Định lý điểm bất động cho ánh xạ co phi tuyến suy rộng trong không gian S-mêtric

Chia sẻ: Bautroibinhyen17 Bautroibinhyen17 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

Thêm vào BST

Báo xấu

88
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích của bài báo này là giới thiệu khái niệm ánh xạ C -co, ánh xạ co yếu suy rộng, ánh xạ f -co yếu suy rộng trên không gian S -mêtric và thiết lập một số định lí điểm bất động cho những ánh xạ này. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Định lý điểm bất động cho ánh xạ co phi tuyến suy rộng trong không gian S-mêtric

Tạp chí Khoa học – 2014, Quyển 3 (2), 7 - 14 Trường Đại học An Giang ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHO ÁNH XẠ CO PHI TUYẾN SUY RỘNG TRONG KHÔNG GIAN S -MÊTRIC Nguyễn Thành Nghĩa1, Nguyễn Trung Hiếu2 và Võ Đức Thịnh3 1 ThS. Khoa Sư phạm Toán Tin, Trường Đại học Đồng Tháp ThS. Khoa Sư phạm Toán Tin, Trường Đại học Đồng Tháp 3 ThS. Khoa Sư phạm Toán Tin, Trường Đại học Đồng Tháp 2 Thông tin chung: Ngày nhận bài: 11/12/13 Ngày nhận kết quả bình duyệt: 19/02/14 Ngày chấp nhận đăng: 30/07/14 Title: Several fixed point theorems for generalized nonlinear contractive mappings in S metric spaces Từ khóa: Điểm bất động, ánh xạ C -co, ánh xạ co yếu suy rộng, ánh xạ f -co yếu suy rộng, không gian ABSTRACT The aim of this paper was to introduce the notion of a C -contractive mapping, a weakly contractive mapping, a f -weakly contractive mapping in S-metric spaces and to establish several fixed point theorems for these mappings. The findings showed generalizations of the fixed point theorems in the literature. In addition, an example was given to illustrate the results obtained. TÓM TẮT Mục đích của bài báo này là giới thiệu khái niệm ánh xạ C -co, ánh xạ co yếu suy rộng, ánh xạ f -co yếu suy rộng trên không gian S -mêtric và thiết lập một số định lí điểm bất động cho những ánh xạ này. Các kết quả này là sự mở rộng của những định lí điểm bất động trong các tài liệu tham khảo. Đồng thời, nghiên cứu xây dựng ví dụ minh họa cho kết quả đạt được. S -mêtric Keywords: Fixed point, C -contractive mapping, generalized weakly contractive mapping, generalized f -weakly contractive mapping, metric space SAliouche (2012) đã giới thiệu một khái niệm mêtric suy rộng như sau. Định nghĩa 1.1. Cho X là tập khác rỗng. Ánh xạ S : X  X  X  [0, ) được gọi là S mêtric trên X nếu các điều kiện sau được thỏa mãn với mọi x, y, z, a  X . 1. GIỚI THIỆU Trong lí thuyết điểm bất động, nguyên lí ánh xạ co Banach trong không gian mêtric đầy đủ là cơ bản nhất. Do đó, nhiều tác giả đã mở rộng nguyên lí này cho những không gian khác nhau cũng như cho những lớp ánh xạ khác nhau. Trong hướng nghiên cứu đó, nhiều tác giả đã xây dựng những không gian mêtric suy rộng như 2-mêtric, D mêtric, G -mêtric,.. Gần đây, Sedghi, Shobe và (1) S (x, y, z )  0 nếu và chỉ nếu x  y  z; (2) S(x, y, z )  S(x, x, a)  S(y, y, a)  S(z, z, a). 