Giáo trình Giải tích hàm - Nguyễn Hoàng (Dành cho Học viên Cao học các chuyên ngành Toán)

Chia sẻ: Hương Hoa Cỏ Mới | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:159

Thêm vào BST

Báo xấu

55
lượt xem 17
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giáo trình Giải tích hàm cung cấp cho người học những kiến thức như: Không gian tuyến tính định chuẩn; các nguyên lý cơ bản của giải tích hàm và không gian liên hiệp; không gian Hilbert; toán tử compact và phổ của toán tử. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Giải tích hàm - Nguyễn Hoàng (Dành cho Học viên Cao học các chuyên ngành Toán)

ĐẠI HỌC HUẾ Trường Đại học Sư phạm NGUYỄN HOÀNG GIÁO TRÌNH GIẢI TÍCH HÀM (Dành cho Học viên Cao học các chuyên ngành Toán) Huế, tháng 3 năm 2014
i `.I GIO LO ´.I THIE ˆ. U Gia’i tı´ch ha`m la` mˆo.t nha´ nh cu’a gia’i tı´ch toa´ n ho.c nghiˆen c´ u.u ca ´ c d¯ˆo´i tu.o..ng va` cˆa´u tru ´ c toa ´ n ho.c tr`u.u tu.o..ng, tˆo’ng qua ´ t ho.n nh˜ u.ng con sˆo´ hay khˆong gian to.a d¯ˆo. Rn , ch˘a’ng ha.n ca ´ c ha`m sˆo´ va` khˆong gian ha`m. Ca ´ c kˆ´et qua’ va` phu.o.ng pha ´ p cu’a no ´ thˆam nhˆa.p va`o nhiˆ `eu nga`nh kha ´ c nhau nhu. ly ´ thuyˆ ´et phu.o.ng trı`nh vi phˆan thu.`o.ng, phu.o.ng trı`nh d¯a.o ha`m riˆeng, ly ´ thuyˆ ´et ca ´ c ba`i toa ´ n cu..c tri. va` biˆ ´en phˆan, phu.o.ng pha ´ p tı´nh,... Ra d¯`o.i va`o nh˜ u.ng n˘am d¯`ˆau cu’a thˆ ´e ky’ 20, d¯´ˆen nay gia’i tı´ch ha`m tı´ch lu ˜ y d¯u.o..c nh˜u.ng tha`nh tu..u quan tro.ng va` no ´ d¯˜a tro’. tha`nh chuˆa’n mu..c trong viˆe.c nghiˆen c´ u.u va` trı`nh ba`y ca´ c kiˆ´en th´ u.c toa´ n ho.c. - ˆay la` mˆo.t trong nh˜ D u.ng mˆon ho.c co. ba’n da`nh cho tˆa´t ca’ ho.c viˆen ca´ c l´o.p cao ho.c nga`nh toa ´ n ho.c o’. Khoa Toa´ n, Tru.`o.ng d¯a.i ho.c Su. pha.m, D- a.i ho.c Huˆ ´e cho du` sau d¯´o ho. theo ho.c nh˜ . u ng chuyˆen nga`nh kha ´ c nhau. Ta´ c gia’ c˘an c´ u. va`o chu.o.ng trı`nh d¯a`o ta.o cao ho.c hiˆe.n ha`nh, ho.c phˆ `an Gia’i tı´ch ha`m d¯ˆe’ viˆ ´et nˆen gia ´ o trı`nh na`y. Nˆo.i dung gˆ `om 4 chu.o.ng ly ´ thuyˆ ´et. Hai . . chu o ng d¯`ˆau da`nh cho viˆe.c trı`nh ba`y nh˜ . u ng kiˆ ´en th´ u c d¯a.i cu o ng cu`ng v´o.i mˆo.t . . . sˆo´ vı´ du., hı`nh mˆa˜u cu’a khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n, ca ´ c toa´ n tu’. tuyˆ ´en tı´nh liˆen tu.c va` mˆo.t sˆo´ ca ´ c d¯i.nh ly ´ quan tro.ng cu’a gia’i tı´ch ha`m tuyˆ ´en tı´nh. Ca ´ c chu.o.ng co`n la.i xe ´ c vˆa´n d¯`ˆe cu. thˆe’ ho.n nhu. khˆong gian Hilbert va` ca ´ t ca ´ c tı´nh chˆa´t d¯˘a.c . tru ng cu’a toa . ´ n tu’ tuyˆ ´en tı´nh liˆen tu.c. Ca ´ c nˆo.i dung na`y cung cˆa´p ´y tu.o’.ng, kˆ ´et qua’, ca ´ ch diˆ˜e n d¯a.t va` ´y nghı˜a cu’a nh˜ u.ng kha ´ i niˆe.m tˆo’ng qua ´ t, tr`u.u tu.o..ng cu’a nga`nh gia’i tı´ch. Chu ´ ng tˆoi cho.n lo.c va` trı`nh ba`y ca ´ c vˆa´n d¯`ˆe theo hu.´o.ng co. ba’n va` tinh gia’n, giu ´ p ho.c viˆen co ´ ca´ i nhı`n nhˆa´t qua ´ n d¯ˆo´i v´o.i ca´ c bˆo. mˆon gia’i tı´ch d¯˜a ho.c tru.´o.c d¯´o . Tuy nhiˆen d¯ˆay cu ˜ ng la` kiˆ´en th´ u.c mo’. d¯u.`o.ng d¯ˆe’ d¯i va`o nh˜ u.ng nˆo.i dung ph´ u.c ta.p, chuyˆen sˆau cu’a ca ´ c chuyˆen nga`nh he. p trong gia’i tı´ch nhu. gia’i tı´ch khˆong tro.n, gia’i tı´ch phi tuyˆ ´en, ba`i toa ´ n tˆo´i u.u, . . . Gia´ o trı`nh na`y viˆ ´et ra trˆen co. so’. Ba`i gia’ng Gia’i tı´ch ha`m d¯˜a gia’ng cho ho.c viˆen nhiˆ `eu kho´ a tru.´o.c d¯ˆay. Chu ´ a, bˆo’ sung kha ´ ng tˆoi hˆe. thˆo´ng ho `eu nˆo.i ´ nhiˆ ´.ng chu.o.ng trı`nh cao ho.c hiˆe.n ha`nh d¯`ˆong th`o.i t˘ang cu.`o.ng ca dung d¯ˆe’ d¯´a p u ´ c ba`i tˆa.p kho´ , thu´ vi.. M˘a.c du` nhiˆ `eu kiˆ ´en th´u c o’ d¯ˆay ho.c viˆen d¯˜a g˘a.p trong chu.o.ng . . trı`nh d¯a.i ho.c nhu.ng d¯ˆe’ hiˆe’u sˆau s˘a´c, biˆ ´et ca ´ ch vˆa.n du.ng va`o ca ´ c mˆon ho.c kha ´ c, . . nhˆa´t la` pha’i gia’i d¯u o. c nh˜ . u ng ba`i tˆa.p “khˆong qua ´ kho ´ ”, ho.c viˆen cˆ`an pha’i ho.c
ii tˆa.p nghiˆem tu ´ c, ch˘am chı’ . Ca ´en th´ ´ c kiˆ u.c vˆ`e khˆong gian mˆetric, tˆo pˆo, ly ´ thuyˆ ´et d¯ˆo. d¯o, tı´ch phˆan Lebesgue cu . ˜ ng nhu mˆo.t sˆo´ ky˜ n˘ang tı´nh toa ´ n cu’a gia’i tı´ch cˆo’ d¯iˆe’n cˆ`an pha’i ˆon tˆa.p thu.`o.ng xuyˆen. D - ˆe’ giu ´ p ho.c viˆen vˆa.n du.ng kiˆ ´en th´ u.c d¯˜a ho.c va` dˆ ˜e d¯i.nh hu.´o.ng khi la`m toa ´ n, phˆ`an l´o.n ba`i tˆa.p d¯u.o..c s˘a´p xˆ ´ep o’. cuˆo´i mˆo˜i mu.c tu.o.ng u ´.ng cu’a ca´ c chu.o.ng. Ngu.`o.i biˆen soa.n xin chˆan tha`nh ca ´ m o.n ca ´ c d¯`ˆong nghiˆe.p o’. Tˆo’ Gia’i tı´ch Khoa Toa ´ n, Tru.`o.ng d¯a.i ho.c Su. pha.m, D - a.i ho.c Huˆ ´e d¯˜a d¯´o ng go ´ p ´y kiˆ´en va` ta.o d¯iˆ ´ o trı`nh na`y ra d¯`o.i. Ta `eu kiˆe.n d¯ˆe’ gia ´ c gia’ cu ˜ ng xin ca ´ m o.n nhiˆ `eu ho.c viˆen d¯˜a co´ nh˜ . u ng pha’n hˆ `oi h˜. u u ´ch ı trong qua ´ trı`nh ho.c tˆa.p, nghiˆen c´ u.u bˆo. mˆon. Chu ´ ng tˆoi mong nhˆa.n d¯u.o..c nh˜ u.ng phˆe bı`nh, go ´ o trı`nh na`y d¯u.o..c ´ p ´y d¯ˆe’ tˆa.p gia bˆo’ sung va` ca’i tiˆ ´en tˆo´t ho.n. Ngu.` o.i biˆ en soa.n
