Đề thi chọn HSG cấp trường môn Toán lớp 12 năm 2017-2018 lần 1 - THPT Đồng Đậu

Chia sẻ: Hà Hạo Nam | Ngày: | Loại File: DOCX | Số trang:7

Thêm vào BST

Báo xấu

127
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề thi chọn HSG cấp trường môn Toán lớp 12 năm 2017-2018 lần 1 - THPT Đồng Đậu dành cho học sinh và giáo viên tham khảo, giúp các em phát triển và tư duy năng khiếu của mình về Toán học, nhằm giúp bạn củng cố kiến thức luyện thi học sinh giỏi đạt kết quả cao.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi chọn HSG cấp trường môn Toán lớp 12 năm 2017-2018 lần 1 - THPT Đồng Đậu

TRƯỜNG THPT ĐỒNG KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 CẤP TRƯỜNG LẦN 1 ĐẬU NĂM HỌC 20172018 ĐỀ THI MÔN: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1 (2.0 điểm). a) Giải phương trình: (1) b) Một hộp đựng 16 viên bi, trong đó có 5 viên bi màu đỏ đôi một khác nhau, 5 viên bi màu xanh đôi một khác nhau và 6 viên bi màu vàng đôi một khác nhau. Lấy ngẫu nhiên từ hộp đã cho 7 viên bi. Tính xác suất để lấy được 7 viên bi có đủ 3 loại màu. Câu 2 (2.0 điểm). a)Cho hàm số Tìm m để hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 4 . b)Cho hàm số . Tìm các giá trị của m để hàm số (1) có hai cực trị đồng thời các điểm cực trị cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4. Câu 3 (2.0 điểm). a)Chứng minh đẳng thức sau: . b) Cho hàm số có đồ thị là .Trong tất cả các tiếp tuyến với đồ thị , hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất. Câu 4 (1.0 điểm). Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân với AB=AC=a , mặt phẳng (AB’C’) tạo với đáy một góc .Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a. Câu 5 (1.0 điểm). Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật và vuông góc với mặt phẳng . Đường thẳng qua vuông góc với cắt các đường thẳng lần lượt tại . Gọi là hình chiếu vuông góc của trên . Hãy xác định các giao điểm của với và chứng minh rằng Câu 6 (1.0 điểm). Xét khối tứ diện ABCD có cạnh và các cạnh còn lại đều bằng . Tìm để thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn nhất. Câu 7 (1.0 điểm). Cho a, b, c, là các số thực dương.Chứng minh rằng: . Hết Thí sinh không sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:……………………………………………….; Số báo danh:……………… TRƯỜNG THPT ĐỒNG KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 CẤP TRƯỜNG LẦN 1 ĐẬU NĂM HỌC 20172018 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN
(Hướng dẫn chấm gồm 06 trang) I. LƯU Ý CHUNG: Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài thí sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa. Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn. Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó. II. ĐÁP ÁN: Câu 1.a (1.0 điểm) Giải phương trình: (1) Nội dung Điể m Điều kiện xác định: . 0.25 Khi đó phương trình (1) tương đương 0,5 Với Kết hợp với điều kiện, suy ra phương trình đã cho có nghiêm: . 0.25 Câu 1.b (1.0 điểm) Một hộp đựng 16 viên bi, trong đó có 5 viên bi màu đỏ đôi một khác nhau, 5 viên bi màu xanh đôi một khác nhau và 6 viên bi màu vàng đôi một khác nhau. Lấy ngẫu nhiên từ hộp đã cho 7 viên bi. Tính xác suất để lấy được 7 viên bi có đủ 3 loại màu. Nội dung Điể m Ký hiệu Ω là không gian mẫu. Số cách lấy ra 7 viên bi từ 16 viên bi là: . Gọi A là biến cố “ lấy ra được 7 viên bi có đủ 3 loại màu” suy ra là biến cố “ 0,25 lấy ra được 7 viên bi không có đủ 3 loại màu” Các khả năng thuận lợi cho biến cố là: Khả năng 1 lấy ra 7 viên bi từ 2 loại bi đỏ và bi xanh là: Khả năng 2 lấy ra 7 viên bi từ 2 loại bi anhx và bi vàng là: 0,5 Khả năng 3 lấy ra 7 viên bi từ 2 loại bi đỏ và bi vàng là: Suy ra Do đó xác suất lấy ra được 7 viên bi có đủ 3 màu là: . 0,25
