Đề thi môn Đại số năm học 2013-2014 - Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP. Hồ Chí Minh

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP.HCM<br /> KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN<br /> BỘ MÔN TOÁN<br /> <br /> ĐỀ THI MÔN: ĐẠI SỐ<br /> Mã môn học: MATH 141401<br /> Ngày thi: 30/12/2014. Thời gian làm bài: 90 phút<br /> Sinh viên được sử dụng tài liệu<br /> <br /> Chú ý: Đề thi có 14 ý, mỗi ý 1 điểm. Sinh viên chỉ được chọn 10 ý để làm bài.<br /> 2<br /> 3<br />  1<br />  4 <br />  x<br /> Câu 1: Cho các ma trận A  3m  1<br /> 1<br /> 0 , B  m  2 , X   y  .<br /> <br /> <br /> <br /> <br />  <br /> m  9 9<br />  m<br />  14 <br /> z<br /> <br /> <br /> <br /> <br />  <br /> a/ (1điểm) Tìm m để hệ phương trình tuyến tính A. X  B có vô số nghiệm.<br /> <br /> b/ (1điểm) Với m  3 , tính det  5.A2014  .<br /> <br /> Câu 2: Cho B  u1   0, 2, 1 ; u2  1,1 , 0  ; u3  1, 0,  1 là m t cơ s c a<br /> <br /> 3<br /> <br /> và<br /> <br /> E  v1  2 x, v2   x 2  1, v3  x 2  x  1 là m t cơ s c a P2  x  . Cho ánh xạ tuyến tính f :<br /> <br /> 3<br /> <br />  P2  x <br /> <br /> được xác định b i f  a, b, c    a  2b . x 2   b  c  . x   a  b  c  .<br /> a/ (1điểm) Tìm m t cơ s và số chiều c a Im f .<br /> b/ (1điểm) Tìm ma trận c a ánh xạ tuyến tính f đối với cặp cơ s B, E .<br /> 1<br /> <br /> c/ (1điểm) Trong P2  x  cho tích vô hướng u, v   u  x  .v  x  dx . Hãy trực giao cơ s E.<br /> 1<br /> <br />  5 3 0 <br />  x1 <br />  3 5 0  và X   x  .<br /> Câu 3: Cho ma trận A <br /> <br /> <br />  2<br />  0 0 4<br />  x3 <br /> <br /> <br />  <br /> a/ (1điểm) Tìm tất cả các giá trị riêng và vectơ riêng c a ma trận A.<br /> 2<br /> 2<br /> b/ (1điểm) Đưa ạng toàn phương f  x1, x2 , x3   5x12  5x2  4 x3  6 x1 x2 về ạng chính t c b ng ph p biến<br /> <br /> đ i trực giao.<br /> c/ (1điểm) Đưa ạng toàn phương g  x1, x2 , x3   X T A2014 X về ạng chính t c b ng ph p biến đ i trực giao.<br /> Câu 4: Cho ánh xạ g :<br /> với<br /> <br />  G xác định b i g  k   3k  3, k  ,<br /> <br /> là tập số nguyên và tập G  n  3k : k <br /> <br /> .<br /> <br /> a/ (1điểm) Chứng minh quy t c n  k : n  k  3 (với mọi n, k  G ) là m t ph p toán hai ngôi trên G .<br /> b/ (1điểm) Chứng minh G cùng với ph p toán  là m t nhóm Abel (nhóm Abel là nhóm giao hoán).<br /> c/ (1điểm) Chứng minh ánh xạ g là m t song ánh.<br /> d/ (1điểm) Chứng minh g là m t đồng cấu từ nhóm<br /> <br /> <br /> <br /> ,   (nhóm các số nguyên<br /> <br /> với phép cộng các số<br /> <br /> nguyên) vào nhóm  G,  . Từ đó suy ra g :  ,     G,  là m t đẳng cấu nhóm.<br /> Câu 5: Ma trận vuông A được gọi là ma trận lũy đẳng nếu A2  A .<br /> 0 1<br /> a/ (1điểm) Chứng tỏ r ng A  <br />  là ma trận lũy đẳng. Ma trận A có khả nghịch không?<br /> 0 1<br /> b/ (1điểm) Chứng minh r ng nếu A, B  M n <br /> <br /> <br /> <br /> là các ma trận lũy đẳng và AB  BA thì AB cũng là ma<br /> <br /> trận lũy đẳng.<br /> CBCT không giải thích đề thi.<br /> <br /> Ngày<br /> <br /> tháng<br /> năm<br /> B môn Toán<br /> <br />