Giáo án môn Toán lớp 11 Hàm số liên tục - Đỗ Thanh Hân

Ch<br /> :<br /> HÀM S<br /> <br /> LIÊN T C<br /> <br /> Ch<br /> bám sát (l p 11 ban CB)<br /> Biên so n:<br /> THANH HÂN<br /> ----------------------A/ M C TIÊU:<br /> - Cung c p cho h c sinh m t s d ng bài t p th ng g p có liên<br /> quan n s liên t c cu hàm s và ph ng pháp gi i các d ng bài ó.<br /> - Rèn k n ng bi n i, di n t ch t ch .<br /> - Góp ph n xây d ng n ng l c t duy lôgic, t duy c l p sáng t o.<br /> B/ TH I L<br /> <br /> NG:<br /> <br /> 3 ti t<br /> C/ N I DUNG:<br /> Ch<br /> - Ph<br /> - Ph<br /> - Ph<br /> <br /> g m có 3 ph n:<br /> n A: Tóm t t lí thuy t.<br /> n B: Các d ng bài t p th ng g p.<br /> n C: Câu h i tr c nghi m.<br /> <br /> D/ CHÚ THÍCH V M C<br /> <br /> YÊU C U:<br /> <br /> - Ch<br /> này thu c lo i ch<br /> bám sát, nh m h th ng m t s d ng<br /> bài t p c b n và k n ng gi i các d ng bài ó, giúp nâng cao kh n ng<br /> t h c c a h c sinh d i s h ng d n c a giáo viên.<br /> - ây là tài li u t h c có h ng d n nh m t<br /> c m c tiêu nh ã<br /> nêu trên.<br /> - Có b sung m t s ít bài t p nâng cao giúp các em h c sinh khá có<br /> thêm tài li u tham kh o.<br /> -------------<br /> <br /> Hàm s liên t c<br /> <br /> 1<br /> <br /> A/ TÓM T T LÍ THUY T:<br /> I.<br /> <br /> nh ngh a hàm s liên t c:<br /> 1)<br /> <br /> nh ngh a 1:<br /> Gi s! hàm s f ( x ) xác "nh trên kho ng ( a; b ) và x0 ∈ ( a; b ) .<br /> Hàm s f<br /> c g i là liên t c t i i#m x0 n u lim f ( x ) = f ( x0 ) .<br /> x → x0<br /> <br /> Hàm s không liên t c t i i#m x0<br /> <br /> c g i là gián o n t i x0.<br /> <br /> 2)<br /> <br /> nh ngh a 2:<br /> Hàm s f liên t c trên kho ng ( a; b ) n u nó liên t c t i m i i#m<br /> thu c kho ng ó.<br /> Hàm s f liên t c trên o n [ a; b ] n u nó liên t c trên kho ng<br /> ( a; b ) và lim f ( x ) = f ( a ) , lim f ( x ) = f ( b ) .<br /> x →a +<br /> <br /> II. M t s<br /> <br /> x →b −<br /> <br /> nh lí c b n v hàm s liên t c:<br /> <br /> 1) nh lí 1:<br /> a) Hàm a th$c liên t c trên t p R.<br /> b) Hàm phân th$c h%u t& và các hàm s l<br /> kho ng cu t p xác "nh c a chúng.<br /> <br /> ng giác liên t c trên t'ng<br /> <br /> 2) nh lí 2:<br /> Gi s! y = f ( x ) và y = g ( x ) là hai hàm s liên t c t i i#m x0. Khi<br /> ó:<br /> a) Các hàm s y = f ( x ) + g ( x ) , y = f ( x ) − g ( x ) , y = f ( x ) .g ( x ) liên t c t i<br /> i#m x0.<br /> b) Hàm s y =<br /> <br /> f ( x)<br /> <br /> g ( x)<br /> <br /> liên t c t i i#m x0 n u g ( x0 ) ≠ 0.<br /> <br /> 3) nh lí 3:<br /> N u hàm s y = f ( x ) liên t c trên o n [ a; b ] và f ( a ) . f ( b ) < 0 , thì t n<br /> t i ít nh t m t i#m c ∈ ( a; b ) sao cho f ( c ) = 0 .