Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 10 năm 2012-2013 - Sở GD&ĐT Hà Tĩnh

Luyện thi THPT Quốc gia năm 2017 Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HÀ TĨNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 10 NĂM HỌC 2012-2013 MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1. a) Giải bất phương trình x 2  6 x  2  2(2  x ) 2 x  1.  x 5  xy 4  y10  y 6  b) Giải hệ phương trình:  2  4x  5  y  8  6  Câu 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm  x 2  m  y ( x  my)   2  x  y  xy  Câu 3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho điểm I (2; 4) và các đường thẳng d1 : 2 x  y  2  0, d 2 : 2 x  y  2  0 . Viết phương trình đường tròn (C ) có tâm I sao cho (C ) cắt d1 tại A, B và cắt d 2 tại C , D thỏa mãn AB 2  CD 2  16  5 AB.CD. Câu4. 1. Cho tam giác ABC có AB= c ,BC=a ,CA=b .Trung tuyến CM vuông góc với phân giác trong AL và Tính CM 3  52 5 . AL 2 b và cos A . c 2. Cho a,b  thỏa mãn: (2  a)(1  b)  9 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  16  a 4  4 1  b 4 Câu 5. Cho f  x   x 2  ax  b với a,b thỏa mãn điều kiện: Tồn tại các số nguyên m, n, p đôi một phân biệt và 1  m, n, p  9 sao cho: f  m   f  n   f  p   7 . Tìm tất cả các bộ số (a;b). _____________ Hết ____________ Truy cập website www.hoc247.vn để làm thêm bài tập và thử sức với đề thi trắc Trang | 1 Luyện thi THPT Quốc gia năm 2017 Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN Câu1 Đáp án Điể m 1 2 2 x  6 x  2  2(2  x )t  0  x 2  2tx  4t  3(t 2  1)  2  0 1.0  ( x  t ) 2  (2t  1) 2  0  ( x  3t  1)( x  t  1)  0 0.5 Điều kiện: x  . Đặt t  2 x  1 ( t  0 ) thì 2 x  t 2  1. Khi đó ta có 1 2 3 điểm  x  1  t (do x  3t  1  0;  x  ;  t  0 ). x  1 Với x  1  t ta có x  1  2 x  1   2  x  2x  1  2x 1 0.5  x  2  2. 1.0 Đối chiếu điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là S  [2  2; ).  x 5  xy 4  y10  y 6 (1)   2  4 x  5  y  8  6 (2)  Điều kiện: x   5 4 0.5 Th1: y  0  x  0 không thỏa mãn Th2: y  0 ta có: 0.5 5 3 điểm  x x (1)      y 5  y  (t  y )(t 4  t 3 y  t 2 y 2  ty 3  y 4 )  0 với t=x/y  y y  (t  y) (t 2  y 2 ) 2  (t  y)2 (t 2  yt  y 2 )  2  0   0,5  t=y hay y 2  x 4 x  5  x  8  6  2 4 x 2  37 x  40  23  5 x 23  x    x  1  y  1 5  x 2  42 x  41  0  Thay vào (2): Đối chiếu đk ta được nghiêm hệ là: ( x; y )  (1;1);(1;1) Câu2 my 2  y  m  0 (1)  2  x  yx  y  0 (2)  Hệ đã cho tương đương với:  1 0.5 0,5 y  0  y  4 Phương trình (2) (ẩn x ) có nghiệm là  x  y 2  4 y  0   Th1: m  0, ta có y  0, x  0. Suy ra m  0 thỏa mãn. Truy cập website www.hoc247.vn để làm thêm bài tập và thử sức với đề thi trắc 0,5 0,5 Trang | 2 Luyện thi THPT Quốc gia năm 2017 Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai 3 điểm Th2: m  0. Phương trình (1) (ẩn y ) không có nghiệm thuộc khoảng là (1) vô nghiệm hoặc (1) có 2 nghiệm đều thuộc (4; 0), ( ; 4]  [0; ) (*) điều kiện là 1 1    1  4m 2  0    m  (;  2 )  ( 2 ; )    1  4m2  0  2    1  4m  0   1  m  0  2      1  4m  0 (B)     2 1  1  4m 2  4  y  0  0 2 4   1    1  4m  1  8m ( A)  2m    4  y2  0 2  1  1  4m 2    1  4m  1  8m 0 4    2m   (với y1 , y2 là 2 nghiệm của phương trình (1)). 