Câu 2.a (1.0 điểm). Cho hàm số Tìm m để hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 4 . Nội dung Điể m Tập xác định của hàm số: Ta có: 0,25 Hàm số đã cho nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 4 khi và chỉ khi trên đoạn có độ dài bằng 4 có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn 0,25 . 0,25 Vậy với thì thỏa mãn ycbt. 0,25 Câu 2.b (1.0 điểm). Cho hàm số . Tìm các giá trị của m để hàm số có hai cực trị đồng thời các điểm cực trị cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4 Nội dung Điể m Tập xác định của hàm số: Ta có: 0,25 Để hàm số có hai điểm cực trị thì , khi đó đồ thị của hàm số có hai điểm cực trị 0,25 là: , Ta có Đường thẳng AB có phương trình: 0,25 Hai điểm A, B tạo với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4 nên ta có: 0,25 Vậy với thì thỏa mãn ycbt. Câu 3.a (1.0 điểm). Chứng minh đẳng thức sau: . Xét đẳng thức 0,25 +) Ta có suy ra hệ số của số hạng chứa là 0,25 +) Ta có 0,5 suy ra hệ số của số hạng chứa là
Từ đó suy ra đẳng thức cần chứng minh. Câu 3.b (1.0 điểm) Cho hàm số có đồ thị . Trong tất cả các tiếp tuyến với đồ thị , hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất. Nội dung Điể m Hàm số đã cho có . Gọi là điểm bất kỳ thuộc đồ thị (C), . 0.25 Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại có hệ số góc: 0.25 . Vậy đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi . 0.25 Khi đó và tiếp tuyến cần tìm có phương trình: 0.25 Câu 4 (1.0 điểm). Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân với AB=AC=a , mặt phẳng (AB’C’) tạo với đáy một góc .Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a. Nội dung Điể m A' a C' 0 M 60 a B' A 0 120 C B 0.25 Gọi M là trung điểm của B’C’
Vì tam giác A’B’C’ cân tại A’ A’M B’C’ (1) + Do hai hình chữ nhật ABB’A’ và ACC’A’ bằng nhau nên (2) Mà , 0.25 Do đó từ (1) và (2) góc giữa (AB’C’) và mặt đáy (A’B’C’) là góc (vì + Xét tam giác A’B’C’ cân tại A’ có + Do 0.25 AA’M vuông tại A’ Diện tích tam giác ABC là : 0.25 Vậy thể tích của khối lăng trụ ABCA’B’C’ là: (đvtt) Câu 5 (1.0 điểm). Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật và vuông góc với mặt phẳng . Đường thẳng qua vuông góc với cắt các đường thẳng lần lượt tại . Gọi là hình chiếu vuông góc của trên . Hãy xác định các giao điểm của với và chứng minh rằng Điểm Nội Dung 0,5 S J H L K A D I B C
Trong gọi Trong gọi Ta có , mà . Suy ra 0,25 Suy ra . Mà .Vậy 0,25 Câu 6 (1.0 điểm). Xét khối tứ diện ABCD có cạnh và các cạnh còn lại đều bằng . Tìm để thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn nhất. Nội dung Điể m S C A o M B Gọi O, R lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ∆ABC , mà 0,25 (gt) + Gọi M là trung điểm của AB (vì ) Theo Pitago: 0,25 (với ) Mà + Khi đó theo Pitago: 0,25
(với ) + Thể tích của khối tứ diện ABCD là: Với theo BĐT Cauchy có: 0,25 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi Vậy với thì thể tích khối tứ diện ABCD có diện tích lớn nhất. Câu 7 (1.0 điểm). Cho a, b, c, là các số thực dương.Chứng minh rằng: . Nội dung Điể m 0,25 Trong không gian dựng hình chóp S.ABC có SA=a, SB=b, SC=c và Trong tam giác SAB theo định lý cosin ta có: 0,25 Tương tự ta có: ; : Trong tam giác ABC ta có bất đẳng thức: (đpcm) 0,5 Hết