Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 9 THCS môn Toán năm học 2017 - 2018 - Sở GD&ĐT Hậu Giang

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> TỈNH HẬU GIANG<br /> ĐỀ CHÍNH THỨC<br /> <br /> KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH<br /> TRUNG HỌC CƠ SỞ NĂM 2017-2018<br /> Môn: TOÁN<br /> Thời gian: 150 phút (không kể giao đề)<br /> <br /> Câu 1 (2,5 điểm)<br /> Tính giá trị biểu thức A <br /> <br /> x<br /> <br /> x<br /> <br /> 3<br /> <br /> 2<br /> <br /> <br /> <br />  9 y2  y  2<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />  6x  9x  y  1<br /> 2<br /> <br /> biết x2  16y2  7xy  xy  x  4<br /> <br /> Câu 2 (5,0 điểm)<br /> a) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình<br /> <br /> 1 1 1<br />  <br /> x y 2<br /> <br /> b) Tìm các số tự nhiên n sao cho A  n2  2n  8 là số chính phương<br /> Câu 3 (4,5 điểm)<br /> a 2 b2 c2<br />   abc<br /> b c a<br /> x  y  2(1  xy)<br /> b) Giải hệ phương trình <br /> xy  x  y  2  0<br /> <br /> a) Cho a, b,c  0 chứng minh rằng<br /> <br /> Câu 4. (5,5 điểm)<br /> Cho tam giác đều nội tiếp đường tròn  O;R <br /> a) Tính theo R chiều dài cạnh và chiều cao tam giác ABC<br /> b) Gọi M là điểm di động trên cung nhỏ BC  M  B;C  . Trên tia đối của tia MB<br /> lấy MD = MC . Chứng minh MCD đều<br /> c) Xác định vị trí điểm M sao cho tổng S  MA  MB  MC là lớn nhất . Tính giá<br /> trị lớn nhất của S theo R<br /> Câu 5. (2,5 điểm)<br /> Cho tam giác ABC có chu vi bằng 2. Ký hiệu a, b,c là độ dài ba cạnh của tam<br /> giác . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S <br /> <br /> a<br /> 9b<br /> 16<br /> <br /> <br /> bca ca b a  bc<br /> <br /> ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HẬU GIANG 2017-2018<br /> Câu 1.<br /> ĐKXĐ: y  1;x  0;x  3<br /> Ta có A <br /> <br />  x  3 x  3 y  1 y  2    x  3 y  2 <br /> 2<br /> x(x  3)<br /> x  x  3  y  1<br /> x  4  0<br /> x  4<br /> <br /> x  4y  0<br /> y  1<br /> <br /> Từ giả thiết x2  16y2  7xy  xy  x  4   x  4y    x  4  0  <br /> 2<br /> <br /> Do đó A  <br /> <br /> 7<br /> 4<br /> <br /> Câu 2.<br /> a) Với x, y  0 ta có<br /> <br /> <br /> 1 1 1<br />  <br /> x y 2<br /> <br /> xy 1<br />   2x  2y  xy  0  x  y  2   2(y  2)  4  (x  2)(y  2)  4<br /> xy<br /> 2<br /> <br /> Lập bảng xét các ước của 4 ta có các nghiệm<br /> <br />  x;y   2;1 ; 1; 2  ; 3;6  ;  4;4  ; 6;3<br /> b) Đặt n2  2n  8  a 2   a  n  1 . a  n  1  7 với a nguyên dương<br /> a  n  1  7<br /> a  4<br /> <br /> a  n  1  1<br /> n  2<br /> <br /> Vì a  n  1  a  n  1 nên <br /> Câu 3.<br /> <br /> a) Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có:<br /> Tương tự ta có:<br /> <br /> <br /> b2<br />  c  2b<br /> c<br /> <br /> ;<br /> <br /> a2<br />  b  2a<br /> b<br /> <br /> c2<br />  a  2c<br /> a<br /> <br /> a2<br /> b2<br /> c2<br /> a 2 b2 c2<br />  b   c   a  2a  2b  2c     a  b  c<br /> b<br /> c<br /> a<br /> b c a<br /> <br /> Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c<br /> b) Từ phương trình xy  x  y  2  0  1  xy  x  y  3<br /> Thay vào phương trình thứ nhất ta được:<br /> x  y  2(x  y  3)  x  y  2x  2y  6  0  x  3y  6<br /> <br /> Thay vào phương trình thứ hai ta được 3y2  8y  4  0  3y  2  .  y  2   0<br /> 2<br /> 3<br /> <br /> Với y  2  x  0. Với y   x  4<br /> <br /> 2 <br /> Vậy hệ có nghiệm  x;y   0;2 ;  4;  <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 3 <br /> <br /> Câu 4.<br /> <br /> A<br /> <br /> O<br /> B<br /> <br /> C<br /> <br /> H<br /> M<br /> <br /> D<br /> 3R<br /> AH<br /> 3.AO 3R<br />  2 R 3<br /> a) Kẻ đường cao AH. Ta có AH <br /> ; AB <br /> <br /> sin B sin 60<br /> 2<br /> 2<br /> <br /> b) Tứ giác ABMC nội tiếp nên CMD  BAC  600<br /> MCD cân có CMD  600 nên CMD là tam giác đều<br /> c) Ta có MCD đều nên MC = MD = CD<br /> Xét AMC và BDC có AC=BC; MC=CD; ACM  BCD  600  BCM<br /> Nên AMC  BDC (c.g.c)<br />  MA  BD. Do đó: S  MA  MB  MC<br /> = MA  MB  MD  MA  BD  2MA lớn nhất<br /> <br /> Vậy S lớn nhất khi MA là đường kính của đường tròn (O) hay M là điểm<br /> chính giữa cung nhỏ BC.<br /> Câu 5.<br /> b  c  a  x 2a  y  z<br /> <br /> <br /> Đặt c  a  b  y  2b  z  x<br /> a  b  c  z 2c  z  y<br /> <br /> <br /> <br /> Ta có<br /> S<br /> <br /> y  z 9(z  x) 16(x  y) 1  y 9x z 16x 9z 16y  1<br /> <br /> <br />     <br />  <br />   .  2.3  2.4  2.3.4   19<br /> 2x<br /> 2y<br /> 2z<br /> 2x y x<br /> z<br /> y<br /> z  2<br /> 7<br /> 8<br /> <br /> 5<br /> 8<br /> <br /> Giá trị nhỏ nhất của S là 19. Đạt được khi và chỉ khi a  ;b  ;c <br /> <br /> 1<br /> 2<br /> <br />