1
Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
Đề thi tuyển chọn hệ kỹ sư tài năng năm 2000
Môn thi : Toán
Thời gian làm bài : 90 phút1
Bài 1:
Cho dãy số x1,x
2,...,x
n,..., xác định như sau:
xn>0,x
n=ln(1 + xn−1)∀n≥1
Chứng minh rằng dãy số ấy hội tụ đến một giới hạn l.Tính l.
Bài 2:
Chứng minh rằng nếu f(x)là hàm số xác định trên R, thỏa mãn điều kiện
|f(x1)−f(x2)|≤|x1−x2|3,∀x1,x
2∈R,
thì f(x)là hàm hằng.
Bài 3:
f(x)là một hàm số xác định và liên tục tại mọi x6=0, lấy giá trị ≤0,
thỏa mãn điều kiện
f(x)≤kZx
0
f(t)dt.∀x≥0
trong đó klà một hằng số dương, Chứng minh rằng f(x)=0,∀x≥0.
(Gợi ý : Có thể xét sự biến thiên của hàm số F(x)=e−kx Rx
0f(t)dt trên
khoảng (0,+∞))
Bài 4:
Hàm số f(x)thỏa mãn điều kiện f00 (x)≥0,∀x∈R. Chứng minh rằng
f[tx +(1−t)y]≤tf(x)+(1−x)f(y),∀x, y ∈R,∀t∈(0,1).
Bài 5:
Cho số thực k1,k
2,...,k
n, khác nhau từng đôi một. Chứng minh rằng
a1ek1x+a2ek2x+...+aneknx=0 ∀x∈R
Khi và chỉ khi a1=a2=... =an=0.
1Tài liệu được soạn thảo lại bằng L
A
T
EX2
εbởi Phạm duy Hiệp