PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br />
HUYỆN THẠCH THÀNH<br />
<br />
Đề chính thức (Gồ<br />
<br />
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 C P HUYỆN<br />
MÔN: TOÁN<br />
<br />
NĂM HỌC 2017 – 2018<br />
Ngày thi 09/10/2017<br />
(Thời gian: 150 phút không tính thời gian phát đề)<br />
<br />
0 trang)<br />
<br />
Bài 1: (4 điểm). Cho biểu thức:<br />
1<br />
1 <br />
2<br />
1<br />
A <br />
<br />
.<br />
<br />
y x y x<br />
x<br />
<br />
3<br />
3<br />
1 x y x x y y<br />
:<br />
; (x > 0; y > 0).<br />
y <br />
x 3 y xy 3<br />
<br />
a) Rút gọn biểu thức A<br />
b) Tính giá trị của A khi x 24 16 2 24 16 2 ;<br />
y 2<br />
<br />
<br />
<br />
24 16 2 24 16 2<br />
<br />
<br />
<br />
c) Cho xy<br />
T các giá trị của x, y ể A c giá trị nh nh t, t<br />
Bài 2: (3 điểm). Giải các phương tr nh sau:<br />
a) 1 x (2 x 5) 6 x<br />
b)<br />
<br />
giá trị<br />
<br />
.<br />
<br />
x 1 x 3 x 2 x 1 1 ( x 1)( x 3 x 2 x 1)<br />
<br />
Bài 3: (3 điểm).<br />
a) Cho a; b nguyên dương và a + 1; b + 2007 ều chia hết cho<br />
Chứng inh rằng 4a + a + b chia hết cho<br />
b) Tìm các nghi<br />
nguyên dương (x; y) của phương tr nh: 7x - xy - 3y = 0<br />
Bài 4: (6 điểm). Cho hình vuông ABCD và các iể E, F lần lượt trên các cạnh AB,<br />
AD sao cho AE = AF Gọi H là h nh chiếu của A trên DE.<br />
a) Chứng inh: AD2 = DH.DE; AH.DC = AF.DH<br />
b) Xác ịnh vị trí của các iể E và F ể di n tích ta giác DHC g p 4 lần<br />
di n tích ta giác AHF<br />
c) Chứng<br />
<br />
inh rằng Sin<br />
<br />
DHC<br />
DC<br />
<br />
2<br />
DH HC<br />
<br />
Bài 5: (4 điểm).<br />
a) Cho ba số x; y; z 0 th a<br />
<br />
ãn<br />
<br />
1 1 1<br />
0<br />
x y z<br />
<br />
xy yz zx<br />
<br />
Tính giá trị của biểu thức: P 2 2 2 4 <br />
x<br />
y<br />
z<br />
<br />
<br />
b) Cho a; b; c là ba số dương th a<br />
Chứng<br />
<br />
inh rằng:<br />
<br />
2017<br />
<br />
ãn abc = 1<br />
<br />
a2<br />
b2<br />
c2<br />
3<br />
<br />
<br />
<br />
b 1 c 1 a 1 2<br />
<br />
Họ, tên thí sinh: .................................... Chữ ký của giám thị 1:...............................<br />
Số báo danh:........................................... Chữ ký của giám thị 2:...............................<br />
<br />
HƯỚNG DẪN CH M BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 C P HUYỆN<br />
<br />
MÔN: TOÁN<br />
NĂM HỌC 2017 - 2018<br />
§¸p ¸n<br />
<br />
Bài<br />
<br />
Điểm<br />
<br />
a)<br />
1<br />
<br />
<br />
x3 <br />
1<br />
2<br />
1<br />
1<br />
.<br />
A <br />
<br />
:<br />
y x y x y <br />
x<br />
x y<br />
2<br />
x y x x y x x<br />
<br />
.<br />
<br />
:<br />
<br />
xy<br />
xy<br />
x<br />
<br />
y<br />
x xy y<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
x y <br />
<br />
<br />
:<br />
xy<br />
<br />
xy<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
A<br />
Bài 1<br />
(4 điểm)<br />
<br />
b)<br />
<br />
x y<br />
xy<br />
<br />
.<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
x<br />
<br />
<br />
<br />
y<br />
<br />
y<br />
<br />
xy<br />
<br />
yy y<br />
0,5<br />
<br />
xy<br />
<br />
0,5<br />
<br />
0,5<br />
<br />
(*)<br />
<br />
4 2 2 <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
4 2 2 <br />
<br />
2<br />
<br />
x 42 2 42 2 8<br />
