S GIÁO D C &ĐÀO T O Ở Ụ Ạ Đ TUY N SINH L P 10 CHUYÊN B N TREỀ Ể Ớ Ế
B N TREẾ Năm h c 2011–2012ọ
Môn : TOÁN (chuyên)
Th i gian: ờ150 phút ( không k th iể ờ gian phát đ )ề
I. PH N TR C NGHI MẦ Ắ Ệ : Th i gian làm bài 30 phút / 5,0 đi mờ ể
(Ch n ph ng án đúng cho m i câu và ghi vào gi y làm bài . Ví d : câu 1 ch n A thì ghi 1.A)ọ ươ ỗ ấ ụ ọ
Câu 1. Cho
1 2
,x x
là hai nghi m c a ph ng trình: ệ ủ ươ
25 3 0x x− + =
. Khi đó
( )
11x+
và
( )
21x+
là
hai nghi m c a ph ng trình:ệ ủ ươ
A.
25 5 0x x− + =
B.
27 5 0x x− + =
C.
27 9 0x x− + =
D.
27 8 0x x− + =
Câu 2. Cho
1 2
,x x
là hai nghi m d ng c a ph ng trình: ệ ươ ủ ươ
27 1 0x x− + =
. Khi đó
và
2
x
là
hai nghi m c a ph ng trình:ệ ủ ươ
A.
23 1 0x x− + =
B.
27 1 0x x− + =
C.
23 1 0x x− − =
D.
27 1 0x x− − =
Câu 3.Cho ba đ ng th ng: ườ ẳ
( )
1: 2 1d y x= −
;
( )
2: 5d y x= − +
;
( )
3:d y mx m= −
. Đ ba đ ngể ườ
th ng trên đ ng quy thì m ph i tho đi u ki n:ẳ ồ ả ả ề ệ
A.
1m
= −
B.
1m
=
C.
2m
=
D.
3m
=
Câu 4. Cho parabol
( )
2
:P y ax=
và đi m ể
( )
1 2;1A−
. Đ ể
( )
P
đi qua A thì a ph i tho đi uả ả ề
ki n:ệ
A.
1 2a= −
B.
1 2 2a= +
C.
3 2 2a= −
D.
3 2 2+
Câu 5. Cho ph ng trình ươ
( )
2
1 2 1 0m x mx m− − − + =
có nghi m khi ệm tho đi u ki n:ả ề ệ
A.
1m
B.
1m
C.
1m
D. V i m i giá trớ ọ ị
Câu 6. Cho ph ng trình ươ
( )
2
1 2 0m x mx m+ − + =
có hai nghi m phân bi t khi ệ ệ m tho đi u ki n:ả ề ệ
A.
0m>
B.
0m
<
C.
0m
<
và
1m
−
D.
0m
>
và
1m
Câu 7. Tam giác ABC có đ dài ba c nh l n l t là: 3a;4a;5a. Bán kính đ ng tròn ngo i ti pộ ạ ầ ượ ườ ạ ế
tam giác ABC b ng:ằ
A.
7
2a
B.
5
2a
C.
5 2
3
a
D.
5 3
2
a
Câu 8. Cho t giác ABCD n i ti p đ ng tròn. Bi t ứ ộ ế ườ ế
ﾵ
ﾵ
2
3
A C=
, khi đó s đo góc ố
ﾵ
A
b ng:ằ
A.
0
60
B.
0
72
C.
0
108
D.
0
120
Câu 9. Cho đ ng tròn tâm O, bán kính ườ
5R a=
. Hai dây AB và CD song song nhau và C, D thu cộ
cung nh ỏ
ﾵ
AB
. Bi t ế
8 ; 6AB a CD a= =
, khi đó kho ng cách gi a hai dây b ng:ả ử ằ
A.
1a
B.
2a
C.
3
2
a
D.
5
2
a
Câu 10. N u di n tích m t c u tăng lên 2 l n thì th tích hình c u tăng lên m y l n?:ế ệ ặ ầ ầ ể ầ ấ ầ
A.
2 2
B.2 C.4 D. 8
II. PH N T LU NẦ Ự Ậ : Th i gian làm bài 120 phút/15 đi m.ờ ể
Bài 1. (3,0 đi m)ể
Cho ph ng trình xươ 2 – 2(m + 1) – m +1 = 0
1. Xác đ nh m đ ph ng trình có hai nghi m khác 0.ị ể ươ ệ
2. Xác đ nh m đ ph ng trình có hai nghi m xị ể ươ ệ 1 , x2 tho : ả
1 2
1 1 2
x x
− =
.
