Đề tài nghiên cứu khoa học cấp trường: Nghiên cứu tính toán công trình biển dạng khung chịu tải trọng sóng ngẫu nhiên

Chia sẻ: Bobietbay | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:51

Thêm vào BST

Báo xấu

37
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nội dung đề tài trình bày phương pháp giải phương trình trên bằng phương pháp chồng mode, với mặt sóng ngẫu nhiên được tạo ra ứng với phổ cho trước sẽ xác định được chuyển chuyển vị và nội lực của kết cấu theo thời gian thực, sau khi phân tích quá trình ngẫu nhiên của kết quả sẽ thu được các đặc trưng thống kê của chuyển vị và nội lực.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề tài nghiên cứu khoa học cấp trường: Nghiên cứu tính toán công trình biển dạng khung chịu tải trọng sóng ngẫu nhiên

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÀNG HẢI VIỆT NAM KHOA CÔNG TRÌNH ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC NGHIÊN CỨU TÍNH TOÁN CÔNG TRÌNH BIỂN DẠNG KHUNG CHỊU TẢI TRỌNG SÓNG NGẪU NHIÊN THỰC HIỆN: PGS. TS. ĐÀO VĂN TUẤN HẢI PHÒNG 4-2016
MỤC LỤC MỤC LỤC .......................................................................................................... 2 MỞ ĐẦU ............................................................................................................ 3 Chương 1 ......................................................................................................... 4 1.1 Tổng quan về công trình biển dạng khung ........................................................... 4 1.2 Phương pháp tính toán công trình biển dạng khung ............................................. 9 1.3 Mục tiêu của đề tài .............................................................................................. 11 Chương 2 ....................................................................................................... 12 2.1 Phương pháp phần tử Hữu hạn ........................... Error! Bookmark not defined. 2.2 Phương pháp PTHH trong tính toán hệ khung không gianError! Bookmark not defined. Chương 3 ....................................................................................................... 45 3.1 Công trình thực tế ............................................................................................... 45 3.2 Số liệu ban đầu .................................................................................................... 45 3.3 Kết quả tính toán ................................................................................................. 48 3.4 Kết luận ............................................................................................................... 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................... 50 PHỤ LỤC ......................................................................................................... 51 2
