Điều kiện cần và đủ tối ưu cho nghiệm hữu hiệu toàn cục của bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc và áp dụng

ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ TỐI ƯU CHO NGHIỆM HỮU<br /> HIỆU TOÀN CỤC CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ CÓ RÀNG BUỘC VÀ ÁP DỤNG<br /> Trần Văn Sự1<br /> Nguyễn Thanh Phong2<br /> Tóm tắt: Trong bài báo này chúng tôi nghiên cứu điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu toàn<br /> cục của bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc tập và bất đẳng thức tổng quát được ký hiệu<br /> bởi (CVEP) trong không gian vô hạn chiều sử dụng công cụ của đạo hàm theo hướng và đạo<br /> hàm Gâteaux. Dưới các giả thiết phù hợp liên quan đến tính lồi tổng quát cho đạo hàm theo<br /> hướng của các hàm mục tiêu, các điều kiện cần và đủ tối ưu cho nghiệm hữu hiệu toàn cục<br /> của bài toán (CVEP) được thiết lập theo ngôn ngữ của đạo hàm theo hướng. Các điều kiện<br /> tối ưu của (CVEP) cũng được mô tả theo ngôn ngữ đạo hàm Gâteaux. Một số ứng dụng cho<br /> bài toán tối ưu vectơ và bất đẳng thức biến phân vectơ có ràng buộc cũng được cung cấp.<br /> Từ khóa: Bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc, Bài toán tối ưu vectơ và bất đẳng thức biến<br /> phân vectơ có ràng buộc; Điều kiện cần và đủ tối ưu cho nghiệm hữu hiệu toàn cục, Đạo hàm<br /> theo hướng, Đạo hàm Gâteaux.<br /> 1 . Mở đầu<br /> Bài toán cân bằng vectơ có vai trò quan trọng trong toán học ứng dụng và đặc biệt là ứng<br /> dụng trong lĩnh vực điều kiện tối ưu bởi vì nó bao hàm được nhiều bài toán khác nhau như<br /> trường hợp đặc biệt, chẳng hạn bài toán tối ưu vectơ, bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ,<br /> bài toán bù vectơ, bài toán điểm yên ngựa vectơ, bài toán cực tiểu phiếm hàm, bài toán điểm<br /> bất động, bài toán cân bằng Nash, v.v. (xem [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7]). Ngày nay điều kiện<br /> tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ và áp dụng nhận được nhiều sự quan tâm nghiên cứu của<br /> các tác giả trong và ngoài nước. Sử dụng tính lồi tổng quát của các hàm mục tiêu, Gong [1]<br /> đã thiết lập điều kiện cần và đủ tối ưu cho nghiệm hữu hiệu yếu, hữu hiệu Henig, hữu hiệu<br /> toàn cục và siêu hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc cùng với áp dụng kết<br /> quả nhận được cho bài toán tối ưu vectơ và bất đẳng thức biến phân vectơ có cùng ràng<br /> buộc. Sử dụng tính khả vi Gâteaux và Fréchet cho các hàm mục tiêu, Gong [2] đã nhận được<br /> kết quả về điều kiện cần và đủ tối ưu cho các loại nghiệm hữu hiệu của bài toán cân bằng<br /> vectơ có ràng buộc tập và ứng dụng. Về điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu, nghiệm hữu<br /> hiệu Henig và siêu hữu hiệu dùng công cụ của giải tích lồi liên quan đến sự tách các tập lồi<br /> và giải tích không trơn liên quan đến tính khả vi của các hàm ràng buộc của các bài toán<br /> cân bằng vectơ được nghiên cứu khá chi tiết bởi Gong [3], Wei và Gong [5]. Gần đây nhất,<br /> Sự [6], Hằng và cộng sự [7] đã thiết lập các điều kiện cần và đủ tối ưu cho nghiệm hữu hiệu<br /> yếu, nghiệm hữu hiệu Henig và nghiệm siêu hữu hiệu của các bài toán cân bằng vectơ có<br /> ràng buộc tập và bất đẳng thức tổng quát sử dụng công cụ của đạo hàm theo hướng. Tuy<br /> nhiên, trường hợp điều kiện cần và đủ tối ưu cho nghiệm hữu hiệu toàn cục của bài toán cân<br /> bằng vectơ có ràng buộc thiết lập dựa theo ngôn ngữ của đạo hàm theo hướng và đạo hàm<br /> Gâteaux là chưa được nghiên cứu.<br /> <br /> 1<br /> <br /> . TS, Khoa Toán, trường Đại học Quảng Nam<br /> <br /> 2<br /> <br /> . ThS, Khoa Toán, trường Đại học Quảng Nam<br /> <br /> 1<br /> <br /> TRẦN VĂN SỰ - NGUYỄN THANH PHONG<br /> <br /> Mục đích của chúng tôi trong bài báo này là nghiên cứu điều kiện cần và đủ tối ưu cho nghiệm<br /> hữu hiệu toàn cục của các bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc tập và bất đẳng thức tổng<br /> quát trong không gian Banach dựa theo ngôn ngữ của đạo hàm theo hướng và đạo hàm<br /> Gâteaux cùng với áp dụng kết quả thu được cho bài toán tối ưu vectơ và bất đẳng thức biến<br /> phân vectơ có ràng buộc. Các kết quả nhận được của chúng tôi trong bài báo này là hoàn<br /> toàn mới và chưa từng được nghiên cứu trước đây. 2 . Kiến thức chuẩn bị<br /> Tiểu mục này trình bày các quy ước chung, các khái niệm liên quan đến đạo hàm theo hướng,<br /> đạo hàm Gâteaux, hàm lồi theo nón và xây dựng nghiệm hữu hiệu toàn cục cho bài toán cân<br /> bằng vectơ có ràng buộc (CVEP) và hai trường hợp đặc biệt của nó là bài toán tối ưu vectơ<br /> có ràng buộc (CVOP) và bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ có ràng buộc (CVVI). Xuyên<br /> suốt bài báo này, ta quy ước X, Y, Z và W là các không gian tôpô tuyến tính thực, trong đó Y<br /> và Z được sắp thứ tự bởi một nón lồi đóng nhọn có phần trong khác rỗng C và K, tương ứng.<br /> Cho X0 là một tập con khác rỗng của không gian X; một song hàm F : X0 × X0 → Y thỏa mãn<br /> điều kiện cân bằng F(x0, x0) = 0 ∀x0 ∈X0, và các hàm ràng buộc g : X0 → Z, h: X0 → W . Đặt<br /> S∈={x X0 :∈g(x) -K, =h(x) 0}. Tập S được gọi là chấp nhận được của các bài toán (CVEP),<br /> (CVOP) và (CVVI). Gọi Y* và Z* lần lượt là các không gian đối ngẫu tôpô của Y và Z. Nón<br /> đối ngẫu của C và K được định nghĩa tương ứng bởi<br /> C* ={ξ Y∈*: ξ0≥ c∀ C}∈ và K*<br /> <br /> {=η Z* :∈η, k<<br /> <br /> 0>≥k ∀K}.