PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br />
HUYỆN NGA SƠN<br />
TRƯỜNG THCS NGA THẮNG<br />
<br />
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7<br />
NĂM HỌC 2017-2018<br />
MÔN THI: TOÁN<br />
Ngày thi:<br />
/03/2018<br />
Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề)<br />
<br />
(Đề thi này có 05 câu, gồm 01 trang)<br />
Câu 1: (4,5 điểm).<br />
<br />
4 2 2 3 3 2<br />
a) Tính giá trị của biểu thức A <br />
: :<br />
7 5 3 7 5 3<br />
1<br />
b) Tính giá trị của biểu thức B = 2x2 – 3x + 1 với x .<br />
2<br />
x y y z<br />
c) Tìm 3 số x, y, z biết rằng: ; và x + y + z = - 110.<br />
3 7 2 5<br />
Câu 2: (4,5 điểm).<br />
a) Tìm tập hợp các số nguyên x, biết rằng:<br />
5 5<br />
31 <br />
1<br />
1<br />
4 : 2 7 x 3 : 3,2 4,5.1 : 21 <br />
9 18<br />
45 <br />
2<br />
5<br />
b) T×m x, biÕt: x <br />
<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
x x<br />
x<br />
... x <br />
11x<br />
2<br />
6<br />
12<br />
20<br />
110<br />
<br />
c) Tính giá trị của biểu thức:C = 2x5 – 5y3 + 2015 tại x, y thỏa mãn:<br />
20<br />
x 1 + (y + 2) = 0<br />
Câu 3: (3,5 điểm).<br />
a) Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết rằng số đó là bội của 18 và các chữ số của nó tỉ<br />
lệ theo 1: 2: 3.<br />
b) Tìm tất cả các số tự nhiên a, b sao cho : 2a + 37 = b 45 + b - 45.<br />
Câu 4: (6,0 điểm)<br />
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC). Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các<br />
tam giác đều ABD và ACE. Gọi I là giao của CD và BE, K là giao của AB và DC.<br />
a) Chứng minh rằng: ADC = ABE.<br />
b) Chứng minh rằng: góc DIB = 600.<br />
c) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và BE. Chứng minh rằng AMN đều.<br />
d) Chứng minh rằng IA là phân giác của góc DIE.<br />
Câu 5: (1,5 điểm)<br />
Cho 20 số nguyên khác 0 : a1, a2, a3, … , a20 có các tính chất sau:<br />
* a1 là số dương.<br />
* Tổng của ba số viết liền nhau bất kì là một số dương.<br />
* Tổng của 20 số đó là số âm.<br />
Chứng minh rằng : a1.a14 + a14a12 < a1.a12.<br />
.............. Hết.............<br />
Giám thị xem thi không giải thích gì thêm!<br />
Họ và tên thí sinh::........................................... SBD........................................<br />
Giám thị 1:.................................................... Giám thị 2:..............................<br />
<br />
HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7<br />
NĂM HỌC 2017-2018<br />
MÔN : TOÁN.<br />
Nội dung<br />
<br />
4 2 2 3 3 2<br />
A<br />
: :<br />
7 5 3 7 5 3<br />
4 2 3 3 2<br />
=<br />
<br />
:<br />
a<br />
7<br />
5<br />
7<br />
5 3<br />
<br />
(1,5)<br />
4 3 2 3 2<br />
2<br />
<br />
: 0 : 0<br />
7 5 5 3<br />
3<br />
7<br />
<br />
Điểm<br />
<br />
0,75 đ<br />
0,5đ<br />
0,25đ<br />
<br />
Vậy : A = 0<br />
Vì x <br />
