Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2021-2022 có đáp án - Sở GD&ĐT Quảng Nam

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

Thêm vào BST

Báo xấu

10
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu "Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2021-2022 có đáp án - Sở GD&ĐT Quảng Nam" giúp các bạn ôn tập kiến thức dễ dàng hơn và nắm các phương pháp giải bài tập nhanh và chính xác để chuẩn bị thật tốt cho kì thi sắp diễn ra. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2021-2022 có đáp án - Sở GD&ĐT Quảng Nam

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN QUẢNG NAM NĂM HỌC 2021 - 2022 Môn thi: TOÁN (Chuyên Toán) ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian phát đề) Khóa thi ngày: 03 - 05/6/2021 Câu 1: (2,0 điểm) a) Rút gọn biểu thức A   8  x 1 x  2 x 1  x 3 x (với x  1, x  4, x  9 )  x  4  x  2 x 4   2 x  x 6   b) Tìm tất cả bộ ba số nguyên tố p, q, r thỏa mãn pq  r  1 và 2 p 2  q 2  r 2  1 .  Câu 2: (1,0 điểm) Cho parabol (P): y  x 2 và đường thẳng (d) y   2  2 m  x  m (m là tham số). Chứng 1  minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm A, B sao cho M  ;1  là trung điểm của đoạn thẳng AB, hai 2  điểm H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B trên trục hoành. Tính độ dài đoạn thẳng KH. Câu 3: (2,0 điểm) a) Giải phương trình  x  1 7  2 x  x 2  3 x  2 .  x  2 y  xy  2  0 b) Giải hệ phương trình  2 .  x  y  2 x y  2 xy  1  0 2 2 2 Câu 4: (2,0 điểm). Cho hình vuông ABCD tâm O, điểm E nằm trên đoạn thẳng OB (E khác O, B), H là hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AE. Gọi F là giao điểm của AC và DH. a) Chứng minh HD là tia phân giác của góc AHC. b) Chứng minh diện tích hình vuông ABCD bằng hai lần diện tích tứ giác AEFD. Câu 5: (2,0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC). Đường tròn (O) đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại F, E. Gọi H là giao điểm của BE và CF, đường thẳng AH cắt BC tại D. a) Chứng minh tứ giác ODFE nội tiếp đường tròn. b) Gọi K là giao điểm của AH và EF, I là trung điểm của AH. Đường thẳng CI cắt đường tròn (O) tại M (M khác C). Chứng minh CI vuông góc với KM. Câu 6: (1,0 điểm). Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn xy  yz  zx  xyz . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu x2 y2 z2 thức H    . 9 z  zx 2 9 x  xy 2 9 y  yz 2 --------------------------------------------
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1: (2,0 điểm) a) Rút gọn biểu thức A   8  x 1 x  2 x 1  x 3 x (với x  1, x  4, x  9 )  x  4  x  2 x 4   2 x  x 6  b) Tìm tất cả bộ ba số nguyên tố p, q, r thỏa mãn pq  r  1 và 2 p 2  q 2  r 2  1 .   Lời giải a) Rút gọn biểu thức A   8  x 1 x  2 x 1  x 3 x (với x  1, x  4, x  9 )  x  4  x  2 x 4   2 x  x 6  Với x  1, x  4, x  9 ta có: A  8  x 1 x  2 x 1  x 3 x  x  4  x  2 x 4   2 x  x 6   2  8  x 1    x 1    x  x 3     x 2     x  3 x 2 x 2 x 4 2 x 2  8  x 1  x  1  x  x  3    x  2  x x  8 2  x  3 x  2  8 x x x     x 2 x x 8  2 x 2  1 x     2  x  2 x 2 2  x  2  x  x  2  2  x  2  x  2  x4  2  x  4 b) Tìm tất cả bộ ba số nguyên tố p, q, r thỏa mãn pq  r  1 và 2 p 2  q 2  r 2  1 .   S  p  q Đặt  ta có hệ:  P  p.q P  r  1 P  r  1  P  r  1  P  r  1       2 r  4r  5       2 r 2  4r  5 2 S  2 P  r  1 2 S  2 P  r  1  S  2 2 2 2 S   2  2
