Giải tích (cơ bản): Không gian mêtric (tt)

Chia sẻ: Hetiheti Hetiheti | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:9

Thêm vào BST

Báo xấu

305
lượt xem 22
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu do PGS TS. Lê Hoàn Hóa biên soạn, tài liệu trình bày về lý thuyết Không gian mêtric đầy đủ và Không gian mêtric compact; mỗi phần đều kèm theo bài tập minh họa có hướng dẫn giải chi tiết. Hi vọng với tài liệu hữu ích này các bạn đang theo học cao học ngành Toán học sẽ ôn tập thật tốt. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giải tích (cơ bản): Không gian mêtric (tt)

GIẢI TÍCH (CƠ BẢN) Tài liệu ôn thi cao học năm 2005 Phiên bản đã chỉnh sửa PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ngày 21 tháng 12 năm 2004 KHÔNG GIAN MÊTRIC (tt) 5 5.1 Không gian mêtric đầy đủ Định nghĩa Cho (X, d) là không gian mêtric và (xn )n là dãy trong X. Dãy (xn )n là dãy cơ bản ⇔ ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N : ∀n n0 , ∀p ∈ N thì d(xn+p , xn ) < ε. Không gian mêtric (X, d) được gọi là không gian mêtric đầy đủ nếu mọi dãy cơ bản đều hội tụ. Cho X là tập hợp các hàm số thực liên tục trên [0, 1] với mêtric d(x, y) = max{|x(t) − y(t)| : t ∈ [0, 1]}. Cho (xn )n định bởi xn (t) = tn , ta có: 0 nếu 0 lim xn (t) = t 0 cho trước, có n0 ∈ N sao cho với mọi n n0 và p ∈ N thì d(xn+p , xn ) < ε. Do xn ∈ D, ∀n ∈ N nên dD (xn+p , xn ) = d(xn+p , xn ) < ε. Vậy, (xn )n là dãy cơ bản trong (D, dD ). Do (D, dD ) là không gian mêtric đầy đủ nên (xn )n hội tụ trong (D, dD ) và do giới hạn duy nhất nên limn→∞ xn = x ∈ D. Vậy D là tập đóng. Ngược lại, giả sử D là tập đóng. Cho (xn )n là dãy cơ bản trong (D, dD ). Do dD (xn+p , xn ) = d(xn+p , xn ), ∀n, p ∈ N nên (xn )n cũng là dãy cơ bản trong không gian mêtric đầy đủ (X, d), vậy hội tụ. Đặt x = limn→∞ xn . Do D là tập đóng nên x ∈ D. Suy ra limn→∞ dD (x, xn ) = limn→∞ d(x, xn ) = 0 hay limn→∞ xn = x trong (D, dD ). Vậy (D, dD ) là không gian mêtric đầy đủ. Từ kết quả trên ta có thể thí dụ về không gian mêtric không đầy đủ. Do Rn với mêtric d(x, y) = [ n (xi − yi )2 ]1/2 là không gian mêtric đầy đủ, lấy D là một tập hợp con khác rỗng, i=1 D không là tập đóng trong Rn . Khi đó không gian mêtric con (D, dD ) không là không gian mêtric đầy đủ. 5.3 Ánh xạ co Cho (X, d) là không gian mêtric đầy đủ, f : X → X thỏa mãn điều kiện: có hằng số 0 sao cho: d(f (x), f (y)) k d(x, y), ∀x, y ∈ X k 0 có n0 ∈ N sao cho với n n0 , p ∈ N thì d(xn+p , xn ) < ε/2 và có k0 ∈ N sao cho với k k0 thì d(xnk , x) < ε/2. Đặt m = max{n0 , nk0 }. Với n m, chọn k k0 sao cho nk > n0 , khi đó: d(xn , x) d(xn , xnk ) + d(xnk , x) < ε/2 + ε/2 = ε Vậy limn→∞ xn = x. 2) Cho (X, dX ), (Y, dY ) là hai không gian mêtric. Đặt Z = X × Y . Với z1 = (x1 , y1 ), z2 = (x2 , y2 ) ∈ Z, đặt d(z1 , z2 ) = dX (x1 , x2 ) + dY (y1 , y2 ). Chứng minh (Z, d) là không gian