Đề thi Olympic lớp 11 năm 2011-2012 môn Toán - Trường THPT Ba Đình

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI<br /> CỤM TRƯỜNG THPT<br /> BA ĐÌNH – TÂY HỒ<br /> <br /> ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2011-2012<br /> <br /> Môn Toán học - Lớp 11<br /> Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề.<br /> <br /> Đề thi gồm có 01 trang.<br /> Câu 1 (7 điểm):<br /> a) Giải phương trình lượng giác: 3  2(sin 4 x  cos 4 x)  tan x  cot x<br /> b) Tính các giới hạn sau:<br /> <br /> n3  2n<br /> A  lim<br /> ,<br /> 3n<br /> <br /> 3( x 2  2 x  3)  3 3 x 3  x  1<br /> B  lim<br /> .<br /> x 0<br /> x2<br /> <br /> Câu 2 (4 điểm): Cho dãy số (un ), n  * xác định bởi:<br /> u1  1, u 2  2 và un  2  2un1  un  2012  a.n với tham số a  R .<br /> a) Khi a  0 . Xét dãy số (vn ) với vn  un1  un , n  N * . Chứng minh rằng dãy số (vn ) là<br /> một cấp số cộng. Tính tổng 2012 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.<br /> b) Xác định số hạng tổng quát của dãy số (un ) .<br /> Câu 3 (7 điểm): Trong không gian, cho 3 tia Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau. A, B,<br /> C lần lượt là các điểm di động trên các tia Ox, Oy , Oz sao cho:<br /> <br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> <br /> <br />  k với k là một hằng số dương.<br /> OA2 OB 2 OC 2<br /> a) Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác nhọn và trực tâm H của tam giác ABC luôn<br /> cách O một khoảng không đổi.<br /> b) Chứng minh rằng: S 2ABC  S 2OAB  S 2OBC  S 2OCA trong đó S ABC , S OAB , S OBC ,<br /> <br /> SOCA lần lượt là diện tích các tam giác ABC , OAB, OBC , OCA .<br /> c) M là điểm thuộc miền trong tam giác ABC (M không thuộc các cạnh của tam giác). Gọi<br />  ,  ,  lần lượt là các góc hợp bởi đường thẳng OM và các đường thẳng OA, OB, OC.<br /> Chứng minh rằng:<br /> <br /> cos 2 <br /> cos 2 <br /> cos2 <br /> 3<br />  2<br />  2<br /> <br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> sin   sin  sin   sin  sin   sin  4<br /> Câu 4 (2 điểm): Cho dãy số  an  với n  N * , gồm các số tự nhiên, được xác định như sau:<br /> a1  2 , an 1  ( n  1)an  1 , n  N * .<br /> Với mỗi n  N * , xét an  1 điểm khác nhau cùng nằm trên một mặt phẳng, trong đó không<br /> có 3 điểm nào thẳng hàng. Mỗi đoạn thẳng nối hai trong an  1 điểm này được tô bằng một<br /> trong n màu khác nhau. Chứng minh rằng, tồn tại tam giác có đỉnh là ba trong an  1 điểm<br /> đã cho và các cạnh đều được tô cùng một màu.<br /> --------------- HẾT ---------------<br /> <br /> Họ và tên Thí sinh: ……………………………………… Số Báo danh: ……………………<br /> <br />