Đề thi chọn HSG vòng tỉnh lớp 9 THCS môn Toán năm 2011 - 2012 - Sở GD&ĐT Kiên Giang

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> TỈNH KIÊN GIANG<br /> ĐỀ CHÍNH THỨC<br /> <br /> KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG TỈNH LỚP 9 THCS<br /> NĂM HỌC 2011-2012<br /> MÔN THI: TOÁN<br /> Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)<br /> Ngày thi : 01/03/2012<br /> <br /> Câu 1. (4 điểm)<br /> a) Cho S  1  3  32  33  34  ......  396  397  398  399<br /> Chứng minh S chia hết cho 40<br /> b) Rút gọn phân thức<br /> <br /> a 3  b3  c3  3abc<br /> <br /> a  b  a  c   b  c<br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> Câu 2 (4 điểm)<br /> a) Thực hiện phép tính :<br /> <br /> 2 3<br /> 2  2 3<br /> <br /> <br /> <br /> 2 3<br /> 2  2 3<br /> <br /> b) Cho a  b  c  0; a,b,c  0 . Chứng minh đẳng thức<br /> 1 1 1<br /> 1 1 1<br />  2 2   <br /> 2<br /> a<br /> b c<br /> a b c<br /> <br /> Câu 3. (4 điểm)<br /> a) Giải phương trình: 2x2  2x  1  4x  1<br />  x  2  2 y 1  9<br /> b) Giải hệ phương trình : <br /> x  y  1  1<br /> <br /> Câu 4. (5 điểm)<br /> Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn (O;R) có hai đường chéo AC,<br /> BD vuông góc với nhau tại I (I khác O). Vẽ đường kính CE.<br /> a) Chứng minh ABDE là hình thang cân<br /> b) Chứng minh AB2  CD2  BC 2  DA2  2R 2<br /> c) Từ A và B vẽ các đường thẳng vuông góc đến CD lần lượt cắt BD tại F, cắt<br /> AC tại K. Chứng min A, B, K, F là bốn đỉnh của một tứ giác đặc biệt<br /> Câu 5. (3 điểm)<br /> Cho hai điểm A, B cố định và điểm M di động sao cho MAB là tam giác có<br /> ba góc nhọn. Gọi H là trực tâm của tam giác MAB và K là chân đường cao vẽ từ M<br /> của tam giác MAB. Tính giá trị lớn nhất của tích KH.KM<br /> <br /> ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 KIÊN GIANG NĂM 2011-2012<br /> Câu 1.<br /> 1a.<br /> <br /> <br />  <br /> <br /> <br /> S  1  3  3  3   3 . 1  3  3  3   ....  3 . 1  3  3<br /> S  1  3  3  3  . 1  3  3 ......  3 <br /> S  40. 1  3  3 ......  3 <br /> <br /> <br /> 3 <br /> <br /> S  1  31  32  33  34  35  36  37  .....  396  397  398  399<br /> 1<br /> <br /> 2<br /> <br /> 3<br /> <br /> 1<br /> <br /> 2<br /> <br /> 3<br /> <br /> 4<br /> <br /> 4<br /> <br /> 1<br /> <br /> 4<br /> <br /> 8<br /> <br /> 8<br /> <br /> 2<br /> <br /> 3<br /> <br /> 96<br /> <br /> 96<br /> <br /> 96<br /> <br /> Vậy S chia hết cho 40.<br /> 1b.<br /> Tử thức =  a  b   3ab(a  b)  c3  3abc<br /> 3<br /> <br />  a  b   c3  3ab.(a  b)  3abc<br /> 2<br />   a  b  c   a  b   (a  b)c  c 2   3ab(a  b  c)<br /> <br /> <br /> 3<br /> <br /> =<br /> <br /> <br />  a  b  c . a<br /> <br />   a  b  c  . a 2  2ab  b 2  ac  bc  c2  3ab<br /> 2<br /> <br />  b 2  c2  ab  bc  ca<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Mẫu thức<br />  a 2  2ab  b2  a 2  2ac  c2  b2  2bc  c2<br />  2(a 2  b2  c2  ab  bc  ca)<br /> <br /> Kết quả <br /> <br /> abc<br /> với a2  b2  c2  ab  bc  ca  0<br /> 2<br /> <br /> 1<br /> <br /> 2<br /> <br /> 3<br /> <br /> Câu 2.