Đề thi chọn HSG cấp tỉnh lớp 9 môn Toán năm 2010 - 2011 - Sở GD&ĐT Thanh Hóa

Chia sẻ: Thu Maile | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

40
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề thi chọn HSG cấp tỉnh lớp 9 môn Toán năm 2010 - 2011 - Sở GD&ĐT Thanh Hóa sau đây để biết được cấu trúc đề thi cũng như những nội dung chính được đề cập trong đề thi để từ đó có kế hoạch học tập và ôn thi một cách hiệu quả hơn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi chọn HSG cấp tỉnh lớp 9 môn Toán năm 2010 - 2011 - Sở GD&ĐT Thanh Hóa

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH Năm học 2010- 2011 Đề chính thức Môn thi: Toán Lớp: 9 THCS Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 24/03/2011 (Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu). Số báo danh Câu I. (5,0 điểm). 1) Cho phương trình: x2  2m x  2m  1  0. Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm 2x x  3 khi m thay đổi. x1 , x2 với mọi m. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  2 2 1 2 x1  x2  2(1  x1 x2 ) 1 1 1 2) (a). Cho ba số hữu tỉ a, b, c thoả mãn   . Chứng minh rằng A  a 2  b2  c 2 a b c là số hữu tỉ. (b). Cho ba số hữu tỉ x, y, z đôi một phân biệt. Chứng minh rằng: B 1 1 1   là số hữu tỉ. 2 2 ( x  y ) ( y  z ) ( z  x) 2 2 2  x   x  10      . 9  x 1   x 1   2 1 1  x  x  1    4 y y  2) Giải hệ phương trình:  2  x 3  x  x  1  4.  y 2 y y3 Câu III. (2,0 điểm). Cho tam giác đều ABC, các điểm D, E lần lượt thuộc các cạnh AC, AB, sao cho BD, CE cắt nhau tại P và diện tích tứ giác ADPE bằng diện tích tam giác BPC. Tính BPE. Câu IV. (4,0 điểm). Cho đường tròn tâm O và dây cung AB cố định ( O  AB ). P là điểm di động trên đoạn thẳng AB ( P  A, B và P khác trung điểm AB). Đường tròn tâm C đi qua điểm P tiếp xúc với đường tròn (O) tại A. Đường tròn tâm D đi qua điểm P tiếp xúc với đường tròn (O) tại B. Hai đường tròn (C) và (D) cắt nhau tại N ( N  P ). 1) Chứng minh rằng ANP  BNP và bốn điểm O, D, C, N cùng nằm trên một đường tròn. 2) Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn ON luôn đi qua điểm cố định khi P di động. Câu V. (4,0 điểm). 1) Cho a1 , a2 ,...., a45 là 45 số tự nhiên dương thoả mãn a1  a2  ....  a45  130. Đặt d j  a j 1  a j , ( j  1,2,...,44). Chứng minh rằng ít nhất một trong 44 hiệu d j xuất hiện ít nhất 10 lần. Câu II. (5,0 điểm).1) Giải phương trình: 2) Cho ba số dương a, b, c thoả mãn: a 2  b2  b2  c2  c 2  a 2  2011. a2 b2 c2 1 2011 Chứng minh rằng:    . bc ca ab 2 2 ............................................................. HẾT ........................................................ Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. SỞ GD & ĐT THANH HOÁ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH (Gồm có 3 trang) Câu Câu I 6đ NĂM HỌC 2010 - 2011 MÔN THI: TOÁN LỚP: 9 THCS Ngày thi: 24 - 3 - 2011 Ý Hướng dẫn chấm 2 1) Ta có  '  (m  1)  0, m nên phương trình có hai nghiệm với mọi m. 2,5đ 4m  1 Theo định lí viet, ta có x1  x2  2m, x1x2  2m  1 , suy ra P  4m 2  2 (2m  1)2 1  1  1. Max P  1, khi m  . 