1  1 1 4 4 1  2  m   8 (A)      m    (B)  m  (;  )  ( ; ) 17 2 2 17  1  4m 2  1  8m  Hệ phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (1) (ẩn y ) có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (; 4]  [0; ) hay (*) không xảy ra, điều kiện là 4 1 4 1  m  ; m  0. Vậy tất cả các giá trị m cần tìm là m . 17 2 17 2 Gọi hình chiếu của I trên d1 , d 2 lần lượt là E , F . khi đó 2 6 IE  d ( I ;d1 )  ; IF  d ( I ;d 2 )  . 5 5 Gọi R là bán kính của đường tròn (C ) cần tìm ( R  0,5 0,5 0,5 6 ) 5 1 4 36 AB  2 AE  2 R  ; CD  2CF  2 R 2  5 5 2 Câu3 3 điểm 4   36  4 36 R2  . Theo giả thiết ta có: 4  R 2    4  R 2    16  20 R 2  5  5  5 5  4.a 3 điểm 0.5  8R 2  16  4 (5R 2  4)(5R 2  36)  2R 2  4  (5R 2  4)(5R 2  36) 6 6  (2 R 2  4) 2  (5 R 2  4)(5 R 2  36) (do R  )  R  2 2 ( do R  ) 5 5 Vậy phương trình đường tròn (C ) cần tìm là (C ) : ( x  2) 2  ( y  4) 2  8.    b  c  AB  AC Ta có: AL  bc bc         CA  CB AB  2 AC  CM   2 2     Theo giả thiết: AL  CM  AL.CM  0        b AB  c AC AB  2 AC  0  bc 2  bc 2 cos A  2cb 2 cos A  2cb 2  0      c  2b 1  cos A  0  c  2b (do cos A  1) Truy cập website www.hoc247.vn để làm thêm bài tập và thử sức với đề thi trắc 0,5 0.5 0.5 0.5 0.25 0.25 0.5 Trang | 3 Luyện thi THPT Quốc gia năm 2017 Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai b2  a2 c 2 a2  b2   2 4 2   2 1    2  1 AL2  AB  AC  AB 2  AC 2  2 AB. AC   9b 2  a 2  9 9 9 2 2 2 CM 3 CM 9 a b 9  52 5   . 2  52 5 2 2 AL 2 AL 4 9b  a 4 2 2 a b a2  2  52 5  2  6 5 9b  a 2 b 2 2 2 2 2 b c a 5b  a 5 1 cos A    2 2bc 4b 4 Khi đó: CM 2       C/M được : 0.5  a 2  b2  c 2  d 2  (a  c)2  (b  d )2 . ấu bằng xẩy ra khi: 2 4.b 3 điểm 0.25 0.5 0.25 a b  c d 0.5 2  a2   a2  p (a 2  4b 2 )2 Áp dụng (1) ta có :  1     1  b4  4    b 2   4  4 16  4   4  9 5 Mặt khác: (1  2a)(1  b)   a  2b  ab  (2) 2 2  a 2  1  2a  3(a 2  4b 2 ) Mà: 4b 2  1  4b   2  2a  4b  2ab  a 2  4b 2  2 (3) 2  a 2  4b 2   2ab  2 1 Từ (1) và (3) suy ra: p  2 17 .Dấu “=” xẩy ra khi: a=1 và b  2 1 Vậy: MinP  2 17 Đạt được khi a=1 và b  . 2 3 số f(m),f(n),f(p) hoặc cùng dương, âm hoặc có 2 số cùng dấu nên: Th1: f(m),f(n),f(p) cùng bằng 7 hoặc -7  loại vì phương trình f(x)-7=0 có 3 nghiệm phân biệt 0.5 0.25 0.75 0.5 0,5 Th2: f (m)  f (n)  7 và f ( p )  7 2 điểm Không mất tính tổng quát,giả sử m>n và m  p  n  p ta có: m,n là nghiệm pt: x 2  ax  b  7  0 và p là nghiệm pt: x 2  ax  b  7  0 nên : 0,5  n  p  2  n  m  9(l ) m  n  a   p m  7  (n  p)( n  p  a)  14  (n  p)( p  m)  14   n  p  2 (m  p)( m  p  a)  14   n  m  9(l )    p  m  7  Truy cập website www.hoc247.vn để làm thêm bài tập và thử sức với đề thi trắc Trang | 4 Luyện thi THPT Quốc gia năm 2017 Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai Th3: f (m)  f (n)  7 và f ( p)  7 ,khiđó hoàn toàn tương tự ta có: m  p  7 m  p  7 hoặc  ( p  n)( m  p )  14   pn  2  p  n  2 Do m,n,p  1;9 nên tìm được 4 bộ là: (a;b)= (11;17), (13; 29), (7; 1), (9; 7) . 0,5 0.5 Chú ý: Mọi cách giải đúng khác đều cho điểm tương ứng. Truy cập website www.hoc247.vn để làm thêm bài tập và thử sức với đề thi trắc Trang | 5