r  5 r  5 r  5 r  5     Vì p, q, r là ba số nguyên tố nên ta có:  S  5   p  q  5  q  5  p  q  5  p P  6  p.q  6  p. 5  p  6  p2  5 p  6  0       r  5 r  5     p  2 hoặc p  3 q  3 q  2   Câu 2: (1,0 điểm) Cho parabol (P): y  x 2 và đường thẳng (d) y   2  2 m  x  m (m là tham số). Chứng 1  minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm A, B sao cho M  ;1  là trung điểm của đoạn thẳng AB, hai 2  điểm H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B trên trục hoành. Tính độ dài đoạn thẳng KH. Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d): x 2   2  2m  x  m  x 2   2  2m  x  m  0 1    2  2m   4.1.  m   4 m 2  4 m  4   2m  1  3  0 m 2 2 Do đó phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m nên (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B với mọi giá trị của m. Với mọi m, theo định lý Vi-et ta có:  b  x1  x2  a  2  2 m   x .x  c  m  1 2 a 1  x x 2  2m 1 1 Vì M  ;1  là trung điểm của đoạn thẳng AB nên 1 2   m 2  2 2 2 2  1 3 2 3  x y 1 1 2 2 Thay m  vào (1) ta có phương trình: x 2  x   0   2 2  1 3 2 3 x  y  2 2 1 3 2  3  1 3 2  3   A ;  , B  ;   2 2 2 2      1 3  1 3  Vì H, K là hình chiếu của A, B lên trục hoành nên  H  ;0  , K  ;0   2   2      1 3 1 3  HK    3 2 2 Câu 3: (2,0 điểm)
a) Giải phương trình  x  1 7  2 x  x 2  3 x  2 .  x  2 y  xy  2  0 b) Giải hệ phương trình  2 .  x  y  2 x y  2 xy  1  0 2 2 2 Lời giải 7 a) Giải phương trình  x  1 7  2 x  x 2  3 x  2 . Điều kiện: x  2   x  1 7  2 x   x  1 x  2    x  1 7  2 x   x  1 x  2   0   x  1   7  2x  x  2  0 x  1 x  1 x 1  0       x  2   x  2  7  2x  x  2  7  2 x  x  2 2        x 2  2 x  3  0 x  1  x  2 x  1     x  3 x  3     x  1 Vậy tập nghiệm của phương trình: S  1;3  x  2 y  xy  2  0 1 b) Giải hệ phương trình  2  x  y  2 x y  2 xy  1  0  2  2 2 2 Giải (1) ta có: x  2 y  xy  2  0  x 1  y   2 1  y   0  x 1  y   2 1  y   0  1  y  x  2   0 x  2  y  1 Với x = 2 thay vào phương trình (2) ta có: 4  y2  8 y  4 y2  1  0  3y 2  8 y  5  0  y  1   y  5  3
Với y = 1 thay vào phương trình (2) ta có: x  0 x  1  2 x  2 x  1  0  3x  2 x  0   2 2 2  x  2  3   5   2   Vậy nghiệm của hệ phương trình là:  x; y    2; 1 ;  2;  ;  0;1 ;  ;1     3   3  Câu 4: (2,0 điểm). Cho hình vuông ABCD tâm O, điểm E nằm trên đoạn thẳng OB (E khác O, B), H là hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AE. Gọi F là giao điểm của AC và DH. a) Chứng minh HD là tia phân giác của góc AHC. b) Chứng minh diện tích hình vuông ABCD bằng hai lần diện tích tứ giác AEFD. Lời giải A B E H O F D C a) Ta có  ADC  900 (ABCD là hình vuông)  AHC  900 (H là hình chiếu của C trên AE) Xét tứ giác ADCH có:    1800 ADC  AHC Mà hai góc này ở vị trí đối nhau  Tứ giác ADCH nội tiếp.   DHC  DAC   450 (cùng chắn cung CD) mà AHD   DHC   450   900  AHD  HD là tia phân giác của góc AHC. b)   EHC Xét tứ giác OEHC có: EOC   1800 Mà hai góc này ở vị trí đối nhau  Tứ giác OEHC nội tiếp.  AEO   ACH (góc ngoài bằng góc đối trong) (1) Tứ giác ADCH nội tiếp (cmt)    (cùng chắn cung AH) (2) ADF  ACH
