Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường môn Toán 7 năm 2017-2018 có đáp án - Trường THCS Nga Thắng

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> HUYỆN NGA SƠN<br /> TRƯỜNG THCS NGA THẮNG<br /> <br /> ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7<br /> NĂM HỌC 2017-2018<br /> MÔN THI: TOÁN<br /> Ngày thi:<br /> /03/2018<br /> Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề)<br /> <br /> (Đề thi này có 05 câu, gồm 01 trang)<br /> Câu 1: (4,5 điểm).<br /> <br />  4 2  2  3 3  2<br /> a) Tính giá trị của biểu thức A  <br />  :   :<br />  7 5 3  7 5 3<br /> 1<br /> b) Tính giá trị của biểu thức B = 2x2 – 3x + 1 với x  .<br /> 2<br /> x y y z<br /> c) Tìm 3 số x, y, z biết rằng:  ;  và x + y + z = - 110.<br /> 3 7 2 5<br /> Câu 2: (4,5 điểm).<br /> a) Tìm tập hợp các số nguyên x, biết rằng:<br /> 5 5<br /> 31  <br /> 1<br />  1<br /> 4 : 2  7  x   3 : 3,2  4,5.1  :  21 <br /> 9 18<br /> 45  <br /> 2<br />  5<br /> b) T×m x, biÕt: x <br /> <br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br />  x  x<br />  x<br />  ...  x <br />  11x<br /> 2<br /> 6<br /> 12<br /> 20<br /> 110<br /> <br /> c) Tính giá trị của biểu thức:C = 2x5 – 5y3 + 2015 tại x, y thỏa mãn:<br /> 20<br /> x  1 + (y + 2) = 0<br /> Câu 3: (3,5 điểm).<br /> a) Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết rằng số đó là bội của 18 và các chữ số của nó tỉ<br /> lệ theo 1: 2: 3.<br /> b) Tìm tất cả các số tự nhiên a, b sao cho : 2a + 37 = b  45 + b - 45.<br /> Câu 4: (6,0 điểm)<br /> Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC). Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các<br /> tam giác đều ABD và ACE. Gọi I là giao của CD và BE, K là giao của AB và DC.<br /> a) Chứng minh rằng: ADC = ABE.<br /> b) Chứng minh rằng: góc DIB = 600.<br /> c) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và BE. Chứng minh rằng AMN đều.<br /> d) Chứng minh rằng IA là phân giác của góc DIE.<br /> Câu 5: (1,5 điểm)<br /> Cho 20 số nguyên khác 0 : a1, a2, a3, … , a20 có các tính chất sau:<br /> * a1 là số dương.<br /> * Tổng của ba số viết liền nhau bất kì là một số dương.<br /> * Tổng của 20 số đó là số âm.<br /> Chứng minh rằng : a1.a14 + a14a12 < a1.a12.<br /> .............. Hết.............<br /> Giám thị xem thi không giải thích gì thêm!<br /> Họ và tên thí sinh::........................................... SBD........................................<br /> Giám thị 1:.................................................... Giám thị 2:..............................<br /> <br /> HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7<br /> NĂM HỌC 2017-2018<br /> MÔN : TOÁN.<br /> Nội dung<br /> <br />  4 2  2  3 3  2<br /> A<br />  :   :<br />  7 5 3  7 5 3<br />  4 2 3 3  2<br /> =<br />  <br />  :<br /> a<br /> 7<br /> 5<br /> 7<br /> 5 3<br /> <br /> (1,5)<br />  4 3   2 3   2<br /> 2<br />  <br />       :  0 :  0<br /> 7   5 5  3<br /> 3<br />  7<br /> <br /> Điểm<br /> <br /> 0,75 đ<br /> 0,5đ<br /> 0,25đ<br /> <br /> Vậy : A = 0<br /> Vì x <br /> <br /> CÂU 1<br /> (4,5đ)<br /> <br /> Với<br /> b<br /> (1,5)<br /> <br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> nên x =<br /> hoặc x = 2<br /> 2<br /> 2<br /> <br /> x=<br /> <br /> Với x = -<br /> <br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> thì: A = 2.