Bài 2. (3,5 đi m)ể
Cho parabol (P) :
2
2
x
y−
=
và đ ng th ng (d) : ườ ẳ
2y mx m= − +
; ( m là tham s )ố
1. Tìm m đ (d) ti p xúc v i (P). Xác đ nh to đ các đi m ti p xúc đó.ể ế ớ ị ạ ộ ể ế
2. Ch ng minh (d) luôn đi qua m t đi m c đ nh I, xác đ nh to đ c a I.ứ ộ ể ố ị ị ạ ộ ủ
3. G i A, B là hai đi m ti p xúc câu a). Tính di n tích tam giác AIBọ ể ế ở ệ
Bài 3. (3,5 đi m)ể
1. Gi i ph ng trình: ả ươ
2 2 2
4 4 4x x x+ − = −
2. Gi i h ph ng trình: ả ệ ươ
3 3
3
2 2
4( )
1
x y x y
x y
+ = +
+ =
Bài 4. (2,5 đi m)ể
Cho A và M là hai đi m trên đ ng tròn tâm O, bán kính R; B là đi m đ i x ng c aể ườ ể ố ứ ủ
O qua A và D là trung đi m c a OA ể ủ
1. Ch ng minh hai tam giác ứ
OMD
∆
và
OBM
∆
đ ng d ng. ồ ạ
2. Tính đ dài MB khi ộ
ﾵ
0
60MOA =
.
3. Cho C là đi m c đ nh n m ngoài đ ng tròn, xác đ nh v trí c a M trên đ ng tròn để ố ị ằ ườ ị ị ủ ườ ể
t ng 2MC + MB đ t giá tr nh nh t.ổ ạ ị ỏ ấ
Bài 5. (2,0 đi m)ể
Tìm nghi m nguyên c a ph ng trình: ệ ủ ươ
3 3 2 2 5x y x y xy+ − − =
.
BÀI GI IẢ
I. PH N TR C NGHI MẦ Ắ Ệ :
1.C 2.A 3.D 4.D 5.D 6.C 7.B 8.B 9.A 10.A.
II. PH N T LU NẦ Ự Ậ :
Bài 1: Ph ng trình ươ
22( 1) 1 0x m x m− + − + =
(1)
1) Ph ng trình (1) có hai nghi m khác 0ươ ệ
' 2
( 3) 0
0 ( 1) 1 0
1
1 0 1
m m
m m
m
m m
+
� �
∆ + + −
� � �
� � �
− +
� �
0 0
3 1
1 3
m m
m m
m m
��
� �
−
� �
−
� �
V y : ậ
0, 1m m
ho c ặ
3m
−
.
2) Áp d ng h th c Vi- ét, ta có: ụ ệ ứ
1 2
1 2
2 2
1
x x m
x x m
+ = +
= − +
Do đó:
2 1
1 2 1 2
1 1 2 2
x x
x x x x
−
− = =�
2 2
1 2 1 2
2 2
1 2 1 2 1 2
2 2
( ) 4( )
( ) 4 4( )
(2 2) 4( 1) 4( 1)
20 4 0
1
5
x x x x
x x x x x x
m m m
m
m
− =�
+ − =�
+ − − + = − +�
− =�
=�
V y : ậ
1
5
m=
Bài 2:
1) Ph ng trình hoành đ giao đi m c a (P) và(d) là:ươ ộ ể ủ
2
2
2 2 4 0
2
xmx m x mx m− = − + − + =�
Đ ng th ng (d) ti p xúc v i (P) ườ ẳ ế ớ
2
' 4 0m m∆ = − =�
0
4
m
m
=
=
•V i m = 0 ớ
ti p đi m 0(0;0)ế ể
•V i m = 4 ớ
ti p đi m B(4;8)ế ể
2) Ph ng trình: ươ
2 ( 2) 0y mx m x m y= − + − + − =�
2 0,
0
xm
y
− + =
∀�− =
2
0
x
y
=
=
V y : I(2;0)ậ
3)
1.