1 MU . C LU .C o.i gi´ L` o.i thiˆ e.u . . . . . . . . . . . . . . . . . . i Mu.c lu.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chu.o.ng 1. Khˆ ´ ong gian tuyˆ en tı ´nh d a’n ¯i.nh chuˆ ´en tı´nh §1. Khˆong gian tuyˆ . . . . . . . . . . . . . . 3 §2. Khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n . . . . . . . . . . . . 15 §3. Mˆo.t sˆo´ ca ´ c khˆong gian ha`m . . . . . . . . . . . 28 §4. Toa´ n tu’. tuyˆ´en tı´nh liˆen tu.c . . . . . . . . . . . 41 §5. Khˆong gian h˜ u.u ha.n chiˆ`eu . . . . . . . . . . . . 51 Chu.o.ng 2. Ca ´ c nguyˆ ´ co. ba’n cu’a en ly gia’i tı ´ch ha `m va ` khˆ ong gian liˆ en hiˆ e.p ´ bi. ch˘a.n d¯`ˆeu §1. Nguyˆen ly . . . . . . . . . . . . . 57 ´ ´a nh xa. mo’. §2. Nguyˆen ly . . . . . . . . . . . . . 59 - i.nh ly §3. D ´ Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . 63 §4. Khˆong gian liˆen hiˆe.p . . . . . . . . . . . . . 69 ´ n tu’. liˆen hiˆe.p §5. Toa . . . . . . . . . . . . . . 82 §6. Co. so’. Schauder cu’a khˆong gian Banach . . . . . . . 85 ´eu va` su.. hˆo.i tu. yˆ §7. Tˆopˆo yˆ ´eu . . . . . . . . . . . . 90 Chu.o.ng 3. Khˆ ong gian Hilbert §1. Kha ´ i niˆe.m khˆong gian Hilbert . . . . . . . . . . 96 ´ i niˆe.m tru..c giao-Chuˆo˜i Fourier §2. Kha . . . . . . . . . 104 §3. Khˆong gian liˆen hiˆe.p . . . . . . . . . . . . . 119 §4. Toa´ n tu’. liˆen hiˆe.p trong khˆong gian Hilbert . . . . . . 122 ´ n tu’. tu.. liˆen hiˆe.p §5. Mˆo.t sˆo´ toa . . . . . . . . . . . 128
2 Chu.o.ng 4. Toa ´ n tu’. compact va ´ n tu’. o’ cu’a toa ` phˆ ´ n tu’. compact §1. Toa . . . . . . . . . . . . . . 135 ´ n tu’. liˆen tu.c §2. Phˆo’ cu’a toa . . . . . . . . . . . . 140 ´ n tu’. compact tu.. liˆen hiˆe.p trong khˆong gian Hilbert §3. Toa . . . 144 ´.ng du.ng va`o phu.o.ng trı`nh tı´ch phˆan . . . . . §4. U . . . 152 T` e.u tham kha’o . ai liˆ . . . . . . . . . . . . . . . 155 Chı’ mu.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
3 Chu.o.ng 1 ˆ KHONG ˆ´N T´INH D GIAN TUYE ˆ’ N - I.NH CHUA Stefan Banach (1892-1945), ngu.` o.i sa ´ ng lˆ `nh Gia’ i tı´ch ha a.p ra nga `m Khˆong gian tuyˆe´n t´ınh (hay khˆong gian vecto.) l`a mˆo.t trong nh˜ u.ng kh´ai niˆe.m quan tro.ng v`a co. ba’n cu’a to´an ho.c hiˆe.n d¯a.i. C´ac vˆa´n d¯`ˆe cu’a d¯a.i sˆo´ tuyˆe´n t´ınh nhu. l´ y thuyˆe´t d¯.inh th´ u.c, ma trˆa.n, hˆe. phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh, . . . d¯u.o..c ph´at biˆe’u v`a tr`ınh b`ay mˆo.t c´ach nhˆa´t qu´an theo ngˆon ng˜ u. v`a cˆa´u tr´ uc cu’a khˆong . gian vecto . Trong gia’i tı´ch cˆo’ d¯iˆe’n, ca ´ c phe ´ n sˆo´ ho.c cu ´ p toa . ˜ ng nhu khoa’ng ca ´ ch gi˜ . u a ca´ c phˆ . `an tu’ trong ca . n . ´ c tˆa.p sˆo´ thu. c R hay R d¯u o. c xa . ´ c d¯.inh mˆo.t ca ´ ch kha ´ . . . . . tu. nhiˆen nhu ng bu ´o c v`ao c´ac l˜ınh vu. c kh´ac, ch˘a’ng ha.n l´ . . y thuyˆe´t phu o ng tr`ınh vi phˆan, phu.o.ng tr`ınh t´ıch phˆan, khi pha’i thu.`o.ng xuyˆen l`am viˆe.c v´o.i d¯ˆo´i tu.o..ng la` ca ´ c h`am sˆo´ ta cˆ `an xˆay du..ng c´ac cˆa´u tr´ uc khˆong gian d¯a.i sˆo´ phu` ho..p d¯ˆe’ thu..c hiˆe.n ca ´ c phe ´ p toa ´ n trˆen tˆa.p c´ac h`am sˆo´ d¯´o. M˘a.t kha ´ c, d¯ˆe’ c´o thˆe’ l`am to´an gia’i t´ıch d¯u.o..c trˆen c´ac khˆong gian ˆa´y, ta pha’i d¯u.a cˆa´u tr´ uc mˆetric v`ao cho ch´ ung. Tuy nhiˆen nˆe´u nghiˆen c´ . u u riˆeng r˜e cˆa´u tr´ . uc khˆong gian vecto v`a cˆa´u tr´ uc khˆong gian mˆetric trˆen cu ˜ ng mˆo.t tˆa.p nˆ `en cho tru.´o.c th`ı s˜e khˆong thu d¯u.o..c d¯iˆ `eu g`ı m´o.i. Ta hy vo.ng r˘`a ng (va` thu..c tˆ ´e d¯˜a nhu. vˆa.y), v´o.i su.. kˆe´t ho..p nhˆa´t d¯.inh gi˜ u.a hai cˆa´u tr´ uc n`ay th`ı c´ac vˆa´n d¯`ˆe nghiˆen c´ u.u c`ung nh˜ u.ng kˆe´t qua’ m´o.i s˜e xuˆa´t hiˆe.n nhiˆ `eu ho.n. Nˆ ´eu trong D - a.i sˆo´ tuyˆ ´en tı´nh ngu.`o.i ta thu.`o.ng xe ´ t d¯´ˆen ca ´ c khˆong gian tuyˆ ´en tı´nh h˜ u.u ha.n chiˆ `eu thı` trong Gia’i tı´ch ha`m, ca ´ c khˆong gian tuyˆ ´en tı´nh vˆo ha.n chiˆ `eu la` ca´ c d¯ˆo´i tu.o..ng d¯u.o..c quan tˆam d¯˘a.c biˆe.t. C´ac nˆo.i dung no ´ i trˆen s˜e d¯u.o..c tr`ınh b`ay lˆ `an lu.o..t qua c´ac chu.o.ng, mu.c cu’a ´ o trı`nh n`ay. Chu.o.ng 1 mo’. d¯`ˆau bo’.i mu.c §1 da`nh cho viˆe.c ˆon la.i c´ac kh´ai tˆa.p gia