MỞ ĐẦU 1. Tính thời sự của đề tài Việt nam là đất nước có bờ biển dài trên 3000km, thềm lục địa có giàu tài nguyên và đang được khai thác. Các công trình biển dạng khung hiện có tại Việt Nam là giàn khoan, nhà giàn, đèn biển v.v…các kết này đều chịu tải trọng của sóng biển. Hiện nay việc tính toán công trình biển dạng khung được đề cập trong các tài liệu trong nước chủ yếu là cho trường hợp đơn giản: trụ đơn thẳng đứng, sóng tiền định. Tuy nhiên kết cấu của các công trình ngoài biển là kết cấu không gian phức tạp, chịu tải trọng sóng ngẫu nhiên. Chính vì vậy việc tính toán công trình biển dạng khung chịu tải trọng sóng tiền ngẫu nhiên là việc cần thiết. Nội dung đề tài trình bày tính toán dao động ngẫu nhiên công trình biển dạng khung. 2. Mục tiêu của đề tài Thiết lập thuật toán, lập chương trình tính toán công trình biển dạng khung chịu tải trọng sóng ngẫu nhiên. 3. Phương pháp nghiên cứu Đề tài dùng phương pháp phân tích, phương pháp phần tử hữu hạn, lập trình đề đạt được kết quả đề ra. 4. Phạm vi nghiên cứu Nội dung đề tài chỉ tập trung tính toán dao động công trình biển dạng khung chịu tải trọng sóng ngẫu nhiên. 5. Ý nghĩa thực tế, khoa học Kết quả nghiên cứu của đề tài áp dụng để tính toán công trình biển dạng khung chịu tải trọng sóng ngẫu nhiên. Nội dung của đề tài đóng góp một phần vào phương pháp luận tính toán công trình biển, có thể làm tài liệu tham khảo trong giảng dạy, nghiên cứu tính toán công trình biển dạng khung. 3
Chương 1. TỔNG VỀ CÔNG TRÌNH BIỂN DẠNG KHUNG VÀ PHƯƠNG PHÁP TÍNH CÔNG TRÌNH BIỂN DẠNG KHUNG 1.1 Tổng quan về công trình biển dạng khung 1.1.1 Khái quát về công trình biển Diện tích biển và đại dương chiếm 7/10 diện tích trái đất, nhu cầu hoạt động của con người trên biển ngày càng tăng. Vì vậy cần thiết phải xây dựng công trình biển nhằm đáp ứng các mục tiêu cơ bản như sau: - Phục vụ thăm dò, khai thác và vận chuyển dầu khí vào bờ: (dàn khoan biển); - Phục vụ cho nhu cầu đi lại, ăn ở ngoài biển và các hoạt động khác như: khai thác tài nguyên, du lịch, nghiên cứu khoa học; 1.1.1.1 Phân loại theo vị trí công trình biển so với bờ: - Công trình biển ven bờ; - Công trình biển ngoài khơi; - Công trình biển ngoài hải đảo. 1.1.1.2 Phân loại theo mục đích sử dụng của công trình: - Dàn khoan biển: Công trình biển ngoài khơi cố định dùng khai thác dầu khí (dàn khoan biển). - Công trình bảo đảm hàng hải: hải đăng… - Trạm nghiên cứu: trạm khí tượng, thủy hải văn. 1.1.1.3 Quá trình phát triển của các công trình biển cố định Quá trình phát triển của các công trình biển có liên quan chặt chẽ đến việc thăm dò và khai thác dầu khí. Ngày nay kết cấu của các công trình biển đã phát triển rất mạnh con người đã vươn tới khai thác dầu khí tại các độ sâu lớn, kết cấu của các công trình biển cũng thay đổi tùy theo độ sâu. Hình 1-1. Kết cấu công trình biển theo chiếu sâu. a, Công trình biển bằng thép: 4
Trên thế giới: 1947 xuất hiện dàn khoan thép đầu tiên ở độ sâu 6 m tại Mexico (trên vịnh Mexich). 1949: các dàn khoan thép đã đạt độ sâu 15m nước; 1950: có dàn khoan 30m nước; 1960: có dàn khoan 90m nước; 1970: có dàn khoan 300m nước; Hiện nay có dàn khoan 420m nước (dàn Bull Winkle tại vịnh Mexico do công ty Shell thiết kế nặng 56.000 tấn). - Ở Việt Nam: có dàn khoan 50m nước. Trong công trình biển thép chiếm khoảng 70% dạng công trình biển cố định được xây dựng như ở Mexico, ở Trung đông, ở Chinê, ở biển Bắc có điều kiện rất phức tạp, có chiều cao sóng hs = 30m, ở Mếch xích (Mexico)... hs = 20m. Tại mỏ COGNAC: người ta xây dựng công trình biển ở chiều sâu nước d = 310m tổng trọng lượng thép là 50.000 T, (so sánh tháp effel tổng trọng lượng = 20.000t). b, Công trình biển cố định bằng bê tông 1973 ở mỏ EKOFISK (biển Bắc-Nauy) ở độ sâu: 70m, khối lượng BT = 80.000m3. 