Từ (1) và (2) suy ra   AED   ADF Xét ADE và FAD có:    450  ADE = FAD      ADE ∽ FAD  g.g    AED  ADF  cmt   AF AD    AF. DE  AD2 AD DE 1 1 1 Ta có: S AEFD  AF. DE  AD2  S ABCD 2 2 2 Câu 5: (2,0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC). Đường tròn (O) đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại F, E. Gọi H là giao điểm của BE và CF, đường thẳng AH cắt BC tại D. a) Chứng minh tứ giác ODFE nội tiếp đường tròn. b) Gọi K là giao điểm của AH và EF, I là trung điểm của AH. Đường thẳng CI cắt đường tròn (O) tại M (M khác C). Chứng minh CI vuông góc với KM. Lời giải A I M E F K H B C D O a)   900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Ta có BFC   900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) BEC
Xét tam giác ABC có: BE và CF là 2 đường cao cắt nhau tại H  H là trực tâm tam giác ABC.  AH  BC tại D. Ta có tứ giác BCEF nội tiếp (O)    (góc ngoài bằng góc đối trong). AFE  OCE Xét tứ giác ACDF có:  ADC  900 (cmt)  AFC  900 (cmt)   OCE  tứ giác ACDF nội tiếp  BFD  (góc ngoài bằng góc đối trong). Xét tam giác BEC vuông tại E có EO là trung tuyến 1  EO  BC  CO  BO (định lý đường trung tuyến của tam giác vuông) 2   OEC  OCE   COE   1800  2OCE      cmt  AFE  OCE Ta có    1800  AFE  COE   BFD   EFD     BFD  OCE  cmt    EFD Xét tứ giác ODFE có COE   cmt  Mà hai góc ở vị trí góc ngoài và góc đối trong  tứ giác ODFE nội tiếp. b) Xét tam giác AEH vuông tại E có EI là trung tuyến 1  EI  AH  AI  HI (định lý đường trung tuyến của tam giác vuông) 2   IEA  IAE  , có OCE   OEC   cmt  và IAE   IEA  phụ OCE  phụ OEC   OEI   900   900 Chứng minh tương tự ta có OFI   OFI Xét tứ giác OEIF có OEI   1800 Mà hai góc ở vị trí đối nhau  tứ giác OEIF nội tiếp. Ta có tứ giác ODFE nội tiếp (cmt), tứ giác OEIF nội tiếp (cmt)  5 điểm O, D, F, I, E cùng thuộc đường tròn đường kính ID. Xét IEK và IDE có:  chung DIE     IEK ∽ IDE  g.g    IDE IDK    ECF    IE IK    IE 2  ID. IK 1 ID IE Xét IEM và ICE có:  chung ICE      1    IEM ∽ ICE  g.g  IEM  ICE   sd cung EM    2  IE IM    IE 2  IC.IM  2  IC IE
IK IC Từ (1) và (2)  IK .ID  IC.IM   IM ID Xét IMK và IDC có:  chung  DIC      IK IC   IMK ∽ IDC  c.g.c   IMK  IDC mà IDC  90  IMK  90  CI  KM 0 0   IM ID  Câu 6: (1,0 điểm). Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn xy  yz  zx  xyz . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu x2 y2 z2 thức H    . 9 z  zx 2 9 x  xy 2 9 y  yz 2 Lời giải 1 1 1 Theo đề ta có:   1 x y z 1 1 1 Đặt  a ,  b ,  c  a, b, c  0   a  b  c  1 x y z c ba Khi đó H    9 a  1 9 b  1 9c  1 2 2 2 Ta có: c    c 9a 2  1  9 a 2 c c 9a 2 c 9a2  1 9a 2  1 9a 2  1 9a 2 c 9a 2 c 3 Vì 9a 2  1  6 a  c   c   c  ac 9a  1 2 6a 2 a 3 b 3 Chứng minh tương tự ta có:  a  ba ; 2  b  cb 9b  1 2 2 9c  1 2 3  H  abc  ab  bc  ca  2 a  b  c 2 Mà ab  bc  ca  3 3 1 1  H  1 .  2 3 2 1 Vậy Hmin  . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x  y  z  3 2 --------------------------------------------