Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 môn: Toán - Vòng 2 (Năm học 2014-2015)

Chia sẻ: Tạ Duy Phương | Ngày: | Loại File: DOCX | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

76
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mời các bạn và quý thầy cô hãy tham khảo đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 môn "Toán - Vòng 2" năm học 2014-2015 sau đây nhằm giúp các em củng cố kiến thức của mình và thầy cô có thêm kinh nghiệm trong việc ra đề thi. Chúc các em thành công và đạt điểm cao.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 môn: Toán - Vòng 2 (Năm học 2014-2015)

PHÒNG GD&ĐT THANH OAI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 VÒNG II Năm học 20142015 Môn thi : Toán Thời gian làm bài: 150 phút ( không kể thời gian giao đề) Bài 1( 5 điểm) 1.Tìm các số nguyên x để x2 +x + 6 là số chính phương. 2. Cho n là số tự nhiên. Chứng minh rằng : Bài 2(5 điểm) 1. Giải phương trinh : 2. Giải hệ phương trình : Bài 3(3 điểm) 1.Tìm x,y là các số tự nhiên thỏa mãn : 2. Cho thỏa mãn a.b.c=1. Chứng minh rằng : Bài 4(6 điểm): Trên đường tròn tâm O đường kính AB=2R lấy điểm N sao cho AN=R và một điểm M bất kì trên cung nhỏ BN ( M không trùng với B,N). Gọi I là giao điểm của AM và BN. Đường thẳng đi qua điểm I và vuông góc với AB tại điểm H cắt tia AN tại điểm C. 1. Chứng minh ba điểm B,M,C thẳng hàng. 2. Xác định vị trí của điểm M để chu vi của tứ giác ABMN lớn nhất. 3. Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNH luôn thuộc một đường thẳng cố định khi M thay đổi trên cung nhỏ BN của đường tròn (O;R). 4. Gọi P là điểm chính giữa của cung AB không chứa điểm N của đường tròn(O;R). Đường thẳng MP cắt AB tại điểm D. Chứng minh không đổi khi M thay đổi trên cung nhỏ BN của đường tròn (O;R). Bài 5( 1 điểm): Cho trong một mặt phẳng 2000 điểm. Chứng minh rằng ta có thể vẽ được một đường tròn chứa 1000 điểm thuộc miền trong, còn 1000 điểm kia thuộc miền ngoài đường tròn.
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN VÒNG II(20142015) Câu Đáp án Điểm Bài 1 1. 0,25đ (5đ) 0,5đ Do x nên và 0,25đ 0,5đ 2.Đặt A(n)= . Ta có 26=64 Ta có 22n 0,5đ Vì 22n=4n nên 4k hay k=3m+1( m Vậy 22n=4.(3m+1)=12m +4 0,5đ Khi đó: A(n)= =212m+4+10 = 16.(26)2m + 10 ĐPCM 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ Bài 2 1. Giải phương trình (5đ) . ĐKXĐ: 0,5đ (do ) 0,5đ Do vế trái ; vế phải . Nên phương trình có nghiêm 0,5đ VT=VP=3x=1 0,5đ 2. Giải hệ phương trình: 0,5đ Đặt Từ (2) thay vào (1) ta có 0,5đ do . Nên a=0. Với a=0 b=0. Nên 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ Bài 3 1.Tìm x,y là các số tự nhiên thỏa mãn : (3đ) +Nếu y=0. Ta có 3x + 1=1 0,25đ +Nếu y=1. Ta có 3x + 1=2x=0 0,25đ +Nếu y=2.Ta có 3x +1 =4x=1 0,25đ
+Nếu Vế phải chia hết cho 8 0,25đ Nếu x chẵn vế trái chia cho8 dư2 Nếu x lẻ vế trái chia cho 8 dư 4 0.25đ Vậy (x;y) tự nhiên thỏa mãn là (0;1) và (1;2) 0,25đ 2. Cho thỏa mãn a.b.c=1. Chứng minh rằng : Với x;y dương ta có x2 + y2 2xy Ta có : (1) 0,25đ Tương tự (2) (3) 0,5đ Từ (1) ; (2) ; (3) (đpcm ) 0,25đ 0,25đ 0,25đ Bài 4 (6đ) 0,5đ 1. Tam giác ABC nhận I là trực tâm ( vì có hai đường cao BN, CH cắt 0,5đ nhau tại I) suy ra BC AI(1) Góc AMB là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn suy ra BM AI(2) 0,5đ Từ (1),(2) suy ra 3 điểm B,M,C thẳng hàng. 0,5đ 2. Lấy K đối xứng với N qua AB, lấy E thuộc đoạn MK sao cho 0,25đ ME=MN. Chứng minh được tam giác MNE đều 0,25đ Chứng minh được MN+MB=ME+EK=MK 0,5đ Chu vi của tứ giác ABMN bằng BA+AN+MN+MB=3R+MK 0,25đ Suy ra Chu vi tứ giác ABMN lớn nhất khi MK là đường kính. 0,25đ 3. Chứng minh được góc MHN=góc NOM=2. Góc NKM 0,5đ Suy ra tứ giác MNOH nội tiếp.Do đó tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác MNH chính là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác MNOH. 0,5đ Vậy tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác MNH nằm trên đường trung trực của ON cố định. 0,5đ 4. MD là phân giác của tam giác MAB. Gọi F là hình chiếu của D trên MA
Ta có 0,25đ Mặt khác : Tam giác AMB có DF//MB = 0,25đ 0,25đ 0,25đ Bài 5 Qua 2 điểm ta nối được một đoạn thẳng. Số các đoạn thẳng nối (1đ) được : (đoạn). 0,25đ Vẽ trung trực của tất cả 1999000 đoạn thẳng đó. Lấy điểm O không thuộc bất kỳ trung trực nào trong số các đường trung trực nói trên.Ta nối O với 2000 điểm đã cho, ta được 2000 khoảng cách khác nhau : Chọn R thỏa mãn . Đường tròn (O ;R) thỏa mãn yêu cầu đầu bài. 0,5đ 0,25đ