Định lý nhúng cho không gian Sobolev có trọng và ứng dụng

Chia sẻ: ViNaruto2711 ViNaruto2711 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

50
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết tập trung nghiên cứu sự tồn tại và tính trơn của nghiệm của phương trình elliptic suy biến và định lý nhúng cho không gian Sobolev có trọng và ứng dụng.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Định lý nhúng cho không gian Sobolev có trọng và ứng dụng

Phạm Thị Thủy và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 185(09): 83 - 87 ĐỊNH LÝ NHÚNG CHO KHÔNG GIAN SOBOLEV CÓ TRỌNG VÀ ỨNG DỤNG Phạm Thị Thủy1, Lê Thị Hồng Hạnh2 1 Trường Đại học Sư phạm - ĐH Thái Nguyên, 2Trường Đại học Hoa Lư TÓM TẮT Trong bài báo này, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại và tính trơn của nghiệm của phương trình elliptic suy biến   2u  2u 2  f x  g  u   0 trong ,    2 y 2  x  u  0 trên ,  ở đây  là một miền bị chặn với biên trơn trong không gian ¡ 2 , f , g là các hàm cho trước. Kết quả của bài báo là sự tổng quát định lý nhúng trong N. M. Trí [N. M. Tri, Critical Sobolev exponent for hypoelliptic operators, Acta Mathematic Vietnamica, Vol. 23 (1998), no. 1, 83 – 94] và sự tồn tại nghiệm, tính trơn của nghiệm trong D. T. Luyen, N. M. Tri [D. T. Luyen and N. M. Tri, On boundary value problem for semilinear degenerate elliptic differential equations, AIP Conf. Proc. 1450, 13 (2012), 13 - 17]. Từ khóa: Bài toán biên, số mũ tới hạn, giá trị tới hạn, nghiệm không tầm thường, định lý nhúng Định lý nhúng Sobolev cho không gian có trọng Giả sử  là miền giới nội trong ¡ 2 với biên  trơn và 0  . Ta xét bài toán sau: *   2u  2u 2  2  f  x  2  g  u   0 trong , y  x  u  0 trên ,  trong đó g  u   C  R  , g  0   0, f  x   C 2  R  . 1 2 1  u v    f  x , f  x  . y y  L2     p Định nghĩa 2. Không gian S1,0    được gọi là S1p    . Đặt G  u    g  t  dt và   1 ,2  là vector 0 pháp tuyến đơn vị ngoài trên  . Định nghĩa 1. Ta ký hiệu S1p   ,1  p   là không gian các hàm u  Lp   thỏa mãn 2 Định nghĩa 3. Hàm u  S1,0    được gọi là nghiệm yếu của Bài toán (1) nếu đẳng thức: u  u  2  x x dxdy   f  x  y y dxdy   g u  dxdy, thỏa mãn với mọi   C0    . Định lý 1. S1p    là không gian Banach, u u  Lp    , f  x   Lp    . x y S12   là không gian Hilbert. Chuẩn trong S1p   ,1  p   , được định nghĩa như sau: 1 p   p u p p u   dxdy  . u S p       u   f  x 1 x y       2 Với p  2 ta có tích vô hướng trong S1   như sau: Chứng minh. xem [3] Trong phần tiếp theo ta xét một trường hợp 2k của hàm f 2  x   x 1    x   trong đó   x   C1 (¡ ),  x   1, x   x   0. Khi đó ta có kết quả sau Định lý 2. (Định lý nhúng Sobolev cho không gian có trọng). Giả sử 1  p  k  2 . Khi đó  k  2 p p 1,0 S Tel: 0913 005027, Email: p.thuysptn@gmail.com 2 bao đóng của C01   trong không gian u * u v  ,   x x  L2     u, v S     u, v  L          Lk  2  p    với  là số dương đủ nhỏ. 83 Phạm Thị Thủy và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ Chứng minh Ta chứng minh với mỗi u  x, y   C01   , ta  u  x, y  u L k  2 p  C u p S1,0  Ta chứng minh (2) đúng với p =1, Lấy số M > 0 đủ    M , M    M , M . Do vậy u  t , y  dt ,  x, y   . t M Nên  Tương tự ta có: M u  x, y    M u  x, t  dt ,  x, y   t  u  x, y   M u     x, t  dt  ,   0.   M t  Nên ta có:  u  x, y  1 dxdy   M u   M u        x, t  dt     t , y  dt   dxdy t  M  M   M    M t     M  M u   M u      x, t  dt  dx.     t , y  dt  dy t t M  M M  M   M  M   M M  M  M u  u  x, y  dxdy.     x, y  dy  dx. x y M  M  Áp dụng bất đẳng thức Hölder ta có:   M u   M  M y  x, y  dy  dx M  M  k    x 1   M  1   x    1  C2 , 0    M  1   x  1  1 , C2  0. k 1 1 , khi đó tích phân k 1 dx là hội tụ. Do vậy ta có: 1 dxdy  C | x |k 1    x  u y  L1    u x Áp dụng bất đẳng thức Young ta có: u L1 C |x| k u 1   x y  1 L1    u x 1 1  L1      u u .  C  | x |k 1    x    y L1    x L1        Đối với p bất kỳ lấy | u | ,   1 thay vào công thức trên và áp dụng bất đẳng thức Hölder ta có:  L1  C | x |k 1    x  u 1  dx    M  M u   k   x, y   dx  .   x 1    x     M y     M 84  x 1 u  Do vậy   M M  k M  u  x, y   M 1   x  1 Do đó với 0        dx    M , M  , hàm số 1    x  là liên tục đều, nên x0   M , M  để min 1    x   1    x0   C1  0.  M , M  u  t , y  dt ,  x, y   . t M  1    x 1  1 Ta có   x   C1  ¡  ,  x   1 , nên trên  M   M  M u   k     x 1    x    x, y   dx  .   M y     M để x u  x, y   M M u  x, y  dxdy  x  lớn Khi đó ta có: u  x, y   M   dxdy   M  k    x 1   M  2 . M 1   có bất đẳng thức sau:  k  2  p  185(09): 83 - 87 C u  1 u x  1 C u u y  1 L1     u   | x |k 1    x   y  L1    Lp '     Lp    u x  ,  Lp     . L1    Phạm Thị Thủy và Đtg trong đó Chọn   Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 1 1  1. p p un Mặt khác ta có: 1 1 un  u 1  p 1  p  p '  1    u 1 p  dx   C   u 1 p        u  | x |k 1    x   y  1 1  p  1    u 1 p  dx    Lp     1 p' Mà  u   x Lp        Lp    u x 1  p    Lp     C Cho  đủ gần u x Do S   Nên u  x  ,  Lp     u y  .    un  un  p p S1,0  u  x, y   n ta  là một dãy Cauchy n 0 có  k  2  p  L k  2 p   . u1  x, y   Lk  2  p   để  k  2 p gian Lk  2  p   suy ra u1  x, y   Lp    . Theo bất đẳng thức trên ta có: un  u1 LP     C un  u1  k  2 p  L k  2 p  . un  x, y  hội tụ đến u1  x, y  trong không gian Lp   . Lp    Do giới hạn của một dãy là duy nhất nên ta có: un  x, y  hội tụ đến u  x, y  trong không Lp    1 . Khi đó ta có điều phải k 1 tại  k  2  p  L k  2 p là một dãy Cauchy trong n 0 Do vậy ta có dãy là bao đóng của C   trong một dãy un  x, y n0 , un  x, y   C01   mà un  x, y   hội tụ đến u  x, y  trong không gian S p 1  .  k  2 p gian Lk  2  p un Mà un  k  2  p  L k  2 p   theo  k  2  p  L k  2 p     , hay  u  k  2  p  L k  2 p  , khi n  . chứng minh trên ta có:  C un S p    , cho n  , ta có 1,0 điều phải chứng minh. Lưu ý. Trong trường hợp 1  p  k  2 , phép  k  2 p p 1,0 nhúng S      Lk  2  p    không tồn tại với  là dương bất kỳ. Định lý 3. Giả sử 1  p  k  2 . Khi đó ánh  k  2 p  Nên ta có: un  x, y  hội tụ đến u  x, y  trong xạ nhúng S không gian L   và ta có: với mọi  là dương đủ nhỏ. p , un  x, y  hội tụ đến u1  x, y  trong không 1 0 tồn Lp       p, nên:  k  2 p không gian S1p    . Nên  n  k  2 p chứng minh. Tiếp theo ta chứng minh đẳng thức (2) đúng p với u  x, y   S1,0   . p 1,0 k 2 p trong không gian Lk  2  p  Lp     k  2 p u  x, y  ta có un  un  p  C | x |k 1    x  1  p  u Lp      0, N 0  0, n  N 0 , p  0 hay L1 p     , un p không gian S1,0    , nên 1  p 1  u C .  | x |k 1    x   y  u p S1,0   C un  u Lp    Do vậy  u C .  | x |k 1    x   y       u 1 p  dx     u khi n  . p ta có: 1 p   1  p p S1,0  185(09): 83 - 87 p 1,0     Lk  2  p    là compact 85  . Phạm Thị Thủy và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ Chứng minh tương tự như Mệnh đề 4 trong [8] chúng ta có. Định lý 4. Giả sử 1  p  k  2 . Khi đó  k  2 p p S1,0     Lk  2  p    . p  k  2 . Khi đó p S1,0  C 0   . Định lý về sự tồn tại nghiệm Định lý 6. Giả sử g (u ) thỏa mãn các điều kiện sau: 0, i. g  u   Cloc ¡ ,  m  , với 1  m  k k 4 , iii. g  u   o  u  khi u  0, với  1 u  A, G  u    g  u  u , trong đó   0,  .  