Giáo trình Giải tích 4 - Huỳnh Thế Phùng

Chia sẻ: Dinh Tuan | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:43

Thêm vào BST

Báo xấu

117
lượt xem 10
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giáo trình "Giải tích 4" do Huỳnh Thế Phùng biên soạn có cấu trúc gồm 4 chương trình bày các nội dung: Tích phân bội, tích phân phụ thuộc tham số, tích phân đường - Tích phân mặt. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Giải tích 4 - Huỳnh Thế Phùng

GIÁO TRÌNH GIẢI TÍCH IV Huỳnh Thế Phùng, Khoa Toán, ĐHKH Huế Ngày 26 tháng 9 năm 2006
1 Mục lục Chương 1. Tích phân bội 4 1.1. Tích phân Riemann trên hộp đóng trong Rn . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1. Hình hộp - Phân hoạch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2. Định nghĩa tích phân Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.3. Các tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.4. Định lý khả tích Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2. Tích phân trên tập bất kỳ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.1. Tập đo được Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.2. Tích phân Riemann trên tập bị chặn - Tính chất . . . . . . . 9 1.3. Định lý Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.1. Công thức tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.2. Công thức tính tích phân hai lớp . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.3. Công thức tính tích phân ba lớp . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4. Phép đổi biến trong tích phân bội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4.1. Công thức tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4.2. Đổi biến sang toạ độ cực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.3. Đổi biến sang toạ độ trụ và toạ độ cầu . . . . . . . . . . . . . 15 1.5. Ứng dụng của tích phân bội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.5.1. Thể tích vật thể trụ, diện tích hình phẳng . . . . . . . . . . . 16 1.5.2. Diện tích mặt cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.5.3. Khối lượng, trọng tâm bản phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.5.4. Khối lượng, trọng tâm của cố thể . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6. Thực hành tính toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6.1. Tích phân bội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6.2. Tích phân lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.7. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Chương 2. Tích phân phụ thuộc tham số 22
2 2.1. Tích phân phụ thuộc tham số với cận là hằng . . . . . . . . . . . . . 22 2.2. Tích phân với cận là hàm của tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.3.1. Hội tụ - Hội tụ đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.3.2. Các tiêu chuẩn hội tụ đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.3.3. Tính chất của tích phân hội tụ đều . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.4. Một số tích phân quan trọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.4.1. Hàm Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.4.2. Hàm Beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.4.3. Tích phân Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.5. Thực hành tính toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.6. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Chương 3. Tích phân đường - Tích phân mặt 29 3.1. Tích phân đường loại I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.1.2. Các tính chất. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.1.3. Cách tính. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.1.4. Ứng dụng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.2. Tích phân đường loại II. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.2.1. Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.2.2. Cách tính tích phân đường loại II . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.2.3. Ý nghĩa vật lý của tích phân đường loại II . . . . . . . . . . . 34 3.2.4. Công thức Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.2.5. Điều kiện để tích phân không phụ thuộc đường . . . . . . . . 35 3.3. Tích phân mặt loại I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.3.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.3.2. Cách tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.3.3. Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.4. Tích phân mặt loại II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.4.1. Mặt hai phía định hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.4.2. Định nghĩa tích phân mặt loại II . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.4.3. Cách tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3 3.4.4. Ý nghĩa vật lý của tích phân mặt loại II . . . . . . . . . . . . 