Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 12 THPT năm 2021-2022 - Sở GD&ĐT Thái Bình

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:41

Thêm vào BST

Báo xấu

11
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Để hệ thống lại kiến thức cũ, trang bị thêm kiến thức mới, rèn luyện kỹ năng giải đề nhanh và chính xác cũng như thêm tự tin hơn khi bước vào kì thi HSG sắp đến, mời các bạn học sinh cùng tham khảo “Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 12 THPT năm 2021-2022 - Sở GD&ĐT Thái Bình” làm tài liệu để ôn tập. Chúc các bạn làm bài kiểm tra tốt!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 12 THPT năm 2021-2022 - Sở GD&ĐT Thái Bình

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT THÁI BÌNH NĂM HỌC 2021 - 2022 Môn thi: TOÁN MÃ ĐỀ 101 Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề) Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Số báo danh: . . . . . . . . . . . . . . Câu 1. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình vẽ sau Khẳng định nào sau đây đúng? A. Đồ thị hàm số không có tiệm cận. B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( −1;0 ) và ( 0;+ ) . C. Đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận. D. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 1 và giá trị nhỏ nhất bằng 0 . Câu 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình log 2 ( 4 x − m ) = x + 1 có đúng 2 nghiệm thực phân biệt? A. 0 . B. 3 . C. 1 . D. 2 . Câu 3. Cho hình lăng trụ đứng ABC.ABC  có đáy ABC là tam giác vuông tại B , biết AB = a , AC = 2a , CC  = 2a . Gọi M , I lần lượt là trung điểm AB và BC  . Tính góc giữa hai đường thẳng IM và AC  . A. 90 . B. 60 . C. 45 . D. 30 . cos x − 3 Câu 4. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm y = nghịch biến trên cos x − m    ;  . 2  0  m  3 0  m  3 A. m  3 . B. m  3 .C.  . D.  .  m  −1  m  −1 Câu 5. Cho hình lăng trụ ABC  ABC có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm của tam giác ABC . Biết khoảng cách a 3 giữa đường AA và BC bằng . Tính theo a thể tích của lăng trụ ABC  ABC . 4 a3 3 a3 3 a3 3 a3 3 A. . B. . C. . D. . 6 24 12 3 Câu 6. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên và đồ thị (C ) . Tiếp tuyến của đồ thị ( C ) tại điểm ( 2;m) có phương trình là y = 4 x − 6 . Tiếp tuyến của các đồ thị hàm số y = f  f ( x ) và
y = f ( 3x 2 − 10 ) tại điểm có hoành độ bằng 2 có phương trình lần lượt là y = ax + b và y = cx + d . Tính giá trị của biều thức S = 4a + 3c − 2b + d . A. S = 176 . B. S = 174 . C. S = 178 . D. S = −26 . Câu 7. Tập xác định của hàm số y = ( 4 − 3x − x ) 2 −2021 là A. . B. ( −4;1) . C. \ −4;1 . D.  −4;1 . 5 − x2 − 2 Câu 8. Tổng số các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = x2 −1 là A. 4 . B. 3 . C. 2 . D. 0 . f ( x ) = x3 + ax2 + bx + 2 đạt cực tiểu tại điểm x = 1 và ( ) f 1 = −3 Câu 9. Hàm số . Tính b + 2a A. 3 . B. −3 . C. 15 . D. −15 . x+m Câu 10. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = trên 1;2 bằng 8 ( m x +1 là tham số thực). Khẳng định nào sau đây đúng? A. 8  m  10 . B. 4  m  8 . C. 0  m  4 . D. m  10 . Câu 11. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = x8 + ( m + 1) x5 − ( m2 − 1) x 4 + 1 đạt cực tiểu tại x = 0 ? A. 2 . B. Vô số. C. 4 . D. 3 . Câu 12. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 4 . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD A. 3. B. 6. C. 2 3 . D. 2. Câu 13. Cho đa thức f ( x ) có hệ số thực thỏa mãn điều kiện 2 f ( x ) + f (1 − x ) = x2 , x  . Số điểm cực trị của hàm số y = 3xf ( x ) + x2 + 4x + 1 là A. 3 B. 0 . C. 1 . D. 2 . Câu 14. Cho hình lập phương ABCD. ABCD có cạnh bằng a 2 . Tính theo a thể tích khối tứ diện ACBD . 2 2a 3 a3 2a 3 2a 3 A. . B. . C. . D. . 3 3 2 6 Câu 15. Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = −x3 + 3x2 − mx có hai điểm cực trị, đồng thời nghịch biến trên khoảng ( −;0) . Số phần tử của tập S là A. 2 . B. 3 . C. 1 . D. 4 . Câu 16. Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên , hàm số y = f  ( x ) liên tục và có đồ thị như hình vẽ dưới đây.