<br />
<br />
<br />
x 3 y xy 3<br />
<br />
<br />
<br />
x 24 16 2 24 16 2 =<br />
y 2<br />
<br />
y3<br />
<br />
x y x y <br />
xy x y <br />
<br />
xy<br />
x<br />
<br />
y xx y<br />
<br />
24 16 2 24 16 2 =<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
4 2 2 <br />
<br />
2<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
0,5<br />
<br />
4 2 2 <br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
y 2 4 2 2 (4 2 2) 8<br />
<br />
0,5<br />
8 8 4 2<br />
1<br />
<br />
<br />
8<br />
8.8<br />
2<br />
<br />
Thay x 8; y 8 vào (*) ta ược A <br />
<br />
<br />
c) Ta có: <br />
<br />
<br />
<br />
A<br />
<br />
2<br />
<br />
y 0 x y 2<br />
<br />
<br />
x<br />
<br />
x<br />
xy<br />
<br />
x y 2<br />
y<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
xy<br />
xy<br />
<br />
<br />
<br />
0,5<br />
<br />
xy 0<br />
<br />
xy<br />
2<br />
<br />
16<br />
16<br />
<br />
Vậy MinA = 1 khi x = y = 4 (thoả<br />
a) 1 x (2x 5) 6 x (1)<br />
<br />
0,25<br />
1 (v xy = 16)<br />
<br />
0,5<br />
<br />
ãn ĐK ề bài)<br />
<br />
0,25<br />
<br />
1 x 0<br />
5<br />
<br />
x<br />
ĐKXĐ 6 x 0<br />
(**)<br />
2<br />
(2 x 5) 0<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Bài 2<br />
(3 điểm)<br />
<br />
b)<br />
<br />
0,25<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
Ta c ( ) 1 x (2 x 5) 6 x 1 x. (2 x 5) x 5<br />
(1 x)(2 x 5) ( x 5) 2 (ĐK x 5 )<br />
<br />
0,5<br />
<br />
x 2 7 x 30 0 ( x 3)( x 10) 0<br />
x 3 (th a ãn các ĐK) x 10 (loại v<br />
Vậy tập nghi của phương tr nh là: S 3.<br />
<br />
0,5<br />
h ng th a<br />
<br />
ãn (**))<br />
<br />
0,25<br />
<br />
x 1 x 3 x 2 x 1 1 ( x 1)( x 3 x 2 x 1) (2)<br />
Điều i n: x 1<br />
<br />
0,25<br />
<br />
(2) <br />
<br />
0,5<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
x 1 1<br />
<br />
<br />
<br />
x x x 1 1 0<br />
3<br />
<br />
2<br />
<br />
x 1 1<br />
x 2<br />
<br />
<br />
3<br />
2<br />
x0<br />
x x x 1 1 <br />
<br />
0,5<br />
<br />
x 2 (th a m n ĐK); x 0 (không TMĐK)<br />
Vậy tập nghi của phương tr nh là: S 2.<br />
<br />
0,25<br />
<br />
a) 4a + a + b = (4a + 2) +(a + 1) + (b + 2007) – 2010<br />
Ta c : a 16 ; b 20076 ; 2010 6<br />
<br />
0,5<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
4 a 2 4 a 1 3 4 1 4 a1 4 a2 ... 4 1 33<br />
t hác: 4 a 2 là số ch n 4 a 22 à (3;2) 1 nên 4 a 26<br />
Vậy 4 a a b6<br />
<br />
Bài 3<br />
(3 điểm)<br />
<br />
b) T các c p số nguyên dương (x; y) của phương tr nh: 7x - xy - 3y = 0<br />
Ta có: 7x - xy - 3y = 0 ( x 3)(7 y) 21 (3)<br />
<br />
0,5<br />
0,25<br />
0,25<br />
0,5<br />
<br />
x 3 7<br />
x 4<br />
<br />
7 y 3 y 4<br />
<br />
Vì x nên x 3 4 t ( ) suy ra <br />
<br />
x 3 21 x 18<br />
<br />
7<br />
<br />
y<br />
<br />
1<br />
<br />
y 6<br />
<br />
ho c <br />
<br />
Vậy phương tr nh ã cho c hai nghi nguyên dương là:<br />
( x; y) (4;4) ; ( x; y) (18;6)<br />
- Học sinh vẽ h nh úng<br />
<br />
A<br />
<br />
E<br />
<br />
0,75<br />
0,25<br />
<br />
B<br />
<br />
H<br />
<br />
0,5<br />
<br />
F<br />
<br />
I<br />
D<br />
<br />
C<br />
<br />
M<br />
<br />
a) Xét tam giác ADE và tam giác HDA<br />
<br />
Bài 4<br />
(6 điểm)<br />
<br />
Có DAE DHA 900 (gt); ADH là góc chung<br />
AD DE<br />
HDA (g.g) <br />
<br />
AD 2 DH .DE<br />
