Đề thi chọn HSG vòng tỉnh lớp 9 THCS môn Toán năm 2012 - 2013 - Sở GD&ĐT Kiên Giang

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> TỈNH KIÊN GIANG<br /> ĐỀ CHÍNH THỨC<br /> (Đề thi gồm 01 trang)<br /> <br /> KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG TỈNH LỚP 9 THCS<br /> NĂM HỌC 2012-2013<br /> MÔN THI: TOÁN<br /> Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)<br /> Ngày thi: 01/3/2013<br /> <br /> Câu 1. (4 điểm)<br /> a) Tìm m để hàm số y   m2  2m  x  m2  1 nghịch biến và đồ thị của nó cắt trục<br /> tung tại điểm có tung độ bằng 3<br /> b) Tìm giá trị nhỏ nhất của M  5x2  y2  z2  4x  2xy  z  1<br /> c) Cho x  y  5 và x2  y2  11. Tính x3  y3<br /> Câu 2. (4 điểm)<br /> a) Rút gọn : A <br /> <br /> x 2  5x  6  x 9  x 2<br /> <br /> : 2. 1 <br /> <br /> 2x<br /> 3x<br /> <br /> 3x  x  (x  2) 9  x<br /> 1 1 1<br /> 1<br /> b) Cho a, b, c thỏa mãn   <br /> a b c abc<br /> Tính giá trị biểu thức Q   a 27  b27  b41  c41  c2013  a 2013 <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> Câu 3. (4 điểm)<br /> a) Giải phương trình : 3 x  10  3 17  x  3<br />  2x  3<br /> y5<br /> <br />  2<br /> 3<br /> <br /> <br /> b) Giải hệ phương trình :  y  5<br /> 2x  3<br />  x  2 ;y  5 <br /> <br /> <br /> <br /> 3x  2y  19<br /> <br /> Câu 4. (4 điểm)<br /> Cho hình thang ABCD có đáy lớn là CD. Qua A vẽ AK // BC (K  CD ) và qua B kẻ<br /> BI // AD ( I  CD ); BI cắt AC tại F, AK cắt BD tại E<br /> a) Chứng minh KD = CI và EF // AB<br /> b) Chứng minh AB2  CD.EF<br /> Câu 5. (4 điểm)<br /> Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong đường tròn (O;R) . M là một điểm di<br /> động trên cung BC của đường tròn đó<br /> a) Chứng minh : MB + MC = MA<br /> b) Xác định vị trí của điểm M để tổng MA + MB +MC đạt giá trị lớn nhất<br /> c) Gọi H, K, Q lần lượt là hình chiếu của M trên AB, BC, AC; đặt diện tích tam<br /> giác ABC là S và diện tích S’. CMR :MH  MK  MQ <br /> động trên cung BC<br /> <br /> 2 3(S  2S ')<br /> khi M di<br /> 3R<br /> <br /> ĐÁP ÁN HỌC SINH GIỎI 9 KIÊN GIANG 2012-2013<br /> Câu 1.<br /> 1.a) Hàm số y   m2  2m  x  m2  1 nghịch biến  m2  2m  0  m(m  2)  0<br />  m  0<br />  m  0<br /> <br /> <br /> m  2  0<br /> m  2<br /> <br /> <br /> <br />  0  m  2 (1)<br />  m  0<br />  m  0<br /> <br /> <br />  m  2  0<br />  m  2<br /> <br /> Cắt trục tung: m2  1  3  m  2 (2)<br /> Từ (1) và (2)  m <br /> Câu 1b. Tìm giá trị nhỏ nhất của M  5x2  y2  z2  z  4x  2xy  1<br /> M  x 2  2xy  y 2  4x 2  4x  1  z 2  z <br /> <br /> 1 9<br /> <br /> 4 4<br /> <br /> 2<br /> <br /> 1 9<br /> 9<br /> <br />   x  y    2x  1   z     <br /> 2 4<br /> 4<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> Giá trị nhỏ nhất của M  <br /> <br /> 9<br /> 4<br /> <br /> <br /> x  y  0<br /> <br /> 1<br />  2x  1  0  x  y  z <br /> 2<br />  1<br /> z   0<br />  2<br /> <br /> Câu 1c. Cho x+y= - 5 và x2  y2  11 . Tính x3  y3<br /> Ta có: x3  y3   x  y   x2  y2  xy   5(11  xy) (1)<br /> Mà x  y  5  x2  y2  2xy  25  11  2xy  25  xy  7 (2)<br /> Từ (1) và (2)  x3  y3  5.