Đề thi chọn học sinh giỏi cấp thành phố môn Toán 8 năm 2017-2018 có đáp án - Phòng GD&ĐT thành phố Vũng Tàu

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> THÀNH PHỐ VŨNG TÀU<br /> <br /> KỲ THI OLYMPIC 27/4 – NĂM HỌC 2017- 2018<br /> MÔN: TOÁN 8<br /> (Thời gian làm bài : 120 phút)<br /> <br /> Bài 1:(2 điểm)<br /> Cho biểu thức sau :<br /> <br /> x6<br /> x2 <br /> 2x  7<br /> 7<br />  x2<br /> <br /> A 2<br />  2<br />  2<br /> : 2<br />  x  0; x  2; x  <br /> 2<br />  x  2x x  4 x  2x  x  4x  4 <br /> a) Rút gọn biểu thức A.<br /> b) Tìm x nguyên để biểu thức A nhận giá trị nguyên.<br /> Bài 2: (5 điểm)<br /> 1) Chứng minh rằng tổng bình phương của hai số lẻ bất kỳ không phải là một số<br /> chính phương.<br /> 2) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a3  b3  6ab  8<br /> 3) Cho x,y, z thoả mãn: x  y  z  0 và xy  yz  xz  0 . Tính giá trị của biểu thức:<br /> Q  ( x  1)2016  ( y  1)2017  ( z  1)2018<br /> Bài 3:(5 điểm)<br /> 2<br /> 3<br /> 3<br /> 2<br /> 3<br /> 1) Gỉai phương trình: (2 x  1)  (2  5x)  (2 x  5x  3)<br /> a<br /> b<br /> c<br /> <br /> <br /> 0<br /> 2) Cho 3 số thực a, b, c đôi một khác nhau thoả mãn :<br /> b c c a a b<br /> a<br /> b<br /> c<br /> <br /> <br /> 0<br /> Chứng minh rằng:<br /> 2<br /> 2<br /> (b  c) (c  a) (a  b)2<br /> 2<br /> 2<br /> 3) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M  x  5 y  4 xy  2 x  8 y  2018<br /> <br /> Bài 4:(3,5 điểm)<br /> Cho hình thang cân ABCD có AB // CD, AB < CD. Kẻ AH  CD tại H. Gọi M là<br /> trung điểm của BC, E và F lần lượt là trung điểm của AM và DM; AF cắt DE tại K. Lấy<br /> điểm N đối xứng với A qua M.<br /> a) Chứng minh: DN = AB + CD.<br /> MK 2<br /> <br /> b) Chứng minh:<br /> CH 3<br /> Bài 5:(4,5 điểm)<br /> Cho  ABC nhọn có ba đường cao AD, BE và CF cắt nhau tại H. Gọi I là giao điểm<br /> của ba đường trung trực của  ABC. Kẻ IM  BC tại M. Lấy điểm K đối xứng với A qua I<br /> 0<br /> a) Chứng minh ACK  90<br /> a) Chứng minh: AH = 2.IM<br /> AH BH CH<br /> <br /> <br /> 2<br /> c) Chứng minh:<br /> AD BE CF<br /> -------------HẾT------------Họ và tên thí sinh:………………………………………. Số báo danh:………….<br /> <br /> 1<br /> <br /> HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI OLYMPIC CẤP THÀNH PHỐ – NĂM HỌC 2017- 2018<br /> MÔN: TOÁN 8<br /> Bài<br /> <br /> Điểm<br /> <br /> Nội dung<br /> <br /> Câu<br /> <br /> x6<br /> x2 <br /> 2x  7<br />  x2<br /> A 2<br />  2<br />  2<br /> : 2<br />  x  2x x  4 x  2x  x  4x  4<br />  x2<br /> x6<br /> x  2  2x  7<br /> <br /> <br /> <br /> :<br /> 2<br /> x<br /> (<br /> x<br /> <br /> 2)<br /> (<br /> x<br /> <br /> 2)(<br /> x<br /> <br /> 2)<br /> x<br /> (<br /> x<br /> <br /> 2)<br /> <br />  ( x  2)<br /> <br /> <br /> ( x  2) 2  x( x  6)  ( x  2) 2 ( x  2) 2<br /> .<br /> x( x  2)( x  2)<br /> 2x  7<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> <br /> <br /> x 2  4 x  4  x 2  6 x  x 2  4 x  4 ( x  2) 2<br /> .<br /> x( x  2)( x  2)<br /> 2x  7<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> <br /> <br /> x2  2x<br /> ( x  2) 2<br /> .