Đ THI TH Đ I H C, CAO Đ NG 2012Ề Ử Ạ Ọ Ẳ
Môn thi : TOÁN ( Đ 1 )Ề
I. PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH (7,0 đi m)Ầ Ấ Ả ể
Câu I (2 đi mể) Cho hàm s ố
3 2
3 2y x x= − + −
(C)
1) Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C).ả ự ế ẽ ồ ị
2) Tìm trên đ ng th ng (d): y = 2 các đi m mà t đó có th k đ c ba ti p tuy nườ ẳ ể ừ ể ẻ ượ ế ế
đ n đ th (C).ế ồ ị
Câu II (2 đi mể)
1) Gi i ph ng trình: ả ươ
x x x x x
2
2 3 1 3 2 2 5 3 16+ + + = + + + −
.
2) Gi i ph ng trình: ả ươ
x x x x
3
2 2cos2 sin2 cos 4sin 0
4 4
π π
� � � �
+ + − + =
� � � �
� � � �
.
Câu III (1 đi m)ể Tính tích phân:
I x x x x dx
24 4 6 6
0
(sin cos )(sin cos )
π
= + +
.
Câu IV (2 đi m)ể Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác vuông t i B có AB = a, BC =ạ
a
3
, SA vuông góc v i m t ph ng (ABC), SA = 2a. G i M, N l n l t là hình chi uớ ặ ẳ ọ ầ ượ ế
vuông góc c a đi m A trên các c nh SB và SC. Tính th tích c a kh i chópủ ể ạ ể ủ ố
A.BCNM.
Câu V (1 đi m)ể Cho a, b, c, d là các s d ng. Ch ng minh r ng:ố ươ ứ ằ
abcd
a b c abcd b c d abcd c d a abcd d a b abcd
4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
1 1 1 1 1
+ + +
+ + + + + + + + + + + +
II. PH N RIÊNG Ầ(3,0 đi m)ể
A. Theo ch ng trình chu n.ươ ẩ
Câu VI.a (2 đi mể)
1) Trong m t ph ng v i h to đ Oxy, g i A, B là các giao đi m c a đ ng th ngặ ẳ ớ ệ ạ ộ ọ ể ủ ườ ẳ
(d): 2x – y – 5 = 0 và đ ng tròn (C’): ườ
2 2 20 50 0x y x+ − + =
. Hãy vi t ph ng trìnhế ươ
đ ng tròn (C) đi qua ba đi m A, B, C(1; 1). ườ ể
2) Trong không gian v i h tr c t a đ Oxyz, cho đi m A(4; 5; 6). Vi t ph ng trìnhớ ệ ụ ọ ộ ể ế ươ
m t ph ng (P) qua A, c t các tr c t a đ l n l t t i I, J, K mà A là tr c tâm c a tamặ ẳ ắ ụ ọ ộ ầ ượ ạ ự ủ
giác IJK.
Câu VII.a (1 đi m)ể Ch ng minh r ngứ ằ n u ế
n
a bi (c di)+ = +
thì
.
B. Theo ch ng trình nâng caoươ
Câu VI.b (2 đi m)ể
1) Trong m t ph ng v i h to đ Oxy, cho tam giác ABC có di n tích b ng ặ ẳ ớ ệ ạ ộ ệ ằ
3
2
, A(2;
–3), B(3; –2), tr ng tâm c a ọ ủ ∆ABC n m trên đ ng th ng (d): 3x – y –8 = 0. Vi tằ ườ ẳ ế
ph ng trình đ ng tròn đi qua 3 đi m A, B, C.ươ ườ ể
2) Trong không gian v i h tr c t a đ Oxyz, cho b n đi m A(4;5;6); B(0;0;1);ớ ệ ụ ọ ộ ố ể
C(0;2;0); D(3;0;0). Ch ng minh các đ ng th ng AB và CD chéo nhau. Vi t ph ngứ ườ ẳ ế ươ
trình đ ng th ng (D) vuông góc v i m t ph ng Oxy và c t các đ ng th ng AB,ườ ẳ ớ ặ ẳ ắ ườ ẳ
CD.
