Đề Thử Sức Đại Học Môn Toán 2011 - Đề Tham Khảo Số 09

Chia sẻ: Thanh Cong | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

85
lượt xem 10
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'đề thử sức đại học môn toán 2011 - đề tham khảo số 09', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề Thử Sức Đại Học Môn Toán 2011 - Đề Tham Khảo Số 09

TRƯ NG THCS & THPT NGUY N KHUY N TH SC I H C 2010 http://www.VNMATH.com Môn thi: Toán L P 12D1 Th i gian làm bài: 180 phút (không k th i gian phát ) S 009 I. PHẦN CHUNG (7 điểm) (2 m - 1) x - m 2 Câu I (2 điểm): Cho hàm số y = . x -1 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = –1. 2) Tìm m để đồ thị của hàm số tiếp xúc với đường thẳ ng y = x . Câu II (2 điểm): 2 - 3 cos2 x + sin 2 x = 4 cos2 3 x 1) Giải phương trình: 2 xy ì2 2 =1 ïx + y + x+y 2) Giải hệ phương trình: í ï x + y = x2 - y î p 2 sin x dx ò Câu III (1 điểm): Tính tích phân: I= (sin x + cos x )3 0 Câu IV (1 điểm): Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A¢B¢C¢có đáy là tam giác đều cạ nh bằng a, A¢M ^ (ABC), A¢M = a3 (M là trung điểm cạnh BC). Tính thể tích khối đa diện ABA¢B¢C. 2 Câu V (1 điểm): Cho các số thực x, y. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: x2 + y2 - 4 y + 4 + x2 + y2 + 4 y + 4 + x - 4 P= II. PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm) 1. Theo chương trình chuẩn Câu VI.a (2 điểm): x2 y2 = 1 . Tìm các điểm M Î (E) sao cho · = 120 0 F1 MF2 + 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elip (E): 100 25 (F1, F2 là hai tiêu điểm của (E)). 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 3 điểm A(3; 1; 1), B(7; 3; 9), C(2; 2; 2) và mặt phẳng (P) có phương uuur uuur uuur trình: x + y = z + 3 = 0 . Tìm trên (P) điểm M sao cho MA + 2 MB + 3 MC nhỏ nhất. Câu VII.a (1 điểm): Gọi a1, a2, …, a11 là các hệ số trong khai triển sau: ( x + 1)10 ( x + 2) = x11 + a1 x10 + a2 x 9 + ... + a11 . Tìm hệ số a5. 2. Theo chương trình nâng cao Câu VI.b (2 điểm): 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): ( x - 3)2 + ( y - 4)2 = 35 và điểm A(5; 5). Tìm trên (C) hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông cân tại A. x -1 y z - 3 == 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(2; 1; 2) và đường thẳ ng d: . Tìm trên d hai 1 1 1 điểm A, B sao cho tam giác ABM đều. Câu VII.b (1 điểm): Giải hệ phương trình: ì æ 2y ö ïlog2010 ç ÷ = x - 2 y èxø ï í3 3 ï x + y = x2 + y2 ï xy î ============================ http://www.VNMATH.com 9 http://www.VNMATH.com