<br /> Nói cách khác: N u hàm s y = f ( x ) liên t c trên o n [ a; b ] và<br /> f ( a ) . f ( b ) < 0 , thì ph ng trình f ( x ) = 0 có ít nh t m t nghi m<br /> x0 ∈ ( a; b ) .<br /> <br /> Hàm s liên t c<br /> <br /> 2<br /> <br /> B/ CÁC D NG BÀI T P TH<br /> <br /> NG G P:<br /> <br /> D ng1: Xét tính liên t c c a hàm s t i i m x0.<br /> Ph ng pháp gi i:<br /> • Tính f ( x0 ) .<br /> • Tìm lim f ( x ) và áp d ng "nh ngh a 1).<br /> x → x0<br /> <br /> Ví d 1: Xét tính liên t c c a hàm s sau t i i#m x0 = 2.<br /> x3 − 8<br /> f ( x) = x − x − 2<br /> 10<br /> 3<br /> 2<br /> <br /> L i gi i:<br /> Ta có f ( 2 ) =<br /> <br /> 10<br /> 3<br /> <br /> lim f ( x ) = lim<br /> x→2<br /> <br /> x→2<br /> <br /> khi x ≠ 2<br /> khi x = 2<br /> <br /> (<br /> <br /> )<br /> <br /> ( x − 2) x2 + x + 4<br /> x3 − 8<br /> x 2 + x + 4 10<br /> = lim<br /> = lim<br /> = = f ( 2) .<br /> x→2<br /> 3<br /> x 2 − x − 2 x →2 ( x + 1)( x − 2 )<br /> x +1<br /> <br /> V y hàm s f liên t c t i i#m x0 = 2.<br /> --------------Ví d 2: Xét tính liên t c c a hàm s sau t i i#m x0 = 1.<br /> f ( x) =<br /> <br /> x −1<br /> khi x ≠ 1<br /> x −1<br /> 1<br /> khi x = 1<br /> <br /> L i gi i:<br /> Ta có f (1) = 1<br /> lim f ( x ) = lim<br /> x →1<br /> <br /> x →1<br /> <br /> x −1<br /> = lim<br /> x →1<br /> x −1<br /> <br /> (<br /> <br /> x −1<br /> <br /> )(<br /> <br /> x −1<br /> <br /> )<br /> <br /> x +1<br /> <br /> = lim<br /> x →1<br /> <br /> 1<br /> 1<br /> = ≠ f (1) .<br /> x +1 2<br /> <br /> V y hàm s f không liên t c t i i#m x0 = 1.<br /> --------------Ví d 3: Xét tính liên t c c a hàm s sau t i i#m x0 = 2.<br /> x2 − x − 2<br /> f ( x) =<br /> x−2<br /> 5− x<br /> <br /> L i gi i:<br /> Ta có f ( 2 ) = 3<br /> lim f ( x ) = lim<br /> +<br /> +<br /> <br /> x →2<br /> <br /> x→2<br /> <br /> Hàm s liên t c<br /> <br /> khi x > 2<br /> khi x ≤ 2<br /> <br /> ( x − 2 )( x + 1) = lim x + 1 = 3 .<br /> x2 − x − 2<br /> = lim+<br /> ( )<br /> x →2<br /> x → 2+<br /> x−2<br /> ( x − 2)<br /> <br /> 3<br /> <br /> lim f ( x ) = lim− ( 5 − x ) = 3 .<br /> <br /> x → 2−<br /> <br /> x→ 2<br /> <br /> Suy ra lim f ( x ) = f ( 2 )<br /> x→2<br /> <br /> V y hàm s f liên t c t i i#m x0 = 2.<br /> --------------Bài t p t gi i:<br /> Xét tính liên t c c a hàm s sau t i i#m x0<br /> x2 − 2 x − 3<br /> khi x ≠ 3<br /> x2 − 9<br /> f ( x) =<br /> a)<br /> 1<br /> khi x = 3<br /> 4<br /> <br /> b)<br /> <br /> c)<br /> <br /> x+3 −2<br /> x −1<br /> 1<br /> 4<br /> <br /> f ( x) =<br /> <br /> f ( x) =<br /> <br /> (x0 = 3).<br /> <br /> khi x ≠ 1<br /> <br /> (x0 = 1).<br /> <br /> khi x = 1<br /> <br /> x −5<br /> khi x > 5<br /> 2x −1 − 3<br /> <br /> ( x − 5)<br /> <br /> 2<br /> <br /> (x0 = 5).