∈<br /> <br /> Tựa phần trong của C* được ký hiệu bởi C≠ và được định nghĩa bởi<br /> C≠ ={ξ C∈*: ξ>0<br /> <br /> c∀ C\{0}}.∈<br /> <br /> Bao nón, bao đóng và phần trong của một tập con không rỗng D⊂Y được ký hiệu tương ứng<br /> bởi cone(D) ={td : d D∈, t 0≥}, cl(D) và int D.<br /> Định nghĩa 2.1 ([1, 2, 3, 5]) Một tập con B khác rỗng của một nón lồi C được gọi là một cơ<br /> sở của nón C nếu B lồi, 0∉cl(B) và C =cone(B).<br /> Ta dễ dàng kiểm tra tựa phần trong C≠ ≠φ nếu và chỉ nếu nón lồi C có một cơ sở B.<br /> Khái niệm nghiệm hữu hiệu toàn cục của bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc (CVEP), bài<br /> toán tối ưu vectơ có ràng buộc (CVOP) và bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ có ràng<br /> buộc (CVVI) do Xun-Hua Gong [1, 2] đề xuất và được định nghĩa lần lượt như sau.<br /> Định nghĩa 2.2 ([1, 2]) Xét bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc(CVEP). Một vectơ x∈S<br /> được gọi là nghiệm hữu hiệu toàn cục của bài toán (CVEP) nếu tồn tại một nón lồi và nhọn<br /> H trong Y với C \{0}⊂ intH thỏa mãn F(x, S)∩((−H) \{0})=φ. Ở đây, F(x,S) = y∈S F(x, y).<br /> Để dễ nhìn, ta xét Y = và C =+ [0, = ). Bằng cách chọn nón lồi và nhọn H trùng với nón C,<br /> lúc này mô hình toán học của bài toán (CVEP) có dạng:<br /> x∈ X0<br /> <br /> F(x,<br /> g(x)∈−K<br /> <br /> x) với mọi<br /> <br /> x∈X thỏa mãn<br /> <br /> min<br /> <br /> (H1)<br /> <br /> h(x) = 0<br /> Vectơ<br /> x∈S là nghiệm hữu hiệu toàn cục của bài toán (CVEP) nếu min F(x, x)= 0 với mọi<br /> x∈X thỏa mãn hệ ràng buộc ( H1).<br /> <br /> 2<br /> <br /> TRẦN VĂN SỰ - NGUYỄN THANH PHONG<br /> <br /> Hai trường hợp đặc biệt của bài toán (CVEP) là bài toán tối ưu vectơ có ràng buộc (CVOP)<br /> và bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ có ràng buộc (CVVI) được mô tả lại trong bài báo<br /> này dưới dạng.<br /> Định nghĩa 2.3 ([1, 2]) Cho trước một ánh xạ f : X → Y. Nếu song hàm<br /> F(x, y):= f (y) −f (x) x∀, y S∈ và x∈S là nghiệm hữu hiệu toàn cục của bài toán cân bằng vectơ<br /> có ràng buộc (CVEP) thì x∈S được gọi là nghiệm hữu hiệu toàn cục của bài toán tối ưu vectơ<br /> có ràng buộc (CVOP).<br /> Trường hợp Y =<br /> <br /> và C<br /> <br /> =+ [0, = ), một mô hình toán học của bài toán (CVOP) có dạng:<br /> <br /> f ( x) với mọi<br /> <br /> x∈ X0<br /> <br /> g(x)∈−K<br /> <br /> x∈X thỏa mãn<br /> <br /> min<br /> <br /> (H2)<br /> <br /> h(x) = 0<br /> Vectơ x∈S là nghiệm hữu hiệu toàn cục của bài toán (CVOP) nếu min f (x)= f (x) với mọi<br /> x∈X thỏa mãn hệ ràng buộc ( H2).