(11  7)  20<br /> <br /> Câu 2<br /> 2a. Rút gọn: A <br /> <br /> x 2  5x  6  x 9  x 2<br /> 3x  x  (x  2) 9  x<br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> : 2. 1 <br /> <br /> 2x<br /> 3x<br /> <br /> ĐK: 3  x  3<br /> <br />  x  3 x  2   x<br /> <br /> A<br /> <br /> <br /> <br /> 3  x. 3  x<br /> <br /> x(3  x)  (x  2) 3  x. 3  x<br /> 3  x  x  2  3  x  x 3  x <br /> <br /> 3  x. x 3  x   x  2  3  x <br /> 3 x<br /> 3x<br /> <br /> :2<br /> <br /> 3  x 2x<br /> <br /> 3x 3x<br /> <br /> :2<br /> <br /> 3 x<br /> 3x<br /> <br /> 3 x 1<br /> <br /> 3x 2<br /> <br /> :2<br /> <br /> 1 1 1<br /> 1<br /> 1 1<br /> 1<br /> 1<br /> ab<br /> (a  b)<br />   <br />   <br />  <br /> <br /> a b c abc<br /> a b abc c<br /> ab<br /> c(a  b  c)<br />  (a  b)c(a  b  c)  ab(a  b)  (a  b) c(a  b  c)  ab   0<br /> <br /> Câu 2b. Ta có :  (a  b) c(a  c)  bc  ab   0  (a  b) c(a  c)  b(a  c)  0<br /> a  b  0<br /> a   b<br /> <br />  (a  b)(a  c)(b  c)  0   b  c  0   b  c<br /> c  a  0<br /> c  a<br /> <br /> Thế vào tính được Q = 0<br /> Câu 3<br /> 3a. Gpt:<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 3<br /> <br /> 3<br /> <br /> x  10  3 17  x  3<br /> <br /> x  10  3 17  x<br /> <br /> <br /> <br /> 3<br /> <br />  33<br /> <br /> x  10  17  x  3 3 (x  10)(17  x).3  27<br /> <br /> x  10<br />  (x  10)(17  x)  0  <br /> x  17<br /> <br />  2x  3<br /> y5<br /> <br />  2<br /> 3<br /> <br /> <br /> 3b.  y  5<br /> 2x  3<br />  x  2 ;y  5 <br /> <br /> <br /> <br /> 3x  2y  19<br /> <br /> Đặt<br /> <br /> <br /> 1<br /> 2x  3<br /> 2<br />  m  0  m   2  m 2  2m  1  0   m  1  0  m  1 (chọn)<br /> m<br /> y5<br /> <br /> 2x  3<br />  1  2x  3  y  5  2x  y  8<br /> y5<br /> <br /> 2x  y  8<br /> 4x  2y  16<br /> x  5<br /> <br /> <br /> 3x  2y  19<br /> 3x  2y  19<br /> y  2<br /> <br /> Giải hệ <br /> Câu 4.<br /> <br /> A<br /> <br /> B<br /> F<br /> E<br /> <br /> D<br /> <br /> I<br /> <br /> K<br /> <br /> a) Chứng minh KD  CI và EF // AB<br /> Chứng minh ABID, ABCK là hình bình hành<br />  DI  CK (cùng bằng AB)<br />  DI  IK  CK  IK  DK  CI<br /> AE AB<br /> <br /> EK KD<br /> AF AB<br /> AFB đồng dạng CFI (g.g) <br /> <br /> FC CI<br /> <br /> Vì AEB đồng dạng KED (g.g) <br /> <br /> C<br /> <br /> AE AF<br /> <br />  EF / /KC (Định lý Ta let đảo trong AKC )<br /> EK FC<br /> b) Chứng minh AB2  CD.EF<br /> <br /> Mà KD = CI <br /> <br /> Ta có : KED đồng dạng AEB(g.g)<br /> DK DE<br /> DK  AB DE  EB<br /> <br /> <br /> <br /> AB EB<br /> AB<br /> EB<br /> (Vì ABCK là hình bình hành)<br /> DK  KC DB<br /> DC DB<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> (1)<br /> AB<br /> EB<br /> AB EB<br /> <br /> <br /> Do EF//DI (theo cmt : EF//KC và I  KC)<br /> DB DI<br /> DB AB<br /> <br /> <br /> <br /> (2) (Vì DI = AB)<br /> EB EF<br /> EB EF<br /> DC AB<br /> Từ (1) và (2) <br /> <br />  AB2  DC.EF<br /> AB EF<br /> <br /> <br /> Câu 5.<br /> <br /> A<br /> <br /> D O<br /> B<br /> K<br /> <br /> H<br /> M<br /> <br /> Q<br /> C<br /> <br />