1989 dàn ''GULFAKSC'' ở độ sâu nước d = 216m, bình quân khối lượng bê tông là 360.000m3. Nếu độ sâu tăng thì khối lượng vật liệu tăng rất nhanh làm giá thành tăng, nên yêu cầu phải có tính toán hợp lý về kỹ thuật và kinh tế. Hình 1-2. Đồ thị phát triển công trình biển cố định bằng thép và bêtông. Hiện nay, các nhà xây dựng đã đi đến kết luận: đối với loại kết cấu cố định chỉ nên sử dụng ở độ sâu từ 300  400m. Để khắc phục nhược điểm của công trình biển cố định khi chiều sâu nước tăng người ta dùng kết cấu mềm và rất mềm, là phương án mà các kết cấu ổn định được là nhờ bởi phao hoặc các dây neo. Dạng mới đã đạt được các yêu cầu: - Có thể di động được; - Kết hợp được nhiều công dụng khác. 1.1.2 Công trình biển tại Việt nam Việt Nam là một quốc gia có phần đất liền rộng gần ba trăm ba mươi ngàn cây số vuông, kéo dài trên bờ biển Đông với hơn ba ngàn cây số bờ biển. Lãnh hải và vùng đặc 5
quyền kinh tế biển của nước ta gấp 3 lần phần đất liền, Việt nam có nhiều điều kiện thuận lợi để phát triển kinh tế biển: vận tải, thuỷ sản, dầu mỏ v.v... Các công trình biển phục vụ cho các ngành kinh tế biển được xây dựng ngày càng nhiều: giàn khoan, công trình báo hiệu, nhà giàn (trạm dịch vụ kỹ thuật biển), đại đa số các công trình này đều có dạng khung không gian. 1.1.2.1 Phục vụ dầu khí Hình 1-3. Giàn khoan Bạch Hổ Hình 1-4. Giàn khoan Vietsopetrol 6
Hình 1-5. Giàn khoan thăm dò Jack up. Hình 1-6. Giàn khoan thăm dò Jack up. 1.1.2.2 Phục vụ an ninh quốc phòng 7
Hình 1-7. Nhà giàn của Hải quân Việt Nam. Hình 1-8. Nhà giàn của Hải quân Việt Nam. 1.1.2.3 Phục vụ an toàn Hàng hải 8
Hình 1-9. Đèn biển Bông Trắng Cần Giờ TP. HCM. 1.2 Phương pháp tính toán công trình biển dạng khung Công trình biển có kết cấu đa dạng tùy theo độ sâu, với các tầm quan trọng khác nhau việc áp dụng các mô hình tính cũng khác nhau, các mô hình tính được khái quát theo sơ đồ sau: M« h×nh c¸c bµi to¸n Lùc sãng tùa tÜnh Lùc ®éng Bµi to¸n tÜnh 1 Bµi to¸n ®éng .. . Ku=F(t) Mu+Cu+Ku=F(t) Lùc ®éng tiÒn ®Þnh Lùc ®éng ngÇu nhiªn M« h×nh tiÒn ®Þnh 2 M« h×nh x¸c suÊt 3 Ph-¬ng ph¸p gi¶i c¸c bµi to¸n Ph©n tÝch theo "Mode" TÝnh trong miÒn tÇn sè TÝnh trong miÒn thêi gian (HÖ tuyÕn tÝnh) (HÖ tuyÕn tÝnh hoÆc phi tuyÕn) Hình 1-10. Các phương pháp tính kết cấu Công trình biển. 9
Hiện nay phương pháp tính toán theo tiền định vẫn là phổ biến, mô hình tính toán này có thể chia thành hai loại: - Bài toán tựa tĩnh; - Bài toán động. 1.2.2 Mô hình tựa tĩnh. Như ta đã biết, khi bỏ qua hiệu ứng động của tải trọng sóng, tức là không tính đến ảnh hưởng của các lực quán tính xuất hiện do gia tốc chuyển động của các phần tử kết cấu chịu các tải trọng thay đổi theo thời gian. Trong trường hợp này, tải trọng sóng được coi là "tựa tĩnh" và tương ứng với tải trọng