ĐỀ THI KSCL MÔN: TOÁN NĂM HỌC 2012-2013 LẦN 1 - KHỐI D

Chia sẻ: Le Nguyen Hoang Son | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:8

Thêm vào BST

Báo xấu

98
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I ( 2,0 điểm). Cho hàm số có đồ thị . ( là tham số thực) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m =2. 2. Tìm tất cả các giá trị của m để các điểm cực trị của đồ thị nằm trên các trục tọa độ. Câu II (2,0 điểm). 1. Giải phương trình: . 2. Giải bất phương trình: . Câu III (1,0 điểm). Giải hệ phương trình: Câu IV (1,0 điểm). Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: ĐỀ THI KSCL MÔN: TOÁN NĂM HỌC 2012-2013 LẦN 1 - KHỐI D

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ KSCL THI ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2012-2013 LẦN 1 ĐỀ THI MÔN: TOÁN - KHỐI D Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I ( 2,0 điểm). Cho hàm số y = − x 4 + 2mx 2 − 4 có đồ thị ( Cm ) . ( m là tham số thực) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m =2. 2. Tìm tất cả các giá trị của m để các điểm cực trị của đồ thị ( Cm ) nằm trên các trục tọa độ. Câu II (2,0 điểm). ( ) 1. Giải phương trình: sin x tan 2 x + 3 sin x − 3 tan 2 x = 3 3 . 3+ x x+ < 1. 2. Giải bất phương trình: 3− x 2 x2 + 3 y − y 2 + 8x − 1 = 0 Câu III (1,0 điểm). Giải hệ phương trình: x ( x + 8 ) + y ( y + 3) − 13 = 0 Câu IV (1,0 điểm). Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có đoạn thẳng nối hai tâm của hai mặt bên kề nhau có độ dài bằng a. Tính theo a thể tích khối lập phương ABCD.A'B'C'D' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AC' và B'D'. Câu V (1,0 điểm). Cho ba số thực dương x, y , z thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: � 2 2 � � 2 2 � �2 2 � x y z P = x� + � y� + � z� + � + + . �3 yz � �3 zx � � 3 xy � II.PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B) A.Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình x − y = 0 và điểm M(2;1). Lập phương trình đường thẳng ( ∆ ) cắt trục hoành tại A, cắt đường thẳng (d) tại B sao cho tam giác AMB vuông cân tại M. Câu VII.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường tròn (C1) có phương trình x 2 + y 2 = 25 , điểm M(1; -2). Đường tròn (C2) có bán kính bằng 2 10 . Tìm tọa độ tâm của (C2) sao cho (C2) cắt (C1) theo một dây cung qua M có độ dài nhỏ nhất. 12 3 12 C x − 3 Ax A2 x − 81. ( x N * ) 2 Câu VIII.a (1,0 điểm). Giải bất phương trình: x 2 B. Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho điểm P(-7;8) và hai đường thẳng ( d1 ) : 2 x + 5 y + 3 = 0, ( d 2 ) : 5 x − 2 y − 7 = 0 cắt nhau tại A. Viết phương trình đường thẳng (d) 29 đi qua P và tạo với (d1 ),(d 2 ) một tam giác cân tại A và có diện tích bằng . 2 Câu VII.