Đề thi toán

Chia sẻ: Do Van Hoan Hoan | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

121
lượt xem 36
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'đề thi toán', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH THANH HOÁ Năm học 2010- 2011 Đề chính thức Môn thi: Toán Lớp: 12 THPT Số báo danh Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 24/03/2011 (Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu). Câu I. (4,0 điểm). Cho hàm số y = x 3 − (m + 1) x 2 − (4 − m 2 ) x − 1 − 2m ( m là tham số thực), có đồ thị là (Cm ). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = −1. 2) Tìm các giá trị của m để đồ thị (Cm ) có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau. Câu II. (6,0 điểm). 1) Giải phương trình: cos 2 x + cos3 x − sin x − cos 4 x = sin 6 x. 6( x 2 − 3x + 1) + x 4 + x 2 + 1 ≤ 0 ( x ∈ ¡ ). 2) Giải bất phương trình: 3) Tìm số thực a để phương trình: 9 x + 9 = a3x cos(π x) , chỉ có duy nhất một nghiệm π sin x 2 thực .Câu III. (2,0 điểm). Tính tích phân: I = ∫ dx. ( ) 3 sin x + 3 cos x 0 Câu IV. (6,0 điểm). 1) Cho tứ diện đều ABCD có độ dài cạnh bằng 1. Gọi M, N lần l ượt là hai đi ểm thuộc các cạnh AB, AC sao cho mặt phẳng (DMN) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Đặt AM = x, AN = y . Tìm x, y để diện tích toàn phần của tứ diện DAMN nhỏ nhất. 2) Trên mặt phẳng toạ độ Oxy , cho đường thẳng ∆ : x − y + 5 = 0 và hai elíp x2 y 2 x2 y 2 ( E1 ) : + = 1 , ( E2 ) : 2 + 2 = 1 (a > b > 0) có cùng tiêu điểm. Biết rằng ( E2 ) 25 16 a b đi qua điểm M thuộc đường thẳng ∆. Tìm toạ độ điểm M sao cho elíp ( E2 ) có độ dài trục lớn nhỏ nhất. 3) Trong không gian Oxyz , cho điểm M (0;2;0) và hai đường thẳng  x = 1 + 2t  x = 3 + 2s   ∆1 :  y = 2 − 2t (t ∈ ¡ ); ∆ 2 :  y = −1 − 2 s ( s ∈ ¡ ) .  z = −1 + t ,  z = s,   Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M song song với trục O x , sao cho (P) cắt hai đường thẳng ∆1 , ∆ 2 lần lượt tại A, B thoả mãn AB = 1 . Câu V. (2,0 điểm). Cho các số thực a, b, c thoả mãn: a 2 + b 2 + c 2 = 6  ab + bc + ca = −3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = a 6 + b 6 + c 6 . .............................................................. HẾT ........................................................
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH SỞ GD & ĐT THANH HOÁ HƯỚNG DẪN CHẤM NĂM HỌC 2010 - 2011 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN THI: TOÁN LỚP: 12 THPT (Gồm có 4 trang) Ngày thi: 24 - 3 - 2011
Hướng dẫn chấm Câu Ý Điêm 1) Với m = −1, ta được hàm số y = x3 − 3x + 1. Câu I 4,0 đ 2,0đ Tập xác định: ¡ . 0,5 Giới hạn tại vô cực: xlim y = +∞, xlim y = −∞. →+∞ →−∞ Sự biến thiên: y ' = 3 x 2 − 3 = 0 ⇔ x = ±1. y ' > 0 ⇔ x ∈ (−∞; −1) ∪ (1; +∞). Hàm số đồng biến trên các khoảng 0,5 (−∞ − 1) và (1; +∞) . y ' < 0 ⇔ x ∈ (−1;1). Hàm số nghịch biến trên khoảng (−1;1). Điểm cực đại của đồ thị (−1;3), điểm cực tiểu của đồ thị (1; −1). −∞ +∞ − Bảng biến thiên: −1 1 x + + 0 0 y' +∞ 0,5 3 y −∞ −1 Đồ thị đi qua điểm (-2; -1) và (2; 3). y Điểm uốn I(0; 1) là tâm đối xứng 3 0,5 1 -1 1 -2 2 O x -1 2) Ta có y ' = 3 x 2 − 2(m + 1) x − 4 + m 2 , là tam thức bậc hai của x. 2,0đ y' có biệt số ∆ ' = −2m 2 + 2m + 13. 0,5 Nếu ∆ ' ≤ 0 thì y ' ≥ 0, ∀x , suy ra yêu cầu bài toán không thoả mãn. 0,5  1− 3 3 1+ 3 3  Nếu ∆ ' > 0 ⇔ m ∈  ÷ , thì y ' = 0 có hai nghiện ; 2 2 x1 , x2 ( x1 < x2 ). − x1 x2 + x- + + Dấu của y': 0 0 y' Chọn x0 ∈ ( x1 ; x2 ) ⇒ y '( x0 ) < 0. Ycbt thoả mãn khi và chỉ khi tồn tại x sao 1 cho y '( x ). y '( x0 ) = −1 ⇔ pt: 3x − 2(m + 1) x − 4 + m + = 0 (1) có 2 2 0,75 y '( x0 ) D  1− 3 3 1+ 3 3  3 nghiệm . Pt (1) có: ∆ 1 ' = − 2m + 2m + 13 − > 0, ∀ m ∈  2 ; ÷. y '( x0 ) 2 2 1− 3 3 1+ 3 3  Vậy giá trị cần tìm của m là m ∈  ; ÷. 0,25 2 2  Câu II 1) PT ⇔ (cos 2 x − cos 4 x) − sin x + (cos 3 x − 2 sin 3 x. cos 3 x) = 0 0,5 6,0 đ 2,0đ ⇔ (2 sin x sin 3 x − sin x) − (2 sin 3 x cos 3 x − cos 3 x) = 0 ⇔ (2 sin 3 x − 1)(sin x − cos 3 x) = 0 C 0,5 B π 2π  H  x = 18 + k 3 N M  0,5   x = 5π + k 2π 1 sin 3 x = 2  18 3 (k ∈ ¢ ). A ⇔ ⇔ π π π 
GHI CHÚ: Nếu học sinh giải cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa.