zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

giáo trình động lực học phần 3

Chia sẻ: Thái Duy Ái Ngọc | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

Báo xấu

160
lượt xem 33
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

GIÁO TRÌNH CƠ LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC §2. ĐỊNH LÝ VỀ BIẾN THIÊN ĐỘNG LƯỢNG VÀ ĐỊNH LÝ VỀ CHUYỂN ĐỘNG KHỐI TÂM. Định lý về biến thiên động lượng : 1. Động lượng : Động lượng của chất điểm là một đại lượng véctơ bằng tích khối lượng của chất điểm với véctơ vận tốc của nó : k = m.v

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: giáo trình động lực học phần 3

GIÁO TRÌNH CƠ LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC §2. ĐỊNH LÝ VỀ BIẾN THIÊN ĐỘNG LƯỢNG VÀ ĐỊNH LÝ VỀ CHUYỂN ĐỘNG KHỐI TÂM. 2.1 Định lý về biến thiên động lượng : 1. Động lượng : Động lượng của chất điểm là một đại lượng véctơ bằng tích khối lượng của chất điểm với véctơ vận tốc của nó : k = m.v (2.11) - Động lượng của hệ là tổng hình học động lượng của tất cả các chất điểm của nó. K = ∑ mk .v k (2.12) Nếu hệ nhiều vật thì động lượng của hệ bằng tổng hình học động lượng của mỗi vật. Đơn vị đo động lượng là kg.m/s. Động lượng có thể xác định qua khối lượng của hệ và vận tốc của khối tâm. Thật vậy theo định nghĩa khối tâm ta có : ∑m r = M .rC k k Đạo hàm hai vế lên theo thời gian ta được : ∑m r = M .rC k k Hay : ∑m v = M .vC k k Thế vào (2.12) ta được : K = MvC (2.13) Vậy : Động lượng của hệ bằng tích khối lượng của toàn hệ với vận tốc khối tâm của nó. Hình chiếu véctơ động lượng lên các trục tọa độ sẽ là : K x = ∑ mk x k = MxC , K y = ∑ mk y k = My C , K z = ∑ mk .z k = Mz C Từ (2.13) suy ra rằng động lực của cơ hệ đối với hệ trục bất kỳ Cx’y’z’ có gốc tọa độ ở khối tâm C và chuyển động cùng với tâm này sẽ bằng không vì đối với hệ tọa độ này vC = 0. Một trường hợp riêng thường gặp sẽ là chuyển động của một vật Chương II Các định lý tổng quát của động lực học Trang 20
GIÁO TRÌNH CƠ LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC rắn quanh một trục cố định. Nếu trục quay đi qua khối tâm thì động lượng của vật trong chuyển động đó sẽ bằng không. II. Xung lượng lực : Để biểu thị tác dụng của lực lên một vật thể trong một khoảng thời gian người ta đưa ra khái niệm xung lượng của lực. Đại lượng véctơ, kí hiệu ds bằng lực nhân với khoảng thời gian vô cùng bé dt : ds = F .dt (2.14) gọi là xung lượng nguyên tố của lực. Xung lượng của lực trong khoảng thời gian hữu hạn từ t0 đến t1 nào đó là đại lượng : t1 s = ∫ Fdt (2.15) t0 Hình chiếu xung lượng của lực trên các trục tọa độ sẽ là : t1 t1 t1 S x = ∫ Fx dt , S y = ∫ Fy dt , S z = ∫ Fz dt (2.16) t0 t0 t0 III. Định lý về động lượng : Định lý 2.1 : Đạo hàm theo thời gian động lượng của chất điểm bằng tổng hình học các lực tác dụng lên chất điểm ấy. d (mv ) = ∑ Fk (2.17) dt Phương trình (2.17) thực tế là một cách viết khác phương trình cơ bản của động lực học (1.4). Định lý 2.2 : Đạo hàm theo thời gian của động lượng của cơ hệ bằng véctơ, chính các ngoại lực tác dụng lên cơ hệ. dK = ∑ F ek (2.18) dt Chứng minh: Gọi tổng các ngoại lực và tổng các nội lực tác dụng lên chất điểm thứ k là F e k và F i k . Theo (2.17) đối với mọi điểm thuộc hệ ta có : d (mk v k ) = F ek + F ik (k= 1,2...n) dt Chương II Các định lý tổng quát của động lực học Trang 21