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình x + y + 2 = 0 và đường tròn (C1) có phương trình: x 2 + y 2 − 4 x + 2 y + 4 = 0 . Đường tròn (C2) có tâm thuộc (d), (C2) tiếp xúc ngoài với (C1) và có bán kính gấp đôi bán kính của (C1). Viết phương trình của đường tròn (C2). x 2 + mx + 3 Câu VIII.b (1,0 điểm). Cho hàm số y = .Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có cực x +1 đại, cực tiểu đồng thời hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị n ằm về hai phía c ủa đ ường th ẳng (d): 2x+y-1=0. --------------------- Hết -------------------- Chú ý: Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên Thí sinh: ………………………………; Số báo danh: …………………… 1
HƯỚNG DẪN CHẤM KSCL THI ĐẠI HỌC NĂM 2012-2013 LẦN 1 MÔN TOÁN -KHỐI D ( Đáp án có 06 trang: từ trang 1 đến trang 6 ) Điểm Câu Đáp án 1. Khảo sát hàm số với m = 2. I 1,00 Với m = 2, hàm số trở thành: y = − x 4 + 4x 2 − 4 0,25 * TXĐ: R * Sự biến thiên của hàm số: 0,25 Giới hạn vô cực và các đường tiệm cận: xlim y = − ; lim y = − + x− - Bảng biến thiên: x=0 + Ta có: y ' = −4x + 8x; y ' = 0 3 x= 2 + Bảng biến thiên: x -∞ +∞ −2 0 2 y’ + 0 - 0 + 0 - 0 0 y -∞ -∞ 0,25 -4 ( )() - Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng − ; - 2 và 0; 2 - Hàm số nghịch biến trên khoảng ( − 2;0) và ( 2; + ) - Điểm cực đại của đồ thị là ( − 2;0) , ( 2;0) điểm cực tiểu của đồ thị B(0;-4) * Đồ thị: ( ) + Đồ thị cắt trục tung tại ( 0; −4 ) và cắt trục hoành tại điểm − 2;0 và ( ) 2;0 0,25 + Nhận xét: Đồ thị (C) nhận trục tung làm trục đối xứng. f(x) = (-x4 +4 ⋅x2 )-4 2 -5 5 10 -2 -4 -6 -8 2. Tìm m để tất cả các cực trị của hàm số ( Cm ) nằm trên các trục tọa độ. 1,00 x=0 0,25 Ta có: y ' = −4 x + 4mx = 4 x ( − x + m ) ; y ' = 0 3 2 x =m2 Nếu m 0 thì ( Cm ) chỉ có một điểm cực trị và đó là điểm cực đại nằm trên 0,25 trục tung. Nếu m > 0 thì ( Cm ) có 3 điểm cực trị . Một cực tiểu nằm trên trục tung và hai 0,25 điểm cực đại có tọa độ (− m ; m 2 − 4) , ( m ; m 2 − 4) . Để hai điểm này nằm trên trục hoành thì m 2 − 4 = 0 � m = � . Vì m > 0 nên chọn m = 2. 2 2
Vậy m �(−� �{ 2} là những giá trị cần tìm thỏa mãn yêu cầu bài toán. 0,25 ;0] 1. Giải phương trình lượng giác 1,00 π π - Đk. cos 2x �۹+ � 0 x m , m Z. II 4 2 0,25 Ta có: sin x tan 2 x + 3(sin x − 3 tan 2 x) = 3 3 � (sin x tan 2 x + 3 sin x) − (3 tan 2 x + 3 3) = 0 � sin x(tan 2 x + 3) − 3(tan 2 x + 3) = 0 � (tan 2 x + 3)(sin x − 3) = 0 0,25 −π −π kπ + kπ � x = � tan 2 x = − 3 � 2 x = + (k �Z ). (thỏa mãn) 0,25 3 6 2 π π Vậy pt có một họ nghiệm : x = − + k , k Z . 0,25 6 2 2. Giải bất phương trình 1,00 + Đk: x 0; x 3. 0,25 3+ x Bất phương trình � x < 1 − 3− x −2x >0 0,25 3− x −2x 4x 2 � x< � x< 3− x (3 − x) 2 x0 x �(3; +�) 0,25 x 2 − 10x + 9 < 0 x �(3; +� ) 0,25 � � x �(3;9) (Thỏa mãn điều kiện) x (1;9) Vậy tập nghiệm của bpt là : (3;9) Giải hệ phương trình... 