4 ´et liˆen quan d¯ˆe´n khˆong gian vecto.. Ca niˆe.m v`a t´ınh chˆa´t d¯˜a biˆ ´ c mu.c kha ´ c la` nˆo.i . . . dung m´o i cu’a chu o ng na`y. ˆ §1. KHONG ˆ´N T´INH GIAN TUYE - i.nh ngh˜ıa. Mˆo.t khˆ 1.1 D ong gian tuyˆ ´en tı´nh hay khˆ ong gian vecto. X trˆen tru.`o.ng K l`a mˆo.t tˆa.p ho..p kh´ac trˆo´ng X, c´o trang bi. hai ph´ep to´an cˆo.ng (+) v`a ph´ep nhˆan ngo`ai (nhˆan vˆo hu.´o.ng) nghiˆe.m d¯u ´ng c´ac tiˆen d¯`ˆe sau: 1. (X, +) l`a mˆo.t nh´om Abel, ngh˜ıa l`a: v´o.i mˆo˜i c˘a.p phˆ `an tu’. cu’a X, ((x, y) ∈ X × X) cho u ´.ng v´o.i mˆo.t phˆ `an tu’. cu’a X k´y hiˆe.u x + y, go.i l`a tˆo’ng cu’a x v`a y, thoa’ m˜an a) x + y = y + x, v´o.i mo.i x, y ∈ X. b) (x + y) + z = x + (y + z), v´o.i mo.i x, y, z ∈ X. `an tu’. 0 ∈ X, go.i l`a phˆ `on ta.i phˆ c) Tˆ `an tu’. khˆong sao cho ∀x ∈ X, x + 0 = 0 + x = x. d) V´o.i mo.i x ∈ X tˆ `an tu’. k´ `on ta.i mˆo.t phˆ y hiˆe.u −x, go.i l`a phˆ `an tu’. d¯ˆ o´i cu’a x sao cho x + (−x) = 0. 2. X c` ung ph´ep nhˆan vˆo hu.´o.ng trˆen X, t´ u.c l`a mˆo˜i c˘a.p (α, x) ∈ K × X u ´.ng v´o.i mˆo.t phˆ `an tu’. cu’a X, k´y hiˆe.u αx, thoa’ m˜an a) α(x + y) = αx + αy v´o.i mo.i α ∈ K, x, y ∈ X. b) (α + β)x = αx + βx v´o.i mo.i α, β ∈ K, x ∈ X. c) α(βx) = (αβ)x, α, β ∈ K, x ∈ X. d) 1x = x, ∀x ∈ X. C´ac phˆ `an tu’. cu’a X go.i l`a c´ac vecto., co`n α ∈ K go.i l`a vˆo hu.´o.ng. Trong gi´ao tr`ınh n`ay ta chı’ l`am viˆe.c v´o.i tru.`o.ng K l`a R (tru.`o.ng c´ac sˆo´ thu..c) ho˘a.c C (tru.`o.ng c´ac sˆo´ ph´ u.c). 1.2 V´ı du.. 1. Tˆa.p ho..p K n = K . . × K} v´o.i c´ac ph´ep to´an cˆo.ng v`a nhˆan vˆo hu.´o.ng: | × .{z `an n lˆ x + y = (x1 + y1 , . . . , xn + yn ), αx = (αx1 , . . . , αxn ),
5 trong d¯´o α ∈ K, x = (x1 , . . . , xn ) ∈ K n , y = (y1 , . . . , yn ) ∈ K n l`a mˆo.t khˆong gian vecto.. D - a˘. c biˆe.t khi n = 1 th`ı K l`a mˆo.t khˆong gian vecto. trˆen ch´ınh n´o. 2. Tˆa.p ho..p c´ac d¯a th´ u.c mˆo.t biˆe´n thu..c trˆen R, k´ y hiˆe.u l`a P v´o.i ph´ep cˆo.ng hai d¯a th´ u.c, ph´ep nhˆan mˆo.t sˆo´ v´o.i d¯a th´ u.c d¯u.o..c x´ac d¯i.nh theo c´ach thˆong thu.`o.ng c˜ ung l`a mˆo.t khˆong gian vecto. trˆen tru.`o.ng R. 3. Tˆa.p ho..p tˆa´t ca’ c´ac h`am sˆo´ thu..c ho˘a.c ph´ u.c x´ac d¯i.nh trˆen mˆo.t tˆa.p A kh´ac trˆo´ng v´o.i c´ac ph´ep to´an ∀x ∈ A, (f + g)(x) = f (x) + g(x), (λf )(x) = λf (x), l`a mˆo.t khˆong gian vecto., ta k´ y hiˆe.u l`a F(A). 4. Tˆa.p ho..p c´ac d˜ay sˆo´ thu..c (ho˘a.c ph´ u.c) v´o.i c´ac ph´ep cˆo.ng v`a ph´ep nhˆan vˆo hu.´o.ng d¯u.o..c x´ac d¯i.nh theo c´ach thˆong thu.`o.ng lˆa.p th`anh khˆong gian vecto., k´ y hiˆe.u l`a s. Thˆa.t ra, theo k´ y hiˆe.u o’. v´ı du. 3, ta c´o s = F(N), v´o.i N l`a tˆa.p c´ac sˆo´ tu.. nhiˆen. 1.3 Tˆ o’ ho..p tuyˆ e´n t´ınh - Co. so’. Hamel. 1.3.1 Gia’ su’. X l`a mˆo.t khˆong gian vecto. v`a x1 , x2 , . . . , xn l`a c´ac vecto. thuˆo.c X. Tˆo’ng n X α1 x1 + · · · + αn xn = αi xi , i=1 trong d¯´o c´ac αi ∈ K d¯u.o..c go.i l`a mˆo.t tˆ o’ ho..p tuyˆe´n t´ınh cu’a c´ac vecto. x1 , . . . , xn v´o.i c´ac hˆe. sˆ o´ α1 , . . . , αn . Cho M l`a mˆo.t tˆa.p con cu’a X. Ta go.i M l`a mˆo.t tˆa.p ho..p d¯ˆ a.p tuyˆe´n t´ınh o.c lˆ nˆe´u mo.i tˆa.p h˜ u.u ha.n ca `an tu’. {x1 , . . . , xn } ⊂ M va` ca ´ c phˆ ´ c sˆo´ α1 , . . . , αn ∈ K, ´eu nˆ X n αi xi = 0 th`ı αi = 0, i = 1, . . . , n, i=1 trong d¯´o n l`a sˆo´ tu.. nhiˆen bˆa´t k` y. Tru.`o.ng ho..p M khˆong pha’i l`a d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh th`ı ta go.i M l`a phu. thuˆ o.c tuyˆe´n t´ınh. 1.3.2 Cho B l`a mˆo.t tˆa.p con kh´ac trˆo´ng cu’a khˆong gian vecto. X. Tˆa.p B d¯u.o..c go.i l`a mˆo.t co. so’. (hay co. so’. Hamel) cu’a X nˆe´u
6 a) B l`a mˆo.t tˆa.p ho..p d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh. b) B sinh ra X, ngh˜ıa l`a v´o.i mo.i x ∈ X, x l`a mˆo.t tˆo’ ho..p tuyˆe´n t´ınh cu’a u.u ha.n c´ac phˆ mˆo.t sˆo´ h˜ `an tu’. cu’a B : n X ∀x ∈ X ∃ α1 , . . . , αn ∈ K; x1 , . . . , xn ∈ B : x= αi xi (1.2) i=1 1.3.3 Mˆ e.nh d`e. Gia’ su’. B l` ¯ˆ o.t co. so’. cu’ a khˆ a mˆ ong gian vecto. X. Khi d¯´ o ˜e n cu’ a vecto. x ∈ X cho bo’.i (1.2) d¯u.o..c x´ biˆe’u diˆ ac d¯.inh mˆo.t c´ a´t. ach duy nhˆ Ch´ u ´y. Trong ph´at biˆe’u cu’a mˆe.nh d¯`ˆe n`ay ta qui u.´o.c r˘a` ng, o’. tˆo’ng (1.2) c´ac vecto. xj kh´ac nhau t` u.ng d¯ˆoi mˆo.t, khˆong co´ m˘a.t c´ac ha.ng tu’. da.ng 0xj v`a ho.n u.a, do tı´nh chˆa´t giao hoa n˜ ´ n cu’a phe ´ p + nˆen ta khˆong tı´nh d¯´ˆen th´ u. tu.. cu’a c´ac ha.ng tu’.. u.ng minh. Gia’ su’. c´o hai c´ach biˆe’u diˆ Ch´ ˜e n kh´ac nhau: x = α1 x1 + · · · + αn xn = β1 y1 + · · · + βm ym , v´o.i αi 6= 0, βj 6= 0, i = 1, . . . , n, j = 1 . . . , m. Ta loa.i bo’ c´ac ha.ng tu’. αj xj v`a βk yk o’. hai vˆe´ nˆe´u αj = βk v`a xj = yk . L´ uc . d¯´o c´ac ha.ng tu’ αj xj v`a βk yk c`on la.i s˜e xa’y ra ho˘a.c xj 6= yk ho˘a.c nˆe´u xj = yk th`ı αj 6= βk . Chuyˆe’n vˆ `e mˆo.t vˆe´ c´ac ha.ng tu’. d¯´o v`a viˆe´t la.i th`anh µ1 v1 + · · · + µr vr = 0, 0 < r ≤ n + m. Do B l`a mˆo.t tˆa.p ho..p d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh nˆen µ1 = · · · = µr = 0. D - iˆ `eu n`ay vˆo l´y v`ı mˆo˜i µl pha’i l`a αj ho˘a.c βk thı` kh´ac khˆong ho˘a.c µl = αj − βk 6= 0. Bˆay gi`o. gia’ su’. B l`a mˆo.t co. so’. cu’a khˆong gian vecto. X v`a B l`a tˆa.p h˜ u.u ha.n c´o k phˆ `an tu’.. Khi d¯´o mo.i tˆa.p con d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh cu’a X c´o tˆo´i d¯a k phˆ `an tu’. (H˜ay ch´ u.ng minh d¯iˆ `eu d¯´o nhu. la` ca ´en th´ ´ ch ˆon la.i kiˆ u.c cu’a d¯a.i sˆo´ tuyˆ´en tı´nh!) L´ uc n`ay ta n´oi X l`a khˆ ong gian h˜ . u u ha.n chiˆ `eu, sˆo´ phˆ . `an tu’ cu’a B gˆ `om k phˆ `an tu’. d¯u.o..c go.i l`a sˆo´ chiˆ `eu cu’a X v`a k´ y hiˆe.u l`a dim X = k. Nˆe´u X khˆong pha’i l`a khˆong gian h˜ u.u ha.n chiˆ`eu th`ı ta go.i n´o l`a khˆ ong gian vˆ o ha.n chiˆ `eu v`a viˆe´t dim X = ∞. - ˆe’ nhˆa.n biˆe´t B l`a co. so’. cu’a khˆong gian vecto. Cho B l`a tˆa.p con cu’a X. D X, ta c`on c´o:
