Đề thi và đáp án kỳ thi học sinh giỏi khu vực ĐBSCL

Chia sẻ: Trần Bá Trung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:11

Thêm vào BST

Báo xấu

122
lượt xem 15
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu mang tính chất tham khảo, giúp ích cho các bạn ôn thi học sinh giỏi.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi và đáp án kỳ thi học sinh giỏi khu vực ĐBSCL

SÔÛ GIAÙO DUÏC  ÑAØO TAÏO KIEÂN GIANG Tröôøng THPT Chuyeân Huyønh Maãn Ñaït KYØ THI HOÏC SINH GIOÛI KHU VÖÏC ÑBSCL NAÊM HOÏC 2005_2006 ÑEÀ THI ÑEÀ NGHÒ MOÂN : TOAÙN ( Thôøi gian: 180 phuùt ) BAØI 1: (4 ñieåm) Giaûi phöông trình nghieäm nguyeân sau : 2x + 3y = z2 BAØI 2: (4 ñieåm) Cho 6 soá thöïc a, b, c, m, n, p thoûa maõn : a 2 + b2 + c2 = 1 vaø m + n + p = 5. Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa : A = a.m + b.n + c.p + m.n + n.p + p.m BAØI 3: (4 ñieåm)  x0  m  m  0   Cho daõy soá  xn  :  xn 12  20062 . Tìm lim xn  2 xn  , n  N, n  1 n   xn 1 BAØI 4: (4 ñieåm) Cho ñöôøng thaúng (d) vaø hai ñieåm A, B khoâng thuoäc (d); AB khoâng vuoâng goùc vôùi (d). Baèng thöôùc vaø compa haõy döïng M naèm treân (d) sao cho: a. MA ñaït giaù trò nhoû nhaát b. MA ñaït giaù trò lôùn nhaát MB MB BAØI 5: (4 ñieåm) Cho hình laäp phöông ABCD.A’B’C’D’ caïnh a. Goïi I laø taâm cuûa maët BCC’B’ vaø  laø ñöôøng thaúng qua D vaø I. Ñoaïn MN thay ñoåi coù trung ñieåm K luoân thuoäc ñöôøng thaúng  , M  ( BCC ' B '), N  ( A ' B ' C ' D ') . Tìm giaù trò beù nhaát cuûa ñoaïn MN. HEÁT
SÔÛ GIAÙO DUÏC  ÑAØO TAÏO KIEÂN GIANG Tröôøng THPT Chuyeân Huyønh Maãn Ñaït KYØ THI HOÏC SINH GIOÛI KHU VÖÏC ÑBSCL NAÊM HOÏC 2005_2006 ÑAÙP AÙN ÑEÀ THI ÑEÀ NGHÒ MOÂN : TOAÙN BAØI 1:
N/x + x,y  0 vaø x, y khoâng ñoàng thôøi baèng 0. 0.25 (0.25 + neáu (x0 ; y0 ; z0) laø moät nghieäm cuûa (1) thì (x 0 ; y0,; - z0) ñ ñ) cuõng laø moät nghieäm cuûa (1). Do ñoù ta chæ caàn giaûi (1) vôùi ñieàu kieän z > 0. TH1 Neáu x = 0, khi ñoù y  1 0.25 (1ñ) (1)  1 + 3y = z2  3y = (z – 1).(z + 1) (2) ñ maø 3y laø soá leû neân UCLN[(z – 1) , (z + 0.25 ((z - 1) , (z + 1)) = 1 Ta coù ((z - 1) , (z + 1)) = 2  ñ 1)] = 1 Vaäy (2) z  1  1  y  1  0.5ñ z  1  3 z  2 y TH2 Neáu y = 0, khi ñoù x  1 0.25 (1ñ) (1)  2x + 1 = z2  2x = (z – 1).