GIÁO TRÌNH CƠ LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC Cộng từng vế phương trình này ta được : d ∑ mk v k = ∑ F e k + ∑ F i k dt ∑F ∑m v = 0 và = K nên : Vì i k k k dK = ∑ F e k (Định lý đã được chứng minh) dt Định lý 2.3 : Biến thiên động lượng của chất điểm trong khoảng thời gian nào đó bằng tổng xung lượng của các lực tác dụng lên chất điểm trong khoảng thời gian đó. mv1 − mv0 = ∑ S k (2.19) Chứng minh: Từ (2.17) ta có : d (mv ) = ∑ Fk .dt Tích phân hai vế đẳng thức này với các cận tương ứng ta được : mv 1 t1 t1 ∫ d (mv ) = ∫ ∑ F .dt = ∑ ∫ F dt = ∑ S k k k mv 0 to t0 mv1 − mv0 = ∑ S k . Hay : Định lý 2.4 : Biến thiên động lượng của cơ hệ trong một khoảng thời gian nào đó bằng tổng xung lượng của tất cả các ngoại lực tác dụng lên hệ trong khoảng thời gian đó. K1 − K 0 = ∑ S e k (2.20) Chứng minh : Từ (2.18) ta có : dK = ∑ F e k .dt Tích phân hai vế đẳng thức này với các cận tương ứng ta được : k1 t1 t1 ∫ dK = ∫ ∑ F .dt = ∑ ∫ F e k dt = ∑ S e k e k to t0 k0 K1 − K 0 = ∑ S e k . Hay : Các định lý 2.1, 2.2 là định lý biến thiên động lượng của chất điểm dưới dạng vi phân còn các định lý 2.3 và 2.4 là các định lý viết dưới dạng hữu hạn. Chiếu các hệ thức (2.17), (2.18), (2.19) và (2.20) xuống các trục tọa độ chúng ta sẽ được các biểu thức vô hướng thường dùng trong tính toán. Chương II Các định lý tổng quát của động lực học Trang 22
GIÁO TRÌNH CƠ LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC IV. Định luật bảo toàn động lượng : Từ biểu thức (2.18) suy ra rằng : ∑F = 0 thì K = const Nếu e k Đẳng thức (2.21) biểu thị định luật bảo toàn động lượng của hệ. Nếu tổng các ngoại lực tác dụng lên hệ luôn luôn bằng không thì véctơ động lượng của hệ sẽ không thay đổi. ∑F ≠ 0 nhưng tổng hình chiếu của Trong thực tế xảy ra những trường hợp khi k các ngoại lực lên một trục nào đó bằng không chúng ta sẽ có định luật bảo toàn hình chiếu động lượng của hệ lên hệ trục đó như sau: Nếu tổng hình chiếu của các ngoại lực tác dụng lên hệ trên một trục nào đó bằng không thì hình chiếu véctơ động lượng lên trục đó sẽ không thay đổi. 2.2 Định lý chuyển động của khối tâm : Nếu ta tính động lượng của hệ theo công thức (2.13) qua vận tốc khối tâm của hệ và thay vào biểu thức (2.18) ta được : dK d = ( MWC ) = MWC = ∑ F e k (2.22) dt dt Biểu thức (2.22) được phát biểu dưới dạng một định lý như sau : Định lý 2.5: Trong chuyển động của cơ hệ một khối tâm chuyển động như một chất điểm có khối lượng bằng khối lượng của toàn hệ và chịu tác dụng của lực được biểu diễn bằng véctơ chính của ngoại lực đã đặt vào hệ. Chiếu (2.22) lên các trục toạ độ ta được : ⎧ MxC = ∑ F e x ⎪ ⎨MyC = ∑ F y e (2.22’) ⎪ Mz = ⎩ C ∑F z e Các phương trình (2.22’) là những phương trình vi phân chuyển động khối tâm của hệ trong toạ độ Đề-cát. ∑F = 0 thì WC = 0 hay WC = const nghĩa là : Từ (2.22) ta thấy rằng nếu e k Nếu véctơ chính của hệ ngoại lực tác dụng lên cơ hệ bằng không thì khối tâm của hệ sẽ đứng yên hay chuyển động thẳng đều. Đó là định luật bảo toàn chuyển động khối tâm của cơ hệ. Chương II Các định lý tổng quát của động lực học Trang 23