39 3.4.5. Công thức Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.4.6. Công thức Ostrogradski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.5. Thực hành tính toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.6. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4 Chương 1. TÍCH PHÂN BỘI 1.1. Tích phân Riemann trên hộp đóng trong Rn 1.1.1. Hình hộp - Phân hoạch Ta gọi một hộp trong Rn là tập hợp có dạng n Y D= Ij , (1.1) 1 trong đó, Ij là một khoảng trong R (tức là có một trong 4 dạng (aj , bj ), (aj , bj ], [aj , bj ), [aj , bj ]) . Nếu các Ij đều là khoảng đóng (mở) thì D được gọi là một hộp ◦ đóng (mở). Dễ thấy rằng với D là hộp bất kỳ thì D và D lần lượt là các hộp mở (có thể rỗng) và đóng. Khoảng Ij được gọi là suy biến nếu đó là tập một điểm. D được gọi là hộp k chiều nếu có đúng k khoảng Ij là không suy biến. Lúc đó, nếu k < n thì ta cũng gọi D là hộp suy biến, D được gọi là hộp không suy biến nếu ngược lại. ◦ Dễ thấy D là hộp suy biến khi và chỉ khi D = ∅. D được gọi là hộp mở tương đối k chiều nếu k khoảng không suy biến cấu tạo nên D đều là khoảng mở. Chẳng hạn hộp mở tương đối 2 chiều trong R2 chính là hình chữ nhật mở trong mặt phẳng có các cạnh song song với các trục toạ độ, hộp mở tương đối 1 chiều trong R2 là các đoạn thẳng (không kể 2 mút) song song với các trục toạ độ, hộp mở tương đối hai chiều trong R3 là các hình chữ nhật (không kể các cạnh) có các cạnh song song với 2 trong 3 trục toạ độ, hộp mở tương đối 0 chiều là tập 1 điểm. Có thể kiểm tra được rằng mọi hộp đóng n chiều đều có thể biểu diễn dưới dạng hợp của 3n hộp mở tương đối (có chiều từ 0 đến n) rời nhau!! Với mỗi hộp D được cho bởi (1.1), ta gọi giá trị n Y Vol(D) := λ(Ij ), (1.2) 1
5 ◦ ¯ có với λ(Ij ) ký hiệu độ dài của khoảng Ij , là thể tích của D. Rõ ràng, D, D và D cùng thể tích và hộp có thể tích bằng không khi và chỉ khi nó là hộp suy biến. Ta cũng dễ dàng chứng minh được kết quả sau Bổ đề 1.1. Giả sử D1 , D2 , · · · , Dm là các hộp có phần trong rời nhau sao cho hợp của chúng cũng là một hộp D trong Rn . Lúc đó m X Vol(D) = Vol(Dk ). 1 Bây giờ xét hộp đóng n Y D= [aj , bj ] = [a1 , b1 ] × [a2 , b2 ] × · · · × [an , bn ]. 1 Phân hoạch P của D là một bộ gồm n phân hoạch của các đoạn [a1 , b1 ], · · · , [an , bn ] : a1 = x10 < x11 < · · · < x1k(1) = b1 ; a2 = x20 < x21 < · · · < x2k(2) = b2 ; ··· an = xn0 < xn1 < · · · < xnk(n) = bn . Lúc đó P sẽ xác định một họ P(D) gồm m = k(1) × k(2) × · · · × k(n) hộp đóng con có phần trong rời nhau. Ta gọi đường kính của phân hoạch P là giá trị sau ρ(P) := max{xij − xij−1 | 1 ≤ j ≤ k(i); 1 ≤ i ≤ n}. Cuối cùng, môt phân hoạch Q được gọi là mịn hơn phân hoạch P (hay P thô hơn Q) nếu với mọi E 0 ∈ Q(D) tồn tại E ∈ P(D) sao cho E 0 ⊂ E. Lúc đó ta ký hiệu P ¿ Q. 1.1.2. Định nghĩa tích phân Riemann Cho f là hàm bị chặn trên hình hộp D và P là một phân hoạch của D ta đặt bk := sup{f (x) | x ∈ Dk }, ak := inf{f (x) | x ∈ Dk }; Dk ∈ P(D). Lúc đó, các tổng m X m X S ∗ (f ; P) := bk . Vol(Dk ); S∗ (f ; P) := ak . Vol(Dk ) k=1 k=1 lần lượt được gọi là tổng Darboux trên và tổng Darboux dưới của f trên D tương ứng với phân hoạch P. Ta có thể chứng minh các tính chất sau đây của tổng Darboux:
6 a) S ∗ (f ; P) ≥ S∗ (f ; P) với mọi phân hoạch P. b) Nếu Q là phân hoạch mịn hơn P thì S∗ (f ; P) ≤ S∗ (f ; Q) ≤ S ∗ (f ; Q) ≤ S ∗ (f ; P). c) Với mọi phân hoạch P và Q của D ta có S∗ (f ; P) ≤ S ∗ (f ; Q). Cho f là hàm bị chặn trên hộp đóng D. Ta gọi tích phân dưới và tích phân trên của f trên D lần lượt là các giá trị sau Z Z− f := sup S∗ (f ; P); f := inf S ∗ (f ; P). P P −D D ở đây, sup và inf được lấy trên tất cả các phân hoạch của D. Rõ ràng, ta luôn luôn R R− có f ≤ f . Hàm f sẽ được gọi là khả tích trên D nếu −D D Z Z− f= f = I. −D D Lúc đó, I được gọi là tích phân Riemann của hàm f trên hộp D và được ký hiệu bởi một trong các cách sau Z Z Z f; f (x)dx; f (x1 , x2 , · · · , xn )dx1 · · · dxn D D D hay ZZ Z ··· f (x1 , x2 , · · · , xn )dx1 · · · dxn . D Đặc biệt, trong RR trường RRRhợp 2 hay 3 chiều người ta thường thay ký hiệu tích phân trên D bởi D hay , và được gọi là tích phân hai lớp hay ba lớp. Cụ thể, với RR D RRR n = 2 ta có D f (x, y)dxdy còn với n = 3 thì D f (x, y, z)dxdydz. Ví dụ 1.1. Tích phân hàm hằng, hàm Dirichlet. Định lý 1.1. Hàm bị chặn f là khả tích trên D khi và chỉ khi với mọi ² > 0 tồn tại phân hoạch P sao cho S ∗ (f ; P) − S∗ (f ; P) < ².
7 1.1.3. Các tính chất cơ bản a) Nếu f khả tích trên D và α ∈ R thì hàm αf cũng khả tích trên D và Z Z αf = α f. D D b) Nếu f, g là các hàm khả tích trên D thì f ± g cũng khả tích trên D và Z Z Z (f ± g) = f± g. D D D c) Nếu f, g đều khả tích trên D, đồng thời f (x) ≤ g(x) với mọi x ∈ D, thì Z Z f≤ g. D D d) Nếu f là hàm khả tích trên D và m ≤ f (x) ≤ M với mọi x ∈ D thì Z m Vol(D) ≤ f (x)dx ≤ M Vol(D). D 1.1.4. Định lý khả tích Lebesgue Một tập S ⊂ Rn được gọi là có độ