Câu VII.b (1 đi mể) Gi i h ph ng trình:ả ệ ươ
x y x x y
x
xy y y x y
2 2
4 4 4
2
4 4 4
log ( ) log (2 ) 1 log ( 3 )
log ( 1) log (4 2 2 4) log 1
+ − + = +
� �
+ − + − + = −
� �
� �
Trang 1
H ng d n Đ sô 1ướ ẫ ề
Câu I: 2) G i M(m; 2) ọ∈ d. Ph ng trình đ ng th ng ươ ườ ẳ ∆ qua M có d ng: ạ
y k x m( ) 2= − +
.
T M k đ c 3 ti p tuy n v i (C) ừ ẻ ượ ế ế ớ ⇔ H ph ng trình sau có 3 nghi m phân bi t:ệ ươ ệ ệ
x x k x m
x x k
3 2
2
3 2 ( ) 2 (1)
3 6 (2)
− + − = − +
− + =
⇔
m hoac m�
m
5
13
2
< − >
Câu II: 1) Đ t ặ
t x x2 3 1= + + +
> 0. (2) ⇔
x3=
2) 2) ⇔
x x x x x(sin cos ) 4(cos sin ) sin2 4 0
� �
+ − − − =
� �
⇔
x k
4
ππ
= − +
;
x k x k
3
2 ; 2
2
π
π π
= = +
Câu III:
x x x x
4 4 6 6
(sin cos )(sin cos )+ +
x x
33 7 3
cos4 cos8
64 16 64
= + +
⇒
I33
128
π
=
Câu IV: Đ t Vặ1=VS.AMN; V2=VA..BCNM; V=VS.ABC;
VSM SN SM (1)
V SB SC SB
1
1
. .2
= =
4a SM
AM a SM= SB
2 4
;5
5 5
= =�
⇒
V V V V (2)
V V
1 2 2
2 3 3
5 5 5
= = =� �
ABC
a
V S SA
3
1 . 3
.
3 3
∆
= =
⇒
a
V
3
2
. 3
5
=
Câu V:
a b a b (1); b c b c (2); c a c a (3)
4 4 2 2 4 4 2 2 4 4 2 2
2 2 2+ + +
⇒
a b c abc a b c a b c abcd abc a b c d
4 4 4 4 4 4
( ) ( )+ + + + + + + + + +� � �
(4)
abc a b c d
a b c abcd
4 4 4
1 1
( )
+ + +
+ + +
⇒ đpcm.
Câu VI.a: 1) A(3; 1), B(5; 5) ⇒ (C):
x y x y
2 2
4 8 10 0+ − − + =
2) G i ọI(a;0;0), J(0;b;0), K(0;0;c) ⇒
x y z
Pa b c
( ): 1+ + =
IA a JA b
JK b c IK a c
(4 ;5;6), (4;5 ;6)
(0; ; ), ( ;0; )
= − = −
= − = −
uur uur
uur uur
⇒
abc
b c
a c
4 5 6 1
5 6 0
4 6 0
+ + =
− + =
− + =
⇒
a
b
c
77
4
77
5
77
6
=
=
=
Câu VII.a: a + bi = (c + di)n
|a + bi| = |(c + di)n |
|a + bi|2 = |(c + di)n |2 = |(c + di)|2n
a2 + b2 = (c2 + d2)n
Câu VI.b: 1) Tìm đ c ượ
C(1; 1)
1−
,
C
2
( 2; 10)− −
.