7 - i.nh l´ 1.3.4 D y. Tˆ a.p ∅ =6 B ⊂ X l` a co. so’. cu’ a khˆ ong gian vecto. X khi v` a chı’ khi B l`a tˆ . a.p ho. p d¯ˆ a.p tuyˆe´n t´ınh tˆ o.c lˆ o´i d¯a.i (ngh˜ıa l`a B d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh v`a nˆe´u M % B th`ı M phu. thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh). u.ng minh. Ch´ - iˆ a) D `an. Cho M % B. Gia’ su’. x ∈ M v`a x ∈ `eu kiˆe.n cˆ / B. Khi d¯´o theo d¯.inh ngh˜ıa co. so’., pha’i c´o x1 , . . . , xn ∈ B, α1 , . . . , αn ∈ K sao cho n X n X x= αi xi hay αi xi − 1x = 0. i=1 n=1 Hˆe. {x1 , . . . , xn , x} phu. thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh nˆen M phu. thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh. b) D `eu kiˆe.n d¯u’. V´o.i x ∈ X, nˆe´u x ∈ B th`ı x = 1x. Nˆe´u x ∈ - iˆ / B th`ı do B ∪ {x} phu. thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh nˆen tˆ . `on ta.i mˆo.t tˆo’ ho. p tuyˆe´n t´ınh α1 x1 + · · · + αn xn = 0 sao cho tˆa´t ca’ c´ac α1 , . . . , αn khˆong d¯`ˆong th`o.i b˘a` ng khˆong. Trong c´ac vecto. xi n`ay pha’i c´o m˘a.t vecto. x, ch˘a’ng ha.n x = x1 v`a khi d¯´o α1 6= 0 v`ı nˆe´u khˆong pha’i nhu. vˆa.y th`ı B s˜e phu. thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh. Do d¯´o x = x1 = −(α−1 −1 1 α2 x2 + · · · + α1 αn xn ). Vˆa.y B l`a mˆo.t co. so’. cu’a X. 1.3.5 D - i.nh l´ y. Gia’ su’. X l` a mˆ o.t khˆong gian vecto. v` a∅= 6 M l` a mˆ o.t tˆa.p . ho. p d¯ˆ o.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh trong X. L´ uc d¯´ `on ta.i mˆ o tˆ . . o.t co so’ B cu’ a X sao cho B ⊃ M. No ´ i ca ´ ch kha ´ thˆe’ bˆo’ sung ca ´ c, ta co ´ c vecto. va`o mˆo.t tˆa.p con d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆ ´en . . tı´nh cu’a X d¯ˆe’ ta.o ra mˆo.t co so’ cu’a khˆong gian vecto X. . Ch´ u.ng minh. K´ y hiˆe.u F l`a tˆa.p ho..p tˆa´t ca’ c´ac tˆa.p ho..p N d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh trong X ch´ u.a M . Khi d¯´o F 6= ∅ v`ı M ∈ F. Ta d¯i.nh ngh˜ıa quan hˆe. th´ u. tu.. trˆen F nhu. sau: v´o.i N1 , N2 ∈ F, N1 ≤ N2 khi v`a chı’ khi N1 ⊂ N2 . Gia’ su’. A ⊂ F l`a mˆo.t tˆa.p con s˘a´p th˘a’ng cu’a F. Ta d¯˘a.t N0 b˘a` ng ho..p cu’a tˆa´t ca’ c´ac tˆa.p N thuˆo.c A. L´ uc d¯´o N0 l`a mˆo.t cˆa.n trˆen cu’a A. Do F thoa’ m˜an c´ac gia’ thiˆe´t cu’a bˆo’ d¯`ˆe Zorn nˆen trong F tˆ `on ta.i mˆo.t phˆ `an tu’. tˆo´i d¯a.i B. Vˆa.y B l`a co. so’. pha’i t`ım. ong gian vecto. X 6= {0} d¯`ˆeu tˆ e. qua’. Mo.i khˆ 1.3.6 Hˆ `on ta.i co. so’..
8 u.ng minh. Lˆa´y x ∈ X, x 6= 0 v`a d¯˘a.t M = {x} rˆ Ch´ - i.nh l´ `oi ´ap du.ng D y 1.3.5. 1.4 Phe ´ p toa ´ n trˆ en ca a.p con cu’a khˆ ´ c tˆ ong gian vecto.. 1.4.1 D - .inh nghı˜a. Cho X la` mˆo.t khˆong gian vecto., M, N la` 2 tˆa.p con ´ c trˆo´ng cu’a X va` α ∈ K. Ta d¯i.nh nghı˜a ca kha ´ c tˆa.p m´o.i nhu. sau: a) M + N = {z = m + n | m ∈ M, n ∈ N } b) αM = {z = αx | x ∈ M }. c) (−1)M = −M, M − N = M + (−N ). Dı˜ nhiˆen M ± N va` αM la` ca ´ c tˆa.p con cu’a X va` M + N = N + M. 1.4.2 Nhˆ a.n xe ´ t. V´o.i mo.i M ⊂ X ta co ´ 2M ⊂ M + M nhu.ng d¯iˆ `eu ngu.o..c ´ i chung khˆong d¯´u ng. Do d¯´o v´o.i ca la.i no ´ c phe ´ p toa u.a d¯i.nh nghı˜a o’. trˆen, tˆa.p ´ n v` P ∗ (X) = P(X) \ ∅ du` khˆong co ´ cˆa´u tru´ c cu’a khˆong gian vecto. nhu.ng cu ˜ ng kha ´ . ´ c vˆa´n d¯`ˆe kha thuˆa.n lo. i trong viˆe.c trı`nh ba`y ca ´ c. 1.4.3 D - i.nh nghı˜a. Cho X la` mˆo.t khˆong gian vecto. va` M ⊂ X. Ta co ´ ca ´c kha ´ i niˆe.m sau: Tˆa.p M ⊂ X d¯u.o..c go.i la` mˆo.t tˆ `oi nˆ a.p lˆ ´eu ∀λ ∈ [0, 1], λM + (1 − λ)M ⊂ M. ´eu M ⊂ X tho’a ma Co`n nˆ ˜ n tı´nh chˆa´t ∀λ ∈ K, |λ| ≤ 1 : λM ⊂ M, thı` M d¯u.o..c go.i la` mˆo.t tˆ an (hay cˆan d¯ˆo´i). a.p cˆ Ngoa`i ra, tˆa.p M ⊂ X d¯u.o..c go.i la` mˆo.t tˆ ´eu v´o.i mo.i x ∈ X, tˆ a´p thu. nˆ a.p hˆ `on ta.i λ > 0 sao cho v´o.i mo.i α ∈ K, |α| ≥ λ thı` x ∈ αM. ong gian vecto. con. 1.5 Khˆ 1.5.1 D - i.nh ngh˜ıa. Cho X l`a mˆo.t khˆong gian vecto. v`a M l`a mˆo.t tˆa.p con kh´ac trˆo´ng cu’a X. Gia’ su’. c´ac ph´ep to´an cˆo.ng v`a nhˆan vˆo hu.´o.ng trˆen X khi thu he.p la.i trˆen M c˜ ung l`am cho M th`anh mˆo.t khˆong gian vecto.. Lu ´ c d¯´o ta go.i M l`a mˆo.t khˆ . ong gian vecto con (hay go.i t˘a´t la` khˆong gian con) cu’a X. 1.5.2 D - i.nh l´ y. Cho M l` a mˆo.t tˆ a.p con kh´ ac trˆ - iˆ o´ng cu’ a X. D `eu kiˆe.n cˆ `an a d¯u’ d¯ˆe’ M tro’. th` v` anh mˆ ong gian con cu’ a X l` o.t khˆ a: a) M + M ⊂ M.