y 3 O 1 3 x Hàm số y = f ( 4 − 2 x ) đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. ( −1;0 ) . B. (1;3) . C. ( 0;+ ) . D. ( 0;1) . Câu 17. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau Số nghiệm của phương trình f ( x ) = 2 là A. 0 . B. 1 . C. 2 . D. 3 . Câu 18. Gọi Sn là tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân ( un ) có công bội q khác 1 . Biết S8 = 257S4 và u3 = 32 . Tính u1 . A. 2 . B. 3 . C. 8 . D. 4 . Câu 19. Có bao nhiêu số nguyên dương n sao cho S là một số có 1000 chữ số. Biết: S = 2 + ( C10 + C20 + ... + Cn0 ) + ( C11 + C21 + ... + Cn1 ) + ... + ( Cnn−−11 + Cnn−1 ) + Cnn A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Câu 20. Tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình log 6 ( 3.4 + 2.9 x x ) = x + 1 bằng A. 1. B. 0. C. 3. D. 4. Câu 21. Phương trình log 2 ( mx − 6 x ) + 2log ( −14 x 3 1 2 + 29 x − 2 ) = 0 có 3 nghiệm thực phân 2 biệt khi 39 A. m  19 . B. 19  m  . C. m  39 . D. 19  m  39 . 2 Câu 22. Cho tam giác ABC cân tại A , góc BAC = 120 và AB = 4 cm . Tính thể tích khối tròn xoay lớn nhất có thể khi ta quay tam giác ABC quanh đường thẳng chứa một cạnh của nó. 16 16 A. 16 3 ( cm3 ) . B. 16 ( cm3 ) . C. 3 cm3 . D. 3 ( cm3 ) . ( ) Câu 23. để phương trình log 2 ( x −1) = log2 ( mx − 8) có hai nghiệm thực phân biệt là A. 3 . B. 4 . C. 5 . D. Vô số.
Câu 24. Cho bất phương trình: 1 + log5 ( x 2 + 1)  log5 ( mx 2 + 4 x + m ) (1) . Tìm tất cả các giá trị của m để (1) được nghiệm đúng với mọi số thực x . A. 2  m  3 . B. −3  m  7 . C. m ( −;3  7; + ) . D. 2  m  3 . Câu 25. Một khối cầu có thể tích V đi qua đỉnh và đường tròn đáy của một khối nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều. Tỉ số thể tích khối cầu và thể tích khối nón là 32 9 23 32 A. . B. . C. . D. . 9 32 32 23 Câu 26. Một hình trụ có bán kính đáy bằng a. Cắt hình trụ bởi mặt phẳng song song với trục a và cách trục một khoảng ta được thiết diện là một hình vuông. Tính thể tích khối trụ. 2  a3 3 A. 3 a 3 . B.  a3 3 . C. . D.  a 3 . 4 Câu 27. Cho tập hợp S gồm 20 số tự nhiên từ 1 đến 20 . Lấy ngẫu nhiên ba số thuộc S , xác suất để ba số lấy được lập thành một cấp số cộng là 5 1 3 7 A. . B. . C. . D. . 38 114 38 38 Câu 28. Cho hàm số y = f  ( x − 1) có đồ thị như hình vẽ. Hàm số y =  2 f ( x)−4 x đạt cực tiểu tại điểm nào? A. x = 1 . B. x = 2 . C. x = 0 . D. x = −1 . Câu 29. Cho hình chóp S. ABCD có dáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2a , tam giác SAB đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) . Gọi M là trung điểm của AD . Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng ( SCM ) là 3a 2 a 2 A. . B. a 2 . C. 3a 2 . D. . 8 2 Câu 30. Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại đỉnh B . Biết AB = BC = a 3 , SAB = SCB = 90 và khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) bằng a 2 . Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S. ABC . A. 12 a 2 . B. 8 a 2 . C. 2 a 2 . D. 16 a 2 . Câu 31. Cho hàm số y = f ( x) xác định, liên tục trên và có bảng biến thiên như sau:
7 Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = là f ( x + 2x ) +1 3 A. 4 B. 1 C. 3 D. 2 ax + b Câu 32. Cho hàm số y = có đồ thị như hình vẽ bên: cx − 1 Giá trị của tổng a + b + c bằng A. 0 B. 4 C. 2 D. −2 1  Câu 33. Cho ba số thực a, b, c   ;1 . Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu thức 4   1  1  1 P = log a  b −  + logb  c −  + logc  a −   4  4  4 A. Pmin = 3 . B. Pmin = 3 3 . C. Pmin = 6 . D. Pmin = 1 . Câu 34. Cho 3 số a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số nhân với công bội khác 1 . Biết cũng theo thứ tự đó chúng lần lượt là số thứ nhất, thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng công sai là d , a ( d  0) . Tính . d 4 4 A. 3 . B. . C. . D. 9 . 9 3 Câu 35. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ
Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình 9.6 f ( x) + ( 4 − f 2 ( x ) ) .9 f ( x)  ( −m2 + 5m ) .4 f ( x) nghiệm đúng với mọi x là A. 9 . B. 4 . C. 5 . D. 10 . Câu 36. Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x − mx2 − ( m − 6) x + 1 đồng 3 biến trên khoảng ( 0;4 ) là. A. ( −;3) . B. 3;6 . C. ( −;6 . D. ( −;3 . Câu 37. Tính tổng các hệ số của các lũy thừa lẻ của x trong khai triển: P ( x ) = (1 + x + x 2 + x3 + ... + x100 )(1 − x + x 2 − x3 + ... + x100 ) A. 1 . B. 2100 . C. 0 . D. 299 . Câu 38. Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác đều, SA ⊥ ( ABC ) . Mặt phẳng ( SBC ) cách A một khoảng bằng a và hợp với mặt phẳng ( ABC ) góc 30 . Thể tích của khối chóp S. ABC bằng 8a 3 8a 3 4a 3 3a3 A. . B. . C. . . D. 9 3 9 12 5b − a a Câu 39. Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn log 9 a = log16 b = log12 . Giá trị của 2 b bằng a a a 1+ 6 a 7+2 6 A. = −1 + 6 . B. = 7 − 2 6 . C. = . D. = b b b 5 b 25 Câu 40. Cho hàm số y = f ( x ) . Đồ thị của hàm số bậc ba y = f ' ( x ) như hình vẽ bên dưới
Hàm số g ( x ) = e f ( 2 x−1) đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. ( −1;1) . B. ( −1; + ) . C. ( 0; 2 ) . D. ( 0;1) . Câu 41. Có bao nhiêu cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn 2  x  2021 và 2 y − log 2 ( x + 2 y −1 ) = 2 x − y ? A. 9 . B. 10 . C. 2022 . D. 2021 . Câu 42. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f  ( x ) = x ( x − 1)(13x − 15) , x  3 2 . Tìm số điểm  5x  cực trị của hàm số y = f  2   x +4 A. 2 . B. 4 . C. 6 . D. 7 . Câu 43. Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác đều, cạnh SA vuông góc với đáy, khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( SBC ) bằng 2 . Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng ( SBC ) và ( ABC ) . Tính cos khi thể tích khối chóp S. ABC nhỏ nhất. 5 2 2 3 A. cos  = . B. cos  = . C. cos  = . D. cos  = . 3 3 3 3 Câu 44. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x3 − 3x2 + 6x + 5 có hệ số góc nhỏ nhất thì phương trình là A. y = 3x + 12 . B. y = 3 x + 3 . C. y = 3x + 6 . D. y = 3x + 9 . Câu 45. Cho hình lăng trụ đều ABC.ABC có cạnh đáy AB = a . Trên cạnh BB lấy điểm M sao cho BM = 2BM . Biết AM ⊥ BC . Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.ABC 3a3 3 3a 3 3a 3 3a3 3 A. . B. . C. . D. . 8 8 4 16 Câu 46. Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có cạnh đáy bằng a . Mặt phẳng ( P ) đi qua A và SB 2 vuông góc với SC , cắt cạnh SB tại B với = . Tính thể tích khối chóp S. ABCD . SB 3 a3 6 a3 6 a3 6 a3 6 A. . B. . C. . D. . 4 2 3 6 Câu 47. Cho hình chóp S. ABC có SA vuông góc với đáy, SC = 2, BCS = 45 ; góc giữa hai mặt phẳng ( SAB) và ( SBC ) bằng 90 ; góc giữa hai mặt phẳng ( SAC ) và ( SBC ) bằng 60 . Thể tích khối chóp S. ABC là
2 2 3 A. V = B. V = 2 3 C. V = 2 2 D. V = 15 15 Câu 48. Cho hình chóp S. ABCD là hình bình hành. Hai điểm M , N lần lượt là trung điểm của AB và SC. Hai đường thẳng AN , MN lần lượt cắt mặt phẳng ( SBD ) tại I và K . Gọi V là thể tích V khối chóp S. ABCD và V  là thể tích khối tứ diện CNIK . Tỉ số bằng V 1 1 1 1 A.  B.  C.  D.  24 48 36 18 Câu 49. Cho a  0, a  1 vả hai số thực dương b, c thỏa mãn loga b = 3 và loga c = −2 , Tính a2 3 b giá trị của biểu thức P = log a . c5 A. P = 9 . B. P = −2 . C. P = −7 . D. P = 13 . Câu 50. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = b và cạnh bên SA = c vuông góc với mặt phằng ( ABCD ) . Gọi M là một điếm trên cạnh SA sao cho AM = x , 0  x  c . Tìm x để mặt phằng ( MBC ) chia khối chóp thành hai khối đa diện có thể tích bằng nhau. A. x = ( ) 5 − 1 ab . B. x = ( 2 − 3 ) ab . C. x = (3 − 2 ) c . D. x = (3 − 5 ) c . 2c 2c 2 2 ---------- HẾT ----------
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình vẽ sau Khẳng định nào sau đây đúng? A. Đồ thị hàm số không có tiệm cận. B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( −1;0 ) và ( 0;+ ) . C. Đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận. D. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 1 và giá trị nhỏ nhất bằng 0 . Lời giải Chọn C Ta có lim− y = − và lim+ y = + nên x = 0 là tiệm cận đứng. x →0 x →0 Mặt khác lim y = −2 suy ra y = −2 là tiệm cận ngang. x →− Lại có lim y = 1 suy ra y = 1 là tiệm cận ngang. x →+ Vậy hàm số đã cho có ba đường tiệm cận. Câu 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình log 2 ( 4 x − m ) = x + 1 có đúng 2 nghiệm thực phân biệt? A. 0 . B. 3 . C. 1 . D. 2 . Lời giải Chọn A Phương trình đã cho tương đương 4 x − m = 2 x +1  22 x − 2.2 x − m = 0 . (1) Đặt t = 2 x với t  0 , phương trình (1) trở thành t 2 − 2t − m = 0 . ( 2) Phương trình đã cho có hai nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi phương trình ( 2) có hai    0 1 + m  0   nghiệm phân biệt dương  S  0  2  0  −1  m  0 . P  0 −m  0   Vì m nên không tồn tại giá trị nguyên m thỏa yêu cầu bài toán. Câu 3. Cho hình lăng trụ đứng ABC.ABC  có đáy ABC là tam giác vuông tại B , biết AB = a , AC = 2a , CC  = 2a . Gọi M , I lần lượt là trung điểm AB và BC  . Tính góc giữa hai đường thẳng IM và AC  . A. 90 . B. 60 . C. 45 . D. 30 . Lời giải Chọn A
