Dồn biến cổ điển và bất đẳng thức

Chia sẻ: Trung Hai | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:0

Thêm vào BST

Báo xấu

415
lượt xem 184
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đây là tài liệu phương pháp chứng minh dồn biến cổ điển và bất đẳng thức với hướng dẫn chứng minh bất đẳng thức cụ thể, chi tiết , có bài toán và bài giải minh hoạ giúp các bạn học tốt môn Toán.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Dồn biến cổ điển và bất đẳng thức

D n bi n c đi n và b t đ ng th c Jack Garfunkel Võ Qu c Bá C n Đ i h c Y Dư c C n Thơ Ngày 9 tháng 5 năm 2008 H Tóm t t n i dung Trong bài này, chúng ta s gi i thi u m t cách ch ng minh b ng phép d n bi n c đi n cho b t đ ng th c sau 5p a b c p +p +p a+b+c 4 c+a a+b b+c CY B t đ ng th c này đư c tác gi Jack Garfunkel đ ngh trên t p chí Crux Magazine năm 1991 (bài toán 1490). Đây là m t bài toán hay và khó m c dù hi n nay đã nh n đư c nhi u l i gi i cho nó nhưng m t l i gi i b ng phép d n bi n thu n túy thì đ n nay v n chưa nh n đư c. Trư c h t chúng ta c n có k t qu sau làm b đ ph tr cho ch ng minh b t đ ng th c Jack Garfunkel Bài toán 1 Cho các s không âm a; b; c; t t c không đ ng th i b ng 0: Ch ng minh r ng a b c 1 + + : 4a + 4b + c 4b + 4c + a 4c + 4a + b 3 (Ph m Kim Hùng) L i gi i. Chu n hóa cho a + b + c = 3; khi đó b t đ ng th c tr thành a b c + + 1 3 c 3 a 3 b , a(3 a)(3 b) + b(3 b)(3 c) + c(3 c)(3 a) (3 a)(3 b)(3 c) 2 2 2 , a b + b c + c a + abc 4 Không m t tính t ng quát, gi s b là s h ng n m gi a a và c; th thì ta có c(b a)(b c) 0 1 Copyright by Võ Quốc Bá Cẩn
) b2 c + c2 a abc + bc2 1 ) a2 b + b2 c + c2 a + abc b(a + c)2 = 2b (a + c) (a + c) 2 3 1 2b + a + c + a + c = 4: 2 27 B t đ ng th c đư c ch ng minh xong. Đ ng th c x y ra khi và ch khi a = b = c ho c (a; b; c) (2; 1; 0): Nh n xét 1 Đây là m t b đ khá ch t và có th đư c dùng đ gi i nhi u bài toán khác, các b n hãy ghi nh nó nhé! Ngoài ra, chúng ta có th làm m nh b đ như sau 1 a2 b + b2 c + c2 a + abc + abc(3 ab bc ca) 4 H 2 (Võ Qu c Bá C n) Bây gi chúng ta s đi đ n gi i quy t bài toán chính CY Bài toán 2 Cho các s không âm a; b; c, không có 2 s nào đ ng th i b ng 0: Ch ng minh r ng 5p a b c p +p +p a + b + c: 4 c+a a+b b+c (Jack Garfunkel) L i gi i. Ta xét 2 trư ng h p Trư ng h p 1. c b a; khi đó s d ng b t đ ng th c Cauchy Schwarz, ta có 2 a b c a b c p +p +p (a + b + c) + + a+b b+c c+a c+a a+b b+c L i có do c b a nên a b c 31abbcca + + = + + + a+b b+c c+a 2 2 a+b b+c c+a 3 (c a)(c b)(b a) 3 25 = < 2 (a + b)(b + c)(c + a) 2 16 Nên hi n nhiên 5p a b c p +p +p a+b+c 4 c+a a+b b+c Trư ng h p 2. a b c: 2 Copyright by Võ Quốc Bá Cẩn