9 b) ∀α ∈ K : αM ⊂ M. Ch´ u.ng minh. D - iˆ `an hiˆe’n nhiˆen. Do gia’ thiˆe´t, c´ac ph´ep to´an cˆo.ng `eu kiˆe.n cˆ v`a nhˆan vˆo hu ´o ng l`a k´ın trˆen M . Ho.n n˜ . . u.a, c´ac t´ınh chˆa´t cu’a c´ac ph´ep to´an ´ng khi ta l`am viˆe.c v´o.i c´ac phˆ n`ay vˆa˜n c`on d¯u `an tu’. cu’a M nˆen ta ´ m tiˆen d¯`ˆe cu’a . . . mˆo.t khˆong gian vecto d¯u o. c nghiˆe.m d¯´u ng. T` u d¯ˆay cho ph´ep ta suy d¯u.o..c d¯iˆ . `eu kiˆe.n d¯u’. Ch´ u y´. Trong thu..c h`anh, d¯ˆe’ kiˆe’m tra mˆo.t tˆa.p Y n`ao d¯´o l`a khˆong gian vecto., ngu.`o.i ta thu.`o.ng nh´ ung n´o v`ao trong mˆo.t khˆong gian vecto. d¯˜a biˆe´t, sau d¯´o kiˆe’m tra c´ac d¯iˆ `eu kiˆe.n cu’a d¯i.nh l´ y trˆen. 1.5.3 V´ı du.. 1. Tˆa.p ho..p `1 gˆ `om tˆa´t ca’ c´ac d˜ay sˆo´ thu..c ho˘a.c ph´ u.c x = (xn )n sao cho P ∞ |xn | < ∞ l`a mˆo.t khˆong gian con cu’a khˆong gian s c´ac d˜ay sˆo´. n=1 2. Tˆa.p ho..p c´ac h`am sˆo´ liˆen tu.c x´ac d¯i.nh trˆen d¯oa.n [a, b] k´y hiˆe.u C[a,b] l`a mˆo.t khˆong gian con cu’a khˆong gian c´ac h`am sˆo´ F([a, b]). 3. Tˆa.p ho..p `∞ = {x = (xn )n ⊂ K : sup |xn | < ∞} c´ac d˜ay sˆo´ thu..c ho˘a.c n∈N ph´u.c x = (xn )n bi. ch˘a.n c˜ ung l`a mˆo.t khˆong gian vecto.. D - ´o la` khˆong gian con . cu’a khˆong gian vecto s ca ´ c da˜ y sˆo´. u. D T` - i.nh l´ y 1.5.2 ta c´o mˆe.nh d¯`ˆe sau. 1.5.4 Mˆ e.nh d `e. Giao mˆ ¯ˆ o.t ho. tu`y ´y c´ ong gian con cu’ a X l` ac khˆ a mˆ o.t ong gian con cu’ a X. khˆ u.ng minh. Gia’ su’. (Mi )i∈I l`a mˆo.t ho. c´ac khˆong gian con cu’a X. D Ch´ - ˘a.t T M = u.a vecto. 0. Nˆe´u x, y ∈ M, (t´ Mi . Ta c´o M kh´ac trˆo´ng v`ı n´o c´o ch´ u.c i∈I l`a x, y ∈ Mi , ∀i ∈ I), α ∈ K th`ı x + y ∈ Mi , αx ∈ Mi v´o.i mo.i i ∈ I. Do d¯´o x + y ∈ M v`a αx ∈ M. Vˆa.y M l`a khˆong gian con cu’a X. 1.5.5 D - i.nh ngh˜ıa. Gia’ su’. A l`a mˆo.t tˆa.p con cu’a khˆong gian vecto. X. Luˆon luˆon tˆ `on ta.i mˆo.t khˆong gian con cu’a X ch´ u.a A (ch˘a’ng ha.n ba’n thˆan khˆong gian X). Giao cu’a ho. tˆa´t ca’ c´ac khˆong gian con ch´ u.a A c˜ ung l`a mˆo.t khˆong gian con ch´u.a A. Khˆong gian con n`ay d¯u.o..c go.i l`a khˆ ong gian con sinh bo’.i A hay l`a bao tuyˆe´n t´ınh cu’a A v`a d¯u.o..c k´y hiˆe.u l`a h A i ho˘a.c span (A). Theo d¯.inh ngh˜ıa, d¯ˆay l`a khˆong gian con b´e nhˆa´t cu’a X ch´ u.a tˆa.p A. Tu.o.ng tu.., ta cu˜ ng d¯i.nh nghı˜a . . d¯u o. c bao lˆ`oi, bao cˆan cu’a mˆo.t tˆa.p A. Ta c´o:
10 1.5.6 Mˆ e.nh d`e. Bao tuyˆe´n t´ınh cu’ a tˆ ¯ˆ a.p A l` a.p ho..p tˆ a tˆ a´t ca’ c´ o’ ho..p ac tˆ tuyˆe´n t´ınh cu’ a c´ ac phˆ `an tu’. thuˆ o.c A. Pn Ch´ u.ng minh. D - ˘a.t M = z = αi xi | αi ∈ K, xi ∈ A, n ∈ N . Ro ˜ ra`ng i=1 theo D y 1.5.2, M l`a mˆo.t khˆong gian con cu’a X. Ho.n n˜ - i.nh l´ u.a t` u. A ⊂ M suy P n ra h A i ⊂ M. M˘a.t kh´ac do xi ∈ A nˆen αi xi ∈ h A i v`ı h A i l`a mˆo.t khˆong gian i=1 vecto.. Do d¯´o M ⊂ h A i v`a t` u. d¯´o M = h A i. 1.5.7 D- i.nh nghı˜a. Gia’ su’. M v`a N l`a hai khˆong gian con cu’a X. Ta ky ´ hiˆe.u Z = M + N = {x + y : x ∈ M, y ∈ N }. L´ uc d¯´o Z c˜ung l`a mˆo.t khˆong . . . o’ng cu’a M v`a N . Ta dˆ gian vecto con cu’a X, d¯u o. c go.i l`a tˆ ˜e d`ang suy ra: M + N = hM ∪ N i. Nˆe´u Z = M + N v`a M ∩ N = {0} th`ı Z d¯u.o..c go.i l`a tˆ o’ng tru..c tiˆe´p cu’a M v`a N , k´ y hiˆe.u Z = M ⊕ N. Ta c´o: 1.5.8 D - i.nh l´ y. Cho M, N l` a c´ ong gian vecto. con cu’ a X va ac khˆ ` d¯˘ a.t Z = M + N. D - iˆ a´t c´ `eu kiˆe.n ˘ a d¯u’ d¯ˆe’ Z = M ⊕ N l` o v` a v´o.i mo.i z ∈ Z, z d¯u.o..c biˆe’u diˆ ˜e n mˆo.t c´ach duy nhˆ a´t du.´ o.i da.ng z = x + y v´o.i x ∈ M, y ∈ N. u.ng minh. Ch´ - iˆ D `an. Gia’ su’. Z = M ⊕ N v`a z = x + y = x0 + y 0 v´o.i x, x0 ∈ `eu kiˆe.n cˆ M ; y, y 0 ∈ N. L´ uc d¯´o x − x0 = y 0 − y. V`ı x − x0 ∈ M, y − y 0 ∈ N nˆen x − x0 = y 0 − y ∈ M ∩ N = {0}. Vˆa.y x = x0 v`a y = y 0 . D `eu kiˆe.n d¯u’. Ta c´o Z = M + N. Gia’ su’. x ∈ M ∩ N. L´ - iˆ uc d¯´o ta viˆe´t x = x + 0 = 0 + x. Do t´ınh duy nhˆa´t cu’a biˆe’u diˆ ˜e n, ta suy ra x = 0 ngh˜ıa l`a M ∩ N = {0} hay Z = M ⊕ N. ong gian vecto. t´ıch–Khˆ 1.6. Khˆ ong gian vecto. thu.o.ng. 1.6.1. Cho X1 , . . . , Xn l`a n khˆong gian vecto. trˆen c` ung mˆo.t tru.`o.ng K. K´ y hiˆe.u X l`a t´ıch Descartes cu’a c´ac Xi : X = X1 × . . . × Xn . V´o.i c´ac phˆ `an tu’. x = (x1 , . . . , xn ), y = (y1 , . . . , yn ) thuˆo.c X v`a α ∈ K ta d¯i.nh ngh˜ıa x + y = (x1 + y1 , . . . , xn + yn ), αx = (αx1 , . . . , αxn ).