1,00 + Điều kiện: x 2 + 3 y 0, y 2 + 8 x 0 III 0,25 ( u, v 0) Đặt u = x 2 + 3 y , v = y 2 + 8 x �u − v = 1 � = 2u − 1 � = 2u − 1 2 v v � �2 2 � �2 + Ta được: � 2 � + v = 13 � + v = 13 � + (2u − 1) = 13 2 2 u u u 0,25 v = 2u − 1 v = 2u − 1 u=2 u=2 �� 2 �� v=3 5u − 4u − 12 = 0 −6 u= (loai ) 5 4 − x2 y= � x + 3y = 2 2 � + 3y = 4 x2 3 � 0,25 � �2 �� + Khi đó � 2 22 � 4 − x �+ 8 x = 9 y + 8x = 9 � � y + 8x = 3 � � �3 � 3
4 − x2 y= 3 x − 8 x 2 + 72 x − 65 = 0 4 �x = 1 4 − x2 y= 4−x 2 � =1 �= y y 3 � �� 3 �x = 1 x = −5 �x − 1)( x + 5)( x 2 − 4 x + 13) = 0 ( x = −5 y = −7 0,25 Kết hợp với điều kiện ban đầu ta thu được tập hợp nghiệm của hệ phương trình là: S = { (1;1),( −5; −7)} Tính thể tích …. 1,00 IV 0,25 B C A D M K N B' C' I A' D' + Gọi M,N lần lượt là 2 tâm của 2 hình vuông ABB'A'; ADD'A' 1 � MN = B'D ' � B'D ' = 2a � A 'B' = a 2 2 ( ) 0,25 VABCDA' B 'C ' D ' = AA'.S A' B 'C ' D ' = a 2 a 2 2 = 2 2a 3 (đvtt) + Gọi I là giao của B'D' và A'C' 0,25 Trong (AA'C') kẻ IK ⊥ AC ' ; K ∈ AC ' AA' ⊥ B ' D'   ⇒ ( AA' C ) ⊥ B ' D' ⇒ IK ⊥ B ' D' Vì A' C ' ⊥ B ' D' Vậy: d ( AC ' , B ' D' ) = IK ∆C ' IK đồng dạng với ∆C 'AA ' . 0,25 IK C'I AA '.C'I a 2.a a = � IK = = = � AA ' C 'A C 'A a 2. 3 3 a Kết luận: Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC’ và B’D’ bằng . 3 Tìm GTNN của biểu thức…. 1,00 V x + y +z  3 3 3 2 2 2 x +y +z Ta có: P =  +2   3 xyz   Áp dụng bđt: a 2 + b 2 ≥ 2ab, ∀a, b ⇒ x 2 + y 2 + z 2 ≥ xy + yz + zx . 0,25 Đẳng thức xảy ra khi x = y = z. 4
 x3 2   y 3 2   z 3 2  x3 + y 3 + z 3 xy + yz + zx ⇒ P ≥ + + + + +  ⇒P≥ +2  3 x  3 y  3 z 3 xyz     3 t 2 + Xét hàm số f (t ) = + với t > 0 ; 3t 0,25 4 2 t −2 2 f ' (t ) = t − 2 = 2 ; f ' (t ) = 0 ⇔ t = 2 4 t t + BBT t + 42 0 − + 0 f / ( t) 0,25 + + f ( t) 8 34 2 Vậy P ≥ 44 8 Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 4 2 . Hay Pmin = 44 8 0,25 Chương trình chuẩn a. Viết phương trình đường thẳng…. VI 1,00 uuu r uuur A �Ox � A( a;0), B �d � B (b; b) , M (2;1) � MA = (a − 2; −1), MB = (b − 2; b − 1) . 0,25 Tam giác ABM vuông cân tại M nên: uuuruuu ur �a − 2)(b − 2) − (b − 1) = 0 ( � .MB = 0 MA � � MA = MB (a − 2) 2 + 1 = (b − 2) 2 + (b − 1) 2 Nhận xét b=2 không thỏa mãn hệ phương trình này. b −1 a−2= b −1 0,25 �−2 = b−2 a � b−2 Ta có : � � 2 � b − 1 �+ 1 = (b − 2) 2 + (b − 1) 2 � �a − 2) + 1 = (b − 2) 2 + (b − 1) 2 2 ( � � �−2� b �a = 2 b −1 a−2= � =1 b−2 b � � � �1 � a=4 � − 2) 2 + (b − 1) 2 �� (b − 2) 2 − 1� 0 = (b . � b=3 � � a=2 đường thẳng ∆ qua A,B có phương trình x + y − 2 = 0 Với 0,25 b =1 a=4 đường thẳng ∆ qua A,B có phương trình 3 x + y − 12 = 0 Với 0,25 b=3 Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn: x + y − 2 = 0 và 3 x + y − 12 = 0 . a. Tìm tọa độ tâm đường tròn… VII 1,00 (C1) A (C2) O M I B 5