Vậy ADE<br />
HD DA<br />
HDA<br />
T ADE<br />
AD AE<br />
DC AF<br />
<br />
<br />
<br />
ta có<br />
(1) (do AD = DC; AE = AF (gt))<br />
HD HA<br />
HD HA<br />
t hác HDC ADH 900 ; HAD HDA 900<br />
suy ra HDC HAD (2)<br />
T ( ) và (2) suy ra HAF<br />
HDC (c.g.c)<br />
AH AF<br />
<br />
<br />
AH .DC AF .DH<br />
DH DC<br />
AHF<br />
b) Theo chứng inh câu a DHC<br />
2<br />
<br />
nên ta có<br />
<br />
0,5<br />
<br />
0,5<br />
0,5<br />
<br />
2<br />
<br />
SDHC DC SDHC<br />
DC <br />
2<br />
2<br />
<br />
4<br />
;<br />
4 DC 4 AF DC 2 AF<br />
SAHF AF SAHF<br />
AF <br />
<br />
Vậy ể di n tích ta<br />
<br />
0,5<br />
<br />
giác DHC g p 4 lần di n tích ta<br />
<br />
giác AHF thì E; F<br />
<br />
1,0<br />
<br />
lần lượt thuộc AB và AD sao cho AE AF <br />
iể của AB và AD)<br />
c) Vẽ ường phân giác HM của ta<br />
<br />
1<br />
AB (hay E; F lần lượt là trung<br />
2<br />
<br />
giác DHC, theo tính ch t ường phân giác<br />
<br />
DM MC<br />
DM DM MC<br />
DC<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
HD HC<br />
HD<br />
HD HC HD HC<br />
Vẽ DI HM ( I HM ) suy ra DI DM<br />
Xét IHD có HID 900 ;<br />
DI<br />
DHC DI DM<br />
DC<br />
Do<br />
hay Sin<br />
SinDHI <br />
<br />
<br />
<br />
HD<br />
2<br />
HD HD HD HC<br />
DHC<br />
DC<br />
Vậy Sin<br />
<br />
2<br />
HD HC<br />
<br />
của ta<br />
<br />
giác, ta c :<br />
<br />
3<br />
<br />
a)<br />
<br />
1 1 1<br />
1 1 1<br />
1 1<br />
1<br />
0 <br />
x y z<br />
x y<br />
z<br />
x y z<br />
<br />
3 4<br />
<br />
2017<br />
<br />
1<br />
<br />
2017<br />
<br />
0,5<br />
0,5<br />
0,25<br />
0,5<br />
<br />
1 1 1<br />
3<br />
1 1<br />
1 1 1<br />
1<br />
3 3 3 3 3 3 <br />
3<br />
x<br />
y<br />
z<br />
xyz<br />
x<br />
y<br />
xy x y <br />
z<br />
yz xz xy<br />
2 2 2 3<br />
x<br />
y<br />
z<br />
2017<br />
<br />
0,75<br />
<br />
3<br />
<br />
<br />
<br />
xy yz zx<br />
<br />
P 2 2 2 4<br />
x<br />
y<br />
z<br />
<br />
<br />
0,5<br />
<br />
1<br />
<br />
0,5<br />
0,5<br />
<br />
0,5<br />
<br />
b) Áp dụng b t ẳng thức Cauchy ta c :<br />
<br />
Bài 5<br />
(4 điểm)<br />
<br />
a2<br />
b 1<br />
a2 b 1<br />
a<br />
<br />
2<br />
.<br />
2. a (1)<br />
b 1<br />
4<br />
b 1 4<br />
2<br />
2<br />
b<br />
c 1<br />
<br />
b (2)<br />
Tương t ta c :<br />
c 1<br />
4<br />
c2<br />
a 1<br />
<br />
c (3)<br />
a 1<br />
4<br />
<br />
0,25<br />
0,25<br />
0,25<br />
<br />
Cộng t ng vế các b t ẳng thức ( ) (2) và ( ) ta ược:<br />
a2<br />
b2<br />
c2<br />
b 1 c 1 a 1<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
abc<br />
b 1 c 1 a 1<br />
4<br />
4<br />
4<br />
a2<br />
b2<br />
c2<br />
3(a b c) 3<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
(4)<br />
b 1 c 1 a 1<br />
4<br />
<br />
0,5<br />
<br />
t hác c ng theo b t ẳng thức Cauchy ta c :<br />
a b c 33 abc 33 1 3 (5)<br />
<br />
0,25<br />
<br />
a2<br />
b2<br />
c2<br />
3.3 3 3<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
b 1 c 1 a 1<br />
4<br />
2<br />
ảy ra khi a b c 1<br />
<br />
0,25<br />
<br />
T (4) và ( ) suy ra<br />
u<br />
<br />
Chú ý: - Học sinh là cách hác úng ở mỗi bài vẫn cho iểm tối a<br />
- Bài 4 học sinh vẽ hình sai ho c không vẽ hình thì không ch<br />
<br />
0,25<br />
<br />
iểm.<br />
<br />