11 L´ ˜e d`ang kiˆe’m tra d¯ˆe’ thˆa´y r˘`a ng v´o.i hai ph´ep to´an trˆen, X tro’. th`anh uc d¯´o dˆ mˆo.t khˆong gian vecto. v`a X d¯u.o..c go.i l`a t´ıch (hay t´ıch tru..c tiˆe´p) cu’a n khˆong gian vecto. X1 , . . . , Xn . 1.6.2 Cho X l`a mˆo.t khˆong gian vecto. v`a M l`a mˆo.t khˆong gian con cu’a n´o. Ta d¯i.nh ngh˜ıa quan hˆe. sau: ∀ x, y ∈ X, x ≡ y (mod M ) ⇐⇒ x − y ∈ M. R˜o r`ang d¯ˆay l`a mˆo.t quan hˆe. tu.o.ng d¯u.o.ng trˆen X. Cho x ∈ X. Nˆe´u y ≡ x (mod M ) th`ı y − x ∈ M hay y ∈ x + M . Ngu.o..c la.i nˆe´u z ∈ x + M th`ı z − x ∈ M hay z ≡ y (mod M ). Do d¯´o l´o.p tu.o.ng d¯u.o.ng cu’a x, k´ y hiˆe.u x ch´ınh l`a tˆa.p x+M = {x+m | m ∈ M }. Ta k´ . . y hiˆe.u tˆa.p thu o ng l`a X/M = {x | x ∈ X}. Ch´ uy´ r˘a` ng x ≡ x0 (mod M ) ⇐⇒ x − x0 ∈ M, y ≡ y 0 (mod M ) ⇐⇒ y − y 0 ∈ M, do d¯´o ta c´o thˆe’ d¯i.nh ngh˜ıa c´ac ph´ep to´an cˆo.ng v`a nhˆan vˆo hu.´o.ng trˆen X/M nhu. sau x + y = x + y, αx = αx, `an tu’. bˆa´t k` trong d¯´o x, y l`a c´ac phˆ y trong c´ac l´o.p tu.o.ng d¯u.o.ng x, y. Theo ch´ uy´ trˆen, d¯i.nh ngh˜ıa c´ac ph´ep to´an n`ay l`a d¯u´ng d¯˘a´n v`ı khˆong phu. thuˆo.c v`ao viˆe.c cho.n c´ac d¯a.i diˆe.n x ∈ x, y ∈ y. Dˆ˜e d`ang kiˆe’m tra d¯ˆe’ thˆa´y r˘`a ng v´o.i c´ac ph´ep to´an trˆen, X/M tro’. th`anh mˆo.t khˆong gian vecto., go.i l`a khˆ ong gian vecto. thu.o.ng cu’a X theo khˆong gian con M. Lu.u y ´ r˘a` ng vecto. 0 cu’a X/M ch´ınh l`a tˆa.p M. ´ 1.7. Anh e´n t´ınh. xa. tuyˆ Cho X, Y l`a hai khˆong gian vecto. trˆen tru.`o.ng K v`a mˆo.t ´anh xa. A : X → an tu’. tuyˆe´n t´ınh) nˆe´u v´o.i anh xa. tuyˆe´n t´ınh (hay to´ Y, x 7→ Ax. Ta go.i A l`a mˆo.t ´ mo.i x, y ∈ X, α, β ∈ K ta c´o A(αx + βy) = αAx + βAy.
12 Gia’ su’. B la` mˆo.t co. so’. cu’a khˆong gian vecto. X. Khi d¯´o ´a nh xa. tuyˆ ´en tı´nh A : X → Y hoa`n toa`n d¯u o. c xa . . ´eu phˆ ´ c d¯i.nh nˆ . . . ´ c d¯i.nh v´o.i mo.i `an tu’ Ab d¯u o. c xa b ∈ B. Cho A l`a ´anh xa. tuyˆe´n t´ınh t` u. X v`ao Y , ta k´y hiˆe.u ImA = A(X) v`a −1 KerA = A (0) lˆ . . `an lu o. t a’nh v`a ha.t nhˆan cu’a A. Nˆe´u A l`a song ´anh ta n´oi A l`a ph´ep d¯˘a’ng cˆa´u tuyˆe´n t´ınh v`a X, Y l`a hai khˆong gian vecto. d¯˘a’ng cˆa´u v´o.i nhau. Bˆay gi`o. gia’ su’. A, B : X → Y l`a hai ´anh xa. tu` yy´. Ta c´o c´ac d¯i.nh ngh˜ıa thˆong thu.`o.ng vˆ`e tˆo’ng, tı´ch mˆo.t sˆo´ v´o.i ca ´en tı´nh: ´ c ´a nh xa. tuyˆ (A + B)x = Ax + Bx, (αA)x = αAx, trong d¯´o α ∈ K, x ∈ X. Dˆ˜e d`ang thˆa´y r˘`a ng nˆe´u A, B l`a c´ac ´anh xa. tuyˆe´n t´ınh th`ı A + B, αA c˜ ung . u ng ´anh xa. tuyˆe´n t´ınh t` l`a nh˜ . u X v`ao Y . K´ y hiˆe.u L(X, Y ) l`a tˆa.p ho..p tˆa´t ca’ c´ac ´anh xa. tuyˆe´n t´ınh t`u. X v`ao Y . Khi d¯´o v´o.i hai ph´ep to´an v` u.a x´ac d¯i.nh, L(X, Y ) lˆa.p th`anh mˆo.t khˆong gian vecto.. Nˆe´u Y = K (R hay C) l´ uc d¯´o ´anh xa. tuyˆe´n t´ınh f : X → K d¯u.o..c go.i l`a phiˆe´m h`am tuyˆe´n t´ınh trˆen X, c`on L(X, K) d¯u.o..c k´ y hiˆe.u l`a X 0 v`a go.i la` khˆ ong gian o´ cu’a khˆong gian X. liˆen hiˆe.p d¯a.i sˆ 1.7.1 D- i.nh ly ´ . Cho f, f1 , . . . , fn l` ac phiˆe´m h` a c´ am tuyˆe´n t´ınh trˆen khˆ ong gian vecto. X. Khi ˆ a´y f l` a mˆ o.t tˆo’ ho..p tuyˆe´n t´ınh cu’ a c´ ´eu va ac f1 , . . . , fn nˆ ` chı’ T n ´eu Ker f ⊃ nˆ Ker fi . i=1 P n u.ng minh. Nˆ Ch´ ´eu f = u.c d¯´u ng. Ngu.o..c αj fj thı` hiˆe’n nhiˆen bao ha`m th´ j=1 la.i, ta ch´ u.ng minh b˘a` ng quy na.p. V´o.i n = 1, theo gia’ thiˆe´t th`ı Ker f1 ⊂ Ker f. Nˆe´u f = 0 th`ı f = 0f1 . Nˆe´u f 6= 0 th`ı tˆ `on ta.i x0 sao cho f1 (x0 ) = 1. L´ uc d¯´o ∀x ∈ X : x − f1 (x)x0 ∈ Ker f1 . Suy ra f (x) = f (x0)f1 (x) = αf1 (x). T n+1 Gia’ thiˆ ´ng v´o.i n ≥ 1. Cho ´et mˆe.nh d¯`ˆe d¯u Ker fi ⊂ Ker f. i=1
13 Tru.`o.ng ho..p f = 0 l`a tˆ `am thu.`o.ng. Nˆ ´eu f 6= 0 th`ı c´o thˆe’ gia’ su’. r˘a` ng, tˆ `on ta.i x0 ∈ X sao cho fn+1 (x0 ) = 1. D - ˘a.t F = f − f (x0 )fn+1 Fi = fi − fi (x0 )fn+1 , i = 1, . . . , n. T n P n Kiˆe’m tra ta c´o Ker F ⊃ Ker Fi . Theo gia’ thiˆe´t quy na.p th`ı F = αi Fi hay i=1 i=1 n X f − f (x0 )fn+1 = αi (fi − fi (x0 )fn+1 ). i=1 P n+1 Vˆa.y f = y qui na.p, mˆe.nh d¯`ˆe d¯u.o..c ch´ βj fj . Theo nguyˆen l´ u.ng minh. j=1 - i.nh ly 1.7.2 D ´ . Cho X la ` mˆ ong gian vecto. va o.t khˆ ` {f1 , . . . , fn } la ` mˆ o.t hˆe. n ´em ha ´en tı´nh trong khˆ 0 phiˆ `m d¯ˆ o.c lˆa.p tuyˆ o´ X . Khi d¯´o tˆ ong gian liˆe(n hiˆe.p d¯a.i sˆ `on 1, i = j ta.i n vecto. x1 , . . . , xn ∈ X sao cho fi (xj ) = δij = , i, j = 1, . . . , n. 0, i 6= j. Ch´u.ng