Đề thi thử Đại học lần II năm học 2013-2014 môn Toán - Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị

Chia sẻ: La Minh đức | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

74
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề thi thử Đại học lần II năm học 2013-2014 môn Toán của Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị dành cho tất cả các em học sinh khối A, A1, B. Đề thi gồm có hai phần thi là phần chung và phần riêng với các câu hỏi tự luận có kèm đáp án và hướng dẫn giải chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi thử Đại học lần II năm học 2013-2014 môn Toán - Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị

TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN II NĂM HỌC 2013 – 2014 LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG TRỊ Môn: TOÁN - KHỐI A, A1, B Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề ___________________________ I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm) 4 2 3m Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y = 2x + 2mx - (m là tham số thực). 2 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = - 2 . 2) Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị đồng thời ba điểm này cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tứ giác nội tiếp được. 1 + cos x + cos 2 x + cos 3x 2 Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình cos x + cos 2 x ( = 3 - 3 sin x . 3 ) Câu 3 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình í ìï 3 ( ) ( ïï x + y3 = ln x 2 + 1 - x + ln y 2 + 1 - y ,)(x, y Î ¡ ). ïïï x( x + 1) = (2 - y) y 2 + 2 y + 3, ïî p 4 Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân I = ò (sin x - 2 ( ) cos x ) x - e 2 x + cos 2 x dx . 0 Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a 2 , tam giác SAC có SA = a, SC = a 3 và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a và tính cosin góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (SBC). Câu 6 (1,0 điểm). Cho các số x, y , z > 0 thỏa mãn điều kiện xyz = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 1 1 P= + + . x2 + 2 y 2 + 2 z2 + 2 II. PHẦN RIÊNG - PHẦN TỰ CHỌN (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B) A. Theo chương trình Chuẩn Câu 7a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại C, các đường thẳng AB, AC lần lượt có phương trình là x + 2 y = 0 và x - y + 6 = 0 . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, biết trọng tâm G nằm trên trục tung. x- 1 y + 2 z + 1 Câu 8a (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng (d): = = và 1 1 2 mặt phẳng (P): x - 2 y + 2 z - 9 = 0 . Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên (d), đi qua giao điểm của (d) và (P), đồng thời cắt (P) theo một đường tròn có bán kính bằng √5. Câu 9a (1,0 điểm). Cho đa giác đều gồm 2n đỉnh. Chọn ngẫu nhiên ba đỉnh trong số 2n đỉnh của đa giác, xác suất ba đỉnh được chọn tạo thành một tam giác vuông là 20%. Tìm n ( n là số nguyên dương lớn hơn hoặc bằng 2). B. Theo chương trình Nâng cao Câu 7b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có các đỉnh A, B thuộc đường tròn (C1): x 2 + y 2 + 2 x + 5 y + 1 = 0, các đỉnh A, D thuộc đường tròn (C2): x 2 + y 2 - 2 x - 3 y = 3. Viết phương trình các cạnh của hình chữ nhật đó biết diện tích của nó bằng 20 và đỉnh A có hoành độ âm. x- 1 y + 3 z- 3 Câu 8b (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng (d ): = = và - 1 2 1 mặt phẳng (P): 2 x + y - 2 z + 9 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A(- 2; - 1; 2), B (- 1; - 2;1) và cắt (P) theo một giao tuyến vuông góc với (d). 2 Câu 9b (1,0 điểm). Tìm mô-đun của số phức z biết z 2 (1- i )+ 2 (z ) (1 + i )= 21- i. ----------------------HẾT-------------------- Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Cảm ơn bạn Châu Tân ( chautan94@gmail.com ) đã gửi tới www.laisac.page.tl
TRƯỜNG THPT CHUYÊN HDC ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN II NĂM HỌC 2013 – 2014 LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG TRỊ Môn: TOÁN - KHỐI A, A1, B Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề ___________________________ Câu Đáp án Điểm 1 4 2 3m Cho hàm số y = 2x + 2mx - (m là tham số thực). 1 2 điểm 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = - 2 . Khi = −2, hàm số trở thành = 2 − 4 + 3. TXĐ: ℝ 0.25 = 8 − 8 = 0 ⇔ ∈ {−1,0,1}. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; −1) và (0; 1); đồng biến trên các khoảng (−1; 0) và (1; +∞). 0.25 Hàm số đạt cực đại tại = 0, Đ =3; đạt cực tiểu tại = ±1, =1. lim →±∞ = +∞. Bảng biến thiên −∞ −1 0 1 +∞ 0.25 ′ 0 0 0 +∞ 3 +∞ 1 1 Đồ thị hàm số cắt trục tung tại (0; 3), đi qua các điểm ±√2; 3 , nhận trục tung làm trục đối xứng. 0.25 2) Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị đồng thời ba điểm này cùng với góc tọa độ O 1 tạo thành một tứ giác nội tiếp được. điểm ′ =0 =8 +4 =0⇔ =− 0.25 Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi < 0. Khi đó các điểm cực trị là 0; − , − − ;− − , − ;− − Nhận thấy B và C đối xứng nhau qua đường thẳng OA nên ycbt được thỏa mãn khi và chỉ 0.25 khi 4 điểm A, B, C, O tạo thành tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính OA, hay khi và chỉ khi ∠ = 90 . ⃗= − ; , ⃗= − ; + .∠ = 90 ⇔ − + + =0 0.25 ⇔ ( + 1)( + 2 − 2) = 0 0.25 ⇔ ∈ −1; −1 − √3 (do < 0).