mêtric đầy đủ ⇔ (X, dX ), (Y, dY ) là các không gian mêtric đầy đủ. Hướng dẫn: Cho zn = (xn , yn ), n ∈ N là dãy cơ bản trong Z. Do d(zn+p , zn ) = dX (xn+p , xn ) + dY (yn+p , yn ), ∀n, p ∈ N nên (xn )n , (yn )n là dãy cơ bản trong X, Y và ngược lại. Giả sử (Z, d) là không gian mêtric đầy đủ. Lấy (xn )n , (yn )n là dãy cơ bản trong X, Y . Đặt zn = (xn , yn ), n ∈ N thì (zn )n là dãy cơ bản trong Z. Do Z là không gian mêtric đầy đủ nên có z = (x, y) ∈ Z sao cho limn→∞ d(zn , z) = 0. Khi đó: limn→∞ dX (xn , x) = 0 và limn→∞ dY (yn , y) = 0. Vậy lim xn = x trong X và lim yn = y trong Y. n→∞ n→∞ Như vậy, (X, dX ), (Y, dY ) là các không gian mêtric đầy đủ. Ngược lại, giả sử X, Y là hai không gian mêtric đầy đủ. Cho zn = (xn , yn ), n ∈ N là dãy cơ bản trong Z. Khi đó, (xn )n , (yn )n là dãy cơ bản trong không gian mêtric đầy đủ nên có x ∈ X, y ∈ Y sao cho limn→∞ xn = x, limn→∞ yn = y. Đặt z = (x, y), ta có: lim d(z, zn ) = lim dX (x, xn ) + lim dY (y, yn ) = 0 n→∞ n→∞ n→∞ hay limn→∞ zn = z trong Z. Vậy (Z, d) là không gian mêtric đầy đủ. 6 Không gian mêtric compact 6.1 Định nghĩa Cho (X, d) là không gian mêtric. Tập A ⊂ X được gọi là tập compact nếu với mọi dãy (xn )n trong A đều có một dãy con (xnk )k hội tụ, limk→∞ xnk = x và x ∈ A. Nếu A = X là tập compact ta nói (X, d) là không gian mêtric compact. 6.2 Tính chất 1. Nếu (X, d) là không gian mêtric compact thì (X, d) là không gian mêtric đầy đủ. 2. Cho (X, d) là không gian mêtric, A ⊂ X. Nếu A là tập compact thì A là tập đóng. 3. Cho (X, d) là không gian mêtric compact, A ⊂ X. Khi đó: A là tập compact ⇔ A là tập đóng. 4. Cho Rn với mêtric d(x, y) = [ n i=1 (xi − yi )2 ]1/2 và A ⊂ Rn . Khi đó: A là tập compact ⇔ A là tập đóng, bị chặn. 10 Bài tập 1) Cho (X, dX ), (Y, dY ) là không gian mêtric, Z = X × Y với mêtric d(z1 , z2 ) = dX (x1 , x2 ) + dY (y1 , y2 ), z1 = (x1 , y1 ), z2 = (x2 , y2 ). Cho A ⊂ X, B ⊂ Y . Chứng minh: A × B compact trong Z ⇔ A và B là tập compact . Hướng dẫn: Giả sử A × B là tập compact. Cho (xn )n là dãy trong A, (yn )n là dãy trong B. Đặt zn = (xn , yn ), n ∈ N, là dãy trong A × B là tập compact nên có dãy con znk = (xnk , ynk ), k ∈ N sao cho limk→∞ znk = z = (x, y) ∈ A × B. Khi đó lim d(z, znk ) = lim [dX (xnk , x) + dY (ynk , y)] = 0 k→∞ k→∞ hay lim xnk = x k→∞ và lim ynk = y k→∞ Vậy A, B là tập compact. Ngược lại, giả sử A, B là tập compact. Cho zn = (xn , yn ), n ∈ N là dãy trong A × B. Do A là tập compact, (xn )n là dãy trong A nên có dãy con (xnk )k thỏa limk→∞ xnk = x ∈ A. Do B là tập compact, (ynk )k là dãy trong B nên có dãy con (ynki )i thỏa limi→∞ ynki = y ∈ B. Đặt z = (x, y) ∈ A × B. Khi đó dãy con znki = xnki , ynki , i ∈ N, hội tụ, limi→∞ znki = z. Vậy, A × B là tập compact trong Z. Trường hợp đặc biệt: Nếu A = X, B = Y ta có (Z, d) là không gian mêtric compact nếu và chỉ nếu (X, dX ), (Y, dY ) là các không gian mêtric compact. 