tựa tĩnh là bài toán tĩnh của kết cấu Công trình biển nhưng kết quả tính toán sẽ được nhân với hệ số động. Phương trình của bài toán tĩnh có dạng: Ku  F (t ) (1-1) Với phương pháp tựa tĩnh để xác định được ứng suất lớn nhất trong các phần tử của kết cấu ta cần xác định nội lực theo các hướng sóng và vị trí sóng khác nhau, như vậy với bài toán tựa tĩnh cần phải giải phương trình (1-1) nhiều lần. Hay nói cách khác véctơ tải trọng nút F (t ) cần được xác định theo các hướng sóng và các thời điểm khác nhau. Theo 22 TCN 222-95 thì tải trọng động của sóng khi tác động lên công trình kiểu kết cấu hở làm từ các cấu kiện kiểu vật cản cục bộ phải được xác định bằng cách nhân giá trị tải trọng tĩnh với hệ số động học kđ lấy theo bảng sau: Bảng 1-1. Hệ số động trọngt ính toán tải trọng sóng TC Tỷ số các chu kỳ   0,01 0,1 0,2 0,3 TS Hệ số động học kđ 1 1,15 1,2 1,3 Trong đó: TC- Chu kỳ dao động riêng của công trình (s); TS- Chu kỳ trung bình của sóng (s). Khi tỷ số các chu kỳ TC/TS>0,3 thì phải tính toán công trình theo phương pháp động lực học. 1.2.3 Mô hình động Phương trình chuyển động của hệ kết cấu công trình biển sau khi đã thực hiện rời rạc hoá sơ đồ kết cấu (quy khối lượng về nút theo phương pháp phần tử hữu hạn), có dạng dao động tổng quát của hệ nhiều bậc tự do: Mu  Cu  Ku  F (t ) (1-2) Trong đó: M- Ma trận khối lượng của hệ kết cấu; C- Ma trận các hệ số cản; K- Ma trận độ cứng của hệ kết cấu; u- Véctơ chuyển vị của kết cấu; 10
F(t)- Véctơ tải trọng nút. Nếu véc tơ tải trọng nút là đại lượng ngẫu nhiên khi đó phương trình trên là phương trình dao động ngẫu nhiên. 1.3 Mục tiêu của đề tài Nội dung đề tài trình bày phương pháp giải phương trình trên bằng phương pháp chồng mode, với mặt sóng ngẫu nhiên được tạo ra ứng với phổ cho trước sẽ xác định được chuyển chuyển vị và nội lực của kết cấu theo thời gian thực, sau khi phân tích quá trình ngẫu nhiên của kết quả sẽ thu được các đặc trưng thống kê của chuyển vị và nội lực. 11
Chương 2. TÍNH TOÁN CÔNG TRÌNH BIỂN DẠNG KHUNG CHỊU TẢI TRỌNG SÓNG NGẪU NHIÊN 2.1 Sóng ngẫu nhiên Theo lý thuyết sóng ngẫu nhiên: một mặt sóng phẳng ngẫu nhiên có thể phân tích thành tổng các sóng điều hòa với góc lệch pha ngẫu nhiên. Phương trình đường mặt sóng ngẫu nhiên xác định theo công thức: N η ( x , t ) : (ai cos(ki x - ωi t  αi)) i1 Trong đó: ai : biên độ; ki : số sóng;  i : góc lệch pha ngẫu nhiên. Để xác định được hàm  (x, t ) (đường mặt sóng ngẫu nhiên) cần xác dịnh các đại lượng ai , ki và  i . Nếu mặt sóng ngẫu nhiên tại khu vực khảo sát thỏa mãn một phổ nào đó khi đó ta có: 2 ai  2S (i ) , k  ,  i góc lệch pha ngẫu nhiên.  Trong đó: S ( ) : hàm phổ tần số, hoàn toàn xác định;  : bước sóng. Các đại lượng động học của sóng ngẫu nhiên là tổng các đại lượng động học của các sóng thành phần (sóng điều hòa) và được xác định theo công thức: N  ai g k  u ( x , z , t) :   i  cosh k  ( z  d )  cos( k  x - ω  t  α )  ω cosh ( ki d) i  i i i i1  i  N  ai g k  v( x , z , t ) :   i  sinh k  ( z  d )  sin( k  x - ω  t  α )  ω cosh ( ki d )  i  i i i  i1  i  N  g k  ax( x , z , t) : a  i  cosh k  ( z  d )  sin( k  x - ω  t  α )  cosh ( ki d ) i  i  i i i  i1   12