0,25 +(C1) có tâm O(0;0), bán kính R=5 OM (1;−2 ) ⇒ OM = 5 ⇒ OM < R ⇒ M nằm trong đường tròn (C1) + Giả sử (C2) cắt (C1) tại A và B. Gọi H là trung điểm đoạn AB. AB = 2 AH = 2 OA 2 − OH 2 = 2 25 − OH 2 . Mà OH lớn nhất khi H trùng 0,25 với M. Vậy AB nhỏ nhất khi M là trung điểm của AB. AB qua M và vuông góc với OM. + Phương trình của AB: x – 2y – 5 = 0. Tọa độ của A,B là nghiệm hệ: 0,25 x − 2 y − 5 = 0 2 . Giải hệ được hai nghiệm(5;0);(-3;-4). x + y 2 = 25  0,25 + Giả sử A(5;0); B(-3;-4). Phương trình của OM: 2x + y = 0. Gọi I là tâm của (C2); Do I ∈ OM ⇒ I (t ;−2t ) . Mà IA = 2 10 => (5 − t ) 2 + 4t 2 = 40 .Giải ra: t = -1 hoặc t = 3. t = 3 ⇒ I (3,−6) t = −1 � I(−1, 2) ; Vậy tâm của (C2) có tọa độ (-1 ; 2) hoặc (3, -6). a. Tìm nghiệm của BPT…. 1,00 + Đk : x ∈ N ; x ≥ 3 VIII 0,25 12 x! 3.x! 1 (2 x)! bpt ⇔ . − ≥. − 81 x 3!( x − 3)! ( x − 2)! 2 ( 2 x − 2)! ⇔ 2( x − 2)( x − 1) − 3( x − 1) x ≥ x(2 x − 1) − 81 0,25 − 17 ⇔ 3x 2 + 2 x − 85 ≤ 0 ⇔ ≤ x≤5 0,25 3 + Kết hợp điều kiện ta được x ∈ { 3;4;5}. 0,25 Vậy tập nghiệm của pt là { 3;4;5} Chương trình nâng cao b. Viết phương trình…. 1,00 VI d2 d1 A 0,25 d C P H B Ta có A = d1 �� d2 tọa độ của A là nghiệm của hệ �x + 5 y + 3 = 0 � =1 2 x � A ( 1; −1) �� x − 2 y − 7 = 0 � = −1 5 y Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi d1 , d 2 là ( ∆1 ) : 7 x + 3 y − 4 = 0, ( ∆ 2 ) : 3x − 7 y − 10 = 0 . Vì d tạo với d1 , d 2 một tam giác cân tại A nên � ⊥ ∆1 �x − 7 y + C1 = 0 d 3 �x + 3 y + C = 0 . Mặt khác P ( − 7;8) ( d ) nên C1 = 77, C2 = 25 . 0,25 �⊥∆ d 7 � � 2 2 6
d : 3x − 7 y + 77 = 0 Suy ra: d : 7 x + 3 y + 25 = 0 Gọi B = d1 �d , C = d 2 �d . Thấy (d1 ) ⊥ (d 2 ) tam giác ABC vuông cân tại A 1 1 29 nên: S ∆ABC = AB. AC = AB 2 = � AB = 29 và BC = AB 2 = 58 2 2 2 0,25 29 2 2 S ∆ABC 58 Suy ra: AH = = 2= BC 2 58 3.1 − 7(−1) + 77 87 58 Với d : 3 x − 7 y + 77 = 0 , ta có d ( A; d ) = = AH = (loại) 2 58 32 + (−7) 2 7.1 + 3( −1) + 25 29 58 0,25 Với d : 7 x + 3 y + 25 = 0 ta có d ( A; d ) = = = = AH (t/mãn). 2 58 7 +3 2 2 Vậy d : 7 x + 3 y + 25 = 0 b. Viết phương trình … 1,00 (C1) có tâm I(2 ;-1); bán kính R1 = 1.Vậy (C2) có bán kính R2 = 2 0,25 Gọi J là tâm của (C2). Do J ∈ d ⇒ J ( t ;−t − 2 ) VII 0,25 (C1) tiếp xúc ngoài với (C2) nên IJ = R1 + R2 = 3 hay IJ2 = 9. t = 2 ⇔ (t − 2) 2 + ( − t − 1) = 9 ⇔ t 2 − t − 2 = 0 ⇔  2 0,25 t = −1 + t = −1 ⇒ J ( − 1;−1) ⇒ (C 2 ) : ( x + 1) 2 + ( y + 1) 2 = 4 + t = 2 ⇒ J ( 2;−4 ) ⇒ (C 2 ) : ( x − 2) 2 + ( y + 4) 2 = 4 0,25 2 2 Vậy có 2 đường tròn (C2) thỏa mãn là: ( x + 1) + ( y + 1) = 4 và ( x − 2) 2 + ( y + 4) 2 = 4 b. Tìm m để… 1,00 VIII 0,25 x + 2x + m − 3 2 Ta có y ' = ( x + 1) 2 Hàm số có CĐ, CT khi pt y'=0 có 2 nghiệm phân biệt khác -1. � x 2 + 2 x + m − 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt khác – 1 ∆' = 4−m > 0 �m
8