11 5b a; khi đó s d ng b t đ ng th c Cauchy Schwarz, ta có Trư ng h p 2.1. !2 " # ! X X a(4a + 4b + c) X a a p a+b 4a + 4b + c a+b cyc cyc cyc " # ! X X a(a + b + c) X a = 3 a+ a+b 4a + 4b + c cyc cyc cyc ! ! ! X Xa X a = a 3+ a+b 4a + 4b + c cyc cyc cyc Theo k t qu bài toán trư c, ta có X a 1 H 4a + 4b + c 3 cyc Nên ta ch c n ch ng minh đư c Xa 27 a+b 16 CY cyc , (11a2 + 6ab 5b2 )c + (ab + c2 )(11b 5a) 0 (đúng) 11 pa pb pc : Trư ng h p 2.2. a 5 b; đ t f (a; b; c) = + + Vì bài toán này có c+a a+b b+c đ ng th c x y ra t i a = 3; b = 1; c = 0 nên ý tư ng c a chúng ta s là d n 1 bi n v 0, t c là ch ng minh f (a; b; c) f (a1 ; b1 ; 0) v i a1 + b1 = a + b + c: Vi c làm này nói có v r t đơn gi n nhưng khi th c hi n, b n s th y r t khó vì các bi u th c trong căn r t khó cho ta đ đánh giá chúng, và n u chúng ta c "c ch p" m t giá tr a1 ; b1 hoài khi d n bi n thì cũng r t khó mà ta ph i linh đ ng hơn, tùy theo nh ng trư ng h p c th mà ch n a1 ; b1 thích h p ng v i nh ng trư ng h p y. Chúng ta s xét nh ng trư ng h p nh như sau Trư ng h p 2.2.1. a 3b; khi đó ta s ch ng minh c a+ a 2 p p a+b a+b+c c2 , a2 (a + b + c) a2 + ac + (a + b) 4 14 , c (a + b) 0 (đúng) 4 3 Copyright by Võ Quốc Bá Cẩn
và r b c c p +p b+ 2 c+a b+c Do a 3b nên ta ch c n ch ng minh đư c r b c c p +p b+ 2 b+c 3b + c b2 c2 2bc c +p , + b+ b + c 3b + c 2 (b + c)(3b + c) c2 2bc c bc +p , + 3b + c 2 b+c (b + c)(3b + c) H c 2b b 1 +p , + 3b + c b+c 2 (b + c)(3b + c) Do b c nên 3b + c 2(b + c); suy ra p 2b 2b 3b p CY b+c 2(b + c) (b + c)(3b + c) L i có 1 b c 3b c(b c) + = 0 2 b+c 3b + c 2(b + c) 2(b + c)(3b + c) T đây, ta đi đ n c c f (a; b; c) f a + ;b + ;0 2 2 5 Trư ng h p 2.2.2. 3b a 2 b; khi đó, ta s ch ng minh 3 a + 8c a p p a+b a+b+c 3 9 , a2 (a + b + c) a2 + ac + c2 (a + b) 4 64 92 1 , c (a + b) + ca(3b a) 0 (đúng) 64 4 và r b c 5 p +p b+ c 8 c+a b+c 4 Copyright by Võ Quốc Bá Cẩn
Tương t như trên, ta ch c n ch ng minh đư c r b c 5 +q p b+ c 8 b+c c + 5b 2 b2 c2 2bc 5 +q , +5 b+ c b+c 8 b+c (b + c)( 5 b + c) 2 2 c2 2bc 5 bc +q , c+ 5 8 b+c 2b +c (b + c)( 5 b + c) 2 c 2b b 5 +q , + 5 b+c 8 2b +c (b + c)( 5 b + c) H 2 Do b c nên 5 7 28 25 b+c (b + c) = (b + c) (b + c) 2 4 16 16 2b 8b )q CY 5(b + c) 5 (b + c)( 2 b + c) L i có 5 b 8b c (b + 10c)(5b 3c) + = 0 5 8 b+c 5(b + c) 40(b + c)(5b + 2c) 2b +c V y nên 3 5 f (a; b; c) f a + c; b + c; 0 8 8 Trư ng h p 2.2.3. 5 b 11 a 5 b; khi đó ta s ch ng minh 2 5 a + 14 c a p p a+b a+b+c 5 25 2 , a2 (a + b + c) a2 + ac + c (a + b) 7 196 25 2 1 , c (a + b) + ca(5b 2a) 0 (đúng) 196 7 và r b c 9 p +p b+ c 14 c+a b+c 5 Copyright by Võ Quốc Bá Cẩn
Tương t như trên, ta ch c n ch ng minh đư c r b c 9 +q p b+ c 14 b+c 11 c+ 5b b2 c2 2bc 9 +q , + b+ c 11 b+c 14 5b +c (b + c)( 11 b + c) 5 c2 2bc 9 bc +q , c+ 11 14 b+c 5b+c (b + c)( 11 b + c) 5 c 2b b 9 +q , + 11 b + c 14 5b +c (b + c)( 11 b + c) H 5 Do b c nên 11 8 25 b+c (b + c) (b + c) 5 5 16 2b 8b )q CY 5(b + c) 11 (b + c)( 5 b + c) L i có 33b2 + 160bc 125c2 9 b 8b c + = 0 11 14 b + c 5(b + c) 70(b + c)(5b + 2c) 5b +c V y nên 5 9 f (a; b; c) f a+ c; b + c; 0 14 14 Như v y, ta ch c n xét bài toán trong trư ng h p có 1 bi n b ng 0 là đ . Không m t tính t ng quát, gi s c = 0: Khi đó b t đ ng th c tr thành p 5p a p +b a+b 4 a+b p 5 ,a+ b(a + b) (a + b) 4 p , 4 b(a + b) a + 5b p2 p , a+b 2 b 0 (đúng): Bài toán đư c gi i quy t xong. 6 Copyright by Võ Quốc Bá Cẩn