2 4m  2 2 2a) Từ giả thiết suy ra 2ab  2bc  2ca  0 1,5đ Suy ra A  (a  b  c)2  a  b  c là số hữu tỉ 2b) 1 1 1 1 1 1 1,0đ Đặt a  x  y , b  y  z , c  x  z suy ra a  b  c . Áp dụng câu 2a) suy ra B  1 1 1   là số hữu tỉ. 2 2 ( x  y ) ( y  z ) ( z  x) 2 Câu II 1) Đk: x  1. Phương trình tương đương với 2 2 6đ 2,5đ  2x2  x  x2 10 2 x 2 10  x   2      0.  2    2 x2  1 9 x  1 x  1 9  x 1 x 1    1,0 1,0 0,5 1,0 0,5 0,5 1,0 2 x2 10 5 2 , ta được phương trình t 2  t   0  t  hoặc t  2 9 3 x 1 3 2 2x 5 5  (vô nghiệm) Với t  , ta được 2 x 1 3 3 2 x2 2 2 1   suy ra x   . Với t   , ta được 2 x 1 3 3 2 0,5 1  2 1 x  y2  x  y  4  Đk: y  0. Hệ tương đương với   x3  1  x  x  1   4.    y3 y  y 1  2 2 u  x  y   u  2 u  u  2v  4 u  4u  4  0   2  Đặt  ta được hệ  3 u  2uv  4 u  u  4  2v v  1.   v  x ,  y 0,5 Đặt t  2) 2,5đ Điểm 0,5 0,5 0,5 1,0 Câu III 2đ Câu IV 4,0đ 1  x  2  y u  2 x  1  Với  ta được  (thoả mãn điều kiện)  v  1, x y  1.    1  y Kẻ EF  AC tại F, DG  BC tại G. Theo giả thiết S( ADPE )  S( BPC )  S( ACE )  S( BCD ) . 1,0 0,5 Mà AC  BC  EF  DG và A  C Suy ra AEF  CDG  AE  CG. 0,5 Do đó AEC  CDB(c  g  c)  DBC  ECA 0,5 0,5  BPE  PBC  PCB  PCD  PCB  600 1) Gọi Q là giao điểm của các tiếp tuyến 3,0đ chung của (O) với (C), (D) tại A, B tương ứng. 1,0 Suy ra ANP  QAP  QBP  BNP. Ta có N H O ANB  ANP  BNP  QAP  QBP  180  AQB , suy ra NAQB nội tiếp (1). Dễ thấy tứ giác OAQB nội tiếp (2) Từ (1) và (2) suy ra 5 điểm O, N, A, Q, B cùng nằm trên một đường tròn. D C 0 A 0,5 P B 0,5 E Suy ra các điểm O, N, A, B cùng nằm trên một đường tròn. Ta có OCN  2OAN  2OBN  ODN , suy ra bốn điểm O, D, C, N cùng nằm trên một đường tròn. Câu V 2đ 0,5 Q 0,5 2) Gọi E là trung điểm OQ, suy ra E cố định và E là tâm đường tròn đi qua 1,0đ các điểm N, O, D, C. Suy ra đường trung trực của ON luôn đi qua điểm E cố định. 1) d1  d2  ...  d44  (a2  a1 )  (a3  a2 )  ...  (a45  a44 )  a45  a1  130  1  129. (1) 2,0 Nếu mỗi hiệu d ( j  1,2,....,44) xuất hiện không quá 10 lần thì j đ d1  d2  ...  d44  9(1  2  3  4)  8.5  130 mâu thuẫn với (1). Vậy phải có ít nhất một hiêụ d j ( j  1,...,44) xuất hiện không ít hơn 10 lần 1,0 2) Ta có 2(a 2  b2 )  (a  b)2 . 2,0đ 0,5 0,5 1,5 a2 b2 c2 a2 b2 c2 Suy ra      bc ca ab 2  b2  c2  2  c2  a2  2 c2  a2  Đặt x  b2  c 2 , y  c 2  a 2 , z  a 2  b2 , y 2  z 2  x2 z 2  x2  y 2 x2  y 2  z 2   suy ra VT  2 2x 2 2y 2 2z 2 2   ( z  x)   ( x  y)2  1  ( y  z )   x    y  z   2 2  2 x   2y   2z    ( z  x) 2   ( x  y)2  1  ( y  z ) 2   2 x  3x     2 y  3y     2 z  3z    2 2  2 x   2y   2z   1 2 2  2( y  z )  3x    2( z  x)  3 y    2( x  y  3z  Suy ra VT  1 2 2 ( x  y  z)  1 2011 2 2 GHI CHÚ: Nếu học sinh giải cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa. 1,0 0,5