7 Tạp chí Khoa học – 2014, Quyển 3 (2), 7 - 14 Trường Đại học An Giang Cặp (X , S ) được gọi là không gian S -mêtric. với mọi x, y Đồng thời, Sedghi và cs. (2012) cũng giới thiệu một số tính chất của không gian S -mêtric và mở rộng Nguyên lí ánh xạ co Banach trong không gian mêtric đầy đủ sang không gian S -mêtric đầy đủ. Từ đó, việc mở rộng những định lí điểm bất động trên không gian mêtric sang không gian S mêtric được một số tác giả quan tâm nghiên cứu và đạt được những kết quả nhất định (Chouhan, 2013; Nguyễn Văn Dũng, 2013; Nguyễn Trung Hiếu, Nguyễn Thị Thanh Lý & Nguyễn Văn Dũng, 2013; Nguyễn Trung Hiếu & Nguyễn Thị Kiều Trang, 2013; Sedghi & Nguyễn Văn Dũng, 2014). (2011) cho cặp ánh xạ T , f và thiết lập một số định lí điểm bất động chung cho lớp ánh xạ này trên không gian mêtric đầy đủ (X , d ) với giả thiết bổ sung là hai ánh xạ này giao hoán tại điểm trùng (xem Định lí 1 trong S. Chandok (2011) ) và T là ánh xạ f - đơn điệu giảm (xem Định lí 2, S. Chandok (2011)). Định nghĩa 1.4. Cho (X , d ) là không gian mêtric và hai ánh xạ T , f : X tồn d(Tx,Ty) x, y d(Tx,Ty ) X được gọi là C -co : [0, là ) lớp [0, các hàm ) thỏa mãn y 0. khi và chỉ khi x liên . thiết lập được một số định lí điểm bất động chung cho lớp ánh xạ f -co yếu suy rộng, kết quả chính là Theorem 2.1 trong Chandok (2013). Đồng thời, từ định lí này tác giả cũng nhận được định lí điểm bất động chung cho cặp toán tử Banach. Các kết quả này là sự mở rộng của các kết quả trong các tài liệu tham khảo của Chandok (2013). Từ những vấn đề trên, chúng tôi đặt vấn đề mở rộng một số định lí điểm bất động của lớp ánh xạ tục (x, y) X và (d(fx,Ty ), d(fy,Tx )) thiết khác cho cặp ánh xạ T và f , Chandok đã X. 2 d(fy,Tx )] Vào năm 2013, bằng cách sử dụng một số giả 1 k [0, ) tại sao cho 2 k[d(x,Ty) d(y,Tx )] với mọi hiệu 1 [d(fx,Ty ) 2 với mọi x, y Sau đó, Choudhury (2009) đã mở rộng khái niệm C -co của Chatterjee và đã thiết lập định lí điểm bất động cho lớp ánh xạ C -co suy rộng này trên không gian mêtric đầy đủ, kết quả chính là Theorem 2.1 trong Choudhury (2009). Kí X . Ánh xạ T được gọi là ánh xạ f -co yếu suy rộng nếu Định nghĩa. 1.2. Cho (X , d ) là không gian nếu . Gần đây, S. Chandok (2011) đã mở rộng khái niệm ánh xạ co yếu suy rộng của Choudhury Với mục đích mở rộng Nguyên lí ánh xạ co Banach cho những lớp ánh xạ khác nhau, nhiều tác giả đã thiết lập những điều kiện co suy rộng khác nhau (Rhoades, 1977). Trong bài báo của mình, Chatterjee (1972) đã giới thiệu một điều kiện co như sau. mêtric. Ánh xạ T : X X và 0 f -co suy rộng của Chandok (2013) trên không gian mêtric sang không gian S -mêtric. Đồng thời, chúng tôi cũng xây dựng ví dụ minh họa cho kết quả đạt được. Định nghĩa 1.3. Cho (X , d ) là không gian mêtric. Ánh xạ T : X suy rộng nếu d(Tx,Ty ) Trước hết, chúng tôi giới thiệu một số khái niệm và kết quả được sử dụng trong bài