Ta có I là trung điểm BC  nên I cũng là trung điểm của BC . Do đó MI là đường trung bình của tam giác BAC nên MI AC . Mặt khác ACC A là hình vuông suy ra AC  ⊥ AC . Vậy AC  ⊥ MI hay góc giữa hai đường thẳng IM và AC  bằng 90 . cos x − 3 Câu 4. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm y = nghịch biến trên cos x − m    ;  . 2  0  m  3 0  m  3 A. m  3 . B. m  3 . C.  . D.  .  m  −1  m  −1 Lời giải Chọn D Đặt t = cos x với t  ( −1;0 ) .   t  = − sin x  0 x   ;   2  t −3 Ta có y = . t −m 3− m Khi đó y = 2 . (t − m) cos x − 3   t −3 Hàm số y = cos x − m nghịch biến trên  ;    Hàm số y = t − m đồng biến trên ( −1;0 ) 2  m  3 3 − m  0   m   0;3)   m  0   . m  ( −1;0 )   m  − 1  m  −1
Câu 5. Cho hình lăng trụ ABC  ABC có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm của tam giác ABC . Biết khoảng cách a 3 giữa đường AA và BC bằng . Tính theo a thể tích của lăng trụ ABC  ABC . 4 a3 3 a3 3 a3 3 a3 3 A. . B. . C. . D. . 6 24 12 3 Lời giải Chọn C a2 3  Ta có: SABC = . 4 Gọi O là trọng tâm tam giác ABC , suy ra AO ⊥ ( ABC ) , nên chiều cao của khối lăng trụ ABC  ABC là AO .  BC ⊥ AM  Gọi M là trung điểm của BC ta có:   BC ⊥ ( AAM ) .  BC ⊥ AO  Trong ( AMA) kẻ MH ⊥ AA . Khi đó, d ( AA, BC ) = MH = a 3 . 4 a 3 a 3 HM a 3 1  Trong ABC đều cạnh a có: AM = và sin HAM = = =  HAM = 30 . 2 AM 2 2 2 AO 2 a 3 3 a  Xét tam giác vuông AOA có: tan 30 =  AO = AO  tan 30 =   = . AO 3 2 3 3 a a 2 3 a3 3 Vậy VABC ABC = AO.SABC =  = . 3 4 12 Câu 6. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên và đồ thị (C ) . Tiếp tuyến của đồ thị ( C ) tại điểm ( 2;m) có phương trình là y = 4 x − 6 . Tiếp tuyến của các đồ thị hàm số y = f  f ( x ) và y = f ( 3x 2 − 10 ) tại điểm có hoành độ bằng 2 có phương trình lần lượt là y = ax + b và y = cx + d . Tính giá trị của biều thức S = 4a + 3c − 2b + d .
A. S = 176 . B. S = 174 . C. S = 178 . D. S = −26 . Lời giải Chọn B  Ta có f ( 2) = 4.2 − 6 = 2 nên tiếp tuyến của (C ) tại điềm M ( 2; 2 ) có phương trình là y = f  ( 2)( x − 2) + 2 . Theo giả thiết, ta có f  ( 2) = 4 .  Đặt g ( x ) = f  f ( x ) và h ( x ) = f ( 3x 2 − 10 ) . Khi đó g  ( x ) = f  ( x )  f   f ( x ) và h ( x ) = 6 x. f  ( 3x 2 − 10 ) . Ta có: f  f ( 2 ) = f ( 2 ) = 2 ; h ( 2) = f ( 2) = 2 ; g  ( 2) = f  ( 2)  f  ( 2) = 16 ; h ( 2) = 12  f  ( 2) = 48 .  Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = g ( x ) tại điềm M ( 2; 2 ) có phương trình y = 16 x − 30 , Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = h ( x ) tại điềm M ( 2; 2 ) có phương trình y = 48 x − 94 .  Do đó a = 16, b = −30, c = 48, d = −94 . Suy ra S = 174 . Câu 7. Tập xác định của hàm số y = ( 4 − 3x − x 2 ) −2021 là A. . B. ( −4;1) . C. \ −4;1 . D.  −4;1 . Lời giải Chọn C x  1 Hàm số xác định khi 4 − 3x − x 2  0    x  −4 Tập xác định D = \ −4;1 . 5 − x2 − 2 Câu 8. Tổng số các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = x2 −1 là A. 4 . B. 3 . C. 2 . D. 0 . Lời giải Chọn D − 5  x  5 5 − x 2  0  Hàm số xác định khi  2  x  1  x − 1  0  x  −1  Tập xác định D =  − 5; 5  \ −1;1