+ V i ớ
C
1
(1; 1)−
⇒ (C):
2 2
x y x y
11 11 16 0ﾠ
3 3 3
+ − + + =
+ V i ớ
C
2
( 2; 10)− −
⇒ (C):
2 2
x y x y
91 91 416 0ﾠ
3 3 3
+ − + + =
2) G i ọ(P) là m t ph ng qua AB và (P) ặ ẳ ⊥ (Oxy) ⇒ (P): 5x – 4y = 0
(Q) là m t ph ng qua CD và (Q) ặ ẳ ⊥ (Oxy) ⇒ (Q): 2x + 3y – 6 = 0
Ta có (D) = (P)∩(Q) ⇒ Ph ng trình c a (D)ươ ủ
Câu VII.b:
x x=2
v i >0 tuy y va�� �� �
y y=1
αα
α
� �
=
� �
=
� �
Trang 2
Đ THI TH Đ I H C, CAO Đ NG 2012Ề Ử Ạ Ọ Ẳ
Môn thi : TOÁN ( Đ 2 )Ề
I. PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH (7,0 đi m) Ầ Ấ Ả ể
Câu I. (2đ): Cho hàm s ố
y x mx x
3 2
3 9 7= − + −
có đ th (Cồ ị m).
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th hàm s khi ả ự ế ẽ ồ ị ố
m0=
.
2. Tìm
m
đ (Cểm) c t tr c Ox t i 3 đi m phân bi t có hoành đ l p thành c p s c ng.ắ ụ ạ ể ệ ộ ậ ấ ố ộ
Câu II. (2đ):
1. Gi i ph ng trình: ả ươ
x x x x
2 2 2 2
sin 3 cos 4 sin 5 cos 6− = −
2. Gi i b t ph ng trình: ả ấ ươ
x x
x
1
2 2 1 0
2 1
−
− +
−
Câu III. (1đ) Tính gi i h n sau: ớ ạ
x
x x
Ax
2
3
1
7 5
lim 1
+ − −
=−
Câu IV (1đ): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình ch nh t; SA ữ ậ ⊥ (ABCD); AB =
SA = 1;
AD 2=
. G i M, N l n l t là trung đi m c a AD và SC; I là giao đi m c aọ ầ ượ ể ủ ể ủ
BM và AC. Tính th tích kh i t di n ANIB.ể ố ứ ệ
Câu V (1đ): Bi t ế
x y( ; )
là nghi m c a b t ph ng trình:ệ ủ ấ ươ
x y x y
2 2
5 5 5 15 8 0+ − − +
. Hãy tìm
giá tr l n nh t c a bi u th c ị ớ ấ ủ ể ứ
F x y3= +
.
II. PH N T CH N (3đ)Ầ Ự Ọ
A. Theo ch ng trình chu n:ươ ẩ
Câu VI.a (2đ)
1. Trong m t ph ng v i h to đ Oxy, cho elip (E): ặ ẳ ớ ệ ạ ộ
x y
2 2
1
25 16
+ =
. A, B là các đi m trênể
(E) sao cho:
1
AF BF
2
8+ =
, v i ớ
F F
1 2
;
là các tiêu đi m. Tính ể
AF BF
2 1
+
.
2. Trong không gian v i h to đ Oxyz, cho m t ph ng ớ ệ ạ ộ ặ ẳ
( )
α
:
x y z2 5 0− − − =
và đi mể
A(2;3; 1)−
. Tìm to đ đi m B đ i x ng v i A qua m t ph ng ạ ộ ể ố ứ ớ ặ ẳ
( )
α
.
Câu VIIa. (1đ): Gi i ph ng trình: ả ươ
( ) ( ) ( )
2 3 3
1 1 1
4 4 4
3log x 2 3 log 4 x log x 6
2+ - = - + +
B. Theo ch ng trình nâng cao:ươ
Câu VI.b (2đ)
1. Trong m t ph ng v i h to đ Oxy, vi t ph ng trình đ ng tròn đi qua ặ ẳ ớ ệ ạ ộ ế ươ ườ
A(2; 1)−
và ti p xúc v i các tr c to đ .ế ớ ụ ạ ộ
2. Trong không gian v i h to đ Oxyz, cho đ ng th ng ớ ệ ạ ộ ườ ẳ
d
:
x y z1 1 2
213
+ − −
= =
và
m t ph ng ặ ẳ
P:
x y z 1 0− − − =
. Vi t ph ng trình đ ng th ng ế ươ ườ ẳ ∆ đi qua
A(1;1; 2)−
, song
song v i m t ph ng ớ ặ ẳ
P( )
và vuông góc v i đ ng th ng ớ ườ ẳ
d
.