Nh n xét 2 Trong l i gi i trên, m c dù không s d ng máy tính ph tr nhưng t i sao ta l i chia đư c trư ng h p có s l 5 ? Câu tr l i xin đư c dành cho các b n. 2 Đây là m t l i gi i dài và khá ph c t p nhưng nó g i m cho chúng ta nhi u đi u trong vi c s d ng phép d n bi n. T xưa đ n nay, chúng ta thư ng "c h u" ch khư khư m t s ki u d n bi n, ch ng h n như a+b a+b f (a; b; c) f ; ;c 2 2 f (a; b; c) f (a + c; b; 0) c c f (a; b; c) f a + ; b + ; 0 2 2 Nhưng nh ng đi u này không ph i lúc nào cũng luôn có mà ch có trong m t s r t ít trư ng h p. Vì th , chúng ta c n linh đ ng hơn n a trong phép d n bi n, ch ng h n H trong bài này f (a; b; c) f (a1 ; b1 ; 0) v i a1 + b1 = a + b + c: Đây là m t ý tư ng đ c đáo và khá thú v . CY Ph n cu i cùng c a bài vi t, chúng tôi xin đư c gi i thi u cùng các b n m t s ch ng minh khác mà chúng tôi đư c bi t cho bài toán đ p này. L i gi i 2. 1 Đ t b + c = x2 ; c + a = y 2 ; a + b = z 2 v i x; y; z > 0; t đây ta đư c y2 + z2 x2 z 2 + x2 y2 x2 + y 2 z2 a= 0; b= 0; c= 0 2 2 2 B t đ ng th c đã cho đư c vi t l i thành 5p 2 y2 + z2 x2 z 2 + x2 y2 x2 + y 2 z2 2(x + y 2 + z 2 ) + + z x y 4 5p 2 (x + y + z )(x y )(y z )(z x) 2(x + y 2 + z 2 ) ,x+y+z+ xyz 4 y 2 ; khi đó s d ng b t T đây, không m t tính t ng quát, ta có th gi s x z đ ng th c Cauchy Schwarz, ta có p p 2(x2 + y 2 + z 2 ) x + y 2 + z 2 Nên ta ch c n ch ng minh đư c p (x + y + z )(x y )(y z )(z x) 5 x + y2 + z2 x+y+z+ xyz 4 1 By G.P. Henderson 2 why? 7 Copyright by Võ Quốc Bá Cẩn
, f (x) 0 vi p y )t3 t2 yz + 4y 3 + 4y 2 z + 4yz 2 4z 3 y2 + z2 t , f (t) = 4(z 5yz +4yz (z 2 y2 ) 0 N u y = z thì ta có h i p xy 2 (x f (x) = y) + 5 2 7 y y; ta có f (0) = 4yz (z 2 y 2 ) > 0; lim f (t) = 1; lim f (t) = 1 H t! 1 t!1 L i có hp i y z 2 (3y 4z )2 yz2 5 y2 + z2 p f (z ) = 4y 3z =
3 S d ng b t đ ng th c Cauchy Schwarz, ta có L i gi i 3. !2 " #" # X X X a a p a(5a + b + 9c) (a + b)(5a + b + 9c) a+b cyc cyc cyc !2 " # X X a =5 a (a + b)(5a + b + 9c) cyc cyc Ta c n ch ng minh !" # X X a 5 a (a + b)(5a + b + 9c) 16 cyc cyc H Nhưng b t đ ng th c này hi n nhiên đúng vì !" # X X 5 a A+B a = 16 (a + b)(5a + b + 9c) C cyc cyc trong đó CY X 3b)2 A= ab(a + b)(a + 9b)(a 0 cyc X X X a3 b2 c + 835 a2 b3 c + 232 a4 bc + 1230a2 b2 c2 B = 243 0 cyc cyc cyc C = 16(a + b)(b + c)(c + a)(5a + b + 9c)(5b + c + 9a)(5c + a + 9b) > 0: Đ ng th c x y ra khi và ch khi a = 1 = 0 ho c các hoán v tương ng. b c 3 Chúng ta còn có 3 l i gi i khác cho bài toán này, 1 b ng d n bi n toàn mi n, 1 b ng d n bi n-kh o sát hàm s , 1 b ng k thu t pqr nhưng trên quan ni m cá nhân, chúng tôi cho r ng nh ng l i gi i y đ u không mang nét đ c s c riêng nên chúng tôi s không gi i thi u chúng đây. Chúng tôi xin đư c k t thúc bài vi t đây. Xin c m ơn các b n đã theo dõi bài vi t này! Regards Võ Qu c Bá C n 3 By Võ Qu c Bá C n, due to CYH techniques 9 Copyright by Võ Quốc Bá Cẩn