Đề thi chọn HSG vòng tỉnh lớp 9 THCS môn Toán năm học 2017 - 2018 - Sở GD&ĐT Kiên Giang

Nhóm GV THBTB – Dự án giải đề thi HSG toán 9 các tỉnh năm học 2017-2018 đợt 1<br /> <br /> SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> KIÊN GIANG<br /> <br /> KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG<br /> TỈNH THCS<br /> Năm học: 2017 - 2018<br /> <br /> ĐỀ THI CHÍNH THỨC<br /> <br /> Câu 1.<br /> <br /> Môn: TOÁN<br /> Thời gian làm bài: 150 phút<br /> Ngày thi: 13/3/2018<br /> (Đề thi có 01 trang gồm 6 câu).<br /> <br /> (3 điểm)<br /> 1) Cho biểu thức A  n2  4n  5 ( n là số tự nhiên lẻ). Chứng minh rằng A<br /> không chia hết cho 8 .<br /> 2) Cho số x  x  ; x  0 thỏa mãn điều kiện: x 2 <br /> thức: B  x5 <br /> <br /> Câu 2.<br /> <br /> 1<br /> .<br /> x5<br /> <br /> (3 điểm)<br /> Rút gọn biểu thức:<br /> X  1<br /> <br /> Câu 3.<br /> <br /> 1<br />  7 . Tính giá trị các biểu<br /> x2<br /> <br /> 1 1<br /> 1 1<br /> 1 1<br /> 1<br /> 1<br />  2  1  2  2  1  2  2  ...  1 <br /> <br /> .<br /> 2<br /> 2<br /> 1 2<br /> 2 3<br /> 3 4<br /> 2017 20182<br /> <br /> (4 điểm)<br /> 1) Giải phương trình: 3x  2 27 x3  8  9 x2  6 .<br /> 2) Tìm 2 số m , n cùng dấu thỏa mãn điều kiện: m  2 n đạt giá trị nhỏ nhất<br /> <br /> Câu 4.<br /> <br /> sao cho hai phương trình sau có nghiệm chung: x2  mx  2  0 ; x2  2nx  6  0<br /> .<br /> (3 điểm)<br /> 1) Cho phương trình: x2  2  m  3 x  m  3  0 . Tìm các giá trị của m để phương<br /> trình có một nghiệm nhỏ hơn 2 và một nghiệm lớn hơn 2 .<br /> 2) Cho<br /> <br /> x,<br /> <br /> y,<br /> <br /> z,<br /> <br /> t<br /> <br /> là các số thực dương. Chứng minh rằng:<br /> <br /> x<br /> y<br /> z<br /> t<br /> <br /> <br /> <br />  2.<br /> y  z z t t  x x  y<br /> Câu 5.<br /> <br /> (3,5 điểm) Để có được tờ giấy khổ A4 (kích thước<br /> xấp xỉ 21 cm  29, 7 cm) người ta thực hiện như<br /> hình vẽ minh họa bên.<br /> Bước 1: Tạo ra hình vuông ABCD cạnh a  21 cm.<br /> Bước 2: Vẽ cung tròn tâm A bán kính AC cắt tia<br /> AD tại F .<br /> Bước 3: Tạo hình chữ nhật ABEF .<br /> 1<br /> <br /> Nhóm GV THBTB – Dự án giải đề thi HSG toán 9 các tỉnh năm học 2017-2018 đợt 1<br /> <br /> Câu 6.<br /> <br /> Khi đó hình chữ nhật ABEF chính là tờ giấy A4 thông dụng hiện nay.<br /> Bạn An ngồi nghịch xếp tờ giấy A4 này theo đường thẳng AE , rồi xếp theo<br /> đường thẳng FM ( M là trung điểm BE ) khi mở tờ giấy ra. An ngạc nhiên thấy<br /> hai đường thẳng FM và AE vuông góc với nhau. Em hãy chứng minh giúp bạn<br /> An vẽ điều đó.<br /> (4 điểm)<br /> Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn tâm O , trên dây cung DC lấy điểm<br /> E sao cho DC  3DE , nối AE cắt cung nhỏ CD tại M . Trên cung nhỏ CB lấy<br /> điểm N sao cho cung nhỏ DM bằng cung nhỏ CN , nối AN cắt dây cung BC<br /> tại F . Chứng minh rằng: F là trung điểm của BC .