<br /> x( x  2)( x  2) 2 x  7<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> <br /> <br /> x( x  2)<br /> ( x  2) 2<br /> x2<br /> .<br /> <br /> x( x  2)( x  2) 2 x  7 2 x  7<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 1a<br /> <br /> 1<br /> 2.0 đ<br /> <br /> x2<br /> 2x  4  2x  7  3<br /> 3<br />  2A <br /> <br />  1<br /> 2x  7<br /> 2x  7<br /> 2x  7<br /> 2x  7<br /> 3<br /> A Z  2A Z <br />  Z  2 x  7  U (3)<br /> 2x  7<br />  2 x  7  1; 1;3; 3<br /> A<br /> <br /> 1b<br /> <br />  2 x  8;6;10; 4  x  4;3;5; 2<br /> Mà x  0; x  2; x <br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 7<br />  x 4;3;5<br /> 2<br /> <br /> 0,25<br /> <br />  Kiểm tra với x để 2A nguyên thì A có nguyên không<br /> <br /> x 3;4;5  A1;2;1  Z .<br /> Vậy x3;4;5 thì A có giá trị nguyên.<br /> Gọi hai số lẻ là a và b.<br /> <br /> 2<br /> 5.0 đ<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Vì a và b lẻ nên a = 2k+1, b = 2m+1 (Với k, m N)<br /> 2.1<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 0.25<br /> 2<br /> <br />  a + b = (2k+1) + (2m+1) = 4k + 4k + 1 + 4m + 4m + 1<br /> <br /> = 4(k2 + k + m2 + m) + 2<br /> 2<br /> <br /> 0,75<br /> <br /> Bài<br /> <br /> Nội dung<br /> <br /> Câu<br /> 2<br /> <br /> Điểm<br /> <br /> 2<br /> <br /> a + b chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4.<br /> Vậy a2 + b2 không thể là số chính phương.<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> a 3  b3  6ab  8<br />  (a  b)3  8  3ab(a  b)  6ab<br /> 2.2<br /> <br />  (a  b  2)(a 2  b 2  2ab  2a  2b  4)  3ab(a  b  2)<br />  (a  b  2)(a 2  b 2  ab  2a  2b  4)<br /> <br /> 2.3<br /> <br /> 0,25<br /> 0,75<br /> 0,5<br /> <br /> x  y  z  0  ( x  y  z )2  0<br /> <br /> 0,25<br /> <br />  x 2  y 2  z 2  2( xy  yz  xz )  0<br /> <br /> 0,25<br /> <br />  x 2  y 2  z 2  0 (Vi xy  yz  xz  0)<br />  x yz0<br /> <br /> 0,25<br /> <br />  Q  ( x  1)<br /> <br /> 2016<br /> <br />  ( y  1)<br /> <br /> 2017<br /> <br />  ( z  1)<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 2018<br /> <br />  (1) 2016  (1) 2017  (1) 2018  1<br /> <br /> 0,75<br /> <br /> (2 x 2  1)3  (2  5 x)3  (2 x 2  5 x  3)3<br />  (2 x 2  5 x  3)3  3(2 x 2  1)(2  5 x)(2 x 2  5 x  3)  (2 x 2  5 x  3)<br /> <br /> 0,5<br /> <br />  3(2 x 2  1)(2  5 x)(2 x 2  5 x  3)  0<br />  (2  5 x)( x  1)(2 x  3)  0<br /> 3.1<br /> <br /> 3<br /> 5đ<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 2<br /> <br /> x<br /> <br /> 2  5x  0 <br /> 5<br /> <br /> <br />   x 1  0   x  1<br />  2 x  3  0 <br /> 3<br /> x <br /> 2<br /> <br /> <br /> 0,5x2<br /> <br /> a<br /> b<br /> c<br /> <br /> <br /> 0<br /> bc c a a b<br /> a<br /> b<br /> c<br /> b 2  ab  ac  c 2<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> bc ac ba<br /> (a  c)(b  a )<br /> 3.2<br /> <br /> a<br /> b 2  ab  ac  c 2<br /> <br /> <br /> (b  c) 2 (a  b)(b  c)(c  a)<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> Chứng minh tương tự ta được:<br /> 0,25<br /> <br /> b<br /> c 2  bc  ab  a 2<br /> <br /> (c  a)2 (a  