S 009 http://www.VNMATH.com Hướng dẫn: I. PHẦN CHUNG Câu I: 2) TXĐ: D = R \ {1}. ì (2m - 1) x - m 2 (*) =x ï x -1 ï Để đồ thị tiếp xúc với đường thẳng y = x thì: í 2 ï (m - 1) = 1 (**) ï ( x - 1)2 î éx = m Từ (**) ta có ( m - 1)2 = ( x - 1)2 Û ê ëx = 2 - m · Với x = m, thay vào (*) ta được: 0m = 0 (thoả với mọi m). Vì x ¹ 1 nên m ¹ 1. · Với x = 2 – m, thay vào (*) ta được: (2 m - 1)(2 - m) - m 2 = (2 - m)(2 - m - 1) Û 4(m - 1)2 = 0 Û m = 1 m = 1 Þ x = 1 (loại) Vậy với m ¹ 1 thì đồ thị hàm số tiếp xúc với đường thẳ ng y = x . 5p é p ê x = 48 + k 4 -3 1 æ 5p ö cos2 x + sin 2 x = cos6 x Û cos ç - 2 x ÷ = cos6 x Û ê Câu II: 1) PT Û ê x = - 5p + l p 2 2 è6 ø ê 24 2 ë 2 xy ì2 2 =1 (1) ïx + y + . Điều kiện: x + y > 0 . x+y 2) í ï x + y = x - y (2) 2 î 1ö æ (1) Û ( x + y)2 - 1 - 2 xy ç 1 - 2 2 ÷ = 0 Û ( x + y - 1)( x + y + x + y) = 0 Û x + y - 1 = 0 x+yø è (vì x + y > 0 nên x 2 + y 2 + x + y > 0 ) é x = 1 ( y = 0) Thay x = 1 - y vào (2) ta được: 1 = x 2 - (1 - x ) Û x 2 + x - 2 = 0 Û ê ë x = -2 ( y = 3) Vậy hệ có 2 nghiệm: (1; 0), (–2; 3). p p 2 2 cos t cos x p Câu III: Đặt t = - x Þ dt = –dx. Ta có I = dt = dx ò ò 2 3 (sin x + cos x )3 (sin t + cos t ) 0 0 p p p p 2 2 2 12 sin x cos x 1 1 dx + dx = dx = dx ò ò ò 2ò Þ 2I = 3 3 2 2æ pö (sin x + cos x ) (sin x + cos x ) (sin x + cos x ) 0 0 0 0 cos ç x - ÷ 4ø è p 1 1 æ pö2 = tan ç x - ÷ = 1 . Vậy: I = . 2 4 ø0 2 è 1 a 3 a2 3 a3 1 Câu IV: Vì ABB¢ A¢ là hình bình hành nên ta có: VC . ABB ' = VC . AB ' A ' . Mà VC . ABB ' = . A¢ M .S ABC = . = 3 32 4 8 a3 a3 Vậy, VC . ABB ' A ' = 2VC . ABB ' = 2 = . 8 4 Câu V: Ta có: P = x 2 + (2 - y)2 + x 2 + ( y + 2)2 + x - 4 r r r rr r Xét a = ( x;2 - y), b = ( x , y + 2) . Ta có: a + b ³ a + b Þ x 2 + (2 - y)2 + x 2 + ( y + 2)2 ³ 4 x 2 + 16 = 2 x 2 + 4 rr Suy ra: P ³ 2 x 2 + 4 + x - 4 . Dấu "=" xảy ra Û a, b cùng hướng hay y = 0. 2 Mặt khác, áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có: ( 2 3 + x ) £ (3 + 1)(4 + x 2 ) Þ 2 x 2 + 4 ³ 2 3 + x 2 Dấu "=" xảy ra Û x = . 3 Trần Sĩ Tùng http://tranthanhhai.tk http://www.VNMATH.com 49 http://www.VNMATH.com
S 009 http://www.VNMATH.com 2 Do đó: P ³ 2 3 + x + 4 - x ³ 2 3 + 4 = 2 3 + 4 . Dấu "=" xảy ra Û x = ,y = 0. 3 2 ,y = 0. Vậy MinP = 2 3 + 4 khi x = 3 II. PHẦN TỰ CHỌN 1. Theo chương trình chuẩn 3 3 Câu VI.a: 1) Ta có: a = 10, b = 5 Þ c = 5 3 . Gọi M(x; y) Î (E). Ta có: MF = 10 - x, MF2 = 10 + x. 1 2 2 Ta có: F1F22 = MF12 + MF2 2 - 2 MF .MF2 .cos· F1MF2 1 2 2 æ 3ö æ 3ö æ 3 öæ 3 öæ 1 ö 2 Û (10 3 ) = ç 10 - x ÷ + ç 10 + x ÷ - 2 ç 10 - x ÷ç 10 + x ÷ ç - ÷ Û x = 0 (y= ± 5) 2øè 2ø 2 øè 2 øè 2 ø è è Vậy có 2 điểm thoả YCBT: M1(0; 5), M2(0; –5). uu r uu r uur r æ 23 13 25 ö 2) Gọi I là điểm thoả: IA + 2 IB + 3IC = 0 Þ I ç ; ; ÷ è6 6 6ø uuur uuur uuur uuu uu rr uuu uu rr uuu uur r uuu r uuu r Ta có: T = MA + 2 MB + 3 MC = ( MI + IA ) + 2 ( MI + IB ) + 3 ( MI + IC ) = 6 MI = 6 MI uuur Do đó: T nhỏ nhất Û MI nhỏ nhất Û M là hình chiếu của I trên (P). æ 13 2 16 ö Ta tìm được: M ç ; - ; ÷ . è9 9 9ø ( ) Câu VII.a: Ta có: ( x + 1)10 = C10 x10 + C10 x 9 + ... + C10 x + C10 Þ ( x + 1)10 ( x + 2) = ... + C10 + 2C10 x 6 + ... 