intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Tài liệu ôn tập tuyển sinh môn Toán lớp 10 năm 2022-2023 - Trường THCS&THPT Trưng Vương

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:39

Thêm vào BST
Báo xấu
10
lượt xem 3
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Để giúp ích cho việc làm bài kiểm tra, nâng cao kiến thức của bản thân, các bạn học sinh có thể sử dụng “Tài liệu ôn tập tuyển sinh môn Toán lớp 10 năm 2022-2023 - Trường THCS&THPT Trưng Vương” bao gồm nhiều dạng câu hỏi bài tập khác nhau giúp bạn nâng cao khả năng làm bài, rèn luyện kỹ năng giải đề hiệu quả để đạt kết quả cao trong kì thi sắp tới.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tài liệu ôn tập tuyển sinh môn Toán lớp 10 năm 2022-2023 - Trường THCS&THPT Trưng Vương

  1. Ôn tập tuyển sinh vào lớp 10 TRƯỜNG THCS – THPT TRƯNG VƯƠNG TỔ TOÁN  NAÊM HOÏC: 2022-2023 HOÏ TEÂN HS :……………………………………………………… LÔÙP: 9/ Trang 1
  2. Ôn tập tuyển sinh vào lớp 10 Chủ đề 1: CĂN BẬC HAI- CĂN BẬC BA Các hằng đẳng thức đáng nhớ Luôn đúng với mọi a, b Điều kiện: 𝒂 ≥ 𝟎 𝒗à 𝒃 ≥ 𝟎 1/ (𝑎 ± 𝑏)2 = 𝑎2 ± 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 2 (√ 𝑎 ± √𝑏) = 𝑎 ± 2√𝑎𝑏 + 𝑏 2/ 𝑎2 − 𝑏 2 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) 𝑎 − 𝑏 = (√ 𝑎 + √𝑏)(√ 𝑎 − √𝑏) 3 3 3 2 2 3 (√ 𝑎 ± √𝑏 ) = 𝑎√ 𝑎 ± 3𝑎√𝑏 + 3√𝑎𝑏 ± 𝑏√𝑏 3/ (𝑎 ± 𝑏) = 𝑎 ± 3𝑎 𝑏 + 3𝑎𝑏 ± 𝑏 3 3 𝑎√ 𝑎 ± 𝑏√𝑏 = (√ 𝑎) ± (√𝑏) 4/ 𝑎3 ± 𝑏 3 = (𝑎 ± 𝑏)(𝑎2 ∓ 𝑎𝑏 + 𝑏 2 ) = (√ 𝑎 ± √𝑏)(𝑎 ∓ √𝑎𝑏 + 𝑏) Phân tích các đa thức thường gặp dạng hằng đẳng thức: Luôn đúng với mọi x Điều kiện: 𝒙 ≥ 𝟎 2 2 2 1/ 𝑥 ± 2𝑥 + 1 = (𝑥 ± 1) 𝑥 ± 2√ 𝑥 + 1 = (√ 𝑥 ± 1) 2/ 𝑥 2 ± 4𝑥 + 4 = (𝑥 ± 2)2 𝑥 ± 4√ 𝑥 + 4 = (√ 𝑥 ± 2) 2 3/ 4𝑥 2 ± 4𝑥 + 1 = (2𝑥 ± 1)2 4𝑥 ± 4√ 𝑥 + 4 = (2√ 𝑥 ± 1) 2 4/ 𝑥 2 ± 6𝑥 + 9 = (𝑥 ± 3)2 𝑥 ± 6√ 𝑥 + 9 = (√ 𝑥 ± 3) 2 5/ 9𝑥 2 ± 6𝑥 + 1 = (3𝑥 ± 1)2 9𝑥 ± 6√ 𝑥 + 1 = (3√ 𝑥 ± 1) 2 Phương pháp rút gọn hai dạng toán khó thường gặp: Ví dụ : Rút gọn biểu thức dạng √ 𝐴 ± 2√ 𝐵 𝑚+ 𝑛= 𝐴 Phương pháp giải: Tìm hai số dương m và n sao cho { khi đó: 𝑚. 𝑛 = 𝐵 2 2 2 √ 𝐴 ± 2√ 𝐵 =√(√ 𝑚) ± 2√ 𝑚. 𝑛 + (√ 𝑛) = √(√ 𝑚 ± √ 𝑛) = |√ 𝑚 ± √ 𝑛| 1. Tính – rút gọn biểu thức. 1. 3√2 - 4√8 + 2√32 - √50 2. √50 - √18 + √200 - √162 3. (√8 – 3√2 + √10) √2 – 2√5 4. (√48 - 2√75 +√147): √3 5. (√18 + √32 - √50). √2 6. (√28 – 2√14 + √7) √7 + 7√8 7. √27 – √12 + √75 + √147 8. 2√3 + √48 – √75 – √243 2 2 1 1 9. – 10. - 4−3√2 4+3√2 2+√3 2−√3 1 1 1 1 11. – 12. + √5−1 √5+1 √5 − 2 √5+2 13.√5 + 2√6 14.√16 + 6√7 15.√27 + 10√2 16.√14 + 6√5 17.√7 − 4√3 18.√8 − √28 19.√9 − 4√5 20.√4 − 2√3 Trang 2
  3. Ôn tập tuyển sinh vào lớp 10 21.√5 + 2√6 − √5 − 2√6 22.√17 − 4√9 + 4√5 Bài 2. Rút gọn và tính gía trị biểu thức sau 1) 52 6 3) 7  4 3 2) 1 + 6  2 5 4) 4  2 3  3 3  2  2 5).  2 6) 69  16 5  6  2 5 √4−2√3 7) 6  4 2 8) √6− √2 9) 3  2 2 10). 6  4 2 12) 6  4 2 - 6  4 2 11) √11 − 2√10 13) 42 3 - 3 14)√9 − 2√14 15) √9 − 4√5 − √9 + 4√5 16) √6 + √11 + √6 − √11 Chủ đề 2: HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN A.Tóm tắt kiến thức cần nhớ 𝑎𝑥 + 𝑦 = 𝑐 Hệ hai pt bậc nhất hai ẩn là hệ pt có dạng: (1){ ′ 𝑎 𝑥 + 𝑏 ′ 𝑦 = 𝑐′ 𝑎 𝑏 + Hệ pt (1) có nghiệm duy nhất ⟺ ≠ (⟺ 𝑎. 𝑏 ′ − 𝑎′ 𝑏 ≠ 0) 𝑎′ 𝑏′ 𝑎 𝑏 𝑐 + Hệ pt (1) vô nghiệm ⟺ = ≠ 𝑎′ 𝑏′ 𝑐′ 𝑎 𝑏 𝑐 + Hệ pt (1) có vô số nghiệm ⟺ = = 𝑎′ 𝑏′ 𝑐′ B.Cách giải- Bài tập: giải các hệ phương trình sau 1. Giải các hệ phương trình sau: 2𝑥 − 𝑦 = 5 2𝑥 + 3𝑦 = −4 𝑥 + 3𝑦 = 3 2𝑥 + 7𝑦 = 4 1){ 2){ 3){ 4){ 3𝑥 + 𝑦 = 10 2𝑥 − 5𝑦 = 12 3𝑥 − 5𝑦 = 2 3𝑥 − 5𝑦 = −25 2𝑥 − 𝑦 = 3 4𝑥 + 3𝑦 = 6 7𝑥 − 3𝑦 = 5 𝑥 − 3𝑦 = 2 5){ 6){ 7){ 8) { 3𝑥 + 𝑦 = 7 2𝑥 + 𝑦 = 4 −4𝑥 + 5𝑦 = 7 −2𝑥 + 5𝑦 = 1 2𝑥 + 5𝑦 = 9 4𝑥 − 3𝑦 = −7 7𝑥 − 3𝑦 = 5 𝑥 − 3𝑦 = 2 9){ 10){ 11) { 12){ 5𝑥 + 𝑦 = 11 2𝑥 + 𝑦 = 9 −4𝑥 + 5𝑦 = 7 −2𝑥 + 5𝑦 = 1 3𝑥 + 2𝑦 = 7 2𝑥 − 𝑦 = 1 𝑥 − 3𝑦 = 1 𝑥 − 2𝑦 = 7 13){ 14){ 15){ 16){ 2𝑥 + 3𝑦 = 3 𝑥+ 𝑦=2 𝑥 + 4𝑦 = 2 2𝑥 + 𝑦 = 4 3𝑥 − 𝑦 = 5 𝑥 − 3𝑦 = 5 −5𝑥 + 2𝑦 = 4 2𝑥 + 2𝑦 = 9 17){ 18){ 19){ 20){ 2𝑥 + 3𝑦 = 18 2𝑥 + 2𝑦 = −6 6𝑥 − 3𝑦 = −7 2𝑥 − 3𝑦 = 4 Trang 3