GIÁO TRÌNH CƠ LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC Tương tự như đã nói ở phần trên nếu tổng hình chiếu của các ngoại lực tác dụng lên cơ hệ trên một trục nào đó bằng không thì hình chiếu của khối tâm trên trục đó sẽ đứng yên hay chuyển động thẳng đều. Một số ví dụ minh hoạ : 1. Hiện tượng súng giật khi bắn : Xét cơ hệ gồm súng và đạn trong nòng súng. Khi đạn nổ xuất hiện một xung lực, xung lực đó là nội lực, không thể làm thay đổi chuyển động khối tâm của cơ hệ vì vậy nên đạn bay về phía trước thì súng sẽ chuyển động theo chiều ngược lại gây ra hiện tượng giật. 2. Người ta không thể đi được trên mặt phẳng nằm ngang trơn lý tưởng bởi vì tổng hình chiếu của các ngoại lực tác dụng lên người, gồm trọng lực và phản lực pháp tuyến của mặt phẳng trên phương ngang bằng không. Lực của cơ bắp là nội lực không thể làm cho cơ thể di chuyển được. Trong thực tế chúng ta đi được là nhờ lực ma sát giữa bàn chân và mặt ngang. Ví dụ 2.1 : Khối lượng bánh đà của một mô-tơ bằng m1 còn khối lượng các phần còn lại là A B m2. Bánh đà quay đều với vận φ tốc góc ω. N1 Khối tâm của nó lệch trục một P1 khoảng AB = a. Tính phản lực tựa của nền và bu-lông giữ mô- N2 P2 tơ với giả thuyết rằng phản lực Hình 15 tương đương với một hợp lực với các thành phần N1 , N 2 (Hình vẽ) Giải : Những ngoại lực tác dụng lên mô-tơ trong trường hợp này là P1 , P2 và N1 , N 2 . Phương trình (2.22) chiếu lên các trục tọa độ x, y sẽ là : MxC = N 1 My C = N 2 − (m1 + m2 ) g trong đó : M = m1 + m2. C là khối tâm của cơ hệ. Chương II Các định lý tổng quát của động lực học Trang 24
GIÁO TRÌNH CƠ LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC Trong trường hợp này chuyển động của khối tâm đã biết qua quy luật quay của bánh đà cụ thể là : MxC = m2 x A + m1 ( x A + a sin ωt ) My C = m2 y A + m1 ( y A − a cos ωt ) Vì : xA = const, yA = const nên : MxC = −m1 aω 2 sin ωt My C = m1 aω 2 cos ωt N 1 = −m1 aω 2 sin ωt Nên : N 2 = (m1 + m2 ) g + m1 aω 2 cos ωt Ví dụ 2.2: (Áp dụng dòng chảy Vb lỏng). Một cột chất lỏng chảy ra từ ống b’ b’ có diện tích thiết diện là S với vận tốc v nghiêng một góc so với phương b b1 thẳng đứng (hình 16). Xác định áp lực N y tổng hợp của dòng chảy lên tường đứng, xem dòng chảy là dừng. a’ a Giải : Sử dụng phương trình (2.20) cho khối chất lỏng giới hạn bởi a’1 c c1 V x a1 các thiết diện aa1, bb1, cc1. Bỏ qua áp c’1 c’ lực tại thiết diện aa1và xem rằng khi Vc Hình 16 gặp tường các phần tử chất lỏng không bị bắn trở lại. Xét trong khoảng thời gian t1 – t0 = 1 giây. Ngoại lực tác dụng lên khối chất lỏng trong thời gian gồm trọng lực và phản lực N . t1 K 1 − K 0 = ∫ ( P + N )dt (a) t0 Trong khoảng thời gian 1 giây các thiết diện aa1, bb1, cc1 dịch chuyển đến các vị trí a’a’1, b’b’1, c’c’1 và biến thiên động lượng của khối nước trong khoảng thời gian đó sẽ là : K 1 − K 0 = −m1v a + m2 vb + m3 vc (b) Trong đó m1, m2, m3 là khối lượng chất lỏng trong khối aa1a’a’1, bb1b’b’1, cc1c’c’1. Chương II Các định lý tổng quát của động lực học Trang 25
