zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Đề thi - Kiểm tra

Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm học 2012-2013 – Sở Giáo dục và Đào tạo thành phố Hồ Chí Minh

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Báo xấu

34
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm học 2012-2013 được biên soạn bởi Sở Giáo dục và Đào tạo thành phố Hồ Chí Minh. Đây là tài liệu tham khảo hữu ích dành cho các em học sinh, giáo viên trong quá trình ôn luyện, củng cố, đánh giá năng lực Vật lí của học sinh lớp 12. Để nắm chi tiết nội dung mời các bạn cùng tham khảo đề thi.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm học 2012-2013 – Sở Giáo dục và Đào tạo thành phố Hồ Chí Minh

www.VNMATH.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2012-2013 MÔN THI: TOÁN Ngày thi: 18 - 10 - 2012 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút. Bài 1. (4 điểm)  xy  x  y  1 Giải hệ phương trình  3 4 x  12 x  9 x   y  6 y  7 2 3 Bài 2. (4 điểm)  1 u1  2 Cho dãy số (un ) xác định bởi  3u  4 un 1  n , n  N *  2 un  1 Chứng minh dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. Bài 3. (4 điểm) 1 1 1 Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn    1 . Chứng minh: x y z x  yz  y  zx  z  xy  xyz  x  y  z Bài 4. (4 điểm) Cho tam giác nhọn ABC với các đường cao AH , BK nội tiếp đường tròn (O). Gọi M là một điểm di động trên cung nhỏ BC của đường tròn (O) sao cho các đường thẳng AM và BK cắt nhau tại E ; các đường thẳng BM và AH cắt nhau tại F . Chứng minh rằng khi M di động trên cung nhỏ BC của đường tròn (O) thì trung điểm của đoạn EF luôn nằm trên một đường thẳng cố định. Bài 5. (4 điểm) Tìm tất cả các đa thức P( x ) hệ số thực thỏa mãn : P( x).P( x  3)  P( x 2 ), x  HẾT
www.VNMATH.com ĐÁP ÁN ĐỀ VÒNG 1 Bài 1. (4 điểm)  xy  x  y  1 Giải hệ phương trình  3 4 x  12 x  9 x   y  6 y  7 2 3 Giải  yz  z  2 Đặt z  x  1 Hệ phương trình tương đương  3  y  3 y ( z  2)  4 z  0 3  yz  z  2  yz  z  2  3    y  3y z  4z  0  y   z  y  2z 2 3  1  17  1  17  5  17  5  17 z  z  x  x   4  4  4  4      y  1  17  y  1  17  y  1  17  y  1  17  2  2  2  2 Bài 2. (4 điểm)  1 u1  2 Cho dãy số (un ) xác định bởi  3u  4 un 1  n , n  N *  2un  1 Chứng minh dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. Giải Từ giả thiết ta suy ra un  0, n  N * 3x  4 3 5 5 Xét f ( x )    , với x  0 , f '( x )   0, x  0 2 x  1 2 2(2 x  1) (2 x  1)2  1 u1  Ta có  2 un 1  f (un ), n  N * 3 5x f ( x)  , x  0 và f ( x )  4   0, x  0 2 2x  1 3   un  4, n  2  dãy (un ) bị chặn 2  x  u2 n 1 Đặt  n  yn  u2 n Do f(x) nghịch biến trên (0; ) nên g(x) = f(f(x)) đồng biến trên (0; ) f ( xn )  f (u2n1 )  u2 n  yn ; f ( yn )  f (u 2n )  u 2n 1  xn 1 g ( xn )  f ( f ( xn ))  f ( yn )  xn1 1 11 49 u1  ; u2  ; u3  ….. Ta thấy u1  u3  x1  x2 2 4 26 Giả sử rằng xk  xk 1  g ( xk )  g ( xk 1 )  xk 1  xk 2 . Vậy xn  xn1 , n  N * Suy ra ( xn ) tăng và bị chặn trên  ( xn ) có giới hạn hữu hạn a . Do xn  xn1  f ( xn )  f ( xn1 )  yn  yn1  dãy ( yn ) giảm và bị chặn dưới