 N g k  az( x , z , t ) : - a  i  sinh k  ( z  d )  cos( k  x - ω  t  α )  i cosh ( ki d ) i  i i i i1   Trong đó: u(x, z, t ) : vận tốc phần tử nước theo phương x; v(x, z, t ) vận tốc phần tử nước theo phương z; ax(x, z, t ) : gia tốc phần tử nước theo phương x; az (x, z, t ) : gia tốc phần tử nước theo phương z. Dựa vào các đại lượng vận tốc và gia tốc ta xác định được các lực tác dụng lên các phần tử dạng thanh của công trình theo công thức Morison. Các phổ thường dùng để tính toán công trình biển có thể sử dụng hai loại phổ sau: 2.1.1 Phổ Pierson-Moskowitz (PM) Được xác định bởi công thức: Trong đó: là tần số đỉnh phổ. 2.1.2 Phổ Jonswap được xác định tương tự như phổ Pierson-Moskowitz trong trạng thái biển ngắn hạn, được xác định bởi: Trong đó: là công thức của phổ Pierson-Moskwitz; là thông số hình dáng đỉnh không thứ nguyên; là thông số độ rộng đỉnh; đối với 13
đối với là chỉ số chuẩn. Giá trị trung bình của phổ Jonswap theo thực nghiệm là , ; Đối với Phổ Jonswap giảm đi so với Phổ Pierson-Moskowitz; Phổ Jonswap được coi là mô hình hợp lý cho ; Giá trị của có thể được xác định theo công thức: đối với đối với đối với Trong đó tính bằng giây và tính bằng mét. 2.2 Dao động một bậc tự do Để giải bài toàn dao động ngẫu nhiên trước hết xét bài toán dao động một bậc tự do chịu tải trọng bất kỳ (ngẫu nhiên). 2.2.1 Dao động cưỡng bức có cản chịu tải trọng bất kỳ Trong thực tế lực cưỡng bức có thể không có chu kỳ mà có dạng bất kỳ,đây là trường hợp lực tác dụng tổng quát nhất. q q=f(t) k m k O t' t dt' xop , x op , xop x t Hình 2-1. Dao động cưỡng bức có lực tác dụng là bất kỳ. Ký hiệu lực tác dụng là F (t ') ta có: mx  -cx - kx  F (t ') Q F (t ') Đặt q    f (t ') khi đó: m m 14
x  2nx  p 2 x  q  f (t ') Đặt giả thiết tại t’ ta có một số gia xung lực qdt’. Khi đó hệ sẽ có một số gia vận tốc Q bằng: dx  xdt '  dt   qdt  . Trong khoảng dt’ ta cần xác định số gia về quãng đường. Sử m dụng công thức của dao động tự do có cản.  x  nx0  x  e -nt  x0 cos pd t  0 sin pd t   pd  Cho x0  0 ; x 0  dx  qdt ' ; t  t - t ' ta có: Khoảng dịch chuyển từ t’ đến t là: sin p d (t - t ') qdt ' dx  e -n (t -t ' ) pd Quãng đường x được xác định như sau: e - nt nt ' t e q sin pd (t - t ')dt ' pd 0 x Đây là nghiệm riêng của phương trình dao động cưỡng bức có cản. Nghiệm tổng quát có dạng:  x  nx0 t  xe - nt  x0 cos pt   sin p d t  1  e nt ' q sin p d (t - t ' )dt '    p d p d 0  Q Nếu q   const ta có: m  x  nx0  q  e - nt  x  e -nt  x0 cos pt  sin pd t   2 1 - ( pd cos pd t  n sin pd t )  pd  p  pd  Nếu Q chỉ tồn tại trong khoảng thời gian t1 thì có thể coi khi 0  t  t1 thì lực tác dụng là Q, khi t  t1 thì lực tác dụng là -Q. Chuyển vị được xác định theo công thức: Đây là trường hợp chuyển vị của vật chịu tác dụng của xung lực. Q Q Q Q O O t t1 t -Q Hình 2-2. Dao động do tác dụng xung lực. Khi 0  t  t1 :  x  nx0  q  e - nt  x  e -nt  x0 cos pt  sin pd t   2 1 - ( pd cos pd t  n sin pd t )  pd  p  pd  Khi t  t1 : 15