báo này. Những khái niệm và kết quả này được trích từ các X được gọi là ánh xạ co yếu 1 [d(x,Ty ) 2 d(y,Tx )] (d(x,Ty ), d(y,Tx )) 8 Tạp chí Khoa học – 2014, Quyển 3 (2), 7 - 14 Trường Đại học An Giang kết quả của Nguyễn Văn Dũng (2013), Sedghi và cs. (2012). Mệnh đề 1.9. Cho (X , S ) là không gian S - Mệnh đề 1.5. Cho (X , S ) là không gian S - cho mêtric. Khi đó mọi x, y S (x, x, y) mêtric. Nếu tồn tại hai dãy {x n } và {yn } sao S (y, y, x ) với lim S (x n , x n , yn ) mêtric. Khi đó với mọi x, y, z 2S (x, x, y) (1) Dãy {x n } S (x n , x n , x ) 0 khi n trùng của f và T là C (f ,T ) . (2) Hai ánh xạ f và T được gọi là giao hoán nếu . Điều này có lim x n x hay x n  x khi n Tfx  fTx với mọi x  M . sao cho (3) Hai ánh xạ f và T được gọi là tương thích . Kí hiệu là nếu lim d(Tx n , fTx n )  0 với mọi dãy {x n } . n  thỏa (2) Dãy {x n } S (xn , x n , x m ) . Nói cách n, m n0 thì S (x n , x n , x m ) lim Tx n  lim fx n  t n  với n  (4) Hai ánh xạ f và T được gọi là tương thích khác, {x n } là dãy Cauchy khi và chỉ khi với mọi 0, tồn tại n0 mãn t M . X được gọi là dãy Cauchy nếu 0 khi n, m M . Khi đó động của f và T là F (f ,T ) , tập hợp điểm X được gọi là hội tụ về x nếu n0 thì S (x n , x n , x ) S (x, x, y ). và T nếu fx  Tx . Kí hiệu, tập hợp điểm bất mêtric. Khi đó với mọi n thì (1) Điểm x  M được gọi là điểm trùng của f S (y, y, z ) 0 , tồn tại n0 y n của X và hai ánh xạ T , f : M X, ta có Định nghĩa 1.7. Cho (X , S ) là không gian S - nghĩa là với mỗi lim yn và Định nghĩa 1.10. Cho M là tập con khác rỗng Mệnh đề 1.6. Cho (X , S ) là không gian S - n x n X. S (x, x, z ) lim x n n yếu nếu f và T giao hoán tại các điểm trùng. sao cho với mỗi 2. CÁC KẾT QUẢ CHÍNH Trước hết, chúng tôi đề xuất khái niệm ánh xạ . C -co, ánh xạ co yếu suy rộng và ánh xạ f -co yếu suy rộng trên không gian S -mêtric. (3) Không gian S -mêtric (X , S ) được gọi là đầy đủ nếu với mỗi dãy Cauchy trong (X , S ) đều là Kí dãy hội tụ. hiệu : [0, là )3 (x, y, z ) Mệnh đề 1.8. Cho (X , S ) là không gian S - lớp [0, các ) 0 khi và chỉ khi x hàm liên thỏa y tục mãn z 0. mêtric. Nếu dãy {x n } trong X hội tụ thì giới Định nghĩa 2.1. Cho (X , S ) là không gian S - hạn đó duy nhất. mêtric và hai ánh xạ T , f : X 9 X . Khi đó Tạp chí Khoa học – 2014, Quyển 3 (2), 7 - 14 Trường Đại học An Giang (1) Ánh xạ T được gọi là C-co nếu tồn tại k S (Tx,Tx,Ty) k[2S(x, x,Ty) với mọi x, y X . 1 [0, ) sao cho 3 (3) Ánh xạ T được gọi là co yếu suy rộng nếu 1 2S (x, x,Ty) 3 S (Tx,Tx,Ty ) với mọi x, y d(y, y,Tx )] X và S (y, y,Tx ) S (x, x,Ty), S (x, x,Ty), S (y, y,Tx ) . (3) Ánh xạ T được gọi là f -co yếu suy rộng nếu S (Tx,Tx,Ty ) với mọi x, y 1 2S (fx, fx,Ty) 3 S (fy, fy,Tx ) S (fx, fx,Ty), S (fx, fx,Ty ), S (fy, fy,Tx ) X và Nhận xét 2.2. (1) Ánh xạ C -co là trường hợp x 2  M sao cho f (x 2 )  Tx1 . Tương tự, ta xây đặc biệt của ánh xạ co yếu suy rộng khi ánh xạ dựng được dãy {x n } trong M (x, y, z ) xác định bởi với 0  k  1 3 k (x y sao cho fx n 1  Tx n với mọi n  0 . Do T là ánh xạ z) f -co yếu suy rộng nên ta có 1 . 