Một số ứng dụng của nguyên lý ánh xạ co trong không gian metric

TẠP CHÍ KHOA HỌC<br /> Khoa học Tự nhiên và Công nghệ, Số 10 (9/2017) tr 14 - 21<br /> <br /> MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA NGUYÊN LÝ ÁNH XẠ CO<br /> TRONG KHÔNG GIAN METRIC<br /> Hoàng Tùng Lâm, Hoàng Việt Anh, Nguyễn Bích Ngọc, Đinh Thị Thu Uyên2<br /> Trường Đại học Tây Bắc<br /> Tóm tắt: Bài báo này trình bày ứng dụng của nguyên lý ánh xạ co trong không gian metric giải một lớp<br /> các bài toán tìm điều kiện cho số hạng đầu đối với dãy truy hồi để dãy số đã cho hội tụ. Ngoài ra, nhóm tác giả<br /> nghiên cứu và đánh giá sai số giữa dãy lặp dạng un 1  f (un ) với giới hạn của nó.<br /> Từ khóa: Ánh xạ co, dãy lặp, điểm bất động, không gian metric, sai số, xấp xỉ.<br /> <br /> 1. Mở đầu<br /> Lý thuyết điểm bất động có nhiều ứng dụng trong toán học cũng như trong các ngành<br /> khoa học khác. Điển hình như trong việc chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của trình<br /> vi phân, tích phân,...<br /> Mặt khác, trong nhiều vấn đề của giải tích, việc nghiên cứu sự hội tụ của dãy số nói<br /> chung là một trong những vấn đề đáng quan tâm, đặc biệt là câu hỏi về sự tồn tại giới hạn của<br /> một dãy được cho bởi công thức truy hồi. Như đã biết, việc nghiên cứu sự hội tụ của dãy truy<br /> hồi có nhiều phương pháp khác nhau. Bài báo này tập trung vào nghiên cứu sự tồn tại giới hạn<br /> của dãy số cho bởi công thức truy hồi dựa vào nguyên lý ánh xạ co trong không gian metric<br /> đầy. Một tính chất hữu ích đó là đối với một ánh xạ co trong không gian metric đầy, có thể<br /> tìm được (thông qua giới hạn của dãy lặp) điểm bất động của ánh xạ đã cho. Ngoài ra, nhiều<br /> trường hợp gặp khó khăn trong việc tìm giới hạn của dãy số (mặc dù ta biết dãy đã hội tụ),<br /> điều này đặt ra vấn đề nghiên cứu tốc độ hội tụ cũng như sai số đối với điểm bất động của dãy<br /> lặp đã cho. Phần cuối của bài báo, đền cập đến việc nghiên cứu vấn đề nói trên.<br /> 2. Định lý Banach về điểm bất động trong không gian metric<br /> Một số khái niệm cần thiết và Định lý Banach về ánh xạ co trong không gian metric<br /> ([1], [2]).<br /> Định nghĩa 2.1. Cho f là ánh xạ từ không gian metric (X, d) vào chính nó. Khi đó<br /> ta gọi:<br /> (i) f là ánh xạ co trên X nếu tồn tại số k   0,1 sao cho:<br />  x, y  X , d  f  x  , f  y    kd  x, y  ,<br /> <br /> hằng số k nói trên được gọi là hệ số co.<br /> (ii) f là ánh xạ không giãn trên X nếu:<br /> 2<br /> <br /> Ngày nhận bài: 7/2/2017. Ngày nhận kết quả phản biện: 8/5/2017. Ngày nhận đăng: 20/9/2017<br /> Liên lạc: Hoàng Việt Anh, e - mail: hoangvietanh2000@gmail.com<br /> 14<br /> <br />  x, y  X , d  f  x  , f  y    d  x, y <br /> <br /> (iii) f là ánh xạ co yếu trên X nếu<br />  x, y  X , x  y, d  f  x  , f  y    d  x, y <br /> <br /> (iv) x0  X là điểm bất động của ánh xạ f nếu f  x0   x0 .