Đề thi Olympic môn Toán lớp 10 năm 2020-2021 có đáp án - Sở GD&ĐT Hà Nội

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

9
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

“Đề thi Olympic môn Toán lớp 10 năm 2020-2021 có đáp án - Sở GD&ĐT Hà Nội” giúp các bạn học sinh có thêm tài liệu ôn tập, luyện tập giải đề nhằm nắm vững được những kiến thức, kĩ năng cơ bản, đồng thời vận dụng kiến thức để giải các bài tập một cách thuận lợi. Chúc các bạn thi tốt!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi Olympic môn Toán lớp 10 năm 2020-2021 có đáp án - Sở GD&ĐT Hà Nội

SỞ GD&ĐT HÀ NỘI ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2020-2021 LIÊN CỤM TRƯỜNG THPT MÔN TOÁN LỚP 10 THANH XUÂN  CẦU GIẤY Thời gian làm bài: 150 phút MÊ LINH  SÓC SƠN (Đề thi gồm 01 trang) ĐÔNG ANH Bài 1. (5 điểm) 1. Tìm tham số b, c sao cho hàm số y  f ( x)  x  bx  c có đồ thị là một đường parabol 2 với đỉnh là I (2;5). 2. Lập bảng biến thiên của hàm số y  x  3  2 x  4 . Từ đó hãy tìm tham số m sao cho phương trình x  2 x  4  m có nghiệm duy nhất. Bài 2. (4 điểm) 1. Giải phương trình 4 x 2  1  2 x  1  ( x  1)( 2 x  1  1). 2. Biết f ( x)  x 2  2mx  n  0, x  . Tìm tham số m, n để biểu thức P  5m  n  n đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 3. (2 điểm)   x  2 y  3 2 Giải hệ phương trình  .  x  2  2y  3  Bài 4. (8 điểm) 1. Cho hình chữ nhật ABCD với AB  3 2, AD  3. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD, I và G lần lượt là trung điểm của CD và OB. 1 1 3 a) Chứng minh rằng OG  ( AB  AD) và IG  AB  AD. 4 4 4 b) Chứng minh rằng AI  IG. c) Tìm tập hợp các điểm M sao cho MA2  MB2  MC 2  MD2  37. 2. Cho tam giác ABC có BC  a, BAC  600. Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN vuông góc với nhau tại trọng tâm G. Tính theo a diện tích tam giác ABC. Bài 5. (1 điểm) Cho tam giác ABC có chu vi bằng 3 và độ dài 3 cạnh của tam giác là a, b, c. Chứng minh rằng 4(a 3  b3  c 3 )  15abc  27. …………………HẾT ………………… Họ và tên thí sinh:…………………………………………….SBD:………………
ĐÁP ÁN MÔN TOÁN 10 KÌ THI OLYMPIC LIÊN CỤM TRƯỜNG THPT THANH XUÂN-CẦU GIẤY, MÊ LINH-SÓC SƠN, ĐÔNG ANH HÀ NỘI Năm học: 2020-2021 …………o0o……….. Bài Đáp án Điểm b 1.1. Vì parabol có đỉnh I (2;5) nên  2 2 1,0  1,0 và f (2)  5 (hoặc 5) 4a b  4 0,75 Khi đó:   4  2b  c  5 b  4 0,75  . Vậy b=4, c=9. c  9  x  3  2 x  4 khi x  2 3 x  7 khi x  2 0,5 1.2. Ta có: y  x  3  2 x  4    .  