<br /> Ký hiệu L(X, Y) là không gian các ánh xạ tuyến tính bị chặn từ X vào Y. Cho trước một ánh<br /> xạ T : X → L(X, Y), khi đó với mỗi x∈ X, Tx là một phiếm hàm tuyến tính bị chặn từ X vào Y.<br /> Ta có khái niệm sau.<br /> Định nghĩa 2.4 ([1, 2]) Nếu F(x, y):=< Tx, y− x> ∀ x, y∈ S và x∈S là nghiệm hữu hiệu toàn cục<br /> của bài toán bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc (CVEP) thì x∈S được gọi là nghiệm hữu<br /> hiệu toàn cục của bài toán bất đẳng thức biến phân có ràng buộc (CVVI).<br /> Tương tự như trên, một mô hình toán học của bài toán (CVVI) có dạng:<br /> x∈ X0<br /> <br /> với mọi<br /> <br /> x∈X thỏa mãn<br /> <br /> min<br /> <br /> (H3)<br /> <br /> h(x) = 0<br /> Vectơ<br /> x∈S là nghiệm hữu hiệu toàn cục của bài toán (CVVI) nếu min =< Tx, x><br /> với mọi x∈X thỏa mãn hệ ràng buộc ( H3).<br /> Các định nghĩa sau được lấy trong giải tích không trơn và là công cụ chính để thiết lập điều<br /> kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu toàn cục của bài toán (CVEP) cùng với các trường hợp đặc<br /> biệt của nó là các bài toán (CVOP) và (CVVI).<br /> Định nghĩa 2.5 ([4]) Cho X và Y là các không gian tôpô tuyến tính; X0 ⊆ X là một tập con khác<br /> rỗng; f : X0 →Y là một ánh xạ và một điểm x∈ X0.<br /> (a) Với mỗi h∈X , nếu giới hạn sau:<br /> f (x+th) − f (x)<br /> Df (x)(h) = lim<br /> t→0+<br /> <br /> t<br /> <br /> tồn tại thì ta nói Df (x)(h) là đạo hàm theo hướng của f tại điểm x theo hướng<br /> <br /> 3<br /> <br /> TRẦN VĂN SỰ - NGUYỄN THANH PHONG<br /> <br /> h. Nếu giới hạn này tồn tại với mọi h∈ X, thì f được gọi là khả vi theo hướng tại x.<br /> (b) Với mỗi x∈ X0 và mọi h∈X , nếu giới hạn sau: f (x+th) − f (x)<br /> DG f (x)(h) = lim<br /> t→0<br /> <br /> t<br /> <br /> tồn tại và DG f (x): X →Y là một ánh xạ tuyến tính liên tục, thì DG f (x) gọi là đạo hàm Gâteaux<br /> của f tại điểm x. Trong trường hợp này, hàm f được gọi là khả vi Gâteaux tại điểm x.<br /> Nhận xét 2.6 Dễ dàng thấy rằng nếu hàm f khả vi Gâteaux tại điểm x thì nó khả vi theo<br /> hướng tại điểm đó. Tuy nhiên, chiều ngược lại sẽ không còn đúng bằng cách xét hàm số thực<br /> f tại điểm x=0 , ở đây f : →<br /> 2<br /> . x f (x) = sin(x ) arcsin(+x )<br /> Cuối cùng, định nghĩa tính lồi tổng quát (hay còn được gọi là lồi theo nón) sau làm cơ sở cho<br /> việc đề xuất giả thiết 3.1 (xem tiểu mục 3) làm nền tảng để nghiên cứu điều kiện kiện tối ưu<br /> cho nghiệm hữu hiệu toàn cục của bài toán (CVEP).<br /> Định nghĩa 2.7 ([1, 2]) Cho X0 ⊆ X là một tập lồi khác rỗng. Một hàm f : X0 →Y được gọi là Clồi trên X0 , nếu với mọi x, y<br /> X , t [0, 1] ta có tf (x)+(1−t) f (y)∈ f (tx+(1−t)y)+C.