<br /> <br /> ----------------------HẾT-------------------<br /> <br /> 2<br /> <br /> Nhóm GV THBTB – Dự án giải đề thi HSG toán 9 các tỉnh năm học 2017-2018 đợt 1<br /> <br /> LỜI GIẢI ĐỀ THI HSG TỈNH KIÊN GIANG NĂM HỌC 2017-2018<br /> Câu 1.<br /> <br /> (3 điểm)<br /> 1) Cho biểu thức A  n2  4n  5 ( n là số tự nhiên lẻ). Chứng minh rằng A<br /> không chia hết cho 8 .<br /> 2) Cho số x  x  ; x  0 thỏa mãn điều kiện: x 2 <br /> thức: B  x5 <br /> <br /> 1<br />  7 . Tính giá trị các biểu<br /> x2<br /> <br /> 1<br /> .<br /> x5<br /> <br /> 1) Ta có: n2  4n  5  n2 1  4n  6<br />   n  1 n  1  2  2n  3 .<br /> <br /> Do n lẻ nên n  1 và n  1 là 2 số chẵn liên tiếp.<br />   n  1 n  1 chia hết cho 8 .<br /> Mà 2n  3 lẻ  2n  3 không chia hết cho 4 .<br />  2  2n  3 không chia hết cho 8 .<br />   n  1 n  1  2  2n  3 không chia hết cho 8 .<br />  đpcm.<br /> 2<br /> <br /> 2) Ta có: x 2 <br /> <br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> <br />  7   x    9  x   3 (do x  0 ).<br /> 2<br /> x<br /> x<br /> x<br /> <br /> <br /> 3<br /> <br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> <br /> <br />   x    27  x3  3  3  x    27<br /> x<br /> x<br /> x<br /> <br /> <br /> 1<br />  x3  3  18<br /> x<br /> 1 <br /> 1<br /> <br />   x 2  2  x3  3   18.7  126<br /> x <br /> x <br /> <br /> 1<br /> 1<br />  x   126<br /> 5<br /> x<br /> x<br /> 1<br />  x5  5  123 .<br /> x<br />  x5 <br /> <br /> Câu 2.<br /> <br /> (3 điểm)<br /> Rút gọn biểu thức:<br /> X  1<br /> <br /> 1 1<br /> 1 1<br /> 1 1<br /> 1<br /> 1<br />  2  1  2  2  1  2  2  ...  1 <br /> <br /> .<br /> 2<br /> 2<br /> 1 2<br /> 2 3<br /> 3 4<br /> 2017 20182<br /> <br /> 3<br /> <br /> Nhóm GV THBTB – Dự án giải đề thi HSG toán 9 các tỉnh năm học 2017-2018 đợt 1<br /> <br /> n2  n  1   n  1  n 2<br /> 1<br /> 1<br /> <br /> <br /> 2<br /> n2  n  12<br />  n  n  1 <br /> 2<br /> <br />  Tổng quát: 1 <br /> <br />  n  n  1   2n  n  1  1<br />  n  n  1  1<br />  <br />  <br /> 2<br /> 2<br />  n  n  1 <br />  n  n  1 <br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> n  n  1  1 n  n  1<br /> 1<br /> 1<br /> <br /> <br />  1<br /> n  n  1<br /> n  n  1 n  n  1<br /> n  n  1<br /> <br />  Vậy:<br /> 1 1<br /> 1 1<br /> 1 1<br /> 1<br /> 1<br />  2  1  2  2  1  2  2  ...  1 <br /> <br /> 2<br /> 2<br /> 1 2<br /> 2 3<br /> 3 4<br /> 2017 20182<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br />  1<br /> 1<br /> 1<br />  ....  1 <br /> 1.2<br /> 2.3<br /> 3.4<br /> 2017.2018<br /> <br /> X  1<br /> <br /> 2017 số 1<br /> 1 1 1 1 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 4072323<br /> .<br />  2017  1       ... <br /> <br /> <br /> <br />  2018 <br /> <br /> 2 2 3 3 4<br /> 2016 2017 2017 2018<br /> 2018<br /> 2018<br /> <br />  Vậy<br /> X  1<br /> Câu 3.