Câu VII.b (1đ) Cho hàm s : ố
mx m x m m
yx m
2 2 3
( 1) 4+ + + +
=+
có đ th ồ ị
m
C( )
.
Tìm m đ m t đi m c c tr c a ể ộ ể ự ị ủ
m
C( )
thu c góc ph n t th I, m t đi m c c tr c aộ ầ ư ứ ộ ể ự ị ủ
m
C( )
thu c góc ph n t th III c a h to đ Oxy.ộ ầ ư ứ ủ ệ ạ ộ
Trang 3
H ng d n Đ sô 2ướ ẫ ề
Câu I: 2) Ph ng trìnhươ hoành đ giao đi m c a (Cộ ể ủ m) và tr c hoành: ụ
x mx x
3 2
3 9 7 0− + − =
(1)
G i hoành đ các giao đi m l n l t là ọ ộ ể ầ ượ
x x x
1 2 3
; ;
. Ta có:
x x x m
1 2 3
3+ + =
Đ ể
x x x
1 2 3
; ;
l p thành c p s c ng thì ậ ấ ố ộ
x m
2
=
là nghi m c a ph ng trình (1)ệ ủ ươ
⇒
m m
3
2 9 7 0− + − =
m
m
1
1 15
2
=
−
=
. Th l i ta đ c :ử ạ ượ
m1 15
2
− −
=
Câu II: 1)
x x x x
2 2 2 2
sin 3 cos 4 sin 5 cos 6− = −
⇔
x x xcos (cos7 cos11 ) 0− =
⇔
k
x
k
x
2
9
π
π
=
=
2)
x0 1<
Câu III:
x x
x x
Ax x
2
3
1 1
7 2 2 5
lim lim
1 1
+ − − −
= +
− −
=
1 1 7
12 2 12
+ =
Câu IV:
ANIB
V2
36
=
Câu V: Thay
yFx 3−=
vào bpt ta đ c: ượ
y Fy F F
2 2
50 30 5 5 8 0− + − +
Vì bpt luôn t n t i ồ ạ
y
nên
0≥∆ y
⇔
040025025 2≥−+− FF
⇔
82
≤≤
F
V y GTLN c a ậ ủ
yxF 3+=
là 8.
Câu VI.a: 1)
1
AF AF a
2
2+ =
và
BF BF a
1 2
2+ =
1 2
AF AF BF BF a
1 2
4 20+ + + = =
Mà
1
AF BF
2
8+ =
2
AF BF
1
12+ =
2)
B(4;2; 2)−
Câu VII.a:
x x2; 1 33= = −
Câu VI.b: 1) Ph ng trình đ ng tròn có d ng: ươ ườ ạ
x a y a a a
x a y a a b
2 2 2
2 2 2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
− + + =
− + − =
a) ⇒
a
a
1
5
=
=
b) ⇒ vô nghi m.ệ
K t lu n: ế ậ
x y
2 2
( 1) ( 1) 1− + + =
và
x y
2 2
( 5) ( 5) 25− + + =
2)
d P
u u n; (2;5; 3)
� �
= = −
� �
uur uur
r
. ∆ nh n ậ
u
r
làm VTCP ⇒
x y z112
:2 5 3
∆
− − +
= = −
Câu VII.b: To đ các đi m c c tr l n l t là: ạ ộ ể ự ị ầ ượ
A m m
2
( ;3 1)+
và
B m m
2
( 3 ; 5 1)− − +
Vì
y m
2
1
3 1 0= + >
nên đ m t c c tr c a ể ộ ự ị ủ
m
C( )
thu c góc ph n t th I, m t c c tr ộ ầ ư ứ ộ ự ị c aủ
m
C( )
thu c góc ph n t th III c a h to đ Oxy thì ộ ầ ư ứ ủ ệ ạ ộ
m
m
m
2
0
3 0
5 1 0
>
− <
− + <
⇔
m1
5
>
.