minh. Do f1 , . . . , fn d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆ - i.nh ly ´en tı´nh nˆen theo D ´ 1.7.1 ta Tn T n ´ Ker fi 6⊃ co Ker fj , i = 1, . . . , n. Cho.n yi ∈ Ker fj \Ker fi . Khi d¯´o j=1,j6=i j=1,j6=i yi - ˘a.t xi = fi (yj ) = 0, j 6= i, fi (yi ) 6= 0. D , i = 1, . . . , n khi ˆa´y x1 , . . . , xn la` fi (yi ) ´ c vecto. pha’i tı`m. ca Tu.o.ng tu.. d¯i.nh ly ´ trˆen, trong khˆong gian vecto. X, ta co ´: 1.7.3 D - i.nh ly ´ . Cho n vecto. x1 , . . . , xn d¯ˆ o.c lˆ a.p tuyˆ ´en tı´nh trong khˆ ong gian vecto. X. Khi ( d¯´o tˆ `on ta.i n phiˆ´em ha `m tuyˆ ´en tı´nh {f1 , . . . , fn } ⊂ X 0 sao cho 1, i = j fi (xj ) = δij = , i, j = 1, . . . , n. 0, i 6= j. Ch´ u.ng minh. Ta bˆo’ sung va`o tˆa.p d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆ ´en tı´nh {x1 , . . . , xn } d¯ˆe’ d¯u.o..c mˆo.t co. so’. Hamel B. Khi ˆa´y nh˜ u.ng phiˆ´em ha`m tuyˆ ´en tı´nh trˆen X xa ´ c d¯.inh qua . . . co so’ bo’ i cˆong th´ . u c fi (xi ) = 1, fi (x) = 0, ∀x ∈ B, x 6= xi la` ca ´ c phiˆ ´em ha`m tuyˆ´en tı´nh pha’i tı`m. 1.8 Nu’.a chuˆ a’n. 1.8.1 D - i.nh nghı˜a. Gia’ su’. X l`a mˆo.t khˆong gian vecto. va` p : X → R la` mˆo.t ha`m sˆo´.
14 • Ta go.i p l`a mˆo.t so. chuˆ a’n trˆen X nˆe´u p tho’a a) p(αx) = αp(x) v´o.i mo.i x ∈ X v`a α > 0. b) p(x + y) ≤ p(x) + p(y) v´o.i mo.i x, y ∈ X. - ˆe’ y D ´ r˘`a ng l´uc d¯´o ta c´o p(0) = 0 v`ı p(0) = p(2.0) = 2p(0). • Ta go.i p l`a mˆo.t nu’.a chuˆ a’n trˆen X nˆe´u p tho’a a) p(αx) = |α|p(x) v´o.i mo.i x ∈ X v`a α ∈ K. b) p(x + y) ≤ p(x) + p(y) v´o.i mo.i x, y ∈ X. Cho p la` nu’.a chuˆa’n. T` u. d¯i.nh nghı˜a ta thˆa´y p cu ˜ ng la` so. chuˆa’n va` thˆem u.a, v´o.i mo.i x ∈ X ta co n˜ ´ 2p(x) = p(x) + p(−x) ≥ p(x − x) = p(0) = 0 nˆen . p(x) ≥ 0 v´o i mo.i x ∈ X. Mˆ e.nh d `e. Cho X la ¯ˆ ` mˆ o.t khˆ ong gian vecto.. 1. Gia’ su’. p(x) la ` mˆ o.t nu’.a chuˆ a’n trong X. V´ o.i mˆ o˜i α > 0 ca ´ c tˆa.p {x ∈ X | p(x) < α} va ` {x ∈ X | p(x) ≤ α} la `oi, cˆ ` lˆ an va` hˆa´p thu.. 2. Ngu.o..c la.i, gia’ su’. A la ` mˆ o.t tˆ `oi, cˆ a.p lˆ an va a´p thu. trong X thı` ha ` hˆ `m g : X → R xa . ´ c d¯.inh bo’ i g(x) = inf {λ > 0 | x ∈ λA}, x∈X la o.t nu’.a chuˆ ` mˆ a’n trˆen X, co a´t ´ tı´nh chˆ {x ∈ X | g(x) < 1} ⊂ A ⊂ {x ∈ X | g(x) ≤ 1}. (1.8) Ch´u.ng minh. Phˆ `an 1) la` hˆe. qua’ tru..c tiˆ ´ep cu’a d¯i.nh nghı˜a nu’.a chuˆa’n. Gia’ su’. A la` tˆa.p hˆa´p thu., khi ˆa´y v´o.i mo.i x ∈ X tˆ `on ta.i λ > 0 d¯ˆe’ x ∈ λA. Vˆa.y g(x) d¯u.o..c xa ´ c d¯.inh h˜u.u ha.n. V´o.i α > 0 thı` g(αx) = inf{λ > 0 | αx ∈ λA} λ λ = |α| inf{ |x∈ A} = |α|g(x) |α| |α| Bˆay gi`o. v´o.i x, y ∈ X, ta lˆa´y 2 sˆo´ λ > 0, µ > 0 sao cho x ∈ λA, y ∈ µA nghı˜a la` x = λx0 , y = µy 0 v´o.i x0 , y 0 thuˆo.c A. Ta co ´ λ µ x + y = λx0 + µy 0 = (λ + µ) x0 + y0 . λ+µ λ+µ
15 λ µ `oi nˆen Do A la` tˆa.p lˆ x0 + y 0 ∈ A. Vı` vˆay x + y ∈ (λ + µ)A nˆen λ+µ λ+µ u.c na`y d¯´u ng v´o.i mo.i λ > 0, µ > 0 tho’a ma g(x + y) ≤ λ + µ. Bˆa´t d¯˘a’ng th´ ˜n x ∈ λA, y ∈ µA nghı˜a la` g(x + y) ≤ g(x) + g(y). Vˆa.y g(x) la` mˆo.t nu’.a chuˆa’n trˆen X. Nˆ ´eu x ∈ / A thı` x ∈ / λA v´o.i mo.i λ < 1 nˆen g(x) ≥ 1, co`n nˆ ´eu x ∈ A = 1.A nˆen g(x) ≤ 1. Nhu. thˆ ´e tı´nh chˆa´t (1.8) d¯u.o..c ch´u.ng minh. Nu’.a chuˆa’n g(x) xa ´ c d¯i.nh nhu. trˆen d¯u.o..c go.i la` ha`m c˜o. hay phiˆ ´em ha`m Minkowski d¯ˆo´i v´o.i tˆa.p A. ` TA BAI ˆP . 1.1. Cho X l`a mˆo.t khˆong gian vecto., f1 , f2 l`a hai phiˆe´m h`am tuyˆe´n t´ınh x´ac d¯.inh trˆen X. Gia’ su’. v´o.i mo.i x ∈ X th`ı f1 (x)f2(x) = 0. Ch´ u.ng minh r˘`a ng f1 ≡ 0 hay f2 ≡ 0. 1.2. Cho X l`a mˆo.t khˆong gian vecto. v`a A : X → X l`a mˆo.t to´an tu’. tuyˆe´n t´ınh. Gia’ su’. A2 = A ◦ A = 0. Ch´ u.ng minh r˘`a ng I − A l`a mˆo.t song ´anh. (I l`a to´an tu’. d¯`ˆong nhˆa´t id.) 1.3. Gia’ su’. X, Y la` 2 khˆong gian vecto. v´o.i dim X = n, dim Y = m. Ch´ u.ng minh r˘a` ng dim L(X, Y ) = nm. 1.4. Cho f la` mˆo.t phiˆ ´en tı´nh trˆen khˆong gian vecto. X va` Y ´em ha`m tuyˆ la` mˆo.t khˆong gian vecto. con cu’a X tho’a Kerf ⊂ Y. Ch´ u.ng minh r˘`a ng Y = X ho˘a.c Y = Kerf. ˆ §2. KHONG ˆ´N T´INH D GIAN TUYE ˆ’N - I.NH CHUA 2.1 C´ ac d ¯i.nh ngh˜ıa. Cho X l`a mˆo.t khˆong gian vecto. v`a k.k : X → R l`a mˆo.t ha`m sˆo´. Ta go.i ha`m sˆo´ na`y la` mˆo.t chuˆa’n trˆen X nˆ ´eu no ˜ n 3 tiˆen d¯`ˆe sau: ´ thoa’ ma 1. ∀x ∈ X : kxk ≥ 0; kxk = 0 khi v`a chı’ khi x = 0. 2. kλxk = |λ|kxk v´o.i mo.i λ ∈ K, x ∈ X. 3. kx + yk ≤ kxk + kyk, v´o.i mo.i x, y ∈ X v`a λ ∈ K.