<br /> 3. Kết quả mới của bài báo<br /> Đầu tiên chúng tôi cung cấp giả thiết sau làm cơ sở cho việc phát biểu điều kiện cần và đủ tối<br /> ưu cho nghiệm hữu hiệu toàn cục của các bài toán (CVEP), (CVOP) và (CVVI) dựa theo ngôn<br /> ngữ của đạo hàm theo hướng.<br /> <br /> Giả thiết 3.1 x∈ X0, Fx (.) = F(x, .), h ≡0 và F(x, x) = 0; các hàm mục tiêu<br /> <br /> Fx , g khả vi theo hướng tại x với các đạo hàm theo hướng DFx (x): X →Y là C-lồi<br /> trên tập lồi X0, Dg(x): X →Z là K-lồi trên tập lồi X0, và điều kiện chính quy sau thỏa mãn:<br /> (CQ):<br /> <br /> Tồn tại vectơ x0 ∈S sao cho Dg(x)(x0 − x)∈−int K.<br /> <br /> Chú ý rằng tính lồi theo nón của các đạo hàm theo hướng luôn được xác định trong trường<br /> hợp hàm được xem xét là lồi theo nón trên tập lồi X0. Ngoài ra, nếu giả thiết 3.1 được thỏa<br /> mãn, các nón Q và K lồi thì ta luôn có câc tập sau lồi:<br /> <br /> (DFx(x)(X0 − x)+Q) và (Dg(x)(X0 − x)+ g(x)+ K).<br /> Tiếp theo là các điều kiện cần và đủ tối ưu cho nghiệm hữu hiệu toàn cục của các bài toán<br /> cân bằng vectơ có ràng buộc tập và nón được phát biểu dưới đây như sau.<br /> <br /> 4<br /> <br /> TRẦN VĂN SỰ - NGUYỄN THANH PHONG<br /> <br /> Định lí 3.2 Giả sử X, Y và Z là các không gian Banach thực, x∈S thỏa mãn Giả thiết 3.1 và<br /> các nón C và K là lồi đóng và nhọn với các phần trong của chúng khác rỗng trong Y và Z<br /> tương ứng. Giả sử thêm rằng nón C có một cơ sở B. Khi<br /> đó, nếu vectơ x là một nghiệm hữu hiệu toàn cục của bài toán (CVEP) thì tồn tại (y*, z*)∈Y*×Z*<br /> \{(0, 0} thỏa mãn<br /> *<br /> ≠<br /> *<br /> y ∈C , z ∈K ,<br /> <br /> *<br /> <br /> *<br /> <br /> < z , g(x) >= 0 ,<br /> *<br /> <br /> *<br /> <br /> minx∈X0<br /> < y , DFx(x)(x− x)>+< z , Dg(x)(x− x<br /> 0.<br /> Nếu thêm các hàm mục tiêu Fx và g lần lượt là C-lồi và K-lồi trên tập lồi X0, khi đó điều kiện<br /> cần tối ưu sẽ trở thành điều kiện đủ tối ưu.<br /> Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử vectơ x là một nghiệm hữu hiệu toàn cục của bài toán<br /> (CVEP). Theo Định nghĩa 2.2, tồn tại một nón lồi và nhọn H trong Y với<br /> <br /> C \{0}⊂ intH thỏa mãn F(x, S)∩((−H) \{0})=φ.Do đó, F(x, S)∩(−int H)=φ.<br /> Điều này kéo theo<br /> F(x, S)∩(−intQ)=φ.<br /> <br /> (3.1)<br /> <br /> Ở đây Q:= cl H là nón lồi đóng và nhọn trong không gian Banach Y. Ta thấy rằng<br /> <br /> (DFx(x)(X0 − x)+Q)×(Dg(x)(X0 − x)+ g(x)+ K) (−intQ)×(−int K)=φ.<br /> (3.2)<br /> Thật vậy, nếu điều kiện (3.3) sai, khi đó tồn tại x0 ∈ X0, q∈Q và k ∈K sao cho<br /> <br /> (DFx(x)(x0 − x), Dg(x)(x0 − x)+ g(x))∈(−intQ−q)×(−int K −k).<br /> Do các nón Q và K là lồi và có phần trong khác rỗng, ta luôn có các đẳng thức đúng: intQ+Q<br /> = intQ, int K K int K+, suy ra quan hệ sau đúng:<br /> <br /> 5<br /> <br />