<br />
CÂU 1<br />
(4,5đ)<br />
<br />
Với<br />
b<br />
(1,5)<br />
<br />
1<br />
1<br />
1<br />
nên x =<br />
hoặc x = 2<br />
2<br />
2<br />
<br />
x=<br />
<br />
Với x = -<br />
<br />
1<br />
1<br />
1<br />
thì: A = 2.( )2 – 3.<br />
+1=0<br />
2<br />
2<br />
2<br />
<br />
0,25đ<br />
<br />
1<br />
1<br />
1<br />
thì: A = 2.(- )2 – 3.(- ) + 1 = 3<br />
2<br />
2<br />
2<br />
<br />
0,25đ<br />
<br />
Vậy : A=0 với x =<br />
<br />
Từ<br />
c<br />
(1,5)<br />
<br />
0,75 đ<br />
<br />
0,25đ<br />
<br />
1<br />
1<br />
và A=3 với x = 2<br />
2<br />
<br />
x y<br />
x y y z<br />
y<br />
z<br />
x y<br />
z<br />
<br />
<br />
<br />
; <br />
. Suy ra <br />
3 7<br />
6 14 2 5 14 35<br />
6 14 35<br />
<br />
0,5đ<br />
<br />
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:<br />
<br />
x y<br />
z<br />
xyz<br />
110<br />
<br />
<br />
<br />
= -2<br />
6 14 35 6 14 35<br />
55<br />
<br />
Suy ra x = -2.6 = -12; y = -2.14 = -28; z = -2.35 = - 70.<br />
Vậy:x = -12; y = -28; z = - 70.<br />
<br />
5<br />
9<br />
<br />
2) Ta có: 4 : 2<br />
<br />
5<br />
41 18<br />
7 . 7 2 7 5<br />
18<br />
9 41<br />
<br />
0,5đ<br />
0,25đ<br />
0,25đ<br />
0,5đ<br />
<br />
Lạicó:<br />
a<br />
(1,5)<br />
<br />
CÂU 2<br />
(4,5đ)<br />
<br />
b<br />
(2,0)<br />
<br />
31 1 16 5 9 76 43 38 2 43 2 2<br />
1<br />
3 :3,2 4,5.1 : 21 . . : 1 . . <br />
45 2 5 16 2 45 2 5 43 5 43 5<br />
5<br />
2<br />
Do đó: - 5 < x <<br />
mà x Z nên x {-4; -3; -2; -1}<br />
5<br />
a) NhËn xÐt: VÕ tr¸i cña ®¼ng thøc lu«n 0 nªn vÕ<br />
0<br />
ph¶i<br />
suy ra 11x 0 hay x 0.<br />
víi x 0 ta cã:<br />
<br />
0,5đ<br />
0,5đ<br />
<br />
0,75đ<br />
<br />
0,75đ<br />
0,25đ<br />
<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
x x<br />
x<br />
... x <br />
11x<br />
2<br />
6<br />
12<br />
20<br />
110<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
x x x x<br />
... x <br />
11x<br />
2<br />
6<br />
12<br />
20<br />
110<br />
1<br />
10<br />
suy ra<br />
x = 1=<br />
(TM)<br />
11<br />
11<br />
10<br />
Vậy:x =<br />
11<br />
x<br />
<br />
c<br />
(1,0)<br />
<br />
a<br />
(1,5)<br />
<br />
CÂU 3<br />
(3,5đ)<br />
<br />
1) Do x 1 ≥ 0; (y + 2)20 ≥ 0 x 1 + (y + 2)20 ≥ 0 với mọi x, y.<br />
<br />
0,25 đ<br />
<br />
Kết hợp x 1 + (y + 2)20 = 0 suy ra x 1 = 0 và (y + 2)20 = 0<br />
<br />
0,25đ<br />
<br />
x = 1; y = - 2.<br />
Giá trị của biểu thức :C=2x5 – 5y3 + 2015 tại x = 1; y = - 2<br />
là:C=2.15 – 5.(-2)3 + 2015 = 2 + 40 + 2015 = 2057<br />
Vậy C=2057<br />
Gọi a, b, c là các chữ số của số có ba chữ số cần tìm. Không mất tính tổng quát,<br />
giả sử a b c 9.<br />
Ta có 1 a + b + c 27 .<br />
Mặt khác số cần tìm là bội của 18 nên là bội của 9,<br />
do đó a + b + c = 9 hoặc a + b + c = 18 hoặc a + b + c = 27.<br />
Theo đề bài ta có:<br />
<br />
a b c abc<br />