2) Cho (X, d) là không gian mêtric compact, An , n ∈ N là tập đóng, An+1 ⊂ An . Giả sử ∞ 1 An = ∅. Chứng minh rằng có n0 ∈ N sao cho An0 = ∅. Hướng dẫn: Giả sử An = ∅, ∀n ∈ N. Với mỗi n ∈ N lấy xn ∈ An . Do An+p ⊂ An với mọi n, p ∈ N nên xn+p ∈ An . Do X là không gian mêtric compact, (xn )n là dãy trong X nên có dãy con (xnk )k hội tụ, đặt x = limk→∞ xnk . Do nk k với mọi k ∈ N và Ak là tập đóng nên với mọi i ∈ N, dãy (xnk )k i ⊂ Ai nên x ∈ Ai . Vậy x ∈ ∞ Ai , mâu thuẫn giả thiết ∞ Ai = ∅. Vậy, có n0 ∈ N sao cho An0 = ∅. 1 1 Ghi chú: Bài tập 2) có thể phát biểu tương đương như sau: 2’) Cho (X, d) là không gian mêtric, An , n ∈ N, là tập compact, An+1 ⊂ An . Giả sử ∅. Chứng minh có n0 ∈ N sao cho An0 = ∅. ∞ 1 Ai = 2”) Cho (X, d) là không gian mêtric compact, An , n ∈ N, là tập đóng khác rỗng, An+1 ⊂ An . Chứng minh ∞ Ai = ∅ 1 7 Ánh xạ liên tục 7.1 Định nghĩa Cho (X, d), (Y, ρ) là hai không gian mêtric và f : X → Y . Ta nói • f liên tục tại x ∈ X ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0 : ∀x ∈ X, d(x, x ) < δ ⇒ ρ (f (x), f (x )) < ε. 11 • f liên tục trên X nếu f liên tục tại mọi x ∈ X. Do đó f liên tục trên X ⇔ ∀x ∈ X, ∀ε > 0, ∃δ > 0 : ∀x ∈ X, d(x, x ) < δ ⇒ ρ (f (x), f (x )) < ε • f liên tục đều trên X ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0 : ∀x, x ∈ X, d(x, x ) < δ ⇒ ρ (f (x), f (x )) < ε. • f là đồng phôi nếu f là song ánh, f liên tục và ánh xạ ngược f −1 là liên tục. 7.2 Tính chất 1) f liên tục tại x ⇔ Với mọi dãy (xn )n trong X, limn→∞ xn = x thì limn→∞ f (xn ) = f (x). 2) Cho (X, d) là không gian mêtric compact, f : X → Y liên tục. Khi đó: f liên tục đều và ảnh f (X) là tập compact trong Y . Ta chứng minh f (X) là tập compact. Cho (yn )n là dãy trong f (X), khi đó có dãy (xn )n trong X sao cho yn = f (xn ) với mọi n ∈ N. Do X là không gian mêtric compact nên có dãy con (xnk )k hội tụ, đặt x = limk→∞ xnk . Do f liên tục tại x nên limk→∞ f (xnk ) = limk→∞ ynk = f (x) ∈ f (X) Vậy f (X) compact trong Y . 3) Cho (X, d) là không gian mêtric compact, f : X → R liên tục. Khi đó, f đạt cực đại, cực tiểu trên X nghĩa là có x1 , x2 ∈ X sao cho: f (x1 ) = max{f (x) : x ∈ X} , f (x2 ) = min{f (x) : x ∈ X} Bài tập 1) Cho (X, d), (Y, ρ) là hai không gian mêtric và f : X → Y . Chứng minh các mệnh đề sau tương đương: a) f liên tục trên X. b) f −1 (B) là tập mở nếu B là tập mở. c) f −1 (B) là tập đóng nếu B là tập đóng. d) f −1 (B) ⊂ f −1 (B), ∀B ⊂ Y . e) f (A) ⊂ f (A), ∀A ⊂ X. Hướng dẫn: a)⇒b) Với x ∈ f −1 (B) thì f (x) ∈ B là tập mở nên có ε > 0 sao cho BY (f (x), ε) ⊂ B. Do f liên tục nên tồn tại δ > 0 sao cho f (BX (x, δ)) ⊂ BY (f (x), ε) ⊂ B Suy ra BX (x, δ) ⊂ f −1 (B). Vậy f −1 (B) là mở. b)⇒a) Với x ∈ X và ε > 0, do f −1 (BY (f (x), ε)) là tập mở chứa x nên có δ > 0 sao cho: BX (x, δ) ⊂ f −1 (BY (f (x), ε)) Suy ra f (BX (x, δ)) ⊂ BY (f (x), ε) 12