<br /> <br /> 1 1<br /> 1 1<br /> 1 1<br /> 1<br /> 1<br /> 4072323<br />  2  1  2  2  1  2  2  ...  1 <br /> <br /> <br /> .<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> 1 2<br /> 2 3<br /> 3 4<br /> 2017 2018<br /> 2018<br /> <br /> (4 điểm)<br /> 1) Giải phương trình: 3x  2 27 x3  8  9 x2  6 .<br /> 2) Tìm 2 số m , n cùng dấu thỏa mãn điều kiện: m  2 n đạt giá trị nhỏ nhất<br /> sao cho hai phương trình sau có nghiệm chung: x2  mx  2  0 ; x2  2nx  6  0<br /> .<br /> 1) 3x  2 27 x3  8  9 x2  6<br />  3x  2<br /> <br />  3x  2 9 x2  6 x  4  9 x2  6 (Điều kiện<br /> <br />  9 x2  6  2<br /> <br />  3x  2   9 x 2  6 x  4   3x  0<br /> <br />  9 x2  6 x  4  2<br /> <br /> <br /> <br /> <br />  3x  2   9 x 2  6 x  4   3x  2  0<br /> <br /> 9 x 2  6 x  4  3x  2<br /> <br /> <br /> <br /> 2<br /> <br /> 0<br /> <br />  9 x 2  6 x  4  3x  2<br />  9 x2  9 x  2  0<br /> <br /> 2<br /> <br /> x  3<br /> <br /> (thỏa mãn)<br /> x  1<br /> <br /> 3<br /> 4<br /> <br /> x<br /> <br /> 2<br /> )<br /> 3<br /> <br /> Nhóm GV THBTB – Dự án giải đề thi HSG toán 9 các tỉnh năm học 2017-2018 đợt 1<br /> <br /> Vậy phương trình có nghiệm là: x   ;  .<br /> 2 1<br />  3 3<br /> <br /> 2) Do m , n cùng dấu nên:<br /> - Nếu m  0 ; n  0 thì: m  2 n  m  2n .<br /> - Nếu m  0 ; n  0 thì: m  2 n  m  2n    m  2n  .<br /> + Gọi x0 là nghiệm chung của hai phương trình ta được:<br />  x02  mx0  2  0<br /> <br /> có nghiệm chung<br />  2<br /> x<br /> <br /> 2<br /> nx<br /> <br /> 6<br /> <br /> 0<br /> <br /> 0<br />  0<br /> <br />  2 x02   m  2n  x0  8  0 có nghiệm x0 .<br />     m  2n   4.2.8  0<br /> 2<br /> <br />   m  2n   64<br /> 2<br /> <br />  m  2n  8<br /> <br />  m  2n  8<br /> <br />  m 2 n 8<br /> <br /> Vậy m  2 n đạt GTNN là 8 khi:<br />  m  2n  8<br />  m  2n  8<br /> <br /> <br /> + TH1: m  2n  8 , ta được: 2 x02  8x0  8  0  x02  4 x0  4  0  x0  2 . Ta có:<br /> m  3<br />  2 2  m  2   2  0<br /> <br /> <br /> <br /> 5 (thỏa mãn)<br /> 2<br />  2   2n  2   6  0<br /> n  2<br /> 2<br /> + TH2: m  2n  8 , ta được: 2 x02  8x0  8  0  2  x0  2   0  x0  2 . Ta có:<br /> <br /> m  3<br /> 2<br /> 2  m.2  2  0<br /> <br /> <br />  2<br /> 5 (thỏa mãn)<br /> 2  2n.2  6  0<br /> n  2<br /> 5<br /> Vậy với m  3 và n  thì hai phương trình có nghiệm chung x0  2 .<br /> 2<br /> 5<br /> Với m  3 và n <br /> thì hai phương trình có nghiệm chung x0  2 .<br /> 2<br /> Câu 4.<br /> <br /> (3 điểm)<br /> 1) Cho phương trình: x2  2  m  3 x  m  3  0 . Tìm các giá trị của m để phương<br /> trình có một nghiệm nhỏ hơn 2 và một nghiệm lớn hơn 2 .<br /> 2) Cho<br /> <br /> x,<br /> <br /> y,<br /> <br /> z,<br /> <br /> t<br /> <br /> là các số thực dương. Chứng minh rằng:<br /> <br /> x<br /> y<br /> z<br /> t<br /> <br /> <br /> <br />  2.<br /> y  z z t t  x x  y<br /> <br /> 5<br /> <br />