  4. Ôn tập tuyển sinh vào lớp 10 4𝑥 − 5𝑦 = 3 4𝑥 − 𝑦 = 3 3𝑥 − 2𝑦 = 4 3𝑥 − 𝑦 = 2 21){ 22){ 23){ 24){ 3𝑥 − 𝑦 = 16 3𝑥 − 2𝑦 = 16 2𝑥 + 𝑦 = 5 −5𝑥 + 3𝑦 = −3 Chủ đề 3: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI. HỆ THỨC VI-ÉT. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI A. Tóm tắt kiến thức cần nhớ. * Tính  * Tính  ’(Nếu hệ số b chẵn)  Xác định hệ số a, b, c  Xác định hệ số a, b '  , c b  Tính  = b2 - 4ac 2  Kết luận (Dựa vào  )  Tính  ’= b’2 - ac  Nếu  > 0 thì phương trình có 2  Kết luận (Dựa vào  ’) nghiệm phân biệt.  Nếu  ’> 0 thì phương trình có b  b  2 nghiệm phân biệt. x1 = ; x2 = b '  ' b '  ' 2a 2a x1 = ; x2 = a a  Nếu  = 0 thì phương trình có b  Nếu  ’= 0 thì phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = b ' 2a nghiệm kép x1 = x2 =  Nếu  < 0 phương trình vô nghiệm a  Nếu  ’< 0 pt vô nghiệm 1. Hệ thức Vi-ét a. Định lí: Nếu 𝑥1 , 𝑥2 là hai nghiệm của phương trình 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 (𝑎 ≠ 0) thì: 𝑏 𝑥1 + 𝑥2 = − { 𝑎 𝑐 𝑥1 ∙ 𝑥2 = 𝑎 b. Các ứng dụng của hệ thức Vi-ét. 𝒄  Nếu phương trình 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 (𝑎 ≠ 0) có 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 = 𝟎 thì 𝒙 𝟏 = 𝟏, 𝒙 𝟐 = 𝒂 2  Nếu phương trình 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 (𝑎 ≠ 0) có 𝒂 − 𝒃 + 𝒄 = 𝟎 thì 𝒙 𝟏 = −𝟏, 𝒄 𝒙𝟐 = − 𝒂  Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là nghiệm của phương trình bậc hai: 𝒙 𝟐 − 𝑺𝒙 + 𝑷 = 𝟎. Điều kiện để có hai số đó là: 𝑺 𝟐 − 𝟒𝑷 ≥ 𝟎 2. Phương trình quy về phương trình bậc hai. a. Phương trình trùng phương. * Phương trình trùng phương là phương trình có dạng: 𝒂𝒙 𝟒 + 𝒃𝒙 𝟐 + 𝒄 = 𝟎 (𝒂 ≠ 𝟎) (1) * Cách giải: B1: Đặt x2 = t ( t  0 ) B2: Giải pt at2 + bt + c = 0 (Bấm máy tính Mode 5 3  t1  ?; t2  ? ) B3: Với mỗi t  0  x   t Trang 4
  5. Ôn tập tuyển sinh vào lớp 10 3.Các hệ thức nghiệm đối xứng thường gặp: 1 1 x1 +x2 𝑆  + = = x1 x2 x1 .x2 𝑃  x1 + x2 = (x1 + x2 )2 − 2x1 . x2 = S2-2P 2 2 1 1 x1 2 +x2 2 (x1 +x2 )2 −2x1 .x2 𝑆 2 −2𝑃  2 + = = = x1 x2 2 x1 2 .x2 2 x1 2 .x2 2 𝑃2 3 3 2  x1 + x2 = (x1 + x2 )[(x1 + x2 ) − 3x1 . x2 ]= S3 -3S.P  (x1 − x2 )2 = (x1 + x2 )2 − 4x1 . x2 = S2 – 4P Bài 1: Giải các phương trình sau x –11x+ 30 = 0 x2 –10x+ 21 = 2 x2 –12x+ 27 = 0 5x2 –17x+ 12 = 3x2 –19x- 22 = 0 0 0 2 x –8x+ 15 = 0 x2 –14x+ 33 = 6x –13x- 48 = 3x2 +5x+ 61 = 0 2 5x2 +2x- 3 = 0 0 0 x –24x+ 70 = 0 x2 –16x+ 84 = 2 x2 +2x- 8 = 0 5x2 +8x+ 4 = 0 2x2 +6x+ 5 = 0 0 11x +13x- 24 = x2 – 4x+ 3 = 0 2 x2 –5x+ 4 = 0 x2 –9x+ 8 = 0 x2 –11x+ 10 = 0 0 Bài 2: Giải các phương trình: 2𝑥 4 − 3𝑥 2 − 2 = 0 𝑥 4 − 9𝑥 2 + 8 = 0 𝑥 4 − 13𝑥 2 + 36 = 0 4𝑥 4 − 5𝑥 2 − 9 = 0 2𝑥 4 − 11𝑥 2 + 9 = 0 𝑥 4 − 6𝑥 2 − 27 = 0 9𝑥 4 + 8𝑥 2 − 1 = 0 3𝑥 4 − 10𝑥 2 + 3 = 0 𝑥4 + 𝑥2 − 6 = 0 𝑥 4 − 2𝑥 2 − 120 = 0 (x+1)4 – 2(x+1)2 – 120 = 0 ( x  1)4  ( x  1)2  12  0 Chủ đề 4: BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI THEO THAM SỐ m 1. Biện luận số nghiệm của phương trình bậc hai Bài 1: Cho phương trình 𝑥 2 − 2(𝑚 − 1)𝑥 + m2 = 0 (1) a) Tính ’ b) Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt? Có nghiệm? Có nghiệm kép? Vô nghiệm Bài 3: Cho phương trình 𝑥 2 − 2𝑚𝑥 + 2𝑚 − 1 = 0. (1) a) Chứng tỏ (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của m. b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của pt (1). Tìm giá trị của m sao cho A = 2(x12 + x22) – 5x1.x2 = 27 Bài 4: Cho phương trình: x 2 − 2(m − 1)x + 2m − 5 = 0 a. Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m. b. Tìm m để phương trình có hai nghiệm đều dương. c. Với giá trị nào của m thì 𝑥1 2 + 𝑥2 2 đạt giá trị nhỏ nhất d. Tìm hệ thức liên hệ giữ hai nghiệm x1 , x2 không phụ thuộc và m. Bài 5: Cho phương trình: x 2 − 2(m − 1)x + 𝑚2 + m − 1 = 0 (1) Trang 5