x  3  4  2 x khi x  2  x  1 khi x  2 -Hàm số đồng biến trên khoảng (2; ), hàm số nghịch biến trên khoảng (;2). -BBT Bài 1 0,5 x -∞ 2 (5 đ) +∞ +∞ +∞ y -1 -Ta có: PT  x  3  2 x  4  m  3, từ BBT ta thấy PT có nghiệm duy nhất  m  3  1  m  2. 0,5 1 2.1. ĐK: x  . 2 0,5 PT  2 x  1( 2 x  1  1)  ( x  1)( 2 x  1  1)  ( 2 x  1  1)( 2 x  1  x  1)  0 0,5 +) 2 x  1  1  0  2 x  1  1  2 x  1  1  x  1(TM ). 0,5  x 1  0 +) 2x  1  x  1  0  2x  1  x 1   2 x  1  ( x  1) 2 0,5
x  1 x  1   2    x  0  x  4(TM ). 0,5 x  4x  0  x  4  Bài 2 Vậy: x 1; 4. (4đ) 2.2. Vì f ( x)  0, x  và hệ số a=1>0 nên  '  m2  n  0  n  m2 . 0,5 Ta có: P  5m  n  n  5m  m2  m 0,25 Ta lại có: m2  5m  m  m2  4m  4  (m  m )  4  (m  2)2  (m  m )  4 0,25 Vì (m  2)2  0 0,25 m  2 0,25  m  2 và m  m  m  m  0  P  4. Dấu “=” khi m  0   . n  m2  n  4  Vậy Min P  4 khi m  2 & n  4. ĐK: x  2. Ta có: x  2  3 2y 0,5  3 3  2 y  0 y  Bài 3   2 0,5  x  2  (3  2 y ) 2  x  4 y 2  12 y  7 (2đ)  Thế x theo y vào PT còn lại ta được: 4 y 2  12 y  7  2 y 2  3  2 y 2  12 y  10  0  y 2  6 y  5  0 0,5  y  1 (TM ) 0,5  . Với y=1 thì x  1. Vậy ( x; y)  (1;1).  y  5( KTM ) 4.1a. A 3 2 B G O 3 D I C 1 1 1 -Ta có: OG  DB  ( AB  AD). 4 4 1 1 1 -Ta có: IG  IO  OG  AD  DB 2 4
Bài 4 1 1 1 3 1  AD  ( AB  AD)  AB  AD. (8đ) 2 4 4 4 1 0,5 4.1 b. Ta có: AI  AD  DI  AD  AB 2 1 3  1  0,5  IG. AI   AB  AD  .  AD  AB  4 4  2  Vì AB  AD  AB.AD  0 , theo giả thiết AB  3 2; AD  3 0,5 1 3 1 3 nên IG. AI  AB 2  AD2  .18  .3  0  AI  IG. 8 4 8 4 0,5 4.1c Ta có: OA  OB  OC  OD  0 0,25 nên 0,25 MA  MB  MC  MD  ( MO  OA)  ( MO  OB)  ( MO  OC )  ( MO  OD) 2 2 2 2 2 2 2 2  4MO2  OA2  OB2  OC 2  OD2  4MO2  4.OA2 0,25  4.OM 2  4.OA2  4.OM 2  AC 2  4.OM 2  21  37  OM 2  4  OM  2 . 0,25 Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm O bán kính bằng 2. 4.2 Đặt AB=c, AC=b. Theo định lý Pytago, ta có: BC 2  BG 2  CG 2 0,5 4 2 4a 2  b 2  c 2 0,5  a  (mb  mc )  2 2  b2  c2  5a 2 . 9 9 Theo định lý cosin trong tam giác ABC, ta có: a2  b2  c2  2bc.cos A  5a 2  2bc.cos60  5a 2  bc  bc  4a 2 . 0,5 1 1 0,5 Do đó: S ABC  bc.sin A  .4a 2 .sin 60  a 2 3. 2 2 Ta có: 0,25 E  4(a3  b3  c3  3abc)  27abc  4(a  b  c)(a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca)  27abc  12(a 2  b2  c 2  ab  bc  ca)  27abc. Chứng minh được: abc  (a  b  c)(b  c  a)(c  a  b) 0,25 Bài 5 Mà a+b+c=3 nên abc  (3  2a)(3  2b)(3  2c) (1đ)  abc  27 18(a  b  c) 12(ab  bc  ca)  8abc  9abc  12(ab  bc  ca)  27  3abc  4(ab  bc  ca)  9. 0,25 Do đó: E  12(a 2  b2  c 2  ab  bc  ca)  9.[4(ab  bc  ca)  9]  12(a  b  c)2  81  27. 0,25 Dấu “=” khi a=b=c=1.