Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán 10 năm 2017-2018 có đáp án - Sở GD&ĐT Quảng Nam

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> QUẢNG NAM<br /> ĐỀ CHÍNH THỨC<br /> <br /> KỲ THI OLYMPIC LỚP 10 CẤP TỈNH<br /> Năm học 2017 – 2018<br /> Môn thi : TOÁN<br /> Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)<br /> Ngày thi : 29/3/2018<br /> <br /> Câu 1 (5,0 điểm).<br /> a) Giải bất phương trình<br /> <br /> 5 x  4  2( x  1)  x<br /> <br /> 3 2 x  y  y  2 x  4<br /> b) Giải hệ phương trình <br /> 3<br /> 2 x  x  16 x  8 y  y ( x  1)  5<br /> <br /> Câu 2 (4,0 điểm).<br /> a) Vẽ đồ thị và suy ra bảng biến thiên của hàm số y  x 2  x | x  1| 2 x<br /> b) Cho parabol (P) có phương trình y  ax  bx  c, a  0 và đường thẳng d có<br /> phương trình y  2 x  2 . Tìm các hệ số a, b, c biết đỉnh A của (P) thuộc đường thẳng<br /> 2<br /> <br /> d , đồng thời (P) cắt đường thẳng d tại điểm thứ hai là B sao cho AB  5 và OA = OB<br /> (O là gốc tọa độ).<br /> <br /> Câu 3 (4,0 điểm).<br /> a) Cho ba số thực dương x, y, z. Chứng minh:<br /> <br /> 2<br /> 1<br /> 1<br /> <br /> <br /> .<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> x<br /> y<br /> x<br /> z<br /> x  1  ( y  z)<br /> 2<br /> <br /> b) Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn abc = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> thức: P  3<br />  3<br />  3<br /> 3<br /> 3<br /> 3<br /> 2<br /> 3<br /> 2a  b  c  2 a  2b  c  2 a  b  2a 2  2<br /> Câu 4 (3,0 điểm).<br /> Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M là<br /> trung điểm của đoạn thẳng BC, G là trọng tâm tam giác ABM, D(7; 2) là điểm nằm trên<br /> đoạn thẳng MC sao cho GA = GD. Biết phương trình đường thẳng AG là 3x  y  13  0 .<br /> a) Tìm tọa độ điểm A biết hoành độ của nó nhỏ hơn 4.<br /> b) Viết phương trình đường thẳng AB.<br /> Câu 5 (4,0 điểm).<br /> a) Cho góc xOy có số đo bằng   00    1800  . Trên các tia Ox, Oy lần lượt lấy<br /> các điểm A và B sao cho diện tích tam giác OAB không đổi và bằng S. Tìm giá trị nhỏ nhất<br /> của độ dài đoạn AB theo  và S.<br /> b) Cho tam giác ABC. Gọi H là trực tâm và O là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam<br /> giác ABC.<br /> i) Chứng minh rằng: OH  OA  OB  OC .<br /> <br /> ii) Đặt BC = a, CA = b, AB = c. Tìm hệ thức liên hệ giữa a, b, c sao cho OH vuông<br /> góc với trung tuyến vẽ từ đỉnh A của tam giác ABC.<br /> –––––––––––– Hết ––––––––––––<br /> Họ và tên thí sinh: …..………………………………….; Số báo danh: ………………<br /> <br /> SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> QUẢNG NAM<br /> <br /> KỲ THI OLYMPIC LỚP 10 CẤP TỈNH<br /> Năm học 2017 – 2018<br /> ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM<br /> Môn thi: TOÁN<br /> (Đáp án – Thang điểm gồm trang)<br /> Đáp án<br /> <br /> Điểm<br /> <br /> Câu<br /> Câu 1<br /> a) Giải bất phương trình<br /> (5,0<br /> điểm) Điều kiện: x  1<br /> <br /> 5 x  4  2( x  1)  x<br /> <br /> + Bpt đã cho tương đương với<br /> <br /> 5 x  4  2( x  1)  x<br /> <br /> 2,0<br /> 0,25<br /> <br /> + Bình phương 2 vế và thu gọn ta được bpt:<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 2 x2  2 x  x  3<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> x  1<br />  2<br /> 2<br /> 2 x  2 x  ( x  3)<br /> x  1<br /> .<br />  2<br /> x<br /> <br /> 8<br /> x<br /> <br /> 9<br /> <br /> 0<br /> <br /> x  1<br /> <br /> 1  x  9<br /> 1 x  9<br /> Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là S  1;9 .<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> 3 2 x  y  y  2 x  4<br /> (1)<br /> b) Giải hệ phương trình <br /> 3<br /> 2 x  x  16 x  8 y  y ( x  1)  5 (2)<br /> Điều kiện: 2 x  y  0 và x3  16 x  8 y  0 .<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> + Đặt t  2 x  y (t  0) , pt (1) trở thành: 3t  t 2  4<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> t  1<br /> <br /> t  4<br /> <br /> so với điều kiện loại t= -4<br /> <br /> + Với t  1 thì y  2 x  1 , thay vào phương trình (2) ta được:<br /> <br /> x3  8  2 x 2  5 x  6<br /> <br /> 3,0<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> Điều kiện: x  2 . Khi đó, ta có:<br /> x3  8  2 x 2  5 x  6  ( x  2)( x 2  2 x  4)  2( x 2  2 x  4)  ( x  2)<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> x2<br /> x2<br /> 2<br />  2 2<br /> (vì x 2  2 x  4   x  1  3  0 x )<br /> x  2x  4<br /> x  2x  4<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> <br /> <br /> 2<br /> <br /> + Đặt u <br /> <br /> x2<br /> (u  0) , pt trên trở thành: u  2  u 2 . Giải được u = 1.