = E, trong đó m i bư c là m t m r ng đơn đ i s . Vì th E/F là m r ng h u h n. iv) Nói chung, m t m r ng đ i s không là m r ng h u h n. Ch ng√ n, l y F = Q và E = Q(S). Trong đó h p S = { 2 | p là s nguyên t } ⊆ R và Q(S) là trư ng con nh nh t c a R ch a Q và S. Khi đó, E/F là m r ng đ i s nhưng không là m r ng h u h n. Ngô Th Ngoan, Nguy n Văn Hoàng Lý thuy t Galois
  11. L im đ u 1.1 M r ng trư ng Chương 1. M r ng trư ng 1.2 Trư ng phân rã c a đa th c Chương 2. Nhóm Galois 1.3 C u trúc trư ng h u h n Chương 3. Gi i đư c b ng căn th c • Bài t p Chương 1 Chương 4. M r ng Galois. Đ nh lý cơ b n c a lý thuy t Galois Đ nh nghĩa 1.10 i) Cho F là trư ng, và f (x) ∈ F [x] phân tích đư c thành tích các nhân t b t kh quy (không nh t thi t phân bi t) f (x) = p1 (x) . . . pk (x). Ta nói f (x) là đa th c tách đư c n u m i pi (x) không có nghi m b i. ii) Cho E/F là m r ng trư ng, khi đó α ∈ E đư c g i là ph n t tách đư c n u α siêu vi t trên F ho c đa th c t i ti u c a α (t c là, đa th c b t kh quy, h t cao nh t b ng 1 và nh n α là nghi m) là đa th c tách đư c. iii) M r ng trư ng E/F đư c g i là m r ng tách đư c n u m i ph n t c a E đ u là ph n t tách đư c. Ngô Th Ngoan, Nguy n Văn Hoàng Lý thuy t Galois
  12. L im đ u 1.1 M r ng trư ng Chương 1. M r ng trư ng 1.2 Trư ng phân rã c a đa th c Chương 2. Nhóm Galois 1.3 C u trúc trư ng h u h n Chương 3. Gi i đư c b ng căn th c • Bài t p Chương 1 Chương 4. M r ng Galois. Đ nh lý cơ b n c a lý thuy t Galois Đ nh nghĩa 1.11 Trư ng F đư c g i là trư ng hoàn thi n n u m i đa th c khác h ng trong F [x] đ u là đa th c tách đư c. Nh n xét 1.12 Cho p(x) ∈ F [x] là đa th c b t kh quy. N u đ o hàm p (x) = 0 thì deg(p (x)) < deg(p(x)). Do đó (p(x), p (x)) = 1, vì th t n t i u(x), v(x) ∈ F [x] sao cho 1 = u(x)p(x) + v(x)p (x). T đó, n u p(x) có nghi m b i α trong m t m r ng E ⊇ F thì α là m t nghi m chung c a p(x) và p (x); do đó 1 = u(α)p(α) + v(α)p (α) = 0 là đi u mâu thu n. V y p(x) không có nghi m b i, t c là p(x) tách đư c. Ngô Th Ngoan, Nguy n Văn Hoàng Lý thuy t Galois
  13. L im đ u 1.1 M r ng trư ng Chương 1. M r ng trư ng 1.2 Trư ng phân rã c a đa th c Chương 2. Nhóm Galois 1.3 C u trúc trư ng h u h n Chương 3. Gi i đư c b ng căn th c • Bài t p Chương 1 Chương 4. M r ng Galois. Đ nh lý cơ b n c a lý thuy t Galois 1.2 Trư ng phân rã c a đa th c Đ nh nghĩa 1.13 Cho m r ng trư ng E/F và f (x) ∈ F [x]. Ta nói f (x) phân rã trong E n u f (x) đư c vi t thành tích nh ng nhân t tuy n tính trong E[x]. Ta nói E là trư ng phân rã c a f (x) trên F n u f (x) phân rã trong E và nó không phân rã trong m i trư ng con th c s c a E (khi đó thư ng nói g n là