  6. Ôn tập tuyển sinh vào lớp 10 Xác định m để giá trị của biểu thức A = 𝑥1 + 𝑥2 2 đạt giá trị nhỏ nhất 2 Bài tập 6. 1. Tìm m để pt x2 – 3mx + 2m2 – m – 1 = 0 có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó. 2. Chứng minh rằng phương trình x2-(m+ 2).x + m2 + 3 = 0 vô nghiệm với mọi m. 3. Cho phương trình x2 – 5x + m -2 = 0 (1) a. Giải (1) khi m = 6; m = - 4; m = 8 b. Tìm m để (1) có hai nghiệm phân biệt; có nghiệm kép; vô nghiệm. c. Tìm m để (1) có hai nghiệm trái dấu. d. Tìm m để (1) có hai nghiệm trái dấu và có một nghiệm bằng 5. e. Tìm m để (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa điều kiện: e1) 2x1 – 3x2 = - 5 e2) x12 +x22 = 12 4. Cho phương trình x2 – mx + 2m -5 = 0 (1) a. Giải (1) khi m = 4 b. Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt. c. Tìm m để (1) có hai nghiệm trái dấu. d. Tìm hệ thức giữa hai nghiệm của phương trình không phụ thuộc vào m. e. Khi pt có hai nghiệm phân biệt, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x12 +x22 5. Cho phương trình x2 – (m +4)x + 3m + 3 = 0 (1) a. Giải (1) khi m = 2 b. Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m. c. Xác định m để phương trình (1) có một nghiệm x = 2. Tìm nghiệm còn lại d. Xác định m để phương trình (1) có hai nghiệm dương. 6. Cho phương trình x2 – 2(m - 1)x + m2 - 3 = 0 (1) a. Giải (1) khi m = 0; m= 2; m = 3; m = - 2 b. Tìm các giá trị của m để (1) luôn có hai nghiệm phân biệt. c. Tìm giá trị của m thỏa x12 +x22 = 12( trong đó x1, x2 là hai nghiệm của pt (1). Bài 7.Cho phương trình x2 – 2mx + 2m - 5 = 0 (1) d. Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m. e. Tìm điều kiện của m để (1) có hai nghiệm trái dấu. f. Gọi x1 ,x2 là 2 nghiệm pt, tìm các giá trị m để: x1 2 (1 − x2 2 ) + x2 2 (1 − x1 2 ) = −8 Bài 8 :Cho phương trình x2 - 2(m - 2)x + m - 4= 0 g. CMR: phương trình luôn có hai nghiệm với mọi số thực m h. Tìm m để: x1(1 – x2) + x2(1 – x1) < 4 Chủ đề 5: HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ 1. Sự tương giao của hai đường thẳng. (d1) 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 (𝑎 ≠ 0) (d2) 𝑦 = 𝑎′𝑥 + 𝑏′ (𝑎′ ≠ 0)  (d1) cắt (d2) ⟺ 𝑎 ≠ 𝑎′ Trang 6
  7. Ôn tập tuyển sinh vào lớp 10  (d1) song song (d2) ⟺ { 𝑎 = 𝑎′ 𝑏 ≠ 𝑏′  (d1) vuông góc với (d2) ⟺ 𝑎𝑎′ = −1 2. Sự tương giao của đường thẳng và Parabol. (d) y = ax + b; (a ≠ 0)) (P) y = cx 2 ; (c ≠ 0) y = ax + b Tọa độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của hệ phương trình: { y = cx 2 Số giao điểm của (d) và (P) phụ thuộc vào số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm: cx 2 = 𝑎𝑥 + 𝑏 ⟺ cx 2 − 𝑎𝑥 − 𝑏 = 0 (*)  (d) và (P) có hai giao điểm khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt.  (d) và (P) có một giao điểm khi phương trình (*) có nghiệm kép. Khi đó (d) tiếp xúc (P), ta gọi (d) là tiếp tuyến của (P)  (d) và (P) không có giao điểm khi phương trình (*) vô nghiệm 3. Cách vẽ đồ thị hàm số y=ax2 ( a  0) : (Gồm 2 bước bắt buột) Bước 1: Lập bảng giá trị gồm 5 cặp số ( Nhập vào máy tính biểu thức ax2 rồi nhấn CALC các giá trị x để có y nguyên rồi điền vào bảng sau) x -2 -1 0 1 2 y = ax2 4a a 0 a 4a Bước 2 : Vẽ đồ thị đi qua 5 điểm đã cho A. Các dạng bài tập cơ bản. 1. Cho Parabol (P): y = −x 2 và đường thẳng (d): y = (2m − 1)x + m2 − 2 a) Khi m = 2, hãy vẽ (P) và (d) trên cùng hệ trục Oxy và tìm tọa độ giao điểm bằng phép tính. b) Tìm m để (P) và (d) tiếp xúc nhau. 2..Cho parabol (P): y = −2x 2 và đường thẳng (d): y = −3x + 1 a) Vẽ (P) và (d) trên cùng mặt phẳng tọa độ. b) Tìm tọa độ giao điểm (P) và (d) bằng phép tính. c) Cho đường thẳng (a): y = x + m − 2. Tìm m để (a) cắt (P) tại hai điểm phân biệt. Chủ đề 6: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH- HỆ PHƯƠNG TRÌNH Bước 1: Lập phương trình (hệ phương trình) *Chọn ẩn (ghi rõ đơn vị) và đặt điều kiện cho ẩn; (thông thường ẩn số được chọn ngay yêu cầu của đề bài). *Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết; (thường lập bảng để biểu diễn) *Lập pt ( hay hệ pt) biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng (dựa vào câu dẫn) Trang 7
  8. Ôn tập tuyển sinh vào lớp 10 Bước 2: Giải phương trình (hệ phương trình) Bước 3: Trả lời theo đề bài yêu cầu. Ví dụ : Số tiền mua 9 quả cam và 8 quả táo 107 ngàn đồng . Số tiền mua 7 quả cam và 7 quả táo là 91 ngàn đồng. Hỏi giá mỗi quả cam và mỗi quả táo là bao nhiêu ngàn đồng ? Bước 1: Lập hệ phương trình Chọn ẩn số, đơn vị, đặt điều kiện Gọi x(ngàn đồng) là giá mỗi quả cam, y(ngàn đồng) là giá mỗi quả táo (x > 0, y > 0) - Dùng ẩn và các số đã biết để biểu diễn các đại lượng chưa biết: (ẩn x ,y và 9; 8; 107 ), lập phương trình: 9x+8 y = 107 (1) - Dùng ẩn và các số đã biết để biểu diễn các đại lượng chưa biết: (ẩn x, y và 7; 7; 91 ), lập phương trình: 7x +7y = 91 (2) 9 x  8 y  107(1) Kết hợp (1) và (2) lập hệ phương trình:  7 x  7 y  91(2) Bước 2: Giải hệ phương trình:Giải theo phương pháp đã học, được: x = 3, y = 10 Bước 3: trả lời: So với điều kiện x = 3, y = 10 > 0 ( nhận) Vậy mỗi quả cam giá 3 ngàn đồng ; mỗi quả táo giá 10 ngàn đồng. Ví dụ : Quýt cam mười bảy quả tươi Còn cam mỗi quả chia mười vừa xinh. Đem chia cho một trăm người cùng vui Trăm người trăm miếng ngon lành Chia ba mỗi quả quýt rồi Quýt, cam mỗi loại tính rành là bao ? Bước 1: Lập hệ phương trình Chọn ẩn số, đơn vị, đặt điều kiện Gọi x (quả) là số quả quýt, y (quả) là số quả cam.Điều kiện 0 < x, y < 17 và x, y  N*. Theo đề bài ta có x + y = 17 ( quýt , cam mười bảy quả tươi) (1) Vì : Chia ba mỗi quả quýt rồi Còn cam mỗi quả chia mười vừa xinh. Trăm người trăm miếng ngon lành Nên ta có phương trình : 3x + 10y = 100 (2) Trang 8
  9. Ôn tập tuyển sinh vào lớp 10  x  y  17 Kết hợp (1) và (2), ta có hệ phương trình  3x  10 y  100 Bước 2: Giải hệ phương trình: Giải theo phương pháp đã học, được: x = 10, y = 7 Bước 3: trả lời So với điều kiện x = 10, y = 7 > 0 ( nhận) Vậy có 10 quả quýt và 7 quả cam Ví dụ : Bác Hiệp và cô Liên đi xe đạp từ làng lên tỉnh trên quãng đường dài 30km, khởi hành cùng một lúc. Vận tốc xe của bác Hiệp lớn hơn vận tốc xe của cô Liên là 3km/h nên bác Hiệp đã đến sớm hơn cô Liên là nửa giờ. Tính vận tốc xe của mỗi người. Lập bảng: Quãng đường (km) Vận tốc (km/h) Thời gian (h) 30 Xe cô Liên 30 x 𝑥 30 Xe bác Hiệp 30 x+3 x3 Học sinh dựa vào bảng để chọn ẩn số và đặt điều kiện cho ẩn số - Chọn ẩn số, đơn vị, đặt điều kiện Gọi x (km/h) là vận tốc xe của cô Liên (x > 0) - Dùng ẩn và các số đã biết để biểu diễn các đại lượng chưa biết: (ẩn x và 3 ) Vận tốc xe của bác Hiệp là (x + 3) (km/h) - Dùng ẩn và các số đã biết để biểu diễn các đại lượng chưa biết: (ẩn x và 30) 30 Thời gian xe của bác Hiệp đi là (h) x+3 30 Thời gian xe của cô Liên đi là (h) x 1 Lập phương trình (dựa vào câu bác Hiệp đã đến sớm hơn cô Liên là nửa giờ hay ℎ) 2 30 30 1 Theo đề bài ta có phương trình: − = x x+3 2 Giải phương trình : 30 30 1 − = ⇔ 60(x+3) – 60x = x( x+3) x x+3 2 ⇔ 60x + 180– 60x = x2 +3x Trang 9
