Đề thi học kì 1 môn Đại số tuyến tính năm 2023-2024 có đáp án - Trường Đại học sư phạm Kỹ thuật, TP HCM

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

10
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo Đề thi học kì 1 môn Đại số tuyến tính năm 2023-2024 có đáp án - Trường Đại học sư phạm Kỹ thuật, TP HCM dành cho các bạn sinh viên tham khảo, để hệ thống kiến thức học tập cũng như trau dồi kinh nghiệm ra đề thi. Hi vọng sẽ giúp các bạn đạt kết quả tốt trong kì thi.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi học kì 1 môn Đại số tuyến tính năm 2023-2024 có đáp án - Trường Đại học sư phạm Kỹ thuật, TP HCM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT ĐỀ THI HỌC KỲ I NĂM HỌC 2023-2024 THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Môn: ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG Mã môn học: MATH143001 BỘ MÔN TOÁN Đề thi có 02 trang. ------------------------- Ngày thi: 22/12/2023 - Thời gian: 90 phút. Tài liệu sinh viên được sử dụng là 1 tờ giấy A4. Câu 1 (1.5 điểm)  mx1 + x2 + x3 = 1  Giải và biện luận theo tham số m hệ phương trình  x1 + mx2 + x3 = 1 .  x + x + mx = 1  1 2 3 Câu 2 (1.5 điểm)  −1 3 1 −1  3     −1 −1 3 1 2 Cho ma trận A =  và b =   . Hãy giải phương trình Ax = b bằng cách sử 1 1 1 3 1      3 −1 1 1 0 dụng phép phân tích LU của ma trân A. Câu 3 (1.5 điểm)  1 1 −2  Cho ma trận A =  2 3 3  và phép biến đổi tuyến tính T : R3 → R3 xác định bởi    4 5 −1    T ( x) = Ax , với mọi x  R . Tìm cơ sở và số chiều của hạt nhân KerT . 3 Câu 4 (1.5 điểm)  4 0 4  −2  Cho ma trận A =  6 4 8  và w =  1  . Hãy xác định xem w có thuộc của ColA và      −8 −2 9   2     của NulA không? Câu 5 (2.0 điểm) Cho B = b1 , b2 , b3 và C = c1 , c2 , c3 là hai cơ sở của không gian véc tơ V. Giả sử b1 = 4c1 − c2 , b2 = −c1 + c2 + c3 , b3 = c2 − 2c3 . a. Tìm ma trận chuyển cơ sở từ B sang C. b. Tìm tọa độ véc tơ x theo cơ sở C, biết x = 3b1 + 4b2 + b3 . Câu 6 ( 2.0 điểm)  5 −3 1  Cho ma trận A =  −3 5 1     0 0 8   a. Tìm ma trận khả nghịch P sao cho P −1 AP là ma trận chéo. b. Tìm A2023 . HẾT Ghi chú: Cán bộ coi thi không được giải thích đề thi. 1 Số hiệu: BM1/QT-PĐBCL-RĐTV
Chuẩn đầu ra của học phần (về kiến thức) Nội dung kiểm tra [CĐR G2.3]: Thực hiện được các phép toán ma trận, tính được định Câu 1, Câu thức, các phép biến đổi sơ cấp, tìm hạng ma trận, tìm được ma trận 2 nghịch đảo, giải được hệ phương trình tuyến tính (giải bằng tay hay bằng cách sử dụng máy tính có cài đặt phần mềm ứng dụng phù hợp như matlab, maple, …) và biết ứng dụng vào các mô hình tuyến tính. [CĐR G2.4]: Thực hiện được hầu hết các bài toán về không gian véctơ, Câu 4, Câu không gian Euclide như: chứng minh không gian con; xác định một 5. vectơ có là tổ hợp tuyến tính của một hệ vectơ; xét tính độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính của một hệ vectơ; tìm cơ sở, số chiều của một không gian vectơ; tìm tọa độ của một vectơ đối với một cơ sở, tìm ma trận đổi cơ sở; phương pháp Gram-Schmidt để xây dựng hệ vectơ trực giao từ một hệ vectơ độc lập tuyến tính,… [CĐR G2.5]: Thực hiện được hầu hết các bài toán về ánh xạ tuyến tính, Câu 3, Câu chéo hóa ma trận, dạng toàn phương: tìm nhân, ảnh, ma trận, hạng của 6 ánh xạ tuyến tính; tìm trị riêng, véctơ riêng, chéo hóa ma trận; xét dấu dạng toàn phương; đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc. Ngày 10 tháng 12 năm 2023 Bộ môn phê duyệt (ghi rõ họ và tên) 2 Số hiệu: BM1/QT-PĐBCL-RĐTV
Trường ĐH Sư Phạm Sư Phạm Kỹ Thuật Tp.HCM ĐÁP ÁN ĐỀ - MÔN ĐSTT Khoa Khoa Học Ứng Dụng Ngày 22/12/2023 Bộ môn Toán C Ý Đáp án Điểm â u 1  m 1 1 1  1 1 m 1 h 2− h1 1 1 m 1  0.75đ   h1 h 3   h 3− m.h1   A =  1 m 1 1 ⎯⎯⎯  1 m 1 1 ⎯⎯⎯→  0 m − 1 1 − m 0  → ⎯  1 1 m 1  m 1 1 1  0 1 − m 1 − m2 1 − m        1 1 m 1   h 3+ h 2  ⎯⎯⎯  0 m − 1 → 1− m 0  0 0 (1 − m)(m + 2) 1 − m    ( ) m  1  m  −2 , r ( A) = r A = n = 3 , suy ra hệ có nghiệm duy nhất 0.25đ  1 1 1   , ,  m+2 m+2 m+2  1 1 −2 1  0.25đ   ( ) m = −2 , A  0 −3 3 0  , r ( A) = r A , suy ra hệ vô nghiệm  0 0 0 3   1 1 1 1 0.25đ   ( ) m = 1 , A  0 0 0 0  , r ( A) = r A = 1  n = 3 0 0 0 0   Hệ có vô số nghiệm (1 − a − b, a, b ) ,(a, b  R) A = ( m + 2 )( m − 1) 2 Cách 2 A1 = ( m − 1) ; A2 = ( m − 1) ; A3 = ( m − 1) 2 2 2 + A  0  ( m + 2 )( m − 1) = 0  m  −2  m  1 , hệ có nghiệm duy nhất 2  1 1 1   ; ;  m+2 m+2 m+2 + A = 0  ( m + 2 )( m − 1) = 0  m = −2  m = 1 2 m = −2 : A1 = A3 = A3 = 9  0, hệ vô nghiệm m = 1: A1 = A3 = A3 = 0, hệ vô số nghiệm (1 − a − b, a, b ) , a, b  R
2 0.5đ  −1 3 1 −1  −1 3 1 −1   −1 3 1 −1  −1 3 1 −1          −1 −1 3 1  0 −4 2 2  0 −4 2 2  0 −4 2 2 A= 1 1 1 3 0 4 2 2 0 0 4 4 0 0 4 4          3 −1 1 1 0 8 4 −2  0 0 8 2 0 0 0 −6  0.5đ 1 0 0 0   −1 3 1 −1     1 1 0 0   0 −4 2 2 A = LU =  .  −1 −1 1 0  0 0 4 4     −3 −2 2 1  0 0 0 −6  0.25 đ  LY = b Ax = b  LUx = b   Ux = Y  1 0 0 0   y1   3   y1   3           LY = b   1 1 0 0   y2  =  2    y2  =  −1  −1 −1 1 0   y3   1   y3   3            −3 −2 2 1   y4   0   y4   1  0.25 đ  −1 3 1 −1   x1   3   x1   −1/ 24    x        0 −4 2 2   2   −1 x 5/8  Ux = y   =  2=  0 0 4 4   x3   3   x3   11/12            0 0 0 −6   x4   1   x4   −1/ 6  3  1 1 −2   1 1 −2   1 1 −2  0.5đ       A = 2 3 3  0 1 7  0 1 7   4 5 −1   0 1 7   0 0 0          9a   0.5đ     KerT =  x  R / T ( x) = 0 =  x  R / Ax = 0 =  x =  −7a  , a  0  3 3   a         9   9          =  x = a  −7  , a  0  = Span  −7     1   1           9   0.5đ   Cơ sở của KerT là  −7   và dim KerT = 1    1      4  4 0 4   x1   −2  0.75đ      w  ColA vì hệ Ax = w   6 4 8  .  x2  =  1  có det( A) = 96  0 , suy ra hệ  −8 −2 9   x   2     3   nghiệm
 4 0 4   −2   0  0.75đ w  NulA vì A.w =  6      4 8  . 1  =  8   0  −8 −2 9   2   32       5 b1 = 4c1 − c2 , b2 = −c1 + c2 + c3 , b3 = c2 − 2c3 1đ  4 −1 0    PC  B =  −1 1 1   0 1 −2     3 1đ   x = 3b1 + 4b2 + b3   x B =  4  1    4 −1 0   3   8   xC = PC B . xB =  −1 1 1   4  =  2        0 1 −2   1   2       6 5 −  −3 1 0.5 đ det ( A −  I ) = 0  −3 5− = 0  ( 8 −  ) ( 2 −  ) = 0  1 = 8; 2 = 2 2 1 0 0 8−  −3 −3 1  x1   0  0.5 đ 1 = 8, giải hệ ( A − 8I ) X = 0   −3 −3 1  x2  =  0        0 0 0  x   0    3    1 0 VTR: u1 =  0  , u2 =  1       3  3      3 −3 1   x1   0  0.5đ 1 = 2, giải hệ ( A − 2 I ) X = 0   −3 3 1   x2  =  0        0 0 6 x  0   3    1 VTR: u3 =  1    0   1 0 1 8 0 0 0.25đ Ma trận khả nghịch P =  0 1 1  ; P AP =  0 8 0    −1   3 3 0 0 0 2    
 1 0 1 8 0   1/ 2 −1/ 2 1/ 6  0.25đ 2023 0 2023 −1     A2023 = PD P =  0 1 1  .  0 8 2023 0  .  −1/ 2 1/ 2 1/ 6   3 3 0  0 22023   1/ 2 1/ 2 −1/ 6    0    82023 0 22023   1/ 2 −1/ 2 1/ 6     = 0 82023 22023   −1/ 2 1/ 2 1/ 6   3.82023 3.82023  0   1/ 2 1/ 2 −1/ 6     1 2023  2 (8 + 2 ) 2023 1 2 ( −82023 + 22023 ) 1 (82023 − 22023 )  6    =  ( −82023 + 22023 ) (8 + 2 ) 6 (8 − 2 )  1 1 2023 2023 1 2023 2023  2 2    0 0 82023      Tổng điểm 10 đ