E/F là trư ng phân rã c a f (x)). √ √ Ví d : f (x) = x2 − 2 ∈ Q[x]. Ta có f (x) = (x + 2)(x − 2) trong R[x], √ đó f (x) phân rã trong R. Ta cũng th y f (x) phân do √ rã trong Q( 2). Hơn n a, Q( 2) không có trư ng con trung √ √ gian nào gi a Q và √ 2) (vì n u √ n t i K sao cho Q ⊆ K ⊆ Q( 2), Q( t khi đó 2 = [Q( 2) : Q] = [Q( 2) : K][K : Q]; do đó [K : Q] = 1 √ √ ho √ [Q( 2) : K] = 1; suy ra K = Q( 2) ho c K = Q). V y c Q( 2) là trư ng phân rã c a f (x) trên Q. Ngô Th Ngoan, Nguy n Văn Hoàng Lý thuy t Galois
  14. L im đ u 1.1 M r ng trư ng Chương 1. M r ng trư ng 1.2 Trư ng phân rã c a đa th c Chương 2. Nhóm Galois 1.3 C u trúc trư ng h u h n Chương 3. Gi i đư c b ng căn th c • Bài t p Chương 1 Chương 4. M r ng Galois. Đ nh lý cơ b n c a lý thuy t Galois Đ nh lý 1.14 Cho F là m t trư ng và f (x) ∈ F [x] là đa th c có b c dương. Khi đó luôn t n t i trư ng phân rã E c a f (x) trên F . Ch ng minh Đ t n = deg(f (x)). Ta ch ng minh b ng b ng quy n p theo n. Khi n = 1, ta ch n E = F . Gi s n > 1. Ta l y p(x) là m t ư c b t kh quy c a f (x), khi đó deg(p(x)) ≥ 1. Đ t K = F [x]/(p(x)), ta th y F ⊆ K là m t m r ng trư ng và p(x) có m t nghi m α1 ∈ K. Trong K[x], đa th c f (x) vi t đư c f (x) = (x − α1 )g(x), v i deg(g(x)) = n − 1. Áp d ng gi thi t quy n p đ i v i trư ng K và đa th c g(x), suy ra t n t i trư ng phân rã T c a đa th c g(x) trên K. Do đó g(x) có n − 1 nghi m α2 , . . . , αn ∈ T (đây cũng là các nghi m c a f (x)). Đ t E = F (α1 , . . . , αn ), suy ra E là trư ng phân rã c a f (x) trên F . Ví d : Trư ng phân rã c a f (x) = x2 + 1 trên Q là Q(i); trư ng phân rã c a f (x) = x2 + 1 trên R là C = R(i). Ngô Th Ngoan, Nguy n Văn Hoàng Lý thuy t Galois
  15. L im đ u 1.1 M r ng trư ng Chương 1. M r ng trư ng 1.2 Trư ng phân rã c a đa th c Chương 2. Nhóm Galois 1.3 C u trúc trư ng h u h n Chương 3. Gi i đư c b ng căn th c • Bài t p Chương 1 Chương 4. M r ng Galois. Đ nh lý cơ b n c a lý thuy t Galois B đ 1.15 Cho ϕ : F → F , a −→ a là m t đ ng c u trư ng. Khi đó ta có đ ng c u vành c m sinh ϕ∗ : F [x] → F [x], f (x) = n ai xi −→ n ai xi = f (x). Gi s p(x) ∈ F [x] là i=0 i=0 đa th c b t kh quy trên F và g i p(x) = ϕ∗ (p(x)) ∈ F [x]. G i α và α th t là nghi m c a p(x) và p(x). Khi đó có duy nh t đ ng c u trư ng ϕ : F (α) → F (α) m r ng ϕ và ϕ(α) = α. Ch ng minh Ta có nh n xét p(x) và p(x) cùng có b c và cùng b t kh quy. T gi thi t ta có các đ ng c u u : F (α) ∼ F [x]/(p(x)), f (α) −→ f (x) + (p(x)); = ϕ ∗ : F [x]/(p(x)) → F [x]/(p(x)), f (x) + (p(x)) −→ f (x) + (p(x)); v : F (α) ∼ F [x]/(p(x)), f (α) −→ f (x) + (p(x)). = Đ t ϕ = v −1 ϕ∗ u, khi đó ϕ : F (α) → F (α) th a mãn B đ . Gi s t n t i ψ : F (α) → F (α) là m r ng c a ϕ và ψ(α) = α. Khi đó, v i m i f (α) = n ai αi ∈ F (α), ta có i=0 ψ(f (α)) = f (α) = ϕ(f (α)). V y ψ = ϕ. Ngô Th Ngoan, Nguy n Văn Hoàng Lý thuy t Galois