1 + cos x + cos 2 x + cos 3 x 2 2 Giải phương trình cos x + cos 2 x = 3 - 3 sin x 3 ( ) (1). 1 điểm ≠ + ĐK: cos + cos 2 ≠ 0 ⇔ 2 cos cos ≠ 0 ⇔ ⇔ ≠ + . 0.25 ≠ + cos + cos 2 + 1 + cos 3 2 (1) ⇔ = 3 − √3 sin cos + cos 2 3 3 3 2 cos cos + 2 cos ⇔ 2 2 2 = 2 3 − √3 sin 3 3 0.25 2 cos cos 2 2 3 cos + cos 2 cos cos ⇔ 2 2 = 2 3 − √3 sin ⇔ 2 = 2 3 − √3 sin cos 3 cos 3 2 2 √3 1 √3 √3 ⇔ 3 cos = 3 − √3 sin ⇔ cos + sin = ⇔ sin + = 0.25 2 2 2 3 2 = 2 ⇔ = + 2 3 0.25 Đối chiếu đk: x = k 2p , k Î Z . 3 ( ) ( ïìï x3 + y 3 = ln x 2 + 1 - x + ln y 2 + 1 - y , (2) Giải hệ phương trình ïí (x, y Î ¡ ). ) 1 ïï 2 điểm ïïî x( x + 1) = (2 - y) y + 2 y + 3, (3) Hệ đã cho xác định với mọi , thực. 1 (2) ⇔ − ln +1− =− + ln +1+ 0.25 ⇔ − ln +1− = (− ) − ln (− ) + 1 − (− ) Xét hàm số ( ) = − ln √ + 1 − liên tục trên . ′( ) 0.25 =3 +√ > ∀ ∈ . Suy ra ( ) đồng biến trên R. Do đó (2) ⇔ ( ) = (− ) ⇔ = − . Thay = − vào (3) ta được phương trình + = ( + 2)√ −2 +3 ( + )( + 2) ≥ 0 ⇔ ( + ) = ( + 2) ( − 1) + 2( + 2) 0.25 ( + )( + 2) ≥ 0 ⇔ ( + ) = ( + − 2) + 2( + 2) ( + )( + 2) ≥ 0 ⇔ −2 −6=0 ⇔ = 1 ± √7. 0.25 Vậy hệ có hai nghiệm ( , ) = 1 + √7, −1 − √7 , ( , ) = 1 − √7, −1 + √7 . 4 p 4 1 ò (sin x - cos x) (x - e )dx . 2 Tính tích phân I = 2 x + cos 2 x điểm 0 ⁄ ⁄ = (sin − cos ) ( − ) = (1 − sin 2 )( − ) ⁄ ⁄ 0.25 = (1 − sin 2 ) − (1 − sin 2 ) ⁄ ⁄ ⁄ 1 1 ⁄4 1 (1 − sin 2 ) = + cos 2 = + cos 2 − + cos 2 2 2 2 0 0.25 1 1 ⁄4 1 1 = − + sin 2 = − − = − . 16 2 4 16 32 4 32 4 0
1 0.25 (1 − sin 2 ) = (2 + cos 2 )′ 2 1 ⁄4 1 = = − . 2 2 0.25 0 Vậy = − − − . 5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a 2 , tam giác SAC có SA = a, 1 SC = a 3 và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích của khối điểm chóp S.ABCD theo a và tính cosin góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (SBC). Ta có = √2 = 2 , suy ra tam giác vuông tại . Gọi là hình chiếu của S lên 0.25 AC thì vuông góc với mặt phẳng (ABCD). √ Tam giác SAC vuông có SA = a, SC = a 3 nên ta tính được = . Suy ra thể tích khối √ √ 0.25 chóp S.ABCD là = √2 ⋅ = . Gọi là góc giữa SD và mặt phẳng (SBC). Kẻ HI song song với AB (I thuộc BC), HJ vuông góc với SI (J thuộc SI), suy ra ⊥( ). Tam giác SHA vuông tại H có = , = √ nên = . 0.25 √ Suy ra = , = = ⋅ √ ⇒ =√ = . Suy ra 4 2√5 ,( ) = ,( ) = ,( ) = ⋅ = 3 5 Lại có =√ + + = √2 ( là giao điểm của và ), suy ra 0.25 ,( ) 2 √15 sin = = ⇒ cos = . 