  10. Ôn tập tuyển sinh vào lớp 10 ⇔ x2+ 3x – 180 = 0 Giải phương trình ta được: x1 = 12 (nhận); x2 = - 15( loại) Trả lời:Vậy vận tốc xe của cô Liên: 12km/h, Vận tốc xe của bác Hiệp: 12 + 3 = 15km/h Hướng dẫn cho học sinh nêu cách giải khác: Bước 1: Lập phương trình - Chọn ẩn số, đơn vị, đặt điều kiện Gọi x (km/h) là vận tốc xe của bác Hiệp (x > 3) Dùng ẩn và các số đã biết để biểu diễn các đại lượng chưa biết: (ẩn x và 3 ) Vận tốc xe của cô Liên là (x – 3) (km/h) - Dùng ẩn và các số đã biết để biểu diễn các đại lượng chưa biết: (ẩn x và 30) 30 Thời gian xe của bác Hiệp đi là (h) x 30 Thời gian xe của cô Liên đi là (h) x−3 1 Lập phương trình (dựa vào câu bác Hiệp đã đến sớm hơn cô Liên là nửa giờ hay ℎ) 2 30 30 1 Theo đề bài ta có phương trình: − = x−3 x 2 Bước 2: Giải phương trình (học sinh tự giải) 30 30 1 − = ⇔ 60x – 60(x-3) = x(x – 3) x−3 x 2 ⇔ 60x – 60x + 180 = x2 – 3x ⇔ x2- 3x – 180 = 0 Giải phương trình ta được: x1 = 15 ; x2 = - 12 Bước 3: Trả lời So với điều kiện x1 = 15 > 0 (nhận); x2 = - 12 < 0 (loại) Vậy vận tốc xe của bác Hiệp: 15km/h, Vận tốc xe của cô Liên: 15 – 3 = 12km/h Ghi nhớ: nếu ta thay đổi cách chọn ẩn số thì ta sẽ có pt khác và khi giải thì được kết quả khác. Để tránh sai sót khi đặt điều kiện cho ẩn, ta thường chọn ẩn số là xe có vận tốc nhỏ: Gọi x (km/h) là vận tốc xe của cô Liên (x > 0) Trang 10
  11. Ôn tập tuyển sinh vào lớp 10 Vận tốc xe của bác Hiệp là x + 3 (km/h) Ví dụ 4:Bài tập tương tự Một xe khách và một xe du lịch khởi hành đồng thời đi từ A dến B. Xe du lịch có vận tốc lớn hơn vận tốc xe khách là 20km/h, do đó xe du lịch đến B trước xe khách 25 phút. Tính vân tốc của mỗi xe, biết rằng khoảng cách giữa hai điểm A và B là 100km. Ví dụ 5:Bài tập tương tự Hai xe đạp khởi hành cùng một lúc từ A và B cách nhau 30km. Xe thứ nhất chạy nhanh hơn xe thứ hai 5km/h nên đến B sớm hơn xe thứ hai 1 giờ. Tính vận tốc của mỗi xe. Ví dụ 7: Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 30 km. Một canô đi từ bến A đến bến B, nghỉ 40 phút ở bến B rồi quay lại bến A. Kể từ lúc khởi hành đến khi về tới bến A hết tất cả 6 giờ. Hãy tìm vận tốc của ca nô trong khi nước yên lặng, biết rằng vận tốc của dòng nước là 3 km/h. Lập bảng S(km) v(km/h) t(h) Ca nô đi khi nước đứng yên x 30 Khi xuôi dòng 30 x3 x3 30 Khi ngược dòng 30 x3 x3 Bước 1: lập phương trình Gọi x(km/h) vận tốc của ca nô trong khi nước yên lặng ( x > 3) Vận tốc của ca nô khi xuôi dòng là (x + 3) (km/h) Vận tốc của ca nô khi ngược dòng là (x – 3) (km/h) 30 Thời gian của ca nô khi xuôi dòng là ( h) x3 30 Thời gian của ca nô khi ngược dòng là ( h) x 3 Vì thời gian xuôi dòng , ngược dòng và nghỉ 40 phút (2/3h) mất 6 giờ, nên ta có phương trình: 30  30  2  6 x3 x3 3 30 30 2 Bước 2: giải phương trình   6 x3 x3 3 Trang 11
  12. Ôn tập tuyển sinh vào lớp 10 ⟺ 3.30.(x – 3) +3.30.(x +3) + 2(x+ 3)(x – 3) – 3.6.(x+3)(x- 3) = 0 ⟺ 90x-270 + 90x +270 + 2x2 – 18 – 18x2 + 162 = 0 ⟺ - 16x2 + 180x + 144 = 0 ⟺ 16x2 -180x – 144 = 0 Giải ra ta được: x1 = 12; x2 = - 0,75 Bước 3: trả lời So với điều kiện: x1 = 12 > 3 (nhận) ; x2 = - 0,75 < 3 (loại) Vậy vận tốc của ca nô trong khi nước yên lặng là 12(km/h) Ví dụ 8: Một ô tô đi từ A và dự định đến B lúc 12 giờ trưa. Nếu xe chạy với vận tốc 35km/h thì sẽ đến B chậm 2 giờ so với dự định. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì sẽ đến B sớm hơn 1 giờ so với dự định. Tính độ dài quãng đường AB Ta có bảng sau : Quãng đường (km) Vận tốc (km/h) Thời gian (giờ) Dự định x (x > 0) - y (y > 0) x Đi chậm x 35 km/h giờ 35 x Đi nhanh x 50 km/h giờ 50 Chọn ẩn số ngay câu hỏi đề bài yêu cầu: Tính độ dài quãng đường AB Gọi độ dài của quãng đường AB là x (km) (x > 0) Thời gian dự định đi từ A đến B là y (giờ) Dựa vào câu:Nếu xe chạy với vận tốc 35km/h thì sẽ đến B chậm 2 giờ so với dự định, nên ta x có phương trình: − 2 = y (1) 35 Dựa vào câu: Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì sẽ đến B sớm hơn 1 giờ so với dự định, x nên ta có phương trình: + 1 = y (2) 50 x x Kết hợp (1) và (2) ta có phương trình: −2= 1 35 50 Giải phương trình ta được x = 350 Vậy quãng đường AB là 350km Ví dụ 9: Tính độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông, biết rằng nếu tăng mỗi cạnh lên 3cm thì diện tích tam giác đó sẽ tăng thêm 36cm2, và nếu một cạnh giảm đi 2cm, cạnh kia giảm 4cm thì diện tích của tam giác giảm đi 26cm2. Lập bảng Trang 12