(z + 1) ñ Maët khaùc (z – 1), (z + 1) laø hai soá nguyeân cuøng tính chaün leû 0.25 vaø  ((z - 1) , (z + 1)) = 1 neân : ñ ((z - 1) , (z + 1)) = 2 z  1  2 0.5ñ  x  3 (3)  z  1  2x 1   x  2 z  3  TH3 Caû hai soá x, y 1, khi ñoù töø (1) suy ra: (z ; 2) = (z ; 3) = 1 0.25 (1.5ñ)  z  1(mod 3)  ñ 2  2 z  1(mod 4)  Töø (1) suy ra : 2x  z2  1(mod 3)  x  2k ,k  N* Luùc naøy (1) trôû thaønh : 4k + 3y = z2 . Suy ra : 0.25 3  z  1(mod 4)  y  2q, q  N y 2 * ñ k (1) 4 + 9 q = z2 9 q = z2 – 4 k 9 q = (z – 2k)(z + 2k) 0.5ñ (4) Vì (z ; 2) = 1 neân ((z – 2k) ; (z + 2k)) = 1. Töø ñieàu naøy ta coù : z  2k  1  2.2k  9q  1 (* )  (4)   z  2  9 z  2  1 k q k   Ta coù (*)  2.2k = (3q – 1).(3q + 1) (**) 0.5ñ q q Ta cuõng coù : ((3 – 1) ; (3 + 1)) = 2 neân (**) 3q  1  2   k 2  2  2 k  2 x  4  q  q  hay  3  1  2 3  1  2 q  1 y  2 k k  
KL (x;y;z)  ( 4 ; 2 ;  5) 0.25ñ  (0.25ñ) Vaäy (1) coù caùc nghieäm nguyeân : (x;y;z)  (3 ; 0 ;  3) (x;y;z)  (0 ; 1 ;  2)  BAØI 2: (4 ñieåm) Caùch 1: Trong khoâng gian Oxyz , xeùt maët caàu (C) taâm O baùn kính R = 1: x 2+ y2 + z2 = 1 vaø maët phaúng 0 (P): x + y +z – 5= 0 ( (P) khoâng caét ( C ) Xeùt M(a ; b ; c) vaø N(m ; n ; p). Töø M giaû thieát ta coù M  (C) , N  (P) . I (0.5ñ) H N P MN 2   m  a    n  b    p  c  2 2 2  1   m  n  p   2  mn  np  pm   2  am  bn  cp  2  a  b  c  m  n  p  2  am  bn  cp  2 2 2 2 2 2 (0.5ñ) Neân MN 2  26  2 A (0.25ñ) Qua O döïng ñöôøng thaúng (d) vuoâng goùc vôùi (P). Ñöôøng thaúng naøy caét maët caàu taïi I,J caét (P) taïi H (I naèm giöõa O vaø H). Deã thaáy: I ( ) vaø 1 1 1 ; ; 3 3 3 H( ; ; ) . (0.5ñ) 5 5 5 3 3 3 Ta coù MN  IH = OH – OI = dO/(P) – 1 = . 5 1 3 (0.5ñ) 2  5  Suy ra MN  IH  26  2 A   2 2  1  3  (0.5ñ) 25  5 3  2A  26 -  1)2 = A 5 50 10 25 5 (      3 3 3 3 3 3 (0.5ñ)
 1 M  I a  b  c   Daáu “=” ñaït ñöôïc khi  hay  3 N  H m  n  p  5   3 (0.5ñ) 25  5 3 Vaäy Max A = (0.25ñ) 3 Caùch 2: Aùp duïng BÑT Bunhiacopxki ta coù : a.m + b.n + c.p  (a2  b2  c2 )(m2  n2  p2 )  m2  n2  p2  A = a.m + b.n + c.p + m.n + m.p + n.p  m.n + m.p + n.p + m2  n2  p2 Ñaët : m.n + n.p + p.m = t. Ta coù : m.n + m.p + n.p  (m  n  p)2 = 1 25 hay t  25 3 3 3 m2 + n2 + p2 = (m + n + p)2 – 2(m.n + n.p + p.m) = 25 – 2t Vaäy A  25  2t  t = f(t) Ta coù : f’(t) = 1 - 1  0 ,t  25 . Suy ra f(t) laø haøm taêng treân 25  2t 3  25   ;   3 25  5 3  A  f (t )  f ( 25 25 5 )   3 3 3 3  5 m  n  p  3 25  5 3 Daáu “=” xaûy ra khi  . Vaäy Max A = a  b  c  1 3   3 Caùch 3: Ta coù 2A=2(am+bn+cp) + 2mn +2 np +2 pm = 2 ( am+bn+cp)+m(n+p)+n(m+p)+p(n+m) = 2 ( am+bn+cp)+m(5-m)+n(5-n)+p(5-p) = 2 ( am+bn+cp) + 5.5 – ( m2 +n2 +p2) . Do ñoù 2A = 2 ( am+bn+cp) + 25 - ( m2 +n2 +p2) . (1 ) Maët khaùc Theo baát ñaúng thöùc BCS ta coù : ( am+bn+cp)  (a2  b2  c2 )(m2  n2  p 2 )  (m2  n2  p 2 ) Thay vaøo ( 1 ) : 2 A  2 (m2  n2  p 2 )  25  (m2  n2  p 2 ) (2 ) a b c daáu “=” xaåy ra khi   (*). m n p 5 Ñaët t  (m2  n2  p 2 ) thì theo BCS ta coù t  . Daáu baèng xaåy ra khi 3 m=n=p (**). Thay vaøo (2) ta ñöôïc : 2 A  f (t )  t 2  2t  25 (3 )