Trang 4
Đ THI TH Đ I H C, CAO Đ NG 2012Ề Ử Ạ Ọ Ẳ
Môn thi : TOÁN ( Đ 3 )Ề
I. PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH (7,0 đi m) Ầ Ấ Ả ể
Câu I: (2 đi mể) Cho hàm s ố
3 2
3 1y x x= − +
có đ th (C).ồ ị
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C).ả ự ế ẽ ồ ị
2. Tìm hai đi m A, B thu c đ th (C) sao cho ti p tuy n c a (C) t i A và B songể ộ ồ ị ế ế ủ ạ
song v i nhau và đ dài đo n AB = ớ ộ ạ
4 2
.
Câu II: (2 đi mể)
1. Gi i ph ng trình: ả ươ
x x x
8
4 8
2
1 1
log ( 3) log ( 1) 3log (4 )
2 4
+ + − =
.
2. Tìm nghi m trên kho ng ệ ả
0; 2
π
� �
� �
� �
c a ph ng trình: ủ ươ
xx x
2 2
3
4sin 3sin 2 1 2cos
2 2 4
π π
π
� � � � � �
− − − = + −
� � � � � �
� � � � � �
Câu III: (1 đi m)ể Cho hàm s ốf(x) liên t c trên R và ụ
4
f x f x x( ) ( ) cos+ − =
v i m i xớ ọ
R.
Tính:
( )
I f x dx
2
2
π
π
−
=
.
Câu IV: (1 đi mể) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là m t hình vuông tâm O. Các m tộ ặ
bên (SAB) và (SAD) vuông góc v i đáy (ABCD). Cho AB = a, SA = aớ
2
. G i H, Kọ
l n l t là hình chi u c a A trên SB, SD .Tính th tích kh i chóp O.AHK.ầ ượ ế ủ ể ố
Câu V: (1 đi mể) Cho b n s d ng a, b, c, d tho mãn a + b + c + d = 4 .ố ố ươ ả
Ch ng minh r ng:ứ ằ
a b c d
b c c d d a a b
2 2 2 2
2
1 1 1 1
+ + +
+ + + +
II. PH N RIÊNG Ầ(3 đi m)ể
A. Theo ch ng trình chu n.ươ ẩ
Câu VI.a: (2 đi m)ể
1) Trong m t ph ng v i h to đ Oxy, cho tam giác ABC có di n tích b ng ặ ẳ ớ ệ ạ ộ ệ ằ
3
2
,
A(2;–3), B(3;–2). Tìm to đ đi m C, bi t đi m C n m trên đ ng th ng (d): 3x – yạ ộ ể ế ể ằ ườ ẳ
– 4 = 0.
2) Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho ba đi m A(2;4;1),B(–1;1;3) và m tớ ệ ọ ộ ể ặ
ph ng (P): x – 3y + 2z – 5 = 0. Vi t ph ng trình m t ph ng (Q) đi qua hai đi m A, Bẳ ế ươ ặ ẳ ể
và vuông góc v i m t ph ng (P).ớ ặ ẳ
Câu VII.a: (1 đi m)ể Tìm các s th c b, c đ ph ng trình ố ự ể ươ
z bz c
20+ + =
nh n s ph cậ ố ứ
1z i
= +
làm m t nghi m.ộ ệ
B. Theo ch ng trình nâng caoươ
Câu VI.b: (2 đi m)ể
1) Trong m t ph ng v i h to đ Oxy, cho tam giác ABC có tr ng tâm G(ặ ẳ ớ ệ ạ ộ ọ −2, 0) và
ph ng trình các c nh AB, AC theo th t là: 4x + y + 14 = 0; ươ ạ ứ ự
02y5x2 =−+
. Tìm
t a đ các đ nh A, B, C.ọ ộ ỉ
2) Trong không gian v i h to đ Oxyz, cho các đi m A(2,0,0); B(0,4,0); C(2,4,6) vàớ ệ ạ ộ ể
Trang 5