  13. Ôn tập tuyển sinh vào lớp 10 Cạnh thứ nhất Cạnh thứ 2 Diện tích 1 Ban đầu x y xy 2 1 1 Thay đổi lần 1 x+3 y+3 (x +3)(y +3) = xy + 36 2 2 1 1 Thay đổi lần 2 x-2 y-4 (x – 2)(y- 4) = xy - 26 2 2 Gọi x(cm) là cạnh góc vuông thứ nhất (x > 2) y(cm) là cạnh góc vuông thứ hai (y > 4) 1 Diện tích tam giác vuông ban đầu là xy (cm2) 2 Nếu tăng mỗi cạnh lên 3cm thì diện tích tam giác đó sẽ tăng thêm 36cm2: nên ta có phương trình 1 1 (x +3)(y +3) = xy + 36 (1) 2 2 Nếu một cạnh giảm đi 2cm, cạnh kia giảm 4cm thì diện tích của tam giác giảm đi 26cm2: 1 1 nên ta có phương trình: (x – 2)(y- 4) = xy - 26 (2) 2 2 Kết hợp (1) và (2), ta có hệ phương trình: 1 1  2 ( x  3)( y  3)  2 xy  36  3x  3 y  63    1 ( x  2)( y  4)  1 xy  26 4 x  2 y  60 2  2 Giải hệ, ta được: x = 9 , y = 12 So với điều kiện: x = 9 > 2 , y = 12 > 4 (nhận) Vậy cạnh góc vuông thứ nhất: 9cm, cạnh góc vuông thứ hai: 12cm Ví dụ 10: Một miếng đất hình chữ nhật có chiều rộng bé hơn chiều dài 4m và diện tích bằng 320m2. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất. Gọi chiều rộng là x(m) (x > 0) chiều dài là (x+ 4) (m) Theo đề bài ta có phương trình: x(x + 4) = 320 Giải phương trình ta được: x1 = 16 ; x2 = - 20 So với điều kiện x1 = 16 > 0 (nhận); x2 = - 20 < 0 (loại) Trang 13
  14. Ôn tập tuyển sinh vào lớp 10 Vậy chiều rộng mãnh đất là 16m, chiều dài của mảnh đất là 20m Hướng dẫn cho học sinh nêu cách giải khác: Gọi chiều dài là x(m) (x > 4); chiều rộng là (x- 4) (m) Theo đề bài ta có phương trình: x(x – 4) = 320 ⟺ x2 – 4x – 320 = 0 Giải phương trình ta được: x1 = 20 ; x2 = - 16 So với điều kiện x1 = 20 > 4 (nhận); x2 = - 16 < 4 (loại) Vậy chiều dài của mảnh đất là 20m, chiều rộng mãnh đất là 16m Ví dụ 11: Một tam giác vuông có tổng độ dài hai cạnh góc vuông là 35cm và diện tích của nó bằng 150cm2. Tìm độ dài các ạnh của tam giác vuông. Gọi cạnh góc vuông thứ nhất là x(cm) (0 < x < 35 ) cạnh góc vuông thứ nhất hai là (35- x) (cm), x(35  x) Theo đề bài ta có phương trình = 150 2 35x - x2= 300 x2 - 35x + 300 = 0 Giải ra ta được: x 1 = 20 (nhận), x 2 = 15( nhận) Vậy cạnh góc vuông thứ nhất là 20cm; cạnh góc vuông thứ hai là 15cm Dạng 4:Toán có nội dung số học ( quan hệ giữa các số) - Phương pháp giải Số có hai chữ số ab thì được biểu diễn là 10a  b Cần phân biệt tổng các bình phương với bình phương của tổng. + Tổng các bình phương của hai số a và b là a2 + b2 + Bình phương của tổng hai số a và b là (a + b)2. a b 1 và là nghịch đảo của nhau. Số x có nghịch đảo là . b a x Cho tổng hai số : Nếu gọi số thứ nhất là x, thì số thứ hai là: Tổng – x Cho hiệu hai số : Nếu gọi số lớn là x, thì số nhỏ là : x – hiệu . Nếu gọi số nhỏ là x, thì số lớn là : x + hiệu. Trang 14