<br /> <br /> + 3 khi x ≤ 5<br /> <br /> -------------------------------D ng2: nh f ( x0 )<br /> hàm s f liên t c t i i m x0 .<br /> Ph ng pháp gi i<br /> Tìm lim f ( x ) và l y f ( x0 ) = lim f ( x ) .<br /> x → x0<br /> <br /> Ví d 1:<br /> <br /> x → x0<br /> <br /> "nh f ( 0 ) # hàm s sau liên t c t i x = 0.<br /> f ( x) =<br /> <br /> L i gi i:<br /> Ta có lim f ( x ) = lim<br /> x →0<br /> x →0<br /> V y hàm s<br /> <br /> 2− 4− x<br /> x<br /> <br /> ( x ≠ 0)<br /> <br /> 4 − (4 − x)<br /> 2− 4− x<br /> 1<br /> 1<br /> .<br /> = lim<br /> = lim<br /> =<br /> x→0<br /> x →0 2 + 4 − x<br /> x<br /> 4<br /> x 2+ 4− x<br /> <br /> (<br /> <br /> )<br /> <br /> 1<br /> 4<br /> <br /> ã cho liên t c t i x = 0 khi f ( 0 ) = .<br /> ---------------<br /> <br /> Ví d 2: Cho hàm s<br /> "nh a # hàm s<br /> Hàm s liên t c<br /> <br /> f ( x) =<br /> <br /> x +1 − 2<br /> x−3<br /> a<br /> <br /> ã cho liên t c t i x = 3.<br /> 4<br /> <br /> khi x ≠ 3<br /> khi x = 3<br /> <br /> L i gi i:<br /> Ta có f ( 3) = a<br /> lim f ( x ) = lim<br /> x →3<br /> <br /> V y hàm s<br /> <br /> x →3<br /> <br /> x +1 − 2<br /> ( x + 1) − 4<br /> 1<br /> 1<br /> .<br /> = lim<br /> = lim<br /> =<br /> x →3<br /> x →3<br /> x −3<br /> x +1 + 2 4<br /> ( x − 3) x + 1 + 2<br /> <br /> (<br /> <br /> )<br /> <br /> 1<br /> 4<br /> <br /> ã cho liên t c t i x = 3 khi a = .<br /> ---------------<br /> <br /> Bài t p t gi i:<br /> a)<br /> <br /> "nh f ( 9 ) # hàm s sau liên t c t i x = 9<br /> f ( x) =<br /> <br /> ( x ≠ 9).<br /> <br /> x2 + x + 1 −1<br /> khi x ≠ 0<br /> 3x<br /> a<br /> khi x = 0<br /> <br /> f ( x) =<br /> <br /> b) Cho hàm s<br /> <br /> 3− x<br /> x−9<br /> <br /> "nh a # hàm s ã cho liên t c t i x = 0.<br /> --------------------------------<br /> <br /> D ng 3: Xét tính liên t c c a hàm s trên kho ng, o n.<br /> Ph ng pháp gi i:<br /> • Dùng "nh ngh a.<br /> • Dùng "nh lí c b n.<br /> Ví d 1: Ch$ng minh hàm s f ( x ) = 8 − 2 x 2 liên t c trên o n [ −2; 2] .<br /> L i gi i:<br /> Hàm s f ( x ) = 8 − 2 x 2 xác "nh trên o n [ −2; 2] .<br /> ∀x0 ∈ ( −2; 2 ) ta có lim f ( x ) = lim 8 − 2 x 2 = 8 − 2 x0 2 = f ( x0 )<br /> x → x0<br /> <br /> ã cho liên t c trên kho ng ( −2; 2 ) .<br /> <br /> V y hàm s<br /> M t khác:<br /> <br /> x → x0<br /> <br /> lim f ( x ) = lim + 8 − 2 x 2 = 0 = f ( −2 )<br /> <br /> x →( −2) +<br /> <br /> x →( −2)<br /> <br /> lim f ( x ) = lim− 8 − 2 x 2 = 0 = f ( 2 )<br /> <br /> x → 2−<br /> <br /> Do ó hàm s<br /> <br /> Hàm s liên t c<br /> <br /> x →2<br /> <br /> ã cho liên t c trên o n [ −2; 2] .<br /> --------------5<br /> <br />