Đề thi chọn HSG cấp thành phố lớp 9 môn Toán năm 2016 - 2017 - Sở GD&ĐT Bắc Giang

PHÒNG GD&ĐT<br /> TP. BẮC GIANG<br /> <br /> ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ<br /> NĂM HỌC 2016-2017<br /> Môn: Toán lớp 9<br /> Thời gian làm bài: 150 phút<br /> <br /> Bài 1: (5 điểm)<br /> a a b b<br /> a<br /> b<br /> với a, b > 0 và a  b<br /> <br /> <br /> ab<br /> a b<br /> b a<br /> Rút gọi M và tính giá trị biểu thức M biết 1  a 1  b   2 ab  1<br /> <br /> a. Cho biểu thức M=<br /> <br /> 5<br /> 4<br /> <br />  18 2  3<br /> a b 2 a b 2<br /> c. Cho a, b, c thỏa mãn a  b  c  7 ; a  b  c  23 ; abc  3<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> Tính giá trị biểu thức H=<br /> <br /> <br /> ab  c  6<br /> bc  a  6<br /> ca  b  6<br /> <br /> b. Tìm các số nguyên a, b thoả mãn<br /> <br /> Bài 2: (4,5 điểm)<br /> a. Tính giá trị của biểu thức N=<br /> <br /> 4 3  4 3<br /> 4  13<br /> <br />  27  10 2<br /> <br /> b. Cho a, b là số hữu tỉ thỏa mãn  a 2  b2  2   a  b  + (1  ab)2  4ab<br /> 2<br /> <br /> Chứng minh 1  ab là số hữu tỉ<br /> 2<br /> c. Giải phương trình x  x  4  2 x  1 1  x <br /> Bài 3: (3,5 điểm)<br /> a. Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thoả mãn x5  y 2  xy 2  1<br /> b. Cho a, b, c>0 thỏa mãn abc=1 . Chứng minh<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 3<br /> <br /> <br /> <br /> ab  a  2<br /> bc  b  2<br /> ca  c  2 2<br /> <br /> Bài 4: (6 điểm) Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB. Trên nửa mặt phẳng<br /> bờ AB có chứa nửa đường tròn vẽ tiếp tuyến Ax với nửa đường tròn, trên Ax lấy<br /> M sao cho AM > R. Từ M vẽ tiếp tuyến MC với nửa đường tròn, từ C vẽ CH<br /> vuông góc với AB, CE vuông góc với AM. Đường thẳng vuông góc với AB tại<br /> O cắt BC tại N. Đường thẳng MO cắt CE, CA, CH lần lượt tại Q, K, P.<br /> a. Chứng minh MNCO là hình thang cân<br /> b. MB cắt CH tại I. Chứng minh KI song song với AB<br /> c. Gọi G và F lần lượt là trung điểm của AH và AE. Chứng minh PG vuông<br /> góc với QF<br /> Bài 5: (1 điểm) Tìm số nguyên dương n lớn nhất để A= 427 + 42016 + 4n là số<br /> chính phương<br /> Họ tên thí sinh.................................................... SBD:................................<br /> <br /> HƯỚNG DẪN CHẤM HSG CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2016-2017<br /> MÔN: TOÁN LỚP 9<br /> <br /> Câu<br /> Bài 1<br /> a/<br /> 1,5đ<br /> <br /> Nội Dung<br /> -Rút gọn M=<br /> <br /> Điểm<br /> 4đ<br /> <br /> ab<br /> với a, b>0 và a  b<br /> a b<br /> <br /> 0,75<br /> <br /> -Ta có<br /> <br /> 1  a 1  b   2<br />  ab <br /> <br /> <br /> <br /> a b<br /> <br /> ab  1  ab  a  b  1  2 ab  1<br /> <br /> <br /> <br /> 2<br /> <br /> (<br /> <br /> ab 2<br /> ) 1<br /> a b<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> ab<br /> 1<br /> a b<br /> <br /> + Nếu a>b>0<br />  a  b  a  b  0; ab  0 <br /> <br /> ab<br /> 0<br /> a b<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> ab<br /> ab<br /> ab<br /> <br /> <br /> 1 M 1<br /> a b<br /> a b<br /> a b<br /> <br /> <br /> <br /> + nếu 00 ta có x  y  2 xy   x  y   4 xy <br /> 2<br /> <br /> 1<br /> 11 1<br />    <br /> x y 4 x y<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> áp dụng ta có<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> <br /> <br /> <br /> ab  a  2 ab  1  a  1 ab  abc  a  1 ab( c  1)  ( a  1)<br /> 1<br /> 1<br /> 1  1  abc<br /> 1  1 c<br /> 1 <br /> <br />  <br /> <br />  <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 4  ab(c  1) a  1  4  ab(c  1) a  1  4  c  1 a  1 <br /> 1<br /> 1 c<br /> 1 <br /> Vây ta có<br />  <br /> <br /> <br /> ab  a  2 4  c  1 a  1 <br /> 1<br /> 1 a<br /> 1 <br /> 1<br /> 1 b<br /> 1 <br /> Tương tự ta có<br />  <br /> <br />  <br /> <br /> ;<br />  nên<br /> bc  b  2 4  a  1 b  1  ca  c  2 4  b  1 c  1 <br /> <br /> <br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> <br /> <br /> 3<br /> <br /> <br /> <br />  ab  a  2 bc  b  2 ca  c  2 <br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 1 c<br /> 1<br /> a<br /> 1<br /> b<br /> 1  3<br />  3 <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 4  c 1 a 1 a 1 b 1 b 1 c 1 2<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 3<br /> Vậy<br /> <br /> <br />  dấu “=” có khi a=b=c=1<br /> ab  a  2<br /> bc  b  2<br /> ca  c  2 2<br /> <br /> 0,25<br /> 6đ<br /> <br /> Bài 4<br /> N<br /> <br /> M<br /> <br /> E<br /> <br /> Q<br /> <br /> F<br /> <br /> K<br /> <br /> A<br /> <br /> C<br /> I<br /> T<br /> <br /> G<br /> <br /> O<br /> <br /> H<br /> <br /> P<br /> <br /> B<br /> <br />