Từ đó suy ra đồ thị hàm số không có đường tiệm cận ngang. Ta có 5 − x 2 − 2 −1 5 − x 2 − 2 −1 lim+ y = lim+ = , lim y = lim = x →−1 x →−1 x2 −1 4 x→−1− x →−1− x2 −1 4 5 − x 2 − 2 −1 5 − x 2 − 2 −1 lim+ y = lim+ = , lim y = lim = x →1 x →1 x2 −1 4 x→1− x →1− x2 −1 4 Từ đó suy ra đồ thị hàm số không có đường tiệm cận đứng. 5 − x2 − 2 Vậy đồ thị hàm số y = không có đường tiệm cận. x2 −1 Câu 9. Hàm số f ( x ) = x3 + ax2 + bx + 2 đạt cực tiểu tại điểm x = 1 và f (1) = −3 . Tính b + 2a A. 3 . B. −3 . C. 15 . D. −15 . Lời giải Chọn B Ta có f  ( x ) = 3x2 + 2ax + b Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 suy ra f  (1) = 0  3 + 2a + b = 0 (1) Theo đề f (1) = −3  1 + a + b + 2 = −3  a + b = −6 (2) Giải hệ (1), (2) ta được a = 3 , b = −9 Vậy b + 2a = −9 + 2.3 = −3 . x+m Câu 10. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = trên 1;2 bằng 8 ( m x +1 là tham số thực). Khẳng định nào sau đây đúng? A. 8  m  10 . B. 4  m  8 . C. 0  m  4 . D. m  10 . Lời giải Chọn A x+m 1− m Ta có hàm số y = có y ' = ; x  −1 . x +1 ( x + 1) 2 Hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên 1;2 nên để tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ 1+ m 2 + m nhất của hàm số trên 1;2 bằng 8 thì y (1) + y ( 2 ) = 8  41 + =8 m= . 2 3 5 Câu 11. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = x8 + ( m + 1) x5 − ( m2 − 1) x 4 + 1 đạt cực tiểu tại x = 0 ? A. 2 . B. Vô số. C. 4 . D. 3 . Lời giải Chọn A
Ta có y = x8 + ( m + 1) x5 − ( m2 − 1) x 4 + 1 . TXĐ: D = y = 8 x 7 + 5 ( m + 1) x 4 − 4 ( m2 − 1) x3 = x3 8 x 4 + 5 ( m + 1) x − 4 ( m 2 − 1)  = x 3 .g ( x ) với g ( x ) = 8x 4 + 5 ( m + 1) x − 4 ( m2 − 1) Ta có y ( 0) = 0, m  . Ta kiểm tra y  có đổi dấu khi đi qua điểm x = 0 m = 1 Trường Hợp 1: g ( 0 ) = 0  m2 − 1 = 0    m = −1 + Với m = 1  y = x3 (8x 4 + 10 x ) = x 4 (8x3 + 10 ) . Khi đó y ' không đổi dấu khi x qua 0 nên m = 1 loại + Với m = −1  y = 8x7 . Khi đó y  đổi dấu từ ( − ) sang ( + ) khi x qua 0 nên m = −1 thỏa mãn. Trường Hợp 2: g ( 0)  0 để y  đổi dấu từ ( −) sang (+) khi x qua 0 thì lim g ( x )  0  −4 ( m2 − 1)  0  −1  m  1; m   m = 0. x →0 Vậy có tất cả 2 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 12. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 4 . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD A. 3. B. 6. C. 2 3 . D. 2. Lời giải Chọn B Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD . Do tứ diện ABCD đều nên AO ⊥ ( BCD ) Kẻ đường trung trực của cạnh AB , cắt AO tại I . Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. Gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện, R = AI AN AI AB2 Ta có ANI AOB nên = hay AI = AO AB 2AO