  15. Ôn tập tuyển sinh vào lớp 10 Ví dụ 1: Cho một số có hai chữ số. Nếu đổi chỗ hai chữ số của nó thì được một số lớn hơn số đã cho là 63. Tổng của số đã cho và số mới tạo thành bằng 99. Tìm số đã cho. Hướng dẫn phân tích : Học sinh cần phải nắm được cấu tạo số trong hệ thập phân: + số có hai chữ số ab thì được biểu diễn là 10a  b Ta thấy hai đại lượng chưa biết là chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị của số cần tìm. Theo giả thiết, khi viết hai chữ số ấy theo thứ tự ngược lại, ta vẫn được một số có hai chữ số. Điều đó chứng tỏ rằng hai chữ số ấy đều phải khác 0. Giải : Gọi chữ số hàng chục của số cần tìm là x (ĐK : 0  x  9 ) chữ số hàng đơn vị của số cần tìm là y (ĐK : 0  y  9 ) Theo đề bài ta có : Số ban đầu cần tìm là : xy  10 x  y Khi viết hai chữ số theo thứ tự ngược lại, ta được số mới là : yx  10 y  x Theo các điều kiện của đề bài ta có hệ phương trình : 10 y  x   10 x  y   63   x  y  7 x  1   Giải hệ ta được :  10 x  y   10 y  x   99  x  y  9 y  8 So với điều kiện: : 0 < x = 1 < 9 ( nhận) 0 < y = 8 < 9 ( nhận) Vậy số ban đầu cần tìm là : 18 Ví dụ 2: Tổng của chữ số hàng đơn vị và hai lần chữ số hàng đơn vị của một số có hai chữ số là 10. Nếu đổi chỗ chữ số hàng chục và hàng đơn vị cho nhau thì được số mới nhỏ hơn số ban đầu là 12 đơn vị. Tìm số có hai chữ số đó Hướng dẫn phân tích : Học sinh cần phải nắm được cấu tạo số trong hệ thập phân: Số có hai chữ số ab thì được biểu diễn là 10a  b Ta thấy hai đại lượng chưa biết là chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị của số cần tìm. Theo giả thiết, khi viết hai chữ số ấy theo thứ tự ngược lại, ta vẫn được một số có hai chữ số. Điều đó chứng tỏ rằng hai chữ số ấy đều phải khác 0. Giải : Trang 15
  16. Ôn tập tuyển sinh vào lớp 10 Gọi chữ số hàng chục của số cần tìm là x (ĐK : 0  x  9 ) chữ số hàng đơn vị của số cần tìm là y (ĐK : 0  y  9 ) Số ban đầu cần tìm là : xy  10 x  y Theo đề bài ta có : 2x +y = 10 (1) Khi viết hai chữ số theo thứ tự ngược lại, ta được số mới là : yx  10 y  x Theo đề bài ta có : (10x + y) – (10y +x) = 18 ⟺ x – y = 2 (2) 2x + y = 10 (1) Kết hợp (1) và (2) ta có hệ phương trình { x − y = 2 (2) Giải hệ phương trình được: x = 4, y = 2 So với điều kiện: 0 < x =4 < 9 (nhận), 0 < y = 2 < 9 (nhận) Vậy số cần tìm là 42. Ví dụ 3: Tìm hai số chẵn liên tiếp, biết rằng tổng các bình phương của hai số đó bằng 164. Hướng dẫn : Gọi x là số chẵn thứ nhất cần tìm ( x > 0 ). Số chẵn liền sau là x + 2 Vì tổng các bình phương của hai số đó bằng 164, nên ta có phương trình : x2  ( x  2)2  164  x2  2 x  80  0 Giải ra được Giải ra, ta được x1 = 8 (nhận), x2 = - 10 (loại) Vậy hai số chẵn liên tiếp là 8 và 10 Ví dụ 4: Tìm một số mà một nửa của nó trừ đi một nửa đơn vị rồi nhân với một nửa của nó bằng một nửa đơn vị. 1 Gọi số phải tìm là x ( x > ) 2 x 1 Khi đó: một nửa của nó trừ đi một nửa đơn vị là:  2 2 Vì: một nửa của nó trừ đi một nửa đơn vị rồi nhân với một nửa của nó bằng một nửa đơn vị x 1 x 1 Nên ta có phương trình: (  ).  ⟺ x 2 -x – 2 = 0 2 2 2 2 Trang 16
  17. Ôn tập tuyển sinh vào lớp 10 Giải ra, ta được x1 = -1, x2 = 2 Vậy số cần tìm là số 2 Dạng 5: Làm chung – làm riêng( thêm- bớt) - Phương pháp giải Tổng số lượng công việc = số đối tượng  lượng c.việc của mỗi đối tượng Lượng c.việc của mỗi đối tượng = (Tổng số lượng c. việc) : (số đối tượng) Lượng công việc : số tấn hàng, số cây, số m2, số bàn ghế,… Đối tượng : số xe, số người, số tàu,… Thường chọn số đối tượng làm ẩn. Ví dụ 1: Một đội xe cần chở 120 tấn hàng.Hôm làm việc có hai xe phải điều đi nơi khác nên mỗi xe còn lại phải chở thêm 16 tấn. Hỏi ban đầu đội có bao nhiêu xe. Hướng dẫn học sinh cách giải Lập bảng Số tấn hàng Số xe Số tấn hàng mỗi xe phải chở 120 Ban đầu 120 x x 120 Khi làm việc 120 x- 2 x−2 Bước 1: lập phương trình Gọi x (xe) là số xe của đội ( x > 2, x nguyên dương) 120 Số tấn hàng mỗi xe dự định chở lúc ban đầu: (tấn) x x – 2 (xe) là số xe khi làm việc 120 Số tấn hàng mỗi xe dự định chở khi làm việc: (tấn ) x−2 Hôm làm việc có hai xe phải điều đi nơi khác nên mỗi xe còn lại phải chở thêm 16 tấn , 120 120 nên ta có phương trình: = + 16 x−2 x Bước 2: Giải phương trình 120 120 = + 16 ⟺ 120x = 120(x- 2) + 16x(x- 2) x−2 x ⟺ x2 – 2x – 15 = 0 Giải ra, ta được x1 = 5, x2 = - 3 Trang 17