  16. L im đ u 1.1 M r ng trư ng Chương 1. M r ng trư ng 1.2 Trư ng phân rã c a đa th c Chương 2. Nhóm Galois 1.3 C u trúc trư ng h u h n Chương 3. Gi i đư c b ng căn th c • Bài t p Chương 1 Chương 4. M r ng Galois. Đ nh lý cơ b n c a lý thuy t Galois H qu 1.16 Cho p(x) là đa th c b t kh quy và α, β là hai nghi m c a p(x). Khi đó t n t i duy nh t m t đ ng c u trư ng ϕ : F (α) → F (β) là m r ng c a idF và ϕ(α) = β. Ch ng minh K t qu đư c suy ra t B đ 1.15, b ng cách ch n F = F và ϕ = idF . Đ nh lý 1.17 Cho ϕ : F → F , a −→ a là m t đ ng c u trư ng. Cho f (x) = n ai xi ∈ F [x] và l y f (x) = n ai xi ∈ F [x] là i=0 i=0 đa th c tương ng v i f (x) qua ϕ∗ (v i ϕ∗ như trong B đ 1.15). L y E là trư ng phân rã c a f (x) trên F , và l y E là trư ng phân rã c a f (x) trên F . Khi đó ∼ (i) T n t i m t đ ng c u trư ng ϕ : E → E là m r ng c a ϕ. ∼ (ii) N u f (x) tách đư c thì có chính xác [E : F ] m r ng ϕ c a ϕ. Ngô Th Ngoan, Nguy n Văn Hoàng Lý thuy t Galois
  17. L im đ u 1.1 M r ng trư ng Chương 1. M r ng trư ng 1.2 Trư ng phân rã c a đa th c Chương 2. Nhóm Galois 1.3 C u trúc trư ng h u h n Chương 3. Gi i đư c b ng căn th c • Bài t p Chương 1 Chương 4. M r ng Galois. Đ nh lý cơ b n c a lý thuy t Galois Ch ng minh Ta có nh n xét deg(f (x)) = deg(f (x)). (i) Ta ch ng minh b ng quy n p theo [E : F ] ≥ 1. N u [E : F ] = 1 thì E = F và f (x) phân rã trong F ; khi đó f (x) cũng ∼ phân rã trong F ; vì th E = F . Do đó ta l y ϕ = ϕ. Gi s [E : F ] > 1, khi đó t n t i nhân t b t kh quy p(x) c a f (x) có deg(p(x)) ≥ 2. G i α ∈ E là m t nghi m c a p(x). L y p(x) = ϕ∗ (p(x)) ∈ F [x] và g i α ∈ E là m t nghi m c a p(x). T đó theo B đ 1.15, t n t i đ ng c u ϕ : F (α) → F (α) là m r ng c a ϕ và ϕ(α) = α. Lưu ý r ng E và E l n lư t cũng là trư ng phân rã c a f (x) trên F (α) và c a f (x) trên F (α). Vì [E : F ] = [E : F (α)][F (α) : F ] và [F (α) : F ] = deg(p(x)) ≥ 2, nên [E : F (α)] < [E : F ]. T đó theo gi thi t quy n p, t n t i ∼ ∼ đ ng c u trư ng ϕ : E → E là m r ng c a ϕ, do đó ϕ là m r ng c a ϕ. Ngô Th Ngoan, Nguy n Văn Hoàng Lý thuy t Galois