 5  Xeùt haøm f (t )  t 2  2t  25 treân  ;   ta coù f(t) luoân giaûm  3  5 50  10 3 vaäy f(t) f ( ) . 3 3 5 50  10 3 25  5 3 Thay vaøo (3) suy ra 2 A  f ( )  A 3 3 3 5 Daáu baèng xaåy ra khi t  (***). 3 1 Keát hôïp (*) , (**) , (***) ta coù daáu baèng xaåy ra khi a  b  c  vaø m=n=p 3 5 = . 3 25  5 3 1 5 Vaäy Max A = khi a  b  c  vaø m=n=p = . 3 3 3 Caùch 4: Khoâng maát tính toång quaùt giaø söû : abc vaø mn p. Theo baát ñaúng thöùc treâböseùp ta coù : am  bn  cp a  b  c m  n  p 5  .  ( a  b  c) ( 1) . 3 3 3 3 Maø theo BCS ta coù a  b  c  3. a 2  b2  c2  3 . Thay vaøo (1) ta coù am  bn  cp  5 3 (2) 3 Maët khaùc ta coù : 2(mn  np  pm)  (m  n  p)2  (m2  n2  p 2 )  25  (m2  n2  p 2 ) ( 3) Deã thaáy (m2  n2  p 2 )  1 (m  n  p)2  25 . Thay vaøo (3) ta coù : 3 3 1 25 25 mn  np  pm  (25  )  ( 4) 2 3 3 Töø (2 ) vaø ( 4 ) Ta coù A  5 3  25  25  5 3 . Daáu baèng xaåy ra khi vaø chæ khi 3 3 3 vaø m  n  p  . Vaäy Max A = 25  5 3 . 1 5 abc 3 3 3 BAØI 3: (4 ñieåm) Caùch 1: 1 20062  +Töø giaû thieát ta coù : xn   xn1   (0.25ñ) 2 xn 1  +Ta coù : 1 20062   x0    2006   2 x1  2006 2  x0  x0  2.2006.x0  20062 2 x0  2006 21    m  2006   = 2   2  m  2006  x1  2006 1   x0  2006 2   2006 x0  2.2006.x0  20062 x0  2006     2  x0 
(0.5ñ) 2n x  2006  m  2006  +Döï ñoaùn : n =  xn  2006  m  2006  (0.25ñ) +Chöùng minh quy naïp :  n=1 , meänh ñeà ñuùng (0.25ñ)  Giaû söû meänh ñeà ñuùng vôùi n=k . Ta coù : 2k xk  2006  m  2006  =  xk  2006  m  2006  (0.25ñ)  Caàn chöùng minh meänh ñeà ñuùng vôùi n=k+1. 1 20062   xk    2006 xk 1  2006 2  xk  x 2  2.2006.xk  20062 Thaät vaäy, = = k2 xk 1  2006 1  20062  xk  2.2006.xk  20062  xk    2006 2 xk  2  xk  2006  2  x  2006    k   xk  2006   xk  2006  2 (0.5d) 2k 1 2  2k   m  2006  =   =  m  2006  (0.5ñ)      m  2006   m  2006      2n 2n x  2006  m  2006  m  2006  + Vaäy ta coù : n =  maø lim   =0 xn  2006  m  2006  n  m  2006  ( do m>0) (0.5ñ) xn  2006 Neân lim =0 (0.25ñ) . n xn  2006 xn  2006 2006 1  yn  Ñaët yn   xn  (0.25ñ) xn  2006 1  yn maø lim yn=0 => lim xn=2006 (0.5d) n n Caùch 2: x 2 n 1  20062 Nhaän xeùt vì x0 > 0 vaø xn  (*) neân xn> 0 n  . Vaäy (xn) laø daõy 2 xn 1 bò chaën döôùi.(1)
