Đề thi chọn HSG cấp trường môn Toán 8 năm 2018-2019 có đáp án - Trường THCS Quang Trung

Chia sẻ: Xylitol Extra | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

122
lượt xem 8
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mời quý thầy cô và các em học sinh tham khảo Đề thi chọn HSG cấp trường môn Toán 8 năm 2018-2019 có đáp án - Trường THCS Quang Trung. Hi vọng tài liệu sẽ là nguồn kiến thức bổ ích giúp các em củng cố lại kiến thức trước khi bước vào kì thi học kì chọn HSG cấp trường sắp tới. Chúc các em ôn tập kiểm tra đạt kết quả cao!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi chọn HSG cấp trường môn Toán 8 năm 2018-2019 có đáp án - Trường THCS Quang Trung

TRƯỜNG THCS QUANG TRUNG KHẢO SÁT CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG TỔ KHOA HỌC – TỰ NHIÊN LỚP 8 THCS NĂM HỌC 20182019 MÔN: TOÁN Ngày thi: 10/4/2019 Thời gian làm bài: 150 phút ........................................................................ Bài 1. (4,0 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a. A = x 3 + 2019 x 2 + 2019 x + 2018 b. B = x 4 − 5 x 2 + 4 c. Cho a 5; ab 10 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = a 2 + b 2 Bài 2. (6,0 điểm) a. Cho a; b là các số tự nhiên. Chứng minh rằng: M = a 5 + b5 − (a + b)M5 . b. Tìm các giá trị x và y thỏa mãn: x 2 + y 2 − 4 x − 2 y + 5 = 0 x − 2015 x + 2007 x + 2006 x − 2018 c. Giải phương trình + = + . 2010 2012 2011 2013 d. Giải phương trình bậc 4 sau: x 4 − 11x 2 + 4 x + 21 = 0 . Bài 3. (4,0 điểm) ab + bc + ca và ( a + b + c ) 2 a. Chứng minh a 2 + b 2 + c 2 3(ab + bc + ca ) . với mọi số thực a, b, c. b. Chứng minh rằng với mọi số nguyên x thì biểu thức P một số chính phương. P = ( x+5 ) ( x+7 ) ( x + 9 ) ( x + 11) + 16. Bài 4. (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A ( AC AB) . Vẽ đường cao AH ( H BC ) . Trên tia đối của tia BC lấy điểm K sao cho KH = HA. Qua K kẻ đường thẳng song song với AH, cắt đường thẳng AC tại P. a) Chứng minh: Tam giác ABC Đồng dạng với tam giác KPC. b) Chứng minh: Tam giác AKC đồng dạng với tam giác BPC. c) Gọi Q là trung điểm của BP. Chứng minh: QH là đường trung trực của đoạn thẳng AK. d) Chứng minh: Tam giác BHQ đồng dạng với tam giác BPC. ________________Hết________________ \