<br /> 2a. Nhân số bị chia và số chia với 2<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 2. 2  3<br /> <br /> <br /> <br /> 2 42 3<br /> <br /> <br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> 2. 2  3<br /> <br /> <br /> <br /> 2 42 3<br /> <br />   2.  2  3 <br /> 3  1 2   3  1<br /> <br /> 2. 2  3<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />  <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 2  3 . 3 3  2  3 . 3 3<br /> 2 3 2 3 <br />  2. <br /> <br /> <br /> 2.<br />  2<br />  3  3 3  3 <br /> 6<br /> <br /> <br /> <br /> Câu 2b.<br /> Ta có:<br /> 2<br /> <br /> 1 1 1<br /> 1 1 1<br />  1 1 1 <br />  a  b  c   a 2  b 2  c2  2  ab  ac  bc <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 1 1 1<br />  cba  1 1 1<br />  2  2  2  2<br />   2  b2  c2<br /> a<br /> b c<br />  abc  a<br /> 2<br /> <br /> 1 1 1<br /> 1 1 1<br /> 1 1 1<br />  2 2 2        <br /> a<br /> b c<br /> a b c<br /> a b c<br /> <br /> Câu 3a. DK :4x  1  0  x <br /> <br /> 1<br /> 4<br /> <br /> 2x 2  2x  1  4x  1<br />  4x 2  4x  2  2 4x  1<br />  4x 2 <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 2<br /> <br /> 4x  1  1  0 (thỏa)<br /> <br /> 4x 2  0<br /> <br /> x0<br />  4x  1  1  0<br />  x  2  2 y  1  9 (1)<br /> Câu 3b. <br /> <br /> x  y  1  1(2)<br /> <br /> - Từ pt (2)  y  1  1  x  0  x  1<br /> <br /> - Thế vào phương trình (1) ta có<br /> x  2  2  1  x   9<br /> <br /> -<br /> <br /> x  2  2x  11<br />  2  x  2x  9<br /> <br /> (vì x  1 )<br /> <br /> x  3<br /> y  3<br />  y  1<br /> <br /> - Thế x= -3 vào pt (2) : y  1  1  3  2  y  1  2  <br /> - Vậy nghiệm của hệ là (-3 ; 3); (-3;-1)<br /> Câu 4<br /> <br /> A<br /> <br /> I<br /> <br /> F<br /> <br /> B<br /> <br /> D<br /> C<br /> <br /> K<br /> a) Ta có góc EAC = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)  AE  AC<br /> Mà BD  AC (gt)  AE / /BD  ABDE là hình thang<br /> <br /> Mà ABDE nội tiếp đường tròn (O) nên ABDE là hình thang cân<br /> b) Ta có góc EDC = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)<br />  DEC vuông ở D<br />  ED2  CD2  EC 2   2R   4R2<br /> 2<br /> <br /> Mà AB = ED (vì ABDE là hình thang cân)  AB2  CD2  4R2<br /> Chứng minh tương tự  BC 2  DA2  4R2<br />  AB2  CD2  BC 2  DA2  8R2<br />  AB2  CD2  BC 2  DA2  2R 2<br /> <br /> c) Ta có : góc BAC = góc BDC (cùng chắn cung BC)<br /> Góc IAF = góc BDC (góc có cạnh tương ứng vuông góc)<br /> Suy ra góc BAC = góc IAF  ABF cân tại A<br /> Mà AI là đường cao , nên AI là đường trung tuyến  IB  IF<br /> Chứng minh tương tự  IA  IK  ABKF là hình bình hành<br /> Mà AK  BF nên ABKF là hình thoi<br /> Câu 5.<br /> <br /> A<br /> <br /> K<br /> <br /> H<br /> <br /> M<br /> <br /> B<br /> <br /> - Xét KAH và KMB ta có:<br /> Góc AKH = góc MKB = 900<br /> Góc KAH = góc KMB (cặp góc có cạnh tương ứng vuông góc)<br />  KAH và KMB đồng dạng <br /> <br /> KH AK<br /> <br />  KH.KM  AK.KB<br /> KB KM<br /> <br />