5 5 6 Cho các số x, y, z > 0 thỏa mãn điều kiện xyz = 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 1 1 1 P= + 2 + 2 . điểm x +2 y +2 z +2 2 Không mất tổng quát, giả sử là số lớn nhất trong 3 số , , , suy ra ≤1≤ . Ta chứng minh + ≤ với mọi , dương thỏa mãn ≤ 2. Thật vậy 1 1 2 1 1 1 1 0.25 + ≤ ⇔ − + − ≤0 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 ( − ) ( − ) ⇔ + ≤0 ( + 2)( + 2) ( + 2)( + 2) − ⇔ − ≤0 +2 +2 +2 ( − ) ( − 2) 0.25 ⇔ ≤ 0, ( + 2)( + 2)( + 2) BĐT này đúng, do , dương và ≤ 1 < 2. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi = . Suy ra ≤ + = + . Mặt khác, theo BĐT Cauchy, ta có +2=( + 1) + 1 ≥ 2 + 1, dấu bằng xảy ra khi 0.25 = 1. Suy ra 0.25
1 2 1 2 ≤ + ≤ + = 1. +2 1+2 2 +1 1+2 Vậy, GTLN của bằng 1, đạt được khi và chỉ khi = = = 1. 7a Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy) cho tam giác ABC cân tại C, các đường thẳng AB, AC lần lượt có phương trình là x + 2 y = 0 và x - y + 6 = 0 . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác 1 điểm ABC, biết trọng tâm G nằm trên trục tung. +2 =0 = −4 Tọa độ A là nghiệm của hệ phương trình ⇔ ⇔ (−4; 2). 0.25 − +6=0 =2 Gọi (0; ), do CG vuông góc với AB nên phương trình đường thẳng CG là 2 − + = 2 − + =0 0.25 0. Tọa độ C là nghiệm của hệ phương trình ⇔ (6 − ; 12 − ). − +6=0 Gọi M là trung điểm của AB thì M là giao của CG và AB, suy ra tọa độ M là nghiệm của hệ 2 − + =0 =− phương trình ⇔ ⇔ − ; . 0.25 +2 =0 = Suy ra tọa độ của B là − + 4; −2 . G là trọng tâm tâm nên + + =3 ⇔ −4 − +4+6− =0⇔ = . 0.25 Vậy (−4; 2), ;− , ; . 8a x- 1 y + 2 z + 1 Trong không gian tọa độ (Oxyz) cho đường thẳng (d): = = và mặt phẳng 1 1 2 1 (P): x - 2 y + 2z - 9 = 0 . Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên (d), đi qua giao điểm điểm của (d) và (P), đồng thời cắt (P) theo một đường tròn có bán kính bằng √5. Gọi là giao của ( ) và ( ), ta tìm được (3; 0; 3). 0.25 Gọi (1 + ; −2 + ; −1 + 2 ) là tâm mặt cầu. Khoảng cách từ đến ( ) là |3 − 6| 0.25 ,( ) = = | − 2|. 3 = 1, 0.25 Từ giả thiết, ta có = ,( ) + √5 ⇔ 6( − 2) = ( − 2) + 5 ⇔ = 3. Với = 1, (2; −1; 1), = √6, phương trình mặt cầu ( ) là ( − 2) + ( + 1) + ( − 1) = 6. 0.25 Với = 3, (4; 1; 5), = √6, phương trình mặt cầu ( ) là ( − 4) + ( − 1) + ( − 5) = 6. 9a Cho đa giác đều gồm 2n đỉnh. Chọn ngẫu nhiên ba đỉnh trong số 2n đỉnh của đa giác, xác 1 suất ba đỉnh được chọn tạo thành một tam giác vuông là 20%. Tìm n ( n là số nguyên điểm dương lớn hơn hoặc bằng 2). Số cách chọn 3 đỉnh trong số 2 đỉnh của đa giác là C . 