  18. L im đ u 1.1 M r ng trư ng Chương 1. M r ng trư ng 1.2 Trư ng phân rã c a đa th c Chương 2. Nhóm Galois 1.3 C u trúc trư ng h u h n Chương 3. Gi i đư c b ng căn th c • Bài t p Chương 1 Chương 4. M r ng Galois. Đ nh lý cơ b n c a lý thuy t Galois (ii) Ta cũng quy n p theo [E : F ]. N u [E : F ] = 1 thì E = F và ∼ ch có duy nh t m r ng ϕ c a ϕ, chính là ϕ. Gi s [E : F ] > 1, và p(x) là nhân t b t kh quy c a f (x) có deg(p(x)) = d ≥ 2. ∼ L y α ∈ E là m t nghi m c a p(x). Gi s ϕ : E → E là m t m ∼ r ng tùy ý c a ϕ. Khi đó n u đ t α = ϕ(α) thì α là m t nghi m ∼ ∼ c a p(x). Ta th y ϕ(F (α)) = F (α), do đó ϕ|F (α) : F (α) → F (α) là m t đ ng c u trư ng, và là m t m r ng c a ϕ. Như v y m i ∼ đ ng c u trư ng ϕ : E → E mà là m t m r ng tùy ý c a ϕ, đ u thu đư c b ng cách m r ng t ϕ qua hai bư c: th nh t ta m r ng t ϕ lên đ ng c u ϕ : F (α) → F (α) (trong đó α, α l n lư t ∼ là nghi m c a p(x), p(x)), th hai ta m r ng t ϕ lên ϕ. Ngô Th Ngoan, Nguy n Văn Hoàng Lý thuy t Galois
  19. L im đ u 1.1 M r ng trư ng Chương 1. M r ng trư ng 1.2 Trư ng phân rã c a đa th c Chương 2. Nhóm Galois 1.3 C u trúc trư ng h u h n Chương 3. Gi i đư c b ng căn th c • Bài t p Chương 1 Chương 4. M r ng Galois. Đ nh lý cơ b n c a lý thuy t Galois - Vì f (x) tách đư c nên p(x) có d nghi m phân bi t α. Khi đó, t B đ 1.15, ta có d đ ng c u trư ng ϕ : F (α) → F (α) là m r ng c a ϕ, tương ng v i d nghi m α. Lưu ý r ng E cũng là trư ng phân rã c a f (x) trên F (α), và E cũng là trư ng phân rã c a f (x) trên F (α); hơn n a [E : F (α)] = [E : F ]/d < [E : F ]. T đó và t gi thi t quy n p ta suy ra r ng ng v i m i m t trong s d đ ng c u ϕ như trên có chính xác [E : F ]/d đ ng c u trư ng ∼ ϕ : E → E là m r ng c a ϕ; do đó có t t c là d × ([E : F ]/d) = [E : F ] m r ng c a ϕ theo cách như trên. H qu 1.18 (Tính duy nh t c a trư ng phân rã) Cho f (x) ∈ F [x] là đa th c có b c dương. Khi đó trư ng phân rã c a f (x) trên F là duy nh t sai khác m t đ ng c u gi nguyên các ph n t c a F . Ngô Th Ngoan, Nguy n Văn Hoàng Lý thuy t Galois
  20. L im đ u 1.1 M r ng trư ng Chương 1. M r ng trư ng 1.2 Trư ng phân rã c a đa th c Chương 2. Nhóm Galois 1.3 C u trúc trư ng h u h n Chương 3. Gi i đư c b ng căn th c • Bài t p Chương 1 Chương 4. M r ng Galois. Đ nh lý cơ b n c a lý thuy t Galois Nh n xét 1.19 T ch ng minh Đ nh lý 1.14 và H qu 1.18, ta th y: n u f (x) ∈ F [x] có b c n > 0 và có n nghi m α1 , . . . , αn thì trư ng phân rã c a f (x) trên F là E = F (α1 , . . . , αn ). Ví d . Xét f (x) = x3 − 2 ∈ Q[x]. Ta th y f (x) có 3 nghi m là √ α, αε, αε2 (v i α = 3 2 ∈ R, và ε là m t căn nguyên th y b c 3 c a đơn v .) Khi đó trư ng phân rã E c a f (x) trên Q là E = Q(α, αε, αε2 ). Rút g n ta đư c E = Q(α, ε). Th t v y, ta có α, α ∈ E, suy ra = α−1 (α ) ∈ E. Ngô Th Ngoan, Nguy n Văn Hoàng Lý thuy t Galois
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

LV.26: Bộ 320 Luận Văn Thạc Sĩ Y Học
320 tài liệu
1248 lượt tải
THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
3=>0