0 1 9 10 5 4 5 4 Þ a5 = C10 + 2C10 = 672 . 2. Theo chương trình nâng cao Câu VI.b: 1) (C) có tâm I(3; 4). Þ AI là đường trung trực của BC. DABC vuông cân tại A nên AI cũng là phân giác của · . ì AB = AC BAC · Ta có: í îIB = IC Do đó AB và AC hợp với AI một góc 450 . · Gọi d là đường thẳng qua A và hợp với AI một góc 450 . Khi đó B, C là giao điểm của d với (C) và AB = AC. uu r Vì IA = (2;1) ¹ (1; 1), (1; –1) nên d không cùng phương với các trục toạ độ Þ VTCP của d có hai thành phần đều r khác 0. Gọi u = (1; a) là VTCP của d. Ta có: éa = 3 uu r r 2+a 2+a 2 cos ( IA, u ) = 2 Ûê 2 2 + a = 5 1+ a 1 = = Û êa = - 2 1 + a2 22 + 1 5 1 + a2 3 ë r ìx = 5 + t · Với a = 3, thì u = (1;3) Þ Phương trình đường thẳ ng d: í . î y = 5 + 3t æ 9 + 13 7 + 3 13 ö æ 9 - 13 7 - 3 13 ö ; ÷, ç ; Ta tìm được các giao điểm của d và (C) là: ç ÷ è2 2 øè 2 2 ø ìx = 5 + t r æ 1ö 1 ï · Với a = - , thì u = ç 1; - ÷ Þ Phương trình đường thẳ ng d: í 1. ïy = 5 - 3 t 3 3ø è î æ 7 + 3 13 11 - 13 ö æ 7 - 3 13 11 + 13 ö ; ÷, ç ; Ta tìm được các giao điểm của d và (C) là: ç ÷ 2 2 2 2 è øè ø æ 7 + 3 13 11 - 13 ö æ 9 + 13 7 + 3 13 ö ; ÷, ç ; · Vì AB = AC nên ta có hai cặp điểm cần tìm là: ç ÷ 2 2 øè 2 2 è ø æ 7 - 3 13 11 + 13 ö æ 9 - 13 7 - 3 13 ö ; ÷, ç ; ç ÷ và 2 2 øè 2 2 è ø 2) Gọi H là hình chiếu của M trên d. Ta có: MH = d ( M , d ) = 2 . Trần Sĩ Tùng http://tranthanhhai.tk http://www.VNMATH.com 50 http://www.VNMATH.com
S 009 http://www.VNMATH.com 2 MH 26 = Tam giác ABM đều, nhận MH làm đường cao nên: MA = MB = AB = 3 3 ìx - 2 y z -3 == ï ï Do đó, toạ độ của A, B là nghiệm của hệ: í 1 1 1 . ï( x - 2)2 + ( y - 1)2 + ( z - 2)2 = 8 ï 3 î æ 2ö æ 2ö 22 2 2 Aç2 + ; ;3 + ÷, Bç 2 - ;- ;3 - ÷. Giải hệ này ta tìm được: 33 3ø è 3 3 3ø è ì æ 2y ö ïlog2010 ç ÷ = x - 2 y (1) èxø ï Câu VII.b: í 3 x + y3 ï = x2 + y2 (2) ï xy î Điều kiện: xy > 0 . Từ (2) ta có: x 3 + y 3 = xy( x 2 + y2 ) > 0 Þ x > 0, y > 0 . 2y = 2010 x -2 y Û x.2010 x = 2 y.20102 y . (1) Û x t æ ö Xét hàm số: f(t) = t.2010t (t > 0). Ta có: f ¢(t) = 2010t ç 1 + ÷>0 è ln 2010 ø Þ f(t) đồng biến khi t > 0 Þ f(x) = f(2y) Û x = 2y é y = 0 (loaïi) 9ö æ Thay x = 2y vào (2) ta được: y ç 5y - ÷ = 0 Û ê 9æ 9ö êy = çx = ÷ 2ø è 10 è 5ø ë æ9 9 ö Vậy nghiệm của hệ là: ç ; ÷ . è 5 10 ø ===================== Trần Sĩ Tùng http://tranthanhhai.tk http://www.VNMATH.com 51 http://www.VNMATH.com