2 Khi đó bài toán   2u  2u 2k  | x | 1   x     y 2  g  u   0 trong ,  2  x  u = 0 trên ,  luôn tồn tại nghiệm yếu u ( x, y ) không tầm thường thỏa mãn, hơn nữa với mỗi 1  p   ta có u( x, y)  Lp (). Chứng minh 2 Với u  S1,0    xét hàm sau: iv. Tồn  u   tại A 2 1  u   | x |k   2  x  sao cho 1    x   2 u   dxdy y     G  u  dxdy ,  Từ các điều kiện của g(u) ta có   u  thỏa mãn các điều kiện ( I1 ) , ( I 2 ) , ( I 3 ) trong [1]. 86 Do vậy   u  có điểm tới hạn không tầm thường, nên bài toán trên có nghiệm yếu 2 không tầm thường thuộc không gian S1,0   . Chứng minh nghiệm yếu u ( x, y ) thỏa mãn Định lý 5. Giả sử ii. g  u   C 1  u 185(09): 83 - 87 u( x, y)  Lp (), với p  [1; ) xem trong [7]. Trong trường hợp đặc biệt   x   0 , các kết quả đã được công bố trong [5]. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. A. Ambrosetri and P. Rabinowitz, Dual variational methods in critical theory and applications, Journal of Funtion Analysis 14 (1973), 349 – 381. 2. N. M. Chuong, T. D. Ke, N. V. Thanh and N. M. Tri, Non – existence theorems for boundary value problems for some classes of semilinear degenrate elliptic operators, Proceedings of the conference on Partial Differential Equations and their Applications, pp 185-190, Hanoi December 27-29, 1990. 3. H. Brezis, F. Browder, Partial differential equations in the 20th century, Adv. Math. 135 (1998), 76 - 144. 4. D. Jerison, The Dirichlet problem for the Kohn Laplacian on the Heisenberg group II, Journal of Funct. Anal, 43 (1981), 224 - 257. 5. N. M. Tri, Critical Sobolev exponent for hypoelliptic operators, Acta Mathematic Vietnamica, Vol. 23 (1998), no. 1, 83 – 94. 6. N. M. Tri, Semilinear Degenerate Elliptic Differential Equations, Local and global theories, Lambert Academic Publishing, 2010. 271pp. 7. D. T. Luyen and N. M. Tri, On boundary value problem for semilinear degenerate elliptic differential equations, AIP Conf. Proc. 1450, 13 (2012), 13 - 17. 8. P. T. Thuy and N. M. Tri, Nontrivial solutions to boundary value problems for semilinear strongly degenerate elliptic differential equations, NoDEA Nonlinear Differential Equations Appl. 19 (2012), no. 3, 279 – 298. Phạm Thị Thủy và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 185(09): 83 - 87 ABSTRACT EMBEDDING THEOREMS FOR WEIGHTED SOBOLEV SPACES AND ITS APPLICATIONS Pham Thi Thuy1*, Le Thi Hong Hanh2 1 University of Education – TNU, 2Hoa Lu University, Ninh Binh In this paper, we study the existence of solutions for degenerate elliptic equation   2u  2u 2  2  f  x  2  g  u   0 in , y  x  u  0 on ,  2 where  is a bounded domain with smooth boundary in ¡ . This result is a generalization of that of N. M. Tri [N. M. Tri, Critical Sobolev exponent for hypoelliptic operators, Acta Mathematic Vietnamica, Vol. 23 (1998), N1, 83 – 94.] and of D. T. Luyen, N. M. Tri [D. T. Luyen and N. M. Tri, On boundary value problem for semilinear degenerate elliptic differential equations, AIP Conf. Proc. 1450, 13 (2012), 13 - 17]. Keywords: Boundary value problems, Critical exponents, Critical values, Nontrivial solutions, Embedding theorems Ngày nhận bài: 18/6/2018; Ngày phản biện: 26/7/2018; Ngày duyệt đăng: 31/8/2018 * Tel: 0913 005027, Email: p.thuysptn@gmail.com 87