16 Khi d¯´o c˘a.p (X, k.k) d¯u.o..c go.i l`a mˆo.t khˆ ong gian tuyˆe´n t´ınh d¯.inh chuˆ a’n hay go.n ho.n khˆ ong gian d¯.inh chuˆ a’n. Ta thu.`o.ng go.i tiˆen d¯`ˆe 3 la` bˆa´t d¯˘a’ng th´ u.c tam gia ´ c. Nˆe´u tru.`o.ng K = R (tu.o.ng u ´.ng, (t.u..) C) th`ı ta go.i (X, k.k) l`a khˆ ong gian d¯.inh chuˆ . . a’n thu. c (t.u ., khˆ ong gian d¯.inh chuˆ a’n ph´u c). Sˆo´ thu. c kxk d¯u o..c go.i l`a . . . chuˆ a’n hay d¯ˆ o. d`ai cu’a vecto. x ∈ X. Nˆe´u khˆong c´o su.. nhˆ `e chuˆa’n trˆen `am lˆa˜n vˆ X th`ı ta s˜e k´ y hiˆe.u t˘a´t l`a khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n X. Nhˆ a.n xe ´ t. D - ˘a.t p(·) = k.k. Khi d¯´o p(·) la` nu’.a chuˆa’n. Ngu.o..c la.i, nˆ ´eu p(·) la` . mˆo.t nu’ a chuˆa’n va` tho’a thˆem d¯iˆ `eu kiˆe.n p(x) = 0 suy ra x = 0 thı` p(·) la` mˆo.t chuˆa’n trˆen X. Cho X l`a mˆo.t khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n. V´o.i x, y ∈ X ta d¯˘a.t d(x, y) = kx − yk. Khi d¯´o t` u. ba tiˆen d¯`ˆe cu’a chuˆa’n, ta suy ra ngay d l`a mˆo.t mˆetric trˆen X. Ho.n u.a d c`on tho’a m˜an hai tı´nh chˆa´t la`: bˆa´t biˆ n˜ ´en d¯ˆo´i v´o.i phe ´en, thuˆ ´ p ti.nh tiˆ `an nhˆa´t d¯ˆo´i v´o.i phe´ p vi. tu.., thˆe’ hiˆe.n nhu. sau: a) d(x + z, y + z) = d(x, y) b) d(λx, λy) = |λ|d(x, y) v´o.i mo.i x, y, z ∈ X, λ ∈ K. Ngu.o..c la.i cho X l`a mˆo.t khˆong gian vecto. v`a d l`a mˆo.t mˆetric xa ´ c d¯i.nh trˆen . X. Gia’ su’ d thoa’ m˜an thˆem c´ac d¯iˆ `eu kiˆe.n a) v`a b). Ta d¯˘a.t kxk = d(x, 0) th`ı r˜o r`ang k.k l`a mˆo.t chuˆa’n trˆen X. Do d¯´o nˆe´u X l`a mˆo.t khˆong gian d¯.inh chuˆa’n th`ı n´o c˜ ung l`a mˆo.t khˆong gian mˆetric (v´o.i mˆetric sinh ra t` u. chuˆa’n, t´ u.c l`a d(x, y) = kx − yk). T`u. nh˜u.ng d¯iˆ `eu d¯˜a no ´ i, tˆa´t ca’ c´ac kh´ai niˆe.m cu’a khˆong gian mˆetric d¯`ˆeu d¯u.o..c chuyˆe’n cho khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n. D - ˆe’ y ´ r˘`a ng c´ac t´ınh chˆa´t a) v`a b) u a c´ac ph´ep to´an cˆo.ng va` nhˆan vˆo hu.´o.ng trˆen khˆong gian ch´ınh l`a mˆo´i liˆen hˆe. gi˜. vecto. X v´o.i ha`m mˆetric. Nhu. thˆ ´e, nh`o. d¯u.a va`o kha ´ i niˆe.m d¯i.nh lu.o..ng (chuˆa’n cu’a mˆo.t vecto.) khiˆ ´en mˆo.t sˆo´ yˆ´eu tˆo´ trong khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n co`n d¯u.o..c mˆo ta’ qua d¯ˆo. da`i (ho˘a.c khoa’ng ca ´ ch), d¯˜a to’ ra kha ´ gˆ`an gu ˜ i v´o.i nh˜ u.ng hı`nh, khˆo´i cu’a hı`nh ho.c so. cˆa´p.
17 2.2 C´ ac v´ı du.. 2.2.1 Tˆa.p ho..p K n c´ac bˆo. n sˆo´ thu..c (ho˘a.c sˆo´ ph´ u.c) x = (x1 , . . . , xn ) l`a mˆo.t khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n v´o.i chuˆa’n v u n uX kxk = t |xi |2 . i=1 Chuˆa’n n`ay d¯u.o..c go.i l`a chuˆa’n Euclid trong K n va` K n d¯u.o..c go.i l`a khˆong gian Euclid n chiˆ`eu. D - ˘a.c biˆe.t, khi n = 1 ta c´o K l`a mˆo.t khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n v´o.i kxk = |x|. 2.2.2 Tˆa.p ho..p C[a,b] c´ac h`am sˆo´ liˆen tu.c trˆen [a, b] v´o.i c´ac ph´ep to´an cˆo.ng v`a nhˆan v´o.i mˆo.t sˆo´ x´ac d¯i.nh theo c´ach thˆong thu.`o.ng l`a mˆo.t khˆong gian vecto.. Ho.n n˜ u.a, nˆe´u d¯˘a.t kxk = max |x(t)| t∈[a,b] th`ı n´o tro’. th`anh mˆo.t khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n. 2.2.3 Tˆa.p ho..p `∞ tˆa´t ca’ c´ac d˜ay sˆo´ thu..c hay ph´ u.c bi. ch˘a.n l`a mˆo.t khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n v´o.i chuˆa’n kxk = sup |xn |. n∈N Khˆong gian n`ay c`on k´ y hiˆe.u l`a m. - ˆo.c gia’ tu.. kiˆe’m nghiˆe.m ba tiˆen d¯`ˆe vˆ D `e chuˆa’n cu’a c´ac v´ı du. n`ay. 2.2.4 K´ y hiˆe.u `2 l`a tˆa.p ho..p tˆa´t ca’ c´ac d˜ay sˆo´ thu..c hay ph´ u.c x = (xn )n sao P∞ cho - ˘a.t |xn |2 hˆo.i tu.. D n=1 ∞ X 12 kxk = |xn |2 , n=1 uc d¯´o `2 tro’. th`anh mˆo.t khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n. l´ Ch´u.ng minh. Gia’ su’. x = (xn )n , y = (yn )n ∈ `2 . Ta c´o bˆa´t d¯˘a’ng th´ u.c hiˆe’n nhiˆen |xn + yn |2 ≤ (|xn | + |yn |)2 ≤ 2(|xn |2 + |yn |2 ).