GIÁO TRÌNH CƠ LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC Ta có m1 = ρSv (trong đó ρ là khối lượng riêng của chất lỏng). Thế (b) vào (a) xem N = const và chiếu hai vế lên trục x ta được ( vb , vc ┴ x) -ρSv2sinα = -N N = ρSv2sinα hay : §3. ĐỊNH LÝ VỀ MÔMEN ĐỘNG LƯỢNG 3.1 Các định nghĩa và khái niệm : 1- Mômen của véctơ động lượng mv đối với tâm O (hay trục z) được kí hiệu là l0 hay l z và được gọi tương ứng là mômen động lượng của điểm đối với tâm O hay trục đó. Cách tính mômen của véctơ động lượng cũng giống như cách tính mômen của lực. Như đã biết trong phần Tĩnh học ta có : i j k l 0 = m0 (mv ) = r ∧ mv = x (2.23) y z mx my mz Mk V k lz = m z (mv ) = hc z (l 0 ) (2.24) 2- Mômen chính động lượng của hệ đối với tâm (hay Vk một trục) bằng tổng mômen động lượng của tất cả các Mk điểm thuộc hệ đối với tâm (hay trục) đó : L0 = ∑ l 0 k = ∑ (rk ∧ mk v k ) (2.25) L z = ∑ l zk = ∑ hc z l 0 k (2.26) Hình 17 3- Mômen chính động lượng của vật rắn quay quanh trục cố dịnh đối với trục quay của nó. Giả sử vật rắn quay quanh trục z với vận tốc góc ω. Mômen động lượng của một phần tử Mk của vật đối với trục quay sẽ là : lzk = rkmkvk mặt khác vk = rkω nên lzk = mkr2kω. Do đó mômen chính động lượng của vật đối với trục quay sẽ là L z = ∑ l zk = ∑ mk r 2 k ω = ω ∑ mk r 2 k = J z ω Chương II Các định lý tổng quát của động lực học Trang 26
GIÁO TRÌNH CƠ LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC 3.2 Định lý biến thiên mômen động lượng đối với tâm (hay trục) cố định : a) Đối với chất điểm; Định lý 3.1: Đạo hàm theo thời gian mômen động lượng của chất điểm đối với một tâm (hay một trục) bằng tổng hình học (hay tổng đại số) mômen của các lực tác dụng lên chất điểm đối với cùng tâm (hay trục) ấy : dl 0 = ∑ m0 ( Fk ) (2.27) dt dl z = ∑ m z ( Fk ) (2.28) dt Chứng minh : Giả sử chất điểm m chuyển động dưới tác dụng của hệ lực F1 , F2 ,...., Fn . Phương trình cơ bản của động lực học trong trường hợp này có dạng : mW = ∑ Fk d (mv ) = ∑ Fk hay : dt Gọi r là bán kính véctơ từ gốc hệ trục tới chất điểm. Nhân véctơ r với hai vế của đẳng thức trên ta được : d (mv ) = r ∧ ∑ Fk r∧ dt d dr d (r ∧ mv ) = ∧ mv + r ∧ (mv ) Ta có : dt dt dt d d (r ∧ mv ) = v ∧ mv + r ∧ (mv ) dt dt Vì v ∧ mv = 0 dl d d (r ∧ mv ) = r ∧ (mv ) = 0 Do đó ta có : dt dt dt dl 0 r ∧ ∑ F k = ∑ r ∧ Fk = (đpcm) dt II. Đối với cơ hệ : Định lý 3.2 : Đạo hàm theo thời gian mômen chính động lượng của cơ hệ đối với tâm (hay một trục) bằng tổng mômen của các ngoại lực đối với tâm (hay trục) đó : dL0 = ∑ m0 ( F e k ) (2.29) dt Chương II Các định lý tổng quát của động lực học Trang 27