3 S (Tx n 1,Tx n 1,Tx n )  (2) Khi f là ánh xạ đồng nhất, ánh xạ f -co yếu 1 2S (fx n 1, fx n 1,Tx n )  S (fx n , fx n ,Tx n 1 )  3 S (fx n 1, fx n 1,Tx n ), S (fx n 1, fx n 1,Tx n ), S (fx n , fx n ,Tx n 1 ) suy rộng trở thành ánh xạ co yếu suy rộng. 1 S (Tx n 1,Tx n 1,Tx n 1 ) 3 Định lý 2.3. Cho (X , S ) là không gian S -mêtric, S (Tx n 1,Tx n 1,Tx n )  (1) T ( M )  f ( M );  (2) T ( M ) đầy đủ; Suy ra, {S (Tx n 1,Tx n 1,Tx n )} là dãy không âm M . Hơn nữa, nếu T và f là hai ánh xạ tương đơn điệu giảm. Do đó, tồn tại r  0 sao thích yếu thì F (T )  F (f ) có duy nhất điểm. bất kì 1 [2S (Txn 1,Txn 1,Txn )  S (Tx n1,Tx n1,Tx n )](2.2) 3 S (Txn 1,Txn 1,Txn )  S (Tx n ,Tx n ,Tx n 1 ) Khi đó, hai ánh xạ T và f có điểm trùng trong Lấy 1 S (Tx n 1,Tx n 1,Tx n 1 ) 3 Do đó (3) T là ánh xạ f -co yếu suy rộng; minh. (2.1) Suy ra M là tập con khác rỗng của X và hai ánh xạ T, f : M M thỏa mãn các điều kiện sau: Chứng (0, 0, S (Tx n 1,Tx n 1,Tx n 1 )) cho lim S (Tx n 1,Tx n 1,Tx n )  r . Khi đó, cho n  x 0  M . Do n T (M )  f (M ) nên ta có thể chọn x1  M sao r cho f (x1 )  Tx 0 . Vì Tx1  f (M ) nên tồn tại 10 trong (2.2) ta được 1 1 lim S (Tx n 1,Tx n 1,Tx n 1 )  (2r  r )  r n  3 3 Tạp chí Khoa học – 2014, Quyển 3 (2), 7 - 14 Trường Đại học An Giang Do đó Suy ra lim S (Tx n 1,Tx n 1,Tx n 1 )  3r (2.3) lim S (Tx n 1,Tx n 1,Tx n )  0 (2.5) n  Cho n trong (2.1), sử dụng (2.3) và tính liên tục hàm r Tx Tiếp theo, ta chứng minh dãy { n } là dãy , ta được Cauchy. Giả sử ngược lại, khi đó tồn tại 1 3r   (0, 0, 3r ) (2.4) 3 {Tx n (k ) } và {Tx m(k ) } với n(k )  m(k )  k , ta suy ra sao cho với mọi k ta có 0. S (Txm(k ),Txm(k ),Txn (k ) ) và S (Tx m(k ),Txm(k ),Txn (k ) 1 ) Khi đó   S (Txm(k ),Txm(k ),Txn(k ) )  S (Tx n(k ),Tx n(k ),Tx m(k ) )  S (Txm(k )Txm(k ),Txn(k )1 )  2S (Tx n(k ),Tx n(k ),Tx n(k )1 )    2S (Txn(k ),Txn(k ),Txn(k )1 ) (2.6) Cho k k trong (2.6) và sử dụng (2.5) ta được lim S (Txm(k ),Txm(k ),Txn(k ) ) lim S (Txm(k ),Txm(k ),Txn(k ) 1 ) k (2.7) Ta lại có S (Txm(k ),Txm(k ),Txn(k )1 )  2S (Txm(k ),Txm(k ),Txm(k )1 )  S (Txn(k )1,Txn(k )1,Txm(k )1 ) 2S (Txm(k ),Txm(k ),Txm(k ) 1 ) 2S (Tx n(k ) 1,Tx n(k ) 1,Txn(k ) ) S (Txm(k )1,Txm(k )1,Txn (k ) ) 2S (Txm(k ),Txm(k ),Txm(k ) 1 ) 2S (Txn(k ),Txn(k ),Txn(k ) 1 ) 2S (Txm(k ),Txm(k ),Tx m(k )1 )  S (Tx n(k ),Tx n(k ),Tx m(k ) ) (2.8) trong (2.8) và sử dụng (2.5) ta được Cho k k lim S (Tx m(k ) 1,Txm(k ) 1,Txn(k ) ) Do đó lim S (Tx m(k )1,Tx m(k )1,Txn (k ) )   (2.9) k  Mặt khác 0 sao cho từ dãy { n } ta tìm được dãy con Tx Từ (2.4) và tính chất của hàm r n    S (Txm(k ),Txm(k ),Txn(k ) ) 1 2S (fx m(k ), fx m(k ),Tx n (k ) ) 3 S (fx n (k ),Tx m(k ),Tx m(k ) ) S (fxm(k ), fxm(k ),Txn (k ) ), S (fxm(k ), fxm(k ),Txn (k ) ), S (fxn (k ),Txm(k ),Txm (k ) ) 11