( )2 – 3.<br /> +1=0<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> <br /> 0,25đ<br /> <br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> thì: A = 2.(- )2 – 3.(- ) + 1 = 3<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> <br /> 0,25đ<br /> <br /> Vậy : A=0 với x =<br /> <br /> Từ<br /> c<br /> (1,5)<br /> <br /> 0,75 đ<br /> <br /> 0,25đ<br /> <br /> 1<br /> 1<br /> và A=3 với x = 2<br /> 2<br /> <br /> x y<br /> x y y z<br /> y<br /> z<br /> x y<br /> z<br />   <br /> <br /> <br /> ;  <br /> . Suy ra <br /> 3 7<br /> 6 14 2 5 14 35<br /> 6 14 35<br /> <br /> 0,5đ<br /> <br /> Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:<br /> <br /> x y<br /> z<br /> xyz<br /> 110<br />  <br /> <br /> <br /> = -2<br /> 6 14 35 6  14  35<br /> 55<br /> <br /> Suy ra x = -2.6 = -12; y = -2.14 = -28; z = -2.35 = - 70.<br /> Vậy:x = -12; y = -28; z = - 70.<br /> <br /> 5<br /> 9<br /> <br /> 2) Ta có: 4 : 2<br /> <br /> 5<br /> 41 18<br />  7  .  7  2  7  5<br /> 18<br /> 9 41<br /> <br /> 0,5đ<br /> 0,25đ<br /> 0,25đ<br /> 0,5đ<br /> <br /> Lạicó:<br /> a<br /> (1,5)<br /> <br /> CÂU 2<br /> (4,5đ)<br /> <br /> b<br /> (2,0)<br /> <br /> 31   1   16 5 9 76   43   38  2 43 2 2<br />  1<br />  3 :3,2  4,5.1  :  21    .  .  :     1  .  . <br /> 45   2   5 16 2 45   2   5  43 5 43 5<br />  5<br /> 2<br /> Do đó: - 5 < x <<br /> mà x  Z nên x {-4; -3; -2; -1}<br /> 5<br /> a) NhËn xÐt: VÕ tr¸i cña ®¼ng thøc lu«n  0 nªn vÕ<br />  0<br /> ph¶i<br /> suy ra 11x  0 hay x  0.<br /> víi x  0 ta cã:<br /> <br /> 0,5đ<br /> 0,5đ<br /> <br /> 0,75đ<br /> <br /> 0,75đ<br /> 0,25đ<br /> <br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br />  x  x<br />  x<br />  ...  x <br />  11x<br /> 2<br /> 6<br /> 12<br /> 20<br /> 110<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br />  x  x  x  x<br />  ...  x <br />  11x<br /> 2<br /> 6<br /> 12<br /> 20<br /> 110<br /> 1<br /> 10<br /> suy ra<br /> x = 1=<br /> (TM)<br /> 11<br /> 11<br /> 10<br /> Vậy:x =<br /> 11<br /> x<br /> <br /> c<br /> (1,0)<br /> <br /> a<br /> (1,5)<br /> <br /> CÂU 3<br /> (3,5đ)<br /> <br /> 1) Do x  1 ≥ 0; (y + 2)20 ≥ 0  x  1 + (y + 2)20 ≥ 0 với mọi x, y.<br /> <br /> 0,25 đ<br /> <br /> Kết hợp x  1 + (y + 2)20 = 0 suy ra x  1 = 0 và (y + 2)20 = 0<br /> <br /> 0,25đ<br /> <br />  x = 1; y = - 2.<br /> Giá trị của biểu thức :C=2x5 – 5y3 + 2015 tại x = 1; y = - 2<br /> là:C=2.15 – 5.(-2)3 + 2015 = 2 + 40 + 2015 = 2057<br /> Vậy C=2057<br /> Gọi a, b, c là các chữ số của số có ba chữ số cần tìm. Không mất tính tổng quát,<br /> giả sử a  b  c  9.<br /> Ta có 1  a + b + c  27 .<br /> Mặt khác số cần tìm là bội của 18 nên là bội của 9,<br /> do đó a + b + c = 9 hoặc a + b + c = 18 hoặc a + b + c = 27.