Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán lớp 12 năm học 2013-2014 – Sở Giáo dục và Đào tạo Tuyên Quang (Đề chính thức)

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:7

Thêm vào BST

Báo xấu

33
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán lớp 12 năm học 2013-2014 – Sở Giáo dục và Đào tạo Tuyên Quang (Đề chính thức) là tài liệu ôn tập hữu ích dành cho các em học sinh lớp 12 đang chuẩn bị ôn tập cho kì thi chọn học sinh giỏi hàng năm.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán lớp 12 năm học 2013-2014 – Sở Giáo dục và Đào tạo Tuyên Quang (Đề chính thức)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TUYÊN QUANG CẤP TỈNH LỚP 12 NĂM HỌC 20102011 Môn: Toán (Thời gian 180 phút, không kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Đề thi này có 01 trang Câu 1. ( 4 điểm): ￬ x 4 + y 4 = 97 ￬ a) Giải hệ phương trình: ￬ 3 ￬￬ x y + y 3x = 78 ￬ b) Giải phương trình: 3 x 2 − 5 x + 5 = x 2 − 5 x + 7 Câu 2. ( 4 điểm): a) Tìm các số nguyên tố x, y là nghiệm của phương trình: x 2 - 2y 2 - 1 = 0 b) Cho n là 1 số tự nhiên. Chứng minh : 1 1 1 1 2 ....... 2 3 2 4 3 (n 1) n Câu 3. ( 4 điểm): Cho dãy số (Un) xác định bởi: ￬￬ U1 = a ￬￬ - 1 trong đó 1
së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o k× thi chän häc sinh giái cÊp tØnh líp 12 tuyªn quang NĂM HỌC 2010 - 2011 M«n thi: To¸n Hướng dẫn chấm Câu Nội dung Điể m 1. ￬￬ x 4 + y 4 = 97 a) Giải hệ phương trình sau: ￬ 3 (I) ￬￬ x y + y 3x = 78 ￬ Ta có: x + y = (x + y ) - 2x 2y 2 4 4 2 2 2 ￬ (x 2 + y 2 )2 - 2x 2y 2 = 97 (1) ￬ (I) ￬￬￬￬ xy (x 2 + y 2 ) = 78 (2) ￬ Đặt x 2 + y 2 = u ; xy = t Từ PT (2) suy ra ĐK: u 0; t 0 ￬ u 2 - 2t 2 = 97 ￬ u 2 + (- 2t 2 ) = 97 � ￬￬ � �� ut 78 � �2 � 2 0,5 ￬ u (- 2t ) = - 12168 ￬� = � � u 2 ,(- 2t 2 ) là nghiệm của phương trình bậc hai: X2 97X 12168 = 0 ￬ X = 169 và X = 72 ￬ x 2 + y 2 = 13 �u 2 = 169 �(x 2 + y 2 )2 = 169 ￬￬ �� 2 � � � � �￬ � ￬ xy = 6 � t = 36 � 2 � ￬ � � � (xy ) = 36 � �￬￬￬xy = - 6 0,5 ￬� � x 2 + y 2 = 13 Gíải PT: xy = 6 được 4 nghiệm: (x; y) = (2; 3), (3; 2), (2; 3), (3; 2) 0,5 Hệ (1) có 4 nghiệm: (2; 3), (3; 2), (2; 3), (3; 2) Tóm lại hệ có 4 nghiệm như trên. 0,5 1. Giải phương trình: 3 x 2 − 5 x + 5 = x 2 − 5 x + 7 (1) b) 5− 5 x 2 Điều kiện: x − 5 x + 5 0 2 5+ 5 x 2