b)(b  c)(c  a)<br /> 3<br /> <br /> Bài<br /> <br /> Điểm<br /> <br /> Nội dung<br /> <br /> Câu<br /> <br /> c<br /> a 2  ac  bc  b 2<br /> <br /> (a  b)2 (a  b)(b  c)(c  a)<br /> a<br /> b<br /> c<br /> <br /> <br /> <br /> 2<br /> 2<br /> (b  c) (c  a) (a  b) 2<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> b 2  ab  ac  c 2  c 2  bc  ab  a 2  a 2  ac  bc  b 2<br /> <br /> 0<br /> (a  b)(b  c)(c  a)<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> M  x 2  5 y 2  4 xy  2 x  8 y  2022<br />  x 2  4 xy  4 y 2  2 x  4 y  y 2  4 y  4  2018<br /> <br /> 0,25<br /> <br />  ( x  2 y )  2( x  2 y )  1  ( y  2)  2017<br /> <br /> 0,25<br /> <br />  ( x  2 y  1)  ( y  2)  2017  2017<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 3.3<br /> <br /> 2<br /> <br /> x  2 y 1  0 x  3<br /> <br /> Dấu “=” xảy ra khi <br /> y  2  0<br /> y  2<br /> x  3<br /> Vậy Mmin = 2017 khi <br /> y  2<br /> A<br /> <br /> 0,25x2<br /> 0,25<br /> <br /> B<br /> E<br /> K<br /> <br /> Q<br /> <br /> M<br /> F<br /> <br /> D<br /> 4<br /> 3.5 đ<br /> <br /> 4a<br /> <br /> H<br /> <br /> C<br /> <br /> N<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> Chứng minh được CN // AB và CN = AB<br /> <br /> 0,25x2<br /> <br /> từ đó suy ra 3 điểm D, C, N thẳng hàng và DN = DC + AB<br /> <br /> 0,25x2<br /> <br /> Chứng minh được K là trọng tâm của  ADM từ đó suy ra MK đi<br /> 2<br /> 3<br /> <br /> qua trung điểm Q của AD  MK  MQ<br /> 4b<br /> <br /> 0,5<br /> <br />  AHD vuông tại H có HQ là đường trung tuyến ứng với cạnh<br /> <br /> 1<br /> 2<br /> <br /> huyền AD  QH  QD  AD   QHD cân tại Q<br />  QHD  BCD ( QDH ) mà 2 góc này ở vị trí đồng vị  QH // BC<br /> 4<br /> <br /> 0,5<br /> 0,25<br /> <br /> Bài<br /> <br /> Điểm<br /> <br /> Nội dung<br /> <br /> Câu<br /> <br /> QM là đường trung bình của hình thang ABCD  QM // HC<br /> <br /> 0,25<br /> <br />  Tứ giác MQHC là hình bình hành  MQ  CH<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 2<br /> Suy ra MK  CH<br /> 3<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> A<br /> E<br /> F<br /> H<br /> I<br /> B<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> C<br /> <br /> D M<br /> <br /> K<br /> <br /> I là giao điểm của ba đường trung trực của  ABC  IA = IB = IC<br /> 5<br /> 4,5 đ<br /> <br /> K đối xứng với A qua I  I là trung điểm của AK<br /> 5a<br /> <br /> 1<br />  IC = IA = AK mà CI là đường trung tuyến của<br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br />  ACK<br /> <br />  ACK vuông tại C  ACK  900<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> I là giao điểm của 3 đường trung trực của  ABC, IM  BC tại M<br /> <br /> 5b<br /> <br />  M là trung điểm của BC<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Ta có: CK // BH (  AC)<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 0<br /> Chứng minh tương tự câu a ta có ABK  90  BK / /CH ( AB)<br /> <br /> 0,25<br /> <br />  Tứ giác BHCK là hình bình hành mà M là trung điểm của BC<br /> <br /> 0,25<br /> <br />  M là trung điểm của HK<br /> 5<br /> <br />