<br /> Từ đó đưa ra định lý của Stefan Banach về điểm bất động trong không gian metric.<br /> Định lý 2.2. (Banach) Mọi ánh xạ co từ một không gian metric đầy X vào chính nó có<br /> duy nhất một điểm bất động. Hơn nữa, với mọi x0  X dãy lặp<br /> <br />  f  x <br /> n<br /> <br /> 0<br /> <br /> n<br /> <br /> hội tụ tới điểm<br /> <br /> bất động duy nhất của f.<br /> Chứng minh. Tham khảo [1].<br /> Nhận xét 2.3. (i) Từ Định lý 2.2, bài toán ngược được đưa ra như sau. Giả sử đã biết<br /> điểm bất động x * của f. Hãy tìm một dãy xấp xỉ cho x * , từ đó đánh giá sai số của dãy xấp xỉ<br /> đã xây dựng so với x * .<br /> (ii) Tiếp tục theo Định lý 2.2, với mọi x0  X , dãy lặp  f n  x0 <br /> <br /> n<br /> <br /> hội tụ tới điểm bất<br /> <br /> động duy nhất x*  X của f . Đánh giá tốc độ hội tụ về x * của dãy lặp nói trên. Thêm nữa,<br /> với sai số cho trước, hãy ước lượng n bé nhất có thể hay không?<br /> (iii) Trường hợp f là ánh xạ co yếu, có thể thấy Định lý 2.2 không đúng, xét ánh xạ:<br /> f : 1,    1,  <br /> x<br /> <br /> f  x  x <br /> <br /> 1<br /> x<br /> <br /> Rõ ràng X  1,   là không gian đầy và:<br /> <br /> d  f  x  , f  y   | f  x   f  y  || x <br /> | x  y ||1 <br /> <br /> 1<br /> 1<br /> y |<br /> x<br /> y<br /> <br /> 1<br /> |<br /> xy<br /> <br /> | x  y | d  x, y  , x, y  X , x  y.<br /> Tuy nhiên f  x   x, x  X , chứng tỏ f không có điểm bất động trên X .<br /> Như vậy nếu f là ánh xạ co yếu trên không gian metric (thậm chí là đầy) X nói chung<br /> thì f có thể không tồn tại điểm bất động trong X. Tuy nhiên, khi X là không gian metric<br /> compact thì mọi ánh xạ co yếu trong X đều có điểm bất động duy nhất (Định lý 1.2 trong [3]).<br /> Ngoài ra, trong các bài toán được trình bày dưới đây, chỉ xét minh họa không gian<br /> với<br /> metric thông thường. Đồng thời như đã biết, mỗi tập con đóng và bị chặn X <br /> đều là<br /> không gian metric compact với metric cảm sinh bởi metric thông thường trên .<br /> 15<br /> <br /> (iv) Trong Định lý 2.2, ánh xạ f được giả thiết là ánh xạ co. Tuy nhiên, có thể thấy (ví<br /> dụ Hệ quả 1.5 trong [4]) nếu f m  f<br /> <br /> f  f (với m lần tích hợp thành) là ánh xạ co trên<br /> <br /> không gian metric đầy X, với m  1 nào đó thì f cũng có điểm bất động duy nhất x *. Hơn<br /> nữa, với mọi a  X thì f n  a  hội tụ về x *. Như vậy giả thiết f là ánh xạ co chỉ là điều kiện<br /> đủ để f có điểm bất động.<br /> 3. Ứng dụng nguyên lý ánh xạ co xây dựng một số dãy xấp xỉ<br /> 3.1. Tìm điều kiện để dãy số có giới hạn<br /> Xét bài toán (thuộc đề thi Olympic sinh viên toàn quốc năm 2016 môn Giải tích) sau<br /> đây (xem [6]):<br /> Bài toán 1. Cho {un }n<br /> <br /> *<br /> <br /> là dãy số xác định bởi các điều kiện<br /> <br /> u1  a, un1  un   un  2016  ,  n  1<br /> 2<br /> <br /> Hãy tìm tất cả các giá trị thực của a để dãy un n * hội tụ. Từ đó tìm giới hạn của dãy<br /> đã cho khi nó hội tụ.