GIÁO TRÌNH CƠ LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC dLz = ∑ mz (F e k ) (2.30) dt Chứng minh : Xét cơ hệ gồm n chất điểm, gọi F e k và F i k lần lượt là tổng các ngoại lực và tổng các nội lực tác dụng lên chất điểm thứ k. Đối với từng chất điểm của hệ theo (2.27) ta có : d e (rk ∧ mk v k ) = rk ∧ Fk + rk ∧ F i k dt Cộng từng vế các đẳng thức này ta được : d ∑ dt (r ∧ mk v k ) = ∑ rk ∧ Fk + ∑ rk ∧ F i k e k k k k Từ tính chất của các nội lực, ta có : ∑r ∧ F ik = 0 k k nên : d ∑ dt (r ∧ mk v k ) = ∑ rk ∧ Fk e k k k d ∑ (rk ∧ mk vk ) = ∑ rk ∧ Fk e dt k k dL0 = ∑ m0 ( F e k ) (đpcm) dt Theo kết quả vừa nhận được (2.29) đúng với mọi điểm O, chọn O nằm trên trục z, chiếu 2 vế đẳng thức (2.29) lên trục z ta sẽ nhận được (2.30). III. Định luật bảo toàn mômen động lượng : Từ (2.29) chúng ta nhận thấy rằng, nếu : ∑ m (F ) = 0 thì L0 = const (2.31) e y k 0 Đẳng thức này biểu thị định luật bảo toàn V mômen động lượng phát biểu như sau: M’ ds Nếu mômen chính của các ngoại lực tác M dụng lên hệ đối với một tâm bằng không thì mômen chính động lượng của hệ đối với tâm dσ ấy sẽ không đổi. O x Định luật bảo toàn mômen động lượng Hình 18 Chương II Các định lý tổng quát của động lực học Trang 28
GIÁO TRÌNH CƠ LÝ THUYẾT II PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC của cơ hệ đối với một trục được phát biểu hoàn toàn tương tự. Một hệ quả trực tiếp có tầm quan trọng trong ứng dụng thực tiễn của định luật bảo toàn mômen động lượng là trường hợp khi chất điểm chịu tác dụng của lực xuyên tâm (lực có đường tác dụng luôn đi qua 1 điểm O nào đó). Xét chuyển động của chất điểm M chuyển động dưới tác dụng của lực xuyên tâm F (hình 17). Vì trong trường hợp này m0 ( F ) = 0 nên m0 (mv ) = r ∧ mv = const Vì véctơ m0 (mv ) có hướng vuông góc với mặt phẳng chứa véctơ r và v nên nếu : m0 (mv ) = const thì véctơ r và v phải luôn nằm trong cùng một mặt phẳng, nghĩa là quỹ đạo của M là một đường cong phẳng và m0 (mv ) = vh = const . dσ ds vh = h=2 Mặt khác : dt dt dσ ( dσ là diện tích tam giác phân tố OMM’. Đại lượng xác định vận tốc tăng dt của của diện tích phần mặt phẳng do bán kính OM quét được khi điểm M chuyển động gọi là vận tốc hạt quay vận tốc diện tích. Trong trường hợp đang xét : dσ 1 = m0 (mv ) = const dt 2 Những điều trên chứng tỏ rằng trong chuyển động dưới tác dụng của lực xuyên tâm, điểm chuyển động theo đường cong thẳng với vận tốc quạt không đổi, tức là chuyển động sao cho trong một khoảng thời gian bằng nhau, bán kính véctơ của điểm quét được những diện tích bằng nhau (định luật các diện tích). Đây là một trong những định luật Kepler. Định luật bảo toàn mômen động lượng cho phép ta giải thích một số hiện tượng, chẳng hạn hiện tượng quay thân máy bay lên thẳng khi cất cánh (trong trường hợp không có cánh quạt lái). Thật vậy gọi trục Cz là trục thẳng đứng qua khối tâm C của máy bay, ta có : LZ(máy bay) +LZ(cánh quạt) = 0 Chương II Các định lý tổng quát của động lực học Trang 29

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.