0.25 Ba đỉnh được chọn tạo thành một tam giác vuông khi và chỉ khi có hai trong số chúng là hai đầu mút của một đường kính của đường tròn ngoại tiếp đa giác, và đỉnh còn lại là một trong 0.25 số 2 − 2 đỉnh còn lại của đa giác. Số cách chọn một đường kính (mà hai đầu mút là hai đỉnh trong số 2 đỉnh của đa giác) là . Suy ra số cách chọn 3 đỉnh trong số 2 đỉnh của đa giác để chúng tạo thành một tam giác 0.25 vuông là (2 − 2). ( ) Vì xác suất ba đỉnh được chọn tạo thành một tam giác vuông là 20% nên = , hay 6 (2 − 2) 1 0.25 = ⇔ = 8. 2 (2 − 1)(2 − 2) 5 7b Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy) cho hình chữ nhật ABCD có các đỉnh A, B thuộc đường tròn (C1): x 2 + y 2 + 2 x + 5 y + 1 = 0, các đỉnh A, D thuộc đường tròn (C2): x 2 + y 2 - 2 x - 3 y = 3. 1 Viết phương trình các cạnh của hình chữ nhật đó biết diện tích của nó bằng 20 và đỉnh A có điểm hoành độ âm. Tọa độ là nghiệm của hệ phương trình + +2 +5 +1 = 0 +2 +1=0 ( ; ) = (1; −1) 0.25 ⇔ ⇔ ⇒ (−1; 0). + −2 −3 −3 = 0 −1=0 ( ; ) = (−1; 0)
( ) có tâm −1; − , bán kính = , ( ) có tâm 1; , bán kính = . Gọi phương trình đường thẳng là ( + 1) + = 0( + ≠ 0). Suy ra phương trình đường thẳng là ( + 1) − = 0. 0.25 Ta có = + ( , ) ⇒ = + ⇒ = , ( ) ( ) ( ) = + ( , ) ⇒ = + ( ) ⇒ = . ( ) Mặt khác, ⋅ = 20 nên = 20 ⇔ (4 + 3 ) = 16( + ) 0.25 ⇔ (8 + 3 + 4 )(4 − 3 ) = 0 ⇔ (4 − 3 ) = 0. Với = 0, chọn = 1, ta được : = −1, : = 0. Suy ra (−1; −5), (3; 0) và : = 3, : = −5. Với 3 = 4 , chọn = 4 ⇒ = 3, ta được : 4 + 3 + 4 = 0, : 3 − 4 + 3 = 0. 0.25 Suy ra ;− , (3; 3) và : 4 + 3 − 21 = 0, : 3 − 4 − 17 = 0. 8b x- 1 y + 3 z- 3 Trong không gian tọa độ (Oxyz) cho đường thẳng (d ): = = và mặt phẳng - 1 2 1 1 (P): 2x + y - 2z + 9 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A(- 2; - 1; 2), điểm B(- 1; - 2;1) và cắt (P) theo một giao tuyến vuông góc với (d). ( ) có một vec-tơ chỉ phương là ⃗(−1; 2; 1), ( ) có một vec-tơ pháp tuyến là ⃗(2; 1; −2) 0.25 Gọi (Δ) là giao tuyến của ( ) và ( ) thì do (Δ) ⊂ ( ) và (Δ) ⊥ ( ) nên (Δ) có một vec-tơ chỉ phương là ⃗ = [ ⃗, ⃗] = (−5; 0; −5) = −5(1; 0; 1). 0.25 ( ) có một vec-tơ pháp tuyến là ⃗ = − ⃗, ⃗ = (1; 2; −1). 0.25 Phương trình mặt phẳng ( ): + 2 − + 6 = 0. 0.25 9b 2 1 Tìm mô-đun của số phức z biết z 2 (1- i )+ 2 (z ) (1 + i )= 21- i. điểm Đặt = (1 − ) = + ,( , ∈ ) thì ( ̅) (1 + ) = = − , 0.25 = 7, do đó ta có +2 = 21 − ⇔ 3 − = 21 − ⇔ 0.25 = 1. Dẫn đến = = 3 + 4 = (2 + ) . 0.25 Suy ra | | = √5. 0.25 ----------------------HẾT-------------------- Cảm ơn bạn Châu Tân ( chautan94@gmail.com ) đã gửi tới www.laisac.page.tl