 x  nx0  q  e - nt  x  e -nt  x0 cos pt  sin pd t   2 1 - ( pd cos pd t  n sin pd t ) -  pd  p  pd  q  e -n (t -t1 )  2  1-  pd cos pd (t - t1 )  n sin pd (t - t1 ) p  pd  Nếu Q  Q  t  ( Q là tốc độ biến thiên của lực tác dụng theo thời gian) ta có:  x  nx0  x  e - nt  x0 cos pt  sin p d t    pd  Q  2n - nt  2n p d2 - n 2   t -  e   p2 cos p d t - sin p d t  mp 2  p 2  p 2 p d  Trong nhiều bài toán khi lực tác dụng không thể biểu diễn dưới dạng giải tích mà chỉ biểu diễn bằng một tập hợp các điểm rời rạc hoặc dạng bảng. Khi đó hoặc là xấp xỉ tập hợp các giá trị đã cho bằng một công thức giải tích hoặc tổng quát tổng quát hơn là các hàm nội suy và lặp lại quá trình tính cho các giá trị. Khi sử dụng xấp xỉ xung lượng dưới dạng các hằng số trong khoảng thời gian thì sai số thường lớn. Để tăng độ chính xác người ta sử dụng xấp xỉ bậc cao, cụ thể là sử dụng xấp xỉ tuyến tính. Q Qi 1 Qi O t t t1 t 2 t 3 Hình 2-3. Dao động do tác dụng xung lực hình bậc thang. Như vậy tại mỗi một khoảng thời gian xung lượng có dạng hình thang. Nó bằng diện tích của hình chữ nhật và tam giác cộng lại. Như vậy chuyển vị sẽ bằng tổng của 3 chuyển vị: -Chuyển vị tại thời điểm trước; -Chuyển vị do xung lượng hình chữ nhật; -Chuyển vị do xung lượng hình tam giác. Với hệ có cản ta có: 16
 x  nxi -1  x  e - n (t -ti -1 )  xi -1 cos p d (t - t i -1 )  i -1 sin p d (t - t i -1 )   pd     qi -1 1 - e - n (t -ti -1 ) cos p d (t - t i -1 )  sin p d (t - t i -1 )   n   pd  qi  - n (t - t i )  2 n p d2 - n 2   t - t i -1 - 2n  e  2 cos p (t - t i -1 ) - sin p d (t - t i -1 )  t i    2 d 2 p p p pd Trong đó: q Q q  qi - qi -1 , q  , q Tại thời điểm ti chuyển vị có dạng: t m  x  nxi -1  xi  e - nti  xi -1 cos p d t i  i -1 sin p d t i    pd  qi -1   n  2  1 - e - nti cos p d t i  sin p d t i    p   pd  qi  2n - nti  2n p d2 - n 2     i t -  e  2 cos p t - sin p d t i   p t i    2 2 d i 2 p p p pd Đạo hàm biểu thức trên và chia cho ta có:   x i -1  nxi -1    p d  - xi -1 sin p d t i  cos p d t i     pd   x i  e -nti     - n xi -1 cos p d t i  xi -1  nxi -1 sin p d t i      pd     qi -1 -nti   n   n   2 e n cos p d t i  sin p d t i  - p d  - sin p d t i  cos p d t i  p   pd   pd   - nti  2n p d2 - n 2   1 - ne   p2 cos p d t i - 2 sin p d t i   q   p p    2 i  d p t i   e - nti  - p d 2n sin p d t i - p d - n cos p d t i  2 2   p2 p2    Công thức trên dùng để thực hiện phép tính truy hồi để tìm ra chuyển vị. Để xác định phản lực cần xác định gia tốc: 17
 x  nxi -1  xi  e - nti p d2  - xi -1 cos p d t i - i -1 sin p d t i   pd   x  nxi -1  - e - nti np d  - xi -1 sin p d t i  i -1 cos p d t i   pd   x  nxi -1  - e - nti np d  - xi -1 sin p d t i  i -1 cos p d t i   pd   x  nxi -1   e - nti n 2  xi -1 cos p d t i  i -1 sin p d t i   pd  qi -1 - nti  n   2 e np d  - sin p d t i  cos p d t i  p  pd  qi -1 - nti 2  n  - 2 e n  cos p d t i  sin p d t i  p  pd  qi -1 - nti 2  n  - e p d   - cos p d t i - sin p d t i  p2  p d  qi -1 - nti  n   2 e np d  - sin p d t i  cos p d t i  p  pd  qi -nti  2n p d2 - n 2  - e np  d - sin p t - cos p d t i  p t i 2 2 d i 2  p p pd  qi -nti 2  2n p d2 - n 2   e n   cos p t - sin p d t i  p t i 2 2 d i 2 p p pd  qi -nti 2  2n p d2 - n 2   e p  d - cos p t  sin p d t i  p t i 2 2 d i 2  p p pd  qi -nti  2n p d2 - n 2  - 2 e np d  - 2 sin p d t i - 2 cos p d t i  p t i  p p pd  Sau khi biến đổi ta có công thức:  x  nxi -1  ( ) xi  e -nti p d2 - n 2  - xi -1 cos pd t i - i -1 sin pd t i   pd   x  nxi -1  - 2e -nti np d  - xi -1 sin pd t i  i -1 cos p d t i   pd  qi -1 -nti  n  2 2 e npd  - sin pd t i  cos pd t i  p  pd   qi -1 -nti 2 2 e ( pd - n 2 ) cos p t d i  n  sin pd t i  p  pd  18