Đặt x 2 5 x 5 t (t 0) Phương trình đã cho trở thành: t =1 t 2 − 3t + 2 = 0 0,5 t=2 x2 − 5x + 5 = 1 � x2 − 5x + 4 = 0 � � �2 � �2 x − 5x + 5 = 4 � x − 5x +1 = 0 � 0,75 x =1 � x=4 5 21 0,75 x= 2 Câu 2. 2.a) Tìm các số nguyên tố x, y là nghiệm của phương trình: x 2 - 2y 2 - 1 = 0 (1) Ta có: (1) 0,5 2 2 �x - 1 = 2y � (x - 1)(x + 1) = 2y .y Vì x, y là các số nguyên tố nên có các khả năng sau sảy ra: x 1 2y x 3 1. (thoả mãn) x 1 y y 2 �x +1 = y x = −3 � 2. � � (loại) � x −1 = 2 y �y =2 0,75 x 1 2y2 3. (không có nghiệm thoả mãn) x 1 1 x 1 1 4. vô nghiệm x 1 2y2 Thử lại (3; 2) thoả mãn PT. 0,75 Vậy (3; 2) là nghiệm duy nhất của phương trình. 2. Giả sử n là 1 số tự nhiên. Chứng minh : b) 1 1 1 1 2 ....... 2 3 2 4 3 (n 1) n 1 n 1 n 1 n 1 1 Ta có : n. n. n .( ) (n 1) n n(n 1) n(n 1) (n 1)n n n 1 0,5
1 1 1 1 n 1 1 1 1 = n .( + )( − ) = (1 + )( − ) < 2.( − ) n n +1 n n +1 n +1 n n +1 n n +1 n (Vì dễ thấy : 1 +
Un + 1 Từ (1) suy ra: U n +1 = - 1 < (U n + 1) - 1 = U n U n2 + 1 Vậy Un là dãy giảm. 0,75 3. 1 b) Từ đẳng thức (1) suy ra: U n +1 + 1 = (U n + 1) "n (3) U n2 + 1 0,5 Vì Un là dãy giảm; 1
Ta cã: SA (ABCD) 5. a) ( ) (ABCD) SA // ( ) ( ) (SAB) = MN // SA ( ) (SAC) = OK // SA ( ) (SABCD) = NH qua O ( ) (SCD) = KH VËy thiÕt diÖn cÇn t×m lµ tø gi¸c MNHK. 0,75 Ta cã MN// OK // SA MN (ABCD); OK (ABCD) 1 1 Std = S htMKON + S ∆KOH = (MN + KO ).ON + .OK .OH 2 2 SA MN = BN = x; KO = ; 2 Tính ON, theo định lý hàm số Côsin ta có: 2 ￬ a a 2 OH = ON = BN 2 + BO 2 − 2 BN .BO.cosOBN = x2 + − 2x .cos450 2 2 a2 = x 2 − ax + 2 Suy ra : (a + 2 x) 2 x 2 − 2ax + a 2 s1 = 4 2 a 2 x 2 − 2ax + a 2 s1 = 4 2 0,75 1 a2 Vậy: Std = (a + x). x 2 − ax + 2 2 5. §Ó thiÕt diÖn lµ h×nh thang vu«ng MK// NO// BC N lµ b) a trung ®iÓm AB x= 2 S 0,5 M K A D N O H B E C
1 a3 Gäi V lµ thÓ tÝch khèi chãp, ta cã : V= .SA.dt ( ABCD) = 3 3 MÆt ph¾ng (α ) chia khèi chãp thµnh 2 phÇn V1 , V2 víi : V1 0,5 =VK.OECH+VKOE.MNB ; V2 = V − V1 1 2 1 �a � a a 3 0,5 Ta cã : VK .OECH = .OK .dt (OECH ) = � �. = 3 3 �2 � 2 24 2 a 1 �a � a 3 VKOE .MNB = ON .dt ( MNB ) = . � �= 0,5 2 2 �2 � 16 3 3 3 a a 5a 11a 3 Suy ra : V1 = + = � V2 = V − V1 = 24 16 48 48 0,5 Hết Chú ý: Nếu thí sinh có cách giải khác mà kết quả đúng thì cho điểm tối đa.