TRƯỜNG THCS QUANG TRUNG HDC THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯƠNG TỔ KHOA HỌC – TỰ NHIÊN LỚP 8 THCS NĂM HỌC 20182019 MÔN: TOÁN Bài Sơ lược lời giải Điêm Bài 1. (4,0 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a. A = x 3 + 2019 x 2 + 2019 x + 2018 b. B = x 4 − 5 x 2 + 4 c. Cho a 5; ab 10 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = a 2 + b 2 A = x 3 + 2019 x 2 + 2019 x + 2018 A = x 3 − 1 + 2019( x 2 + x + 2019) 0,5 1a A = (x 1)(x 2 + x + 1) + 2019( x 2 + x + 1) 0,5 (1,5) A = ( x 2 + x + 1) ( x − 1 + 2019) A = (x 2 + x + 1 )(x + 2018) 0,5 B = x 4 − 5 x 2 + 4 B = x 4 − x 2 − 4 x 2 + 4 0,5 1b B = x 2 ( x 2 − 1) − 4( x 2 − 1) 0,5 (1,5) B = (x 2 − 1)( x 2 − 4) 0,25 B = (x 1)(x + 1)(x 2)(x + 2) 0,25 Cho a 5; ab 10 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = a 2 + b 2 0,25 Ta có: ( x − y ) 2 0 x 2 − 2 xy + y 2 0 x2 + y2 2 xy . với mọi x; y 4a 2 21a 2 Do đó: P = a + b = b + 2 2 +2 25 25 (2a)2 21a 2 2.b.2a 21a 2 4ab 21a 2 0,25 1c P = b 2 + 2 + P + = + 5 25 5 25 5 25 (1) Theo đề bài : a 5 a 25 ; và ab 10 2 4.10 21.25 0,25 P + 5 25 P 29 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 29. Dấu bằng xãy ra khi và chỉ khi 0,25 a = 5; b = 2. Bài 2. (6,0 điểm) a. Cho a; b là các số tự nhiên. Chứng minh rằng: M = a 5 + b5 − (a + b)M5 . b. Tìm các giá trị x và y thỏa mãn: x 2 + y 2 − 4 x − 2 y + 5 = 0
x − 2015 x + 2007 x + 2006 x − 2018 c. Giải phương trình + = + . 2010 2012 2011 2013 d. Giải phương trình bậc bốn sau: x 4 − 11x 2 + 4 x + 21 = 0 . Ta có: a 5 + b5 − (a + b) = (a 5 − a ) + (b5 − b) Mặt khác: (a 5 − a ) = a (a 4 − 1) = a( a 2 − 1)(a 2 + 1) = a (a − 1)(a + 1)(a 2 + 1) 0,25 = a (a − 1)(a + 1)(a − 4 + 5) = a ( a − 1( a + 1) (a − 2)(a + 2) + 5a (a − 1)(a + 1) 2 0,25 2a = (a − 2)(a − 1)a( a + 1)(a + 2) + 5a( a − 1)(a + 1) Do: (1,5) (a − 2)(a − 1) a(a + 1)( a + 2) là tích của 5 số tự nhiên liên tiếp nên: (a − 2)(a − 1) a(a + 1)( a + 2)M5 và 0,25 5a (a − 1)(a + 1) là bội của 5 nên: 5a (a − 1)(a + 1)M5 0,25 Do đó: a 5 − aM5 . Chứng minh tương tự: b5 − bM5 M M5 0,5 x2 + y 2 − 4x − 2 y + 5 = 0 ( x 2 − 4 x + 4) + ( y 2 − 2 y + 1) = 0 2b 0,5 ( x − 2) 2 + ( y − 1) 2 = 0 (1,5) 0,5 x = 2 và y = 1 0,5 x − 2015 x + 2007 x + 2006 x − 2018 Ta có: + = + 2010 2012 2011 2013 0,5 x − 2015 x + 2007 x + 2006 x − 2018 +1+ −1 = −1+ +1 2010 2012 2011 2013 x − 2015 2010 x + 2007 2012 x + 2006 2011 x − 2018 2013 0,25 + + − = − + + 2c 2010 2010 2012 2012 2011 2011 2013 2013 (1,5) x −5 x −5 x −5 x −5 1 1 1 1 + = + ( x − 5)( − + − )=0 2010 2012 2011 2013 2010 2011 2012 2013 0,25 1 1 1 1 x=5 [do: ( − + − ) > 0] 2010 2011 2012 2013 Vậy nghiệm của phương trình là x = 5. 0,25 0,25 2d x 4 − 11x 2 + 4 x + 21 = 0 (1,5) x 4 − 10 x 2 + 25 − ( x 2 − 4 x + 4) = 0 0,25 ( x 2 − 5) 2 − ( x − 2) 2 = 0 ( x 2 + x − 7)( x 2 − x − 3) = 0 ( x 2 + x − 7) = 0 Hoặc ( x 2 − x − 3) = 0 0,25 2 TH 1. ( x 2 + x − 7) = 0 (4 x 2 + 4 x − 28) = 0 [(2 x) 2 + 2.2 x + 1) − 29 ] = 0 2 [(2 x + 1) 2 − 29 ] = 0 (2 x + 1 − 29)(2 x + 1 + 29] = 0 0,25 −1 + 29 −1 − 29 x= Hoặc x = . 2 2