  18. Ôn tập tuyển sinh vào lớp 10 So với điều kiện: x1 = 5 > 2 (nhận), x2 = - 3 < 2 (loại) Vậy số xe ban đầu là 5 ( xe) Ví dụ 2: (đề thi tuyển vào lớp 10 năm học 2015-2016) Một đội xe cần chở 36 tấn hàng. Trước khi làm việc, đội được bổ sung 3 xe nên mỗi xe phải chở ít hơn 1 tấn hàng so với dự định. Hỏi lúc đầu dội có bao nhiêu xe, biết khối lượng hàng chở trên mỗi xe như nhau. Gọi số xe của đội lúc đầu là x (xe) ( x  N*) Gọi số xe của đội lúc sau là x + 3 (xe) 36 Số tấn hàng mỗi xe dự định chở lúc ban đầu: (tấn) x 36 Số tấn hàng mỗi xe phải chở khi làm việc: (tấn ) x3 36 36 Ta có phương trình: - =1 x x3 Giải ra ta được x = 9 (nhận) , x = - 12 (loại) . Vậy số xe của đội lúc ban đầu là : 9 xe Ví dụ 3: (Đề thi tuyển vào lớp 10 năm học 2014-2015) Một lớp học có 42 học sinh dự buổi sinh hoạt ngoại khóa dược sắp xếp đều nhau trên các dãy ghế băng. Nếu bớt đi 1 ghế băng thì mỗi ghế băng cò lại phải xếp thêm 1 học sinh. Tính số ghế băng lúc ban đầu. Lập bảng Số học sinh Số ghế Số học sinh ngồi trên mỗi ghế 42 Ban đầu 42 x x 42 Khi làm việc 42 x- 1 x−1 Gọi số ghế băng lúc ban đầu là x(cái) (x: nguyên x > 1) 42 Số học sinh ngồi trên mỗi ghế lúc ban đầu là: (hs) x 42 Số học sinh ngồi trên mỗi ghế lúc làm việc là: (hs) x−1 42 42 Theo đề bài ta có phương trình: - =1 x−1 x ⟺ x2 – x – 42 = 0 Giải phương trình ta được x1 = 7, x2 = - 6 Trang 18
  19. Ôn tập tuyển sinh vào lớp 10 Bước 3: trả lời So với điều kiện: x1 = 7 > 1 (nhận), x2 = - 6 < 1 (loại) Vậy số ghế băng lúc ban đầu là 7 ( cái) Ví dụ 4: (bài 3 trang 22sgk toán 9 tập 2) Hai đội công nhân cùng làm một đoạn đường trong 24 ngày thì xong. Mỗi ngày đội A làm được nhiều gấp rưỡi đội B. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi đội làm xong đoạn đường đó trong bao lâu ? Hướng dẫn Thời gian hoàn thành công việc Năng suất 1 ngày 1 Hai đội 24ngày (cv) 24 1 Đội A x ngày (cv) x 1 Đội B y ngày (cv) y Bước 1: Lập hệ phương trình 1 ngày hai đội cùng làm 1 (cv) 24 Gọi x (ngày) là thời gian đội A hoàn thành công việc (cv) Gọi y(ngày) là thời gian đội B hoàn thành công việc (cv) Điều kiện : x > 0 ; y > 0 1 1 ngày đội A làm được (cv) x 1 1 ngày đội B làm được (cv) y 1 3 1 Do mỗi ngày đội A làm được nhiều gấp rưỡi đội B nên ta có pt:  . (1) x 2 y Hai đội làm trong 24 ngày thì xong công việc nên mỗi ngày hai đội cùng làm thì được 1 (cv). 24 1 1 1 Ta có phương trình   (2) x y 24 Trang 19
  20. Ôn tập tuyển sinh vào lớp 10 1 3 1 x  2. y  Kết hợp (1) và (2) ta có hệ PT (I)  1  1  1  x y 24  Bước 2: Giải hệ phương trình Đặt u = 1 ; v = 1 x y  3 u  2 v Nên ta có hệ (II)  1 1  Giải hệ (II), ta được v  ; u  u  v  1 60 40   24 Vậy : x = 40 ; y = 60 Bước 3: trả lời Vậy : Thời gian đội A làm một mình là 40 ngày Thời gian đội B làm một mình là 60 ngày 4 Ví dụ 4: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể nước cạn (không có nước) thì sau 4 giờ 5 6 đầy bể. Nếu lúc đầu chỉ mở vòi thứ nhất và 9 giờ sau mới mở thêm vòi thứ hai thì sau 5 giờ nữa mới đầy bể. Hỏi nếu ngay từ đầu chỉ mở vòi thứ hai thì sau bao lâu mới đầy bể ? Hướng dẫn học sinh lập bảng Thời gian chảy đầy bể (h) Năng suất chảy 1 giờ 24 5 Hai vòi ( bể) 5 24 1 Vòi I x(h) ( bể) x 1 Vòi II y(h) ( bể) y Gọi thời gian vòi I chảy đầy bể là x (h) Thời gian vòi II chảy đầy bể là y (h) 24 Điều kiện x ; y > 5 Trang 20
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

EXAM.01: Bộ 300+ Đề Thi Thử THPT Quốc Gia 2019
315 tài liệu
1700 lượt tải
THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
6=>0