<br /> Trong bài báo này, chúng ta sẽ tìm một hướng giải khác cho bài toán trên bằng cách dựa<br /> trực tiếp vào nguyên lý ánh xạ co nói trên. Cụ thể như sau:<br /> Đặt f  x   x   x  2016 , x <br /> 2<br /> <br /> thì dãy đã cho là một dãy lặp xác định bởi<br /> un1  ( un  , n  1<br /> <br /> Tìm một tập X <br /> <br /> mà trên đó f là ánh xạ co sao cho X là không gian metric đầy của<br /> <br /> . Thật vậy, nếu dãy đã cho hội tụ thì rõ ràng nó là dãy tăng và có giới hạn là 2016. Khi đó<br /> nếu a  2016, từ công thức quy nạp, dãy đã cho không hội tụ. Hơn nữa cũng có thể thấy nếu<br /> a  2015 thì khi đó f  a   2016 và tương tự như trên dãy cũng không hội tụ. Như vậy, nếu<br /> dãy un n * hội tụ thì a   2015, 2016.<br /> Ngược lại, giả sử a   2015, 2016 , thì sẽ chứng minh trong trường hợp này f là ánh xạ<br /> co yếu trên không gian metric đầy X  [2015, 2016]. Như vậy, sẽ có:<br /> <br /> d  f  x  , f  y   f  x   f  y <br />  x  y 1  x  y  2.2016<br />  x  y , x, y  X , x  y.<br /> Trong trường hợp này f là ánh xạ co yếu, tuy nhiên do X   2015, 2016 là không gian<br /> metric compact với metric cảm sinh bởi metric thông thường trên<br /> <br /> , theo Nhận xét 2.3 (iii), tồn<br /> <br /> tại duy nhất một điểm bất động của f trên X   2015, 2016. Đồng thời theo Định lý 2.2, với<br /> 16<br /> <br /> mọi a  X   2015, 2016 , dãy un1  f  un   f n  a  , n  1 đều hội tụ tới điểm bất động<br /> của f . Dễ thấy do f  2016   2016 nên 2016 là điểm bất động duy nhất của f .<br /> Vậy điều kiện cần và đủ để dãy đã cho hội tụ là a   2015, 2016. Hơn nữa, khi đó dãy<br /> đã cho hội tụ tới 2016 với mọi a   2015, 2016.<br /> Bài toán 2. Cho un n<br /> <br /> *<br /> <br /> là dãy số xác định bởi các điều kiện: u1  a , un1  un  un 2 .<br /> <br /> Tìm tất cả các giá trị thực của a để dãy đã cho hội tụ. Từ đó tìm giới hạn của<br /> dãy un n * .<br /> Đặt f  x   x  x 2  x <br /> Tìm tập X <br /> <br />  thì dãy đã cho là dãy lặp xác định bởi un1  f  un   n  1 .<br /> <br /> mà trên đó f là một ánh xạ co và X là không gian metric đầy của<br /> <br /> .<br /> <br /> Thật vậy: Do dãy đã cho giảm nên nếu dãy hội tụ thì rõ ràng giới hạn của nó phải là 0.<br /> Nếu a  0  a  1 thì dãy đã cho không hội tụ.<br /> Thật vậy, từ bảng biến thiên của f trên<br /> <br /> , nếu a  0 thì f  a   0 và do dãy giảm nên<br /> <br /> không thể hội tụ về 0. Trường hợp a  1 thì u1  a  a 2  0, khi đó theo trường hợp trên dãy<br /> đã cho không thể hội tụ. Vậy nếu dãy hội tụ thì a  0;1.