2 TH 2. ( x 2 − x − 3) = 0 (4 x 2 − 4 x − 12) = 0 [(2 x) 2 − 2.2 x + 1) − 13 ] = 0 2 0,25 [(2 x − 1) 2 − 13 ] = 0 (2 x − 1 − 13)(2 x − 1 + 13] = 0 1 + 13 1 − 13 x= Hoặc x = . 2 2 −1 − 29 −1 + 29 1 + 13 1 − 13 0,25 Vậy tập nghiệm của PT là: S = ; ; ; � 2 2 2 2 0,25 Bài 3. (4,0 điểm) ab + bc + ca và ( a + b + c ) 2 a. Chứng minh a 2 + b 2 + c 2 3(ab + bc + ca ) . với mọi số thực a, b, c. b. Chứng minh rằng với mọi số nguyên x thì biểu thức P một số chính phương. P = ( x+5 ) ( x+7 ) ( x + 9 ) ( x + 11) + 16. 3a a. Chứng minh a 2 + b 2 + c 2 ab + bc + ca và ( a + b + c ) 3(ab + bc + ca) . với mọi số thực a, b, c. 2 Ta có: a 2 + b 2 2ab ; b 2 + c 2 2bc ; c 2 + a 2 2ac Với mọi a, b, c. 0,5 2.0 Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được: 2(a 2 + b 2 + c 2 ) 2(ab + bc + ca ) a 2 + b 2 + c 2 ab + bc + ca (ĐPCM). 0,5 Ta có: (a 2 + b 2 + c 2 ab + bc + ca a + b + c + 2(ab + bc + ca ) 3( ab + bc + ca ) 2 2 2 0,5 (a + b + c)2 3(ab + bc + ca ) (ĐPCM). 0,5 3b Ta có: P = ( x+5 ) ( x+7 ) ( x + 9 ) ( x + 11) + 16. P = ( x + 5)( x + 11)( x + 7)( x + 9) + 16. 0,5 P = ( x 2 + 16 x + 55)( x 2 + 16 x + 63)+ 16. 0,5 2.0 P = ( x 2 + 16 x + 55) 2 + 8( x 2 + 16 x + 55)+ 16. 0,25 P = ( x 2 + 16 x + 55) 2 + 2( x 2 + 16 x + 55).4+ 42 . 0,25 P = ( x 2 + 16 x + 59) 2 . Vơi x là số nguyên thì P là một số CP. 0,5 Bài 4. (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A ( AC AB) . Vẽ đường cao AH ( H BC ) . Trên tia đối của tia BC lấy điểm K sao cho KH = HA. Qua K kẻ đường thẳng song song với AH, cắt đường thẳng AC tại P.
a. Chứng minh: Tam giác ABC Đồng dạng với tam giác KPC. b.Chứng minh: Tam giác AKC đồng dạng với tam giác BPC. c.Gọi Q là trung điểm của BP. Chứng minh: QH là đường trung trực của đoạn thẳng AK. d. Chứng minh: Tam giác BHQ đồng dạng với tam giác BPC. 0.5 I 0.5 K 1 B H Q P 1 A C S 4.a Chứng minh: ∆ ABC ∆ KPC ( G.G) 1 1 đ 4b Chứng minh: ∆SAKC ∆ BPC 1.5 AC BC AC KC 1 Ta có: ∆S ABC ∆ KPC ( Cmt) = = Và ﾷACB = BCK ﾷ KC PC BC PC Do đó: ∆S AKC ∆ BPC ( C.G. C) 0.5 4c . Gọi Q là trung điểm của BP. Chứng minh: QH là đường trung trực của đoạn thẳng AK. 1.5 PB Ta có: AQ = KQ = (Trung tuyến ứng với nửa cạnh huyền trong tam 0,75 2 giác vuông). Lại có: HK = HA (Giả thiết). Do đó: QH là đường trung trực của AK. 0,75 d. Chứng minh: Tam giác BHQ đồng dạng với tam giác BPC. 4d S (1.5) Ta có: ∆ AKC ∆ BPC (cmt) BPC ﾷ = ﾷAKC S mà ﾷAKC = 450 ( Do tam giác HKC vuông cân tại H) BPC ﾷ = 450 ﾷﾷ 0,25 Mặt khác: BHQ = KHQ = 450 (HQ là đường trung trực của đoạn thẳng AK) S ﾷ BHQ ﾷ = BPC = 450 0,5 S Xét : ∆ BHQ và ∆ BPC có. ﾷ HBQ ﾷ = PBC ( Q BP; H BC ) 0.5 S ﾷ BHQ ﾷ = BPC = 450 . Do đó: ∆SBHQ ∆ BPC ( G.G) 0.25 S S