Trong đó AB = 4 và AO là đường cao của tứ diện, O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác 2 4 3 4 6 BCD . Khi đó AO = AB − BO = 4 −  2 2  = 2 .  3  3 Vậy R = 6 . Câu 13. Cho đa thức f ( x ) có hệ số thực thỏa mãn điều kiện 2 f ( x ) + f (1 − x ) = x2 , x  . Số điểm cực trị của hàm số y = 3xf ( x ) + x2 + 4x + 1 là A. 3 B. 0 . C. 1 . D. 2 . Lời giải Chọn B Theo giả thiết 2 f ( x ) + f (1 − x ) = x2 , x  . Do đó 2 f (1 − x ) + f ( x ) = (1 − x ) , x  2 . 2 f ( x ) + f (1 − x ) = x 2 4 f ( x ) + 2 f (1 − x ) = 2 x  2 Ta có   2 f (1 − x ) + f ( x ) = (1 − x ) 2 f (1 − x ) + f ( x ) = x − 2 x + 1 2 2  4 f ( x ) + 2 f (1 − x ) = 2 x  2   3 f ( x ) = x2 + 2x −1 . 2 f (1 − x ) + f ( x ) = x − 2 x + 1 2  Khi đó y = 3xf ( x ) + x2 + 4x + 1 = x ( x 2 + 2 x − 1) + x 2 + 4 x + 1 = x3 + 3x 2 + 3x + 1 y = 3x2 + 6x + 3  y   0, x  Vậy hàm số y = 3xf ( x ) + x2 + 4x + 1 không có cực trị. Câu 14. Cho hình lập phương ABCD. ABCD có cạnh bằng a 2 . Tính theo a thể tích khối tứ diện ACBD . 2 2a 3 a3 2a 3 2a 3 A. . B. . C. . D. . 3 3 2 6 Lời giải Chọn A
Thể tích khối lập phương V = 2 2a 3 VACBD = V −VB. ABC −VD. ACD −VC.CBD −VA. ABD 1 1 1 Ta có VA. ABC = BB.SABC = BB.SABCD = V 3 6 6 1 1 1 1 1 2 2a3 Do đó VACBD = V − V − V − V − V = V = 6 6 6 6 3 3 Câu 15. Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = −x3 + 3x2 − mx có hai điểm cực trị, đồng thời nghịch biến trên khoảng ( −;0) . Số phần tử của tập S là A. 2 . B. 3 . C. 1 . D. 4 . Lời giải Chọn B Ta có y = −3x2 + 6x − m . Hàm số y = −x3 + 3x2 − mx có hai điểm cực trị, đồng thời nghịch biến trên khoảng ( −;0) Khi và chỉ khi y  = 0 có hai nghiệm phân biệt và y   0, x  ( −;0) 9 − 3m  0  m  3  m  3      y   0, x  ( −;0 )  −3x + 6 x − m  0, x  ( −;0 ) m  −3x + 6 x, x  ( −;0 ) 2 2   Xét hàm số h ( x ) = −3x2 + 6x m  −3x2 + 6x, x  ( −;0)  m  0 . Do đó 0  m  3
Vậy S = 0;1;2 Câu 16. Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên , hàm số y = f  ( x ) liên tục và có đồ thị như hình vẽ dưới đây. y 3 O 1 3 x Hàm số y = f ( 4 − 2 x ) đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. ( −1;0 ) . B. (1;3) . C. ( 0;+ ) . D. ( 0;1) . Lời giải Chọn A x = 1 Từ đồ thị hàm số y = f  ( x ) ta có f  ( x )  0  x  3 ; f  ( x )  0  x  3 ; f  ( x ) = 0   x = 3 Xét hàm số y = f ( 4 − 2 x ) ta có y = −2x ln ( 2 ) . f  ( 4 − 2 x ) . Giải phương trình  4 − 2 x = 1 ( nghiêm kép ) y = 0  −2 ln ( 2 ) . f  ( 4 − 2 ) = 0  f  ( 4 − 2 ) = 0   x x x  4 − 2 = 3 x 2x = 3  x = log 2 3  x  . 2 = 1 x = 0 Hàm số y = f ( 4 − 2 x ) đồng biến khi y  0  −2x ln ( 2 ) . f  ( 4 − 2 x )  0  f  ( 4 − 2 x )  0  4 − 2x  3  2x  1  x  0 Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta có hàm số đồng biến trên khoảng ( −;0)  Hàm số y = f ( 4 − 2 x ) đồng biến trên khoảng ( −1;0 ) . Câu 17. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau Số nghiệm của phương trình f ( x ) = 2 là A. 0 . B. 1 . C. 2 . D. 3 . Lời giải Chọn B Số nghiệm của phương trình f ( x ) = 2 bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( x ) và đường thẳng y = 2 . Kẻ đường thẳng y = 2 , ta có đường thẳng y = 2 cắt đồ thị hàm số y = f ( x ) tại một điểm nên phương trình f ( x ) = 2 có đúng 1 nghiệm. Câu 18. Gọi Sn là tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân ( un ) có công bội q khác 1 . Biết S8 = 257S4 và u3 = 32 . Tính u1 . A. 2 . B. 3 . C. 8 . D. 4 . Lời giải. Chọn A  1 − q8 1 − q4 S8 = 257 S4 u1 = 257u1 1 − q8 = 257 (1 − q 4 ) Theo đề bài ta có    1− q 1− q   u3 = 32 u q 2 = 32 u1q = 32 2  1   q 4 = 256   q 2 = 16 q − 257q + 256 = 0   4 8 4   2  q = 1  q 2 = 1 . u1q = 32  2  2 u1q = 32 u1q = 32
Mặt khác theo đề bài cấp số nhân ( un ) có công bội q khác 1 nên q2 = 16 . Với q2 = 16 ta có u1q2 = 32  16u1 = 32  u1 = 2 . Câu 19. Có bao nhiêu số nguyên dương n sao cho S là một số có 1000 chữ số. Biết: S = 2 + ( C10 + C20 + ... + Cn0 ) + ( C11 + C21 + ... + Cn1 ) + ... + ( Cnn−−11 + Cnn−1 ) + Cnn A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Lời giải Chọn D Ta có: S = 2 + ( C10 + C11 ) + ( C20 + C21 + C22 ) + ... + ( Cn0 + Cn1 + ... + Cnn−1 + Cnn ) n Xét khai triển (1 + n ) =  Cnk = Cn0 + Cn1 + Cn2 + ... + Cnn = 2n n k =0 2 (1 − 2n ) Từ đó ta có: S = 2 + 21 + 22 + ... + 2n = 2 + = 2 + 2 ( 2n − 1) = 2n+1 1− 2 Để S là số có 1000 chữ số thì n+1 10 999 2  10  log2 10 −1  n  log2 10 −1  3317,6  n  3320,9 . 1000 999 1000 Do n là số nguyên dương  n 3318;3319;3320. Câu 20. Tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình log 6 ( 3.4 x + 2.9 x ) = x + 1 bằng A. 1. B. 0. C. 3. D. 4. Lời giải Chọn A Ta có: log 6 ( 3.4 x + 2.9 x ) = x + 1 2x x 2 2  3.4 + 2.9 = 6 x x x+1  3.   − 6.   + 2 = 0 (1) 3 3 x 2 Đặt   = t , ( t  0 ) . 3 Khi đó (1)  3t 2 − 6t + 2 = 0 Hiển nhiên phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt t1 , t2 thỏa mãn x x 2 2 1 2 2 2 t1.t2 =    .   =  x1 + x2 = 1. 3 3 3 3 Câu 21. Phương trình log 2 ( mx − 6 x ) + 2log ( −14 x 3 1 2 + 29 x − 2 ) = 0 có 3 nghiệm thực phân 2 biệt khi 39 A. m  19 . B. 19  m  . C. m  39 . D. 19  m  39 . 2 Lời giải Chọn B Phương trình tương đương
mx − 6 x3 = −14 x 2 + 29 x − 2 ( ) ( log 2 mx − 6 x = log 2 −14 x + 29 x − 2   3 2 ) −14 x + 29 x − 2  0 2  2  m = 6 x 2 − 14 x + 29 − x  1 x2 14 2 1  Xét hàm số f ( x ) = 6 x 2 − 14 x + 29 − trên  ; 2  x  14   x = 1  12 x − 14 x + 2 3 2 x = 1 Ta có f  ( x ) = = 0  x 2  2  1  x = − ( loai )  3 Bảng biến thiên Phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình f ( x ) = m có 3 nghiệm  1  BBT 39 phân biệt thuộc khoảng  ; 2  ⎯⎯⎯ →19  m   14  2 Câu 22. Cho tam giác ABC cân tại A , góc BAC = 120 và AB = 4 cm . Tính thể tích khối tròn xoay lớn nhất có thể khi ta quay tam giác ABC quanh đường thẳng chứa một cạnh của nó. 16 16 A. 16 3 ( cm3 ) . B. 16 ( cm3 ) . C. 3 cm3 . ( ) D. 3 ( cm3 ) . Lời giải Chọn B A B H C Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên BC .