<br />
;<br />
1 2 3<br />
6<br />
<br />
Như vậy a + b + c chia hết cho 6, nên a + b + c = 18.<br />
Từ đó suy ra a = 3, b = 6, c = 9.<br />
Do số phải tìm là bội của 18 nên chữ số hàng đơn vị chẵn,<br />
vì vậy hai số cần tìm là: 396; 936.<br />
Nhận xét: Với x ≥ 0 thì x + x = 2x<br />
Với x < 0 thì x + x = 0. Do đó x + x luôn là số chẵn với xZ.<br />
Áp dụng nhận xét trên thì b 45 + b – 45 là số chẵn với b Z.<br />
<br />
b<br />
(2,0)<br />
<br />
Suy ra 2a + 37 là số chẵn 2a lẻ a = 0 .<br />
Khi đó b 45 + b – 45 = 38<br />
+ Nếu b < 45, ta có - (b – 45) + b – 45 = 38 0 = 38 (loại)<br />
+ Nếu b ≥ 45 , ta có 2(b – 45) = 38 b – 45 = 19 b = 64 (TM)<br />
vậy (a; b) = (0; 64)<br />
<br />
CÂU 4<br />
(6,0đ)<br />
<br />
a<br />
(1,0)<br />
<br />
0,25đ<br />
<br />
0,25 đ<br />
0,25đ<br />
0,25 đ<br />
0,5 đ<br />
0,25 đ<br />
0,25 đ<br />
0,25 đ<br />
<br />
0,5 đ<br />
0,25 đ<br />
0,25 đ<br />
0,25 đ<br />
0,25 đ<br />
0,25 đ<br />
0,25 đ<br />
<br />
E<br />
<br />
0,75 đ<br />
0,25 đ<br />
<br />
A<br />
<br />
D<br />
<br />
K<br />
I<br />
C<br />
<br />
B<br />
<br />
Ta có: AD = AB; DAC BAE và AC = AE<br />
Suy ra ADC = ABE (c.g.c)<br />
b<br />
(1,5)<br />
<br />
Từ ADC = ABE (câu a) ABE ADC ,<br />
mà BKI AKD (đối đỉnh).<br />
<br />
0,5 đ<br />
0,5 đ<br />
0,5 đ<br />
<br />
Khi đó xét BIK và DAK suy ra BIK DAK = 600 (đpcm)<br />
E<br />
<br />
A<br />
D<br />
N<br />
<br />
J<br />
<br />
c<br />
(1,5)<br />
<br />
K<br />
<br />
M<br />
<br />
I<br />
<br />
B<br />
<br />
C<br />
<br />
Từ ADC = ABE (câu a) CM = EN và ACM AEN<br />
ACM = AEN (c.g.c) AM = AN và CAM EAN<br />
<br />
0,5 đ<br />
0,5 đ<br />
0,5 đ<br />
<br />
MAN CAE = 600. Do đó AMN đều.<br />
d<br />
(2,0)<br />
<br />
Trên tia ID lấy điểm J sao cho IJ = IB BIJ đều BJ = BI và JBI DBA<br />
= 600 suy ra IBA JBD , kết hợp BA = BD<br />
IBA = JBD (c.g.c) AIB DJB = 1200 mà BID = 600<br />
<br />
DIA = 600. Từ đó suy ra IA là phân giác của góc DIE<br />
<br />
CÂU 5<br />
(1,5đ)<br />
<br />
(1,5)<br />
<br />
Ta có : a1 + (a2 + a3 + a4) + … + (a11 + a12 + a13) + a14 + (a15 + a16 + a17) + (a18 +<br />
a19 + a20) < 0 ; a1 > 0 ; a2 + a3 + a4 > 0 ; … ; a11 + a12 + a13 > 0 ; a15 + a16 + a17 ><br />
0 ; a18 + a19 + a20 > 0 => a14 < 0.<br />
Cũng như vậy : (a1 + a2 + a3) + … + (a10 + a11 + a12) + (a13 + a14) + (a15 + a16 +<br />
a17) + (a18 + a19 + a20) < 0 => a13 + a14 < 0.<br />
Mặt khác, a12 + a13 + a14 > 0 => a12 > 0.<br />
Từ các điều kiện a1 > 0 ; a12 > 0 ; a14 < 0 => a1.a14 + a14a12 < a1.a12 (đpcm).<br />
<br />
Chú ý:<br />
+)Nếu HS làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.<br />
+)Nếu HS thiếu đáp số trừ 0,25 điểm.<br />
+)Câu 2a);3a) Nếu thiếu 1 giá trị trừ 0,1 điểm.<br />
+)Câu 2b);3b) Không kiểm tra điều kiện trừ 0,1 điểm.<br />
<br />
0,5 đ<br />
0,5 đ<br />
0,25 đ<br />
0,25 đ<br />
<br />