qi -nti  2n p d2 - n 2  -2 e np  d - sin p t - cos p d t i  p t i 2 2 d i 2  p p pd  qi -nti 2 2  2n p d2 - n 2  - p t i 2 e ( p d - n )  2 cos p d t i - 2 sin p d t i  p p pd  2.3 Dao động nhiều bậc tự do Để giải bài toán dao động ngẫu nhiên tổng quát (nhiều bậc tự do) có thể sử dụng phương pháp chồng mode khi đó phương trình dao động n bậc tự do sẽ được biến đổi thành n phương trình dao động một bậc tự do, lời giải có thể áp dụng theo nội dung đã được nêu trên. 2.3.1 Phương trình dao động nhiều bậc tự do Phương trình dao động của hệ nhiều bậc tự do có dạng M x C x K x  Q(t ) (2-1) Trong đó: M  - ma trận khối lượng của hệ; C  - ma trận hệ số cản nhớt của hệ; K  - ma trận độ cứng của hệ; (Q(t )) - véc tơ tải trọng nút của hệ. Các đại lượng trên được xác định nhờ vào việc tổ hợp các đại lượng tương ứng của từng phần tử. M e   N T Ndv - ma trận khối lượng của phần tử; V ce   N T cNdv - ma trận cản; V K e   B T DBdv ma trận độ cứng; V Qe   N T Fdv   N T pds vectơ lực. V S 2.3.2 Xác định tần số dao động riêng và dạng dao động Đối với hệ có n bậc tự do phương trình dao động tự do được viết dưới dạng sau:  M 11 M 12 ... M 1n   x1   K11 K12 ... K1n   x1  M M 22 ... M 2 n   x2   K 21 K 22 ... K 2 n   x 2   21    0 (2-2)  ... ... ... ...   ...   ... ... ... ...   ...       M n1 M n2 ... M nn  xn   K n1 K n2 ... K nn   x n  Hoặc: M x  K x  0 Trong đó: M  - ma trận khối lượng của hệ; 19
K  - ma trận độ cứng của hệ. Đặt giả thiết, dao động riêng của một khối lượng là các hàm điều hoà có dạng: xi  X M i sin ( pi t -  i ) (2-3) Trong đó: pi và  i - tần số vòng và góc lệch pha của dao động riêng; xi - vectơ chuyển vị của dạng dao động thứ i; X M i - vectơ biên độ dao động của dạng dao động thứ i.  x1   X M1  x  X  xi    ; X M i   M 2   2  ...   ...   x n   X Mn  i i Thay giá trị xi vào phương trình dao động ta có: H i X M i  0 H i - ma trận đặc trưng có dạng sau: H i  K  - pi2 M  Để cho phương trình trên có nghiệm x M i  0 thì H i  0 K11 - pi2 M 11 K12 - pi2 M 12 ... K1n - pi2 M 1n K - pi2 M 21 K 22 - pi2 M 22 ... K 2 n - pi2 M 2 n detH i  21 0 ... ... ... ... K n1 - pi2 M n1 K n1 - pi2 M n1 ... K nn - pi2 M nn Các giá trị pi được gọi là các trị riêng, X M i là các vectơ riêng. Nếu xác định được pi ta sẽ xác định được vectơ riêng. Có thể viết như sau: K X M i  pi2 M X M i (2-4) Để đưa về bài toán tìm trị riêng dạng chuẩn Ax  x ta có thể nhân cả hai vế với M -1 nhưng khi đó ma trận M -1 K  sẽ không đối xứng. Để bảo toàn tính đối xứng ta phân tích ma trận M  thành tích hai ma trận theo phương pháp Cholesky: M   U U T (2-5) U  - ma trận tam giác dưới; U T - ma trận tam giác trên. Trong trường hợp M  là ma trận đường chéo thì: U   U T  M 1 / 2 ; U -1  (U -1 )  M  T -1 / 2 20