<br /> Chứng minh f là ánh xạ co yếu trên không gian metric compact X   0;1 với metric<br /> cảm sinh bởi metric thông thường trên<br /> <br /> . Như vậy, sẽ có:<br /> <br /> d  f  x  , f  y   x  x2  y  y 2<br />  x  y 1  ( x  y)<br />  x y<br />  d  x, y  , x, y  X , x  y<br /> Từ đây tiếp tục theo Nhận xét 2.3 (iii), tồn tại duy nhất một điểm bất động của f trên<br /> X  0;1. Như vậy điều kiện cần và đủ để dãy đã cho hội tụ là a [0,1].<br /> <br /> Với phương pháp nêu trên, bạn đọc có thể tìm lời giải cho lớp các bài toán tương tự<br /> sau đây:<br /> Hãy xác định giá trị của u1  a để dãy cho bởi các trường hợp sau hội tụ:<br /> 1. Với un1  ln 1  un  , n  1.<br /> 2<br /> 2. Với un1  3un  3un  1, n  1.<br /> <br /> 3. Với un1  cos xn , n  1.<br /> 4. Với un1  sin xn , n  1.<br />  un<br /> <br /> e<br /> , n  1.<br /> 5. Với un1  e<br /> <br /> 17<br /> <br /> Như vậy bằng ngôn ngữ của nguyên lý ánh xạ co trong không gian metric đầy, có thể<br /> xây dựng nhiều dạng bài tập cũng như phương pháp giải các bài tập này một cách ngắn gọn<br /> và độc đáo.<br /> 3.2. Xây dựng một số dãy xấp xỉ<br /> Giả sử  là một hàm khả vi sao cho  '  0 trên tập X  . Khi đó xét hàm số:<br /> f  x  x <br /> <br />   x<br /> ,<br />  ' x<br /> <br /> trên tập xác định nói trên. Rõ ràng x0  X là nghiệm của phương trình   x   0 khi và chỉ<br /> khi x0 là điểm bất động của f. Như vậy nếu f là ánh xạ co trên không gian metric đầy X thì theo<br /> Định lý 2.2, với mọi x0  X sẽ có dãy lặp f n  x0  , n  1 hội tụ tới điểm bất động x* của f, đồng<br /> nghĩa với dãy lặp nói trên hội tụ tới nghiệm x* của   x   0. Như vậy, nếu chưa biết nghiệm<br /> <br /> x* của   x   0 thì có thể xấp xỉ x* bởi dãy lặp theo f . Ngược lại, nếu đã biết nghiệm x* thì<br /> có thể xây dựng được một dãy để sao cho dãy hội tụ tới x* đã biết, từ đó có thể đánh giá sai số<br /> cũng như tốc độ hội tụ về x* của dãy đã xét. Xét ví dụ minh họa đơn giản sau đây:<br /> Bài toán 3. Xét   x   x 2  x  1. Khi đó   x   0 có hai nghiệm phân biệt trái dấu. Giả<br /> sử nghiệm dương của   x  là x* . Xây dựng một dãy xấp xỉ cho x* .<br /> Thật vậy, trước hết theo định nghĩa, có dãy lặp ứng với hàm f  x   x <br /> cho bởi: xn  xn1 <br /> <br /> xn21  xn1  1 xn21  1<br /> <br /> .<br /> 2 xn1  1<br /> 2 xn1  1<br /> <br /> x2  1<br /> Nói cách khác, đây là dãy lặp của hàm f  x  <br /> .<br /> 2x 1<br /> <br /> Mặt khác ta có với x, y  1,  :<br /> <br />  x2  1   y 2  1 <br /> d  f  x  , f  y   <br /> <br /> <br />  2x 1   2 y 1 <br /> 1 <br />   1 <br /> <br /> 1<br /> 5<br /> 1<br /> 5<br />    x  <br />      y  <br /> <br /> 2 2  2 x  1    2 <br /> 2 2  2 y  1  <br />  2 <br /> <br /> <br /> 1<br /> 5<br />  x  y 1<br /> 2<br />  2 x  1 2 y  1<br /> <br /> 1<br /> x y<br /> 2<br /> 1<br />  d  x, y  .<br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> 18<br /> <br />   x<br /> được<br />  ' x<br /> <br />