<br /> x  2x  4<br /> 2<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> + Với u = 1, ta được<br /> <br /> x2<br />  1  x 2  3x  2  0<br /> x  2x  4<br />  x  1 (thoa)<br /> <br />  x  2 (thoa)<br /> 2<br /> <br /> x  1<br /> x  2<br /> Vậy nghiệm của hệ phương trình là: <br /> và <br /> .<br /> y  3<br /> y 1<br /> <br /> Câu 2 a) Vẽ đồ thị và suy ra bảng biến thiên của hàm số y  x 2  x | x  1| 2 x<br /> (4,0<br /> điểm)<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> 1,5<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 2 x 2  3x khi x  1<br /> Ta có y  <br /> khi x   1<br /> x<br /> + Vẽ được đồ thị của hàm số y = 2x2 + 3x với x ≥ -1<br /> ( đúng dạng 0.25 ;phải qua 3 điểm đặc biệt 0.25)<br /> + Vẽ được đồ thị của hàm số y = x với x < - 1.<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> + Lập được bảng biến thiên ( phải đầy đủ dấu  , chiều biến thiên và điểm đặc biết)<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 2<br /> b) Cho parabol (P) có phương trình y  ax  bx  c, a  0 và đường thẳng d có<br /> phương trình y  2 x  2 . Tìm các hệ số a, b, c biết đỉnh A của (P) thuộc đường<br /> <br /> 2,5<br /> thẳng d , đồng thời (P) cắt đường thẳng d tại điểm thứ hai là B sao cho AB  5 và<br /> OA = OB (O là gốc tọa độ).<br /> + Với A  d nên A(m; 2m  2) .<br /> 0,25<br /> + A là đỉnh của (P) nên phương trình của (P) được viết lại :<br /> 0,25<br /> y  a( x  m) 2  2m  2 (a  0)<br /> + Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và d là<br /> a ( x  m) 2  2m  2  2 x  2<br /> <br /> 0,25<br /> <br />  ( x  m)(ax  am  2)  0<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> x  m<br /> <br /> x  m  2<br /> a<br /> <br /> <br /> 0,25<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 2<br /> a<br /> <br /> + Hai giao điểm của (P) và d là A(m; 2m  2), B  m  ; 2m  2 <br /> 2<br /> <br /> 4<br /> <br /> a<br /> <br /> 2<br /> <br />  2 4<br /> AB  5         5<br />  a a<br />  a  2 (a  0)<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> 13<br /> 10<br /> 13<br /> 26<br /> 139<br /> x<br /> + Với a  2, m <br /> ta có phương trình của (P) : y  2 x 2 <br /> 10<br /> 5<br /> 50<br /> 26<br /> 139<br /> Kết luận a  2, b   , c <br /> 5<br /> 50<br /> OA  OB  m 2  (2m  2) 2  (m  1) 2  (2m  4) 2  m <br /> <br /> Câu 3<br /> 2<br /> 1<br /> 1<br /> (4,0 a)Cho ba số thực dương x;y;z, chứng minh:<br /> <br /> <br /> .<br /> 1<br /> x<br /> y<br /> 1<br /> x<br /> z<br /> 1<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> điểm)<br /> x  1  ( y  z)<br /> 2<br /> +a) Đặt u = x+y+1; v = x + z +1, BĐT cần chứng minh tương đương với:<br /> 4<br /> 1 1<br />   (u  0; v  0) . (0.25)<br /> uv u v<br /> 4<br /> 1 1<br /> 2<br /> Ta có<br />     u  v   4uv (0.25)<br /> uv u v<br /> 2<br />   u  v   0 (0.25)<br /> luôn đúng. Vậy BĐT đã cho đúng (0.5)<br /> b)Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn abc = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu<br /> thức:<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> P 3 3 3<br />  3<br />  3 3<br /> 3<br /> 2<br /> 2a  b  c  2 a  2b  c  2 a  b  2a 2  2<br /> 1<br /> 11 1<br /> + Áp dụng BĐT:<br />     (u  0, v  0) . Ta có<br /> uv 4u v<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> <br /> (0.25)<br />   3 3<br />  3 3 <br /> 3<br /> 3<br /> 3<br /> 2a  b  c  2 4  a  b  1 a  c  1 <br /> <br /> Tương tự cho hai biểu thức còn lại<br /> 1<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 1<br /> <br /> 1<br /> <br /> 1<br /> <br /> <br /> <br /> Suy ra: P   3 3  3 3  3 3 <br /> 2  a  b  1 a  c  1 b  c  1  (0.25)<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 1,0<br /> <br /> 1,0<br /> <br /> 3.0<br /> <br /> 0,5<br /> <br />