2
AIB
S AI BH=
(H là hình chi u c a B /Ox)ế ủ
=
1.2.8
2
= 8 (đvdt)
Bài 3:
1) Ph ng trình ươ
2 2 2
4 4 4x x x+ − = −
Đ t t = ặ
24 0x−
, Khi đó,ta có ph ng trình:ươ
4 4t t t+ + =
2
( 2)t t+ =�
2t t+ =�
2 0t t− − =�
(do
2 0t+ >
)
1 ( )
2 ( )
t loai
t nhan
= −
=
Do đó :
24 4 2 2t x x= − = =� �
V y ph ng trình có 2 nghi m ậ ươ ệ
2 2x=
.
2) H ph ng trình ệ ươ
3 3
3
2 2
4( ) (1)
1 (2)
x y x y
x y
+ = +
+ =
Ta có :
(1)
( )
( )
33 3
4x y x y+ = +�
( ) ( )
3 3 3 3
3 ( ) 4 0x y xy x y x y+ + + − + =�
( )
3 3
3 3 ( ) 0x y xy x y− + + + =�
( )
2
3 ( ) 0x y x y− + − =�
( ) ( )
2
3 4 0x y x y xy
� �
+ + − =�� �
(2)
( )
22 1x y xy+ − =�
. Đ t ặ
a x y
b xy
= +
=
ta đ c:ượ
( )
2
2
2
2
2
1
0,
3 0 2
2 1
3 4 0 1
2, 2
4 0
2 1
1
2 1 2, 2
a b
a
a b
a a b a b
a b
a b
a b a b
= = −
=
− =
− =
� � = =
− =
− =
− =
= − =
. V i ớ
( )
0 0 2 2 2 2
, , ; ,
1 1 2 2 2 2
2 2
a x y
x y
b xy
= + =
� � � �� �
� � = − −� � � �� �
� �
= − = − � �� �
� �
� �
. V i ớ
2 2 2
1 1 2
2 2
a x y
x y
b xy
� �
= + = � �
� � = =� � � �
� �
= = � �
� �
� �
. V i ớ
2 2 2
1 1 2
2 2
a x y
x y
b xy
� �
= − + = − � �
� � = = −� � � �
� �
= = � �
� �
� �
V y h pt đã cho có 4 nghi m: ậ ệ ệ
( )
,x y =
2 2
;
2 2
� �
−
� �
� �
,
2 2
;
2 2
� �
−
� �
� �
,
2 2
;
2 2
� �
� �
� �
,
2 2
;
2 2
� �
− −
� �
� �
Bài 4:
1)
OMD
∆
và
OBM
∆
có:
Ô : góc chung
1
( )
2
OM OD
OB OM
= =
Do đó
OMD OBM∆ ∆:
(c.g.c)
1
2
DM
BM =�
2)
MOA∆
đ u ( do OA = OM và ề
ﾵ
0
60MOA =
) nên:
MD vuông góc v i OA t i D ớ ạ
3
. 3 2
R
MD OD= =�
Mà
1
2
DM
BM =
(cmt) . Do đó:
2 3MB MD R= =
(đvđd)
3) V (d) qua C c t (O) t i M và N, ti p tuy n CE.ẽ ắ ạ ế ế
Ta có :
CME CEN∆ ∆:
(g.g)
2
.
CM CE CE CM CN
CE CN
= =� �
Mà
2 2 2
CE CO R= −
( không đ i do C c đ nh)ổ ố ị
Theo BĐT Cô-si , ta có:
2 2
2 . 2CM CN CM CN CO R+ = −
(1). D u “=” xãy ra khi và ch khi CM = CN. Khiấ ỉ
đó
M N E
ho c ặ
'M N A
CM là ti p tuy n c a đ ng tròn (O).ế ế ủ ườ
(1)
2 2
2 2 2 . 2 2( )CM CN CM CN CO R+ = −
. D u “=” xãy ra khi và ch khi 2CM = CN .ấ ỉ
Khi đ ó :
2 2 2 2
4
3 2 2( ) 2 2( )
3
CM CO R CM CO R= − = −�
M t khác: ặ
2BM OB OM R R R − = − =
. Suy ra:
2 2
4
2 2( )
3
CM BM CO R R+ − +
.
V y :2CM + BM đ t GTNN ậ ạ
A M
và CM là ti p tuy n c a (O)ế ế ủ
Bài 5:
E
A
A'
O
N
B'
C
M
B
D