www.VNMATH.com  ( yn ) có giới hạn hữu hạn b.  3   3   3   xn , yn   2 ;4  , n  2 a, b   2 ;4  a, b   2 ;4           Ta có  f ( xn )  yn   f (a )  b   f (a )  b (I )  f (y )  x  f ( b)  a  f (b)  f (a )  a  b (1)  n n 1      5 1 1  (1)  a  b      (a  b) (2a  1)(2b  1)  5  0  a  b 2  2b  1 2a  1  (do (2a  1)(2b  1)  (3  1)(3  1)  16  5 )  3  b  a   2 ;4  Vậy từ (I)    ab2 . a  3a  4  2a  1 Vậy lim un  2 Bài 3. (4 điểm) 1 1 1 Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn    1 . Chứng minh: x y z x  yz  y  zx  z  xy  xyz  x  y  z (*) Giải 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (*)        1   (**) x yz y zx z xy xy yz zx 1 1 1 1 Ta cần chứng minh:    x yz x yz 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2       2   1     (đúng) x yz x yz x yz x x yz yz x yz y z yz Chứng minh tương tự ta có: 1 1 1 1 1 1 1 1    ,    y zx y zx z xy z xy Cộng ba bất đẳng thức trên ta thu được (**). Bài 4. (4 điểm) Cho tam giác nhọn ABC với các đường A cao AH , BK nội tiếp đường tròn (O). Gọi M là một điểm di động trên cung nhỏ BC của đường tròn (O) sao K cho các đường thẳng AM và BK cắt nhau tại E ; các đường thẳng BM và AH cắt nhau tại F . Chứng minh O E rằng khi M di động trên cung nhỏ BC của đường tròn (O) B thì trung điểm của đoạn EF luôn nằm trên một đường H C M thẳng cố định. F Giải
www.VNMATH.com Ta chứng minh hai tam giác EHK và FHK có diện tích bằng nhau.   MBC Ta có MAC   1 1 1 S EHK  KH .KE.sin BKH  KH .KA.tan  .sin BAH  KH . AB.cos A.tan  .cos B 2 2 2 1 1 1 S FHK  HF .HK .sin FHK  BH .tan  .HK .sin AHK  AB.cos B.tan  .HK .cos A 2 2 2 SEHK  SFHK suy ra E, F cách đều HK mà E,F nằm về hai phía của HK  Trung điểm của EF nằm trên đường thẳng HK. Bài 5. (4 điểm) Tìm tất cả các đa thức P( x ) hệ số thực thỏa mãn : P( x).P( x  3)  P( x 2 ), x  Giải : Ta tìm các đa thức P(x) hệ số thực thỏa P(x)P(x –3)=P(x2) xR (1) Trường hợp P(x)  C ( C là hằng số thực ) : P(x)  C thỏa (1)  C2= C  C = 0  C = 1 P(x)  0 hay P(x)  1 Trường hợp degP  1 Gọi  là một nghiệm phức tùy ý của P(x) . Từ (1) thay x bằng  ta có P(2)=0  x= 2 cũng là nghiệm của P(x) . Từ đó có  , 2, 4, 8, 16, …là các nghiệm của P(x) . Mà P(x) chỉ có hữu hạn nghiệm (do đang xét P(x) khác đa thức không)  0   (I)    1 Từ (1) lại thay x bằng  +3 ta có P((+3)2)=0  x=(+3)2 là nghiệm của P(x) Từ x = (+3)2 là nghiệm của P(x) tương tự phần trên ta có (+3)2, (+3)4, (+3)8, (+3)16,…là các nghiệm của P(x) . Mà P(x) chỉ có hữu hạn nghiệm 32  0 3 0     (II)    3 1 2     3 1  (I) Như vậy , nếu  là nghiệm của P(x) thì ta có  thỏa hệ  (II) y I O 3 1 x (I) Biểu diễn các số phức  thỏa (I) và thỏa (II) trên mặt phẳng phức ta có hệ  không có (II) nghiệm   Không tồn tại đa thức hệ số thực P(x) bậc lớn hơn hoặc bằng 1 thỏa (1) Kết luận Các đa thức P(x) hệ số thực thỏa P(x)P(x – 3)=P(x2) x gồm P(x)  0 , P(x)  1

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.