Giải tích 2 – Đề số 11
Câu 1: Vẽ khối
giới hạn bởi 2 2 2
2
x y z y
,
2 2
y x z
.
Câu 2: Trên mặt phẳng
2 0
x y z
tìm điểm sao cho tổng khoảng cách từ đó
điểm hai mặt phẳng
x z
và
3 2 0
y z
là nhỏ nhất.
Xét hệ:
023
063
02
zy
zx
yx
(x,y,z)=(3,-1,1)
Điểm (3,-1,1) thuộc 3 mặt phẳng nên tổng khoảng cách từ điểm đó tới hai mặt
x z
và
3 2 0
y z
bằng 0 và là khoảng cách nhỏ nhất.
Câu 3: : Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số
3 3 3 2
1
(3 1)!
1 2 5
n
n
n
Bài giải:
27
)1(
)23)(13(3
3
1
n
nnn
a
a
n
n khi n
, chuỗi phân kỳ
Câu 4: Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa
2
1
( 5) ( 2)
3 (2 1) 2
n n
n
n
x
n n
Bài giải:
Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa
2
1
( 5) ( 2)
3 (2 1) 2
n n
n
n
x
n n
=
1
n
n
2 2
5( 2) 5( 2)
lim | | lim 3 3
nn
n n
x x
 
Điều kiện cần để chuỗi hội tụ
2
5( 2)
3
x<1
3 3
2 2
5 5
x
x=
3
2
5
=> ( 1)
(2 1) 2
n
nn n
hội tụ tuyệt đối
vậy miền hội tụ:
3 3
2 2
5 5
x
Câu 5: Tính tích phân kép 2
D
I y x dxdy
 , trong đó D là miền phẳng giới
hạn bởi
1 1,0 2
x y
.
Bài giải:
f(x)=0
f(x)=2
x(t)=-1 , y(t)=t
x(t)=1 , y(t)=t
f(x)=x^2
f(x)=1
-1 -0.5 0.5 1
0.5
1
1.5
2
x
y
Chia D thành 2 phần:
D1 là phần
2
y x
(phía trên Pparrabol)
D2 là phần
2
y x
(phía dưới Parabol)
1 2
2 2
D D
I y x dxdy x ydxdy
2
2
1 2 1
2 2
1 1 0
5
3 2
x
x
dx y x dy dx x ydy
Ta có thể làm giảm nhẹ bài toán bằng cách nhận xét D đối xứng qua oy và hàm
f(x,y) chẵn theo biến x nên I bằng 2 lần tích phân trên nửa bên phải của miền D
rồi làm tương tự.
Câu 6: Tính tích phân bội ba
V
I y z dxdydz
 , trong đó V là vật thể được giới
hạn bởi
2 2 2 2 2 2
, 4, 2
z x y x y z x y
.
Bài giải::
2 2
: 4
D x y
Đổi sang toạ độ trụ:
2 2
cos 0 2
sin 0 2
2
x r
y r V r
z z
r z r
2
2
2 2 2
0 0
( sin ) 24
r
r
I d dr r r z dz

Câu 7:
Tính tích phân mặt loại hai (2 )
S
I x y dydz
, với S là phần mặt
2 2
z x y
bị cắt
bởi mặt
4
z
, phía trên theo hướng trục Oz
Bài giải:
Cách 1:
2
4
2
2 2
:
4
z
Oyz z y
y
Dy z
Chia S làm 2 phần:
S1: phía trước mp(0yz)
2
x z y
và pháp vecto tạo với ox góc tù
S2: phía trước mp(0yz)
2
x z y
và pháp vecto tạo với ox góc nhọn.
Do đó ta có:
2 2
2 2
2 2
4 4
2 2
2 2
(2 )dyd ( 2 )dyd
2 2 16
D D
y y
I z y y z z y y z
dy z y y dz dy z y y dz
Các em có thể làm đơn giản bài toán ngay từ đầu bằng cách:
Nhận xét S đối xứng qua oyz và hàm x(y,z)=y chẵn theo x và x(y,z)=2x lẻ theo x
nên ta có:
1
0
2 2 2
S
S S
ydydz
xdydz xdydz
với S1 là nửa mặt S phía trước.
Khi đó:
2
2 2 dyd 16
D
I z y z
Cách 2: Dùng pháp véc tơ đơn vị đưa về tích phân đường loại 1
Cách 3: Thêm vào phần mặt z=4 rồi dùng công thức O-G