<br /> Theo đề bài ta có:<br /> <br /> a b c abc<br />   <br /> ;<br /> 1 2 3<br /> 6<br /> <br /> Như vậy a + b + c chia hết cho 6, nên a + b + c = 18.<br /> Từ đó suy ra a = 3, b = 6, c = 9.<br /> Do số phải tìm là bội của 18 nên chữ số hàng đơn vị chẵn,<br /> vì vậy hai số cần tìm là: 396; 936.<br /> Nhận xét: Với x ≥ 0 thì x + x = 2x<br /> Với x < 0 thì x + x = 0. Do đó x + x luôn là số chẵn với  xZ.<br /> Áp dụng nhận xét trên thì b  45 + b – 45 là số chẵn với b  Z.<br /> <br /> b<br /> (2,0)<br /> <br /> Suy ra 2a + 37 là số chẵn  2a lẻ  a = 0 .<br /> Khi đó b  45 + b – 45 = 38<br /> + Nếu b < 45, ta có - (b – 45) + b – 45 = 38  0 = 38 (loại)<br /> + Nếu b ≥ 45 , ta có 2(b – 45) = 38 b – 45 = 19  b = 64 (TM)<br /> vậy (a; b) = (0; 64)<br /> <br /> CÂU 4<br /> (6,0đ)<br /> <br /> a<br /> (1,0)<br /> <br /> 0,25đ<br /> <br /> 0,25 đ<br /> 0,25đ<br /> 0,25 đ<br /> 0,5 đ<br /> 0,25 đ<br /> 0,25 đ<br /> 0,25 đ<br /> <br /> 0,5 đ<br /> 0,25 đ<br /> 0,25 đ<br /> 0,25 đ<br /> 0,25 đ<br /> 0,25 đ<br /> 0,25 đ<br /> <br /> E<br /> <br /> 0,75 đ<br /> 0,25 đ<br /> <br /> A<br /> <br /> D<br /> <br /> K<br /> I<br /> C<br /> <br /> B<br /> <br /> Ta có: AD = AB; DAC  BAE và AC = AE<br /> Suy ra ADC = ABE (c.g.c)<br /> b<br /> (1,5)<br /> <br /> Từ ADC = ABE (câu a)  ABE  ADC ,<br /> mà BKI  AKD (đối đỉnh).<br /> <br /> 0,5 đ<br /> 0,5 đ<br /> 0,5 đ<br /> <br /> Khi đó xét BIK và DAK suy ra BIK  DAK = 600 (đpcm)<br /> E<br /> <br /> A<br /> D<br /> N<br /> <br /> J<br /> <br /> c<br /> (1,5)<br /> <br /> K<br /> <br /> M<br /> <br /> I<br /> <br /> B<br /> <br /> C<br /> <br /> Từ ADC = ABE (câu a)  CM = EN và ACM  AEN<br /> ACM = AEN (c.g.c)  AM = AN và CAM  EAN<br /> <br /> 0,5 đ<br /> 0,5 đ<br /> 0,5 đ<br /> <br /> MAN  CAE = 600. Do đó AMN đều.<br /> d<br /> (2,0)<br /> <br /> Trên tia ID lấy điểm J sao cho IJ = IB  BIJ đều  BJ = BI và JBI  DBA<br /> = 600 suy ra IBA  JBD , kết hợp BA = BD<br /> IBA = JBD (c.g.c)  AIB  DJB = 1200 mà BID = 600<br /> <br />  DIA = 600. Từ đó suy ra IA là phân giác của góc DIE<br /> <br /> CÂU 5<br /> (1,5đ)<br /> <br /> (1,5)<br /> <br /> Ta có : a1 + (a2 + a3 + a4) + … + (a11 + a12 + a13) + a14 + (a15 + a16 + a17) + (a18 +<br /> a19 + a20) < 0 ; a1 > 0 ; a2 + a3 + a4 > 0 ; … ; a11 + a12 + a13 > 0 ; a15 + a16 + a17 ><br /> 0 ; a18 + a19 + a20 > 0 => a14 < 0.<br /> Cũng như vậy : (a1 + a2 + a3) + … + (a10 + a11 + a12) + (a13 + a14) + (a15 + a16 +<br /> a17) + (a18 + a19 + a20) < 0 => a13 + a14 < 0.<br /> Mặt khác, a12 + a13 + a14 > 0 => a12 > 0.<br /> Từ các điều kiện a1 > 0 ; a12 > 0 ; a14 < 0 => a1.a14 + a14a12 < a1.a12 (đpcm).<br /> <br /> Chú ý:<br /> +)Nếu HS làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.<br /> +)Nếu HS thiếu đáp số trừ 0,25 điểm.<br /> +)Câu 2a);3a) Nếu thiếu 1 giá trị trừ 0,1 điểm.<br /> +)Câu 2b);3b) Không kiểm tra điều kiện trừ 0,1 điểm.<br /> <br /> 0,5 đ<br /> 0,5 đ<br /> 0,25 đ<br /> 0,25 đ<br /> <br />