 Xeùt xn  2006 . Ta coù :  x  2006 2 xn  2006  n 1  0 n   , n  1  xn  2006 (n   , n  1) . 2 xn 1 20062  x 2 n1  Xeùt xn  xn1 . Ta coù xn  xn1  0 n   , n  2 vì 2 xn1 xn  2006 (n   , n  1) . Vaäy xn  xn1 (n   , n  2) . Ta coù : n   , n  1 (xn) laø daõy giaûm.(2) Töø (1) vaø (2) daõy soá coù giôùi haïn. Goïi lim xn =y , y  0 vì xn luoân döông , laáy n y  200622 giôùi haïn hai veá cuûa (*)ta coù : y   y  2006 2y BAØI 4: (4 ñieåm) Goïi O laø giao ñieåm cuûa (d) vaø ñöôøng thaúng A trung tröïc cuûa AB (vì (d) khoâng vuoâng goùc vôùi AB neân O toàn taïi). Döïng ñöôøng troøn taâm O, baùn I kính OA. Ñöôøng troøn naøy caét (d) taïi I vaø J. O Khoâng maát toång quaùt giaû söû : M IA JA (  IA.JB  JA.IB (1) ). Ta seõ chöùng B  IB JB J IA MA JA minh :   IB MB JB 0.5ñ uur uur Ñaët uur uuu uuur AI  k . AJ r MI  k .MJ  AM   1 uur AI  k uur AJ 0.25ñ 1 k 1 k 1 k  1 0.25ñ   1  k      1 uuur uu r uur Ñaët  . Khi ñoù :  uuur  uu r uur . Töông töï : BM  .BI  .BJ    k  AM  . AI  . AJ   1 k  Ta coù : 0.5ñ uur uur uu uur r AM2 = ( . AI  . AJ )2= 2 . AI 2  2 . AJ 2  2 AI . AJ  2 . AI 2  2 . AJ 2 (Vì AI  AJ   do ñoù AI.AJ =0)
Töông töï : BM2 = 2 .BI 2  2 .BJ2 0.5ñ  .AI   .AJ 2 2 2 2 2  MA  2 2 (*) MB 2  .BI  2 .BJ2 0.75ñ 2 2 Ta coù IA MA  ù  IA2  MA2  IA2 (2 .IB2  2 .JB2 )  IB2 (2 .IA2  2 .JA2 ) IB MB IB MB  2 IA 2 .JB2  2 JA 2 .IB2 (ñuùng do (1))   0 IA 2 MA 2 Vaäy (*) ñuùng hay  . Daáu “=” xaûy ra khi  2  IA  JA 2 IB2 MB2  IB2 JB2  * 0 MI 0.5ñ keát hôïp vôùi IA2 + JA2= IJ2 = IB2 + JB2 suy ra IA = IB vaø 2 2 * IA 2 JA  2 IB JB JA = JB (voâ lyù vì luùc naøy (d) laø trung tröïc cuûa AB) Vaäy MA ñaït giaù trò lôùn nhaát khi M  I. 0.25ñ MB Töông töï MA ñaït giaù trò nhoû nhaát khi M  J. MB Döïng I, J: A 0.5ñ + Döïng BL  (d) , AK  (d) + I laø giao ñieåm cuûa ñöôøng troøn taâm O, baùn kính OA vôùi (d) sao I L K J cho L naèm giöõa I vaø K; J laø giao ñieåm coøn laïi. Vì: IA2 IK .IJ IK    1 IK  IL ( IB 2 IL.IJ IL 2 ) B JA JI .JK JK    1 JK  JL JB 2 JL.IJ JL
BAØI 5: (4 ñieåm) * Goïi M’ laø hình chieáu cuûa M leân B’C’   MM ' N vuoâng taïi M’  M’K MN = (0.5ñ) 2 Neân MN beù nhaát  M’K beù nhaát  M’K laø ñoaïn vuoâng goùc chung cuûa  vaø B’C’. (0.75ñ) * Goïi J = DI  A’B’  B’C’ // (JAD) ( vì B’C’ // AD) Do ñoù khoaûng caùch giöõa B’C’ vaø  chính laø khoaûng caùch giöõa B’C’ vaø(JAD) (0.5ñ) Goïi P = JA  BB’ Ta coù (PB’J)  (JAD) theo giao tuyeán PJ. Goïi H laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa B’ leân PJ  B’H  (JAD)  B’H laøø khoaûng caùch giöõa B’C’ vaø(JAD) (0.5ñ) * Maët khaùc: do B’I laø ñöôøng trung bình trong  JA ' D  B’ laø trung ñieåm A’J vaøB’P a laø ñöôøng trung bình trong  JA ' A  B’J= a vaø B’P = 2 (0.75ñ) 1 1 1 * Trong  JB ' P vuoâng taïi B’ ta coù: 2  2  B'H B'P B'J2 a 5  M’K = B’H = (0.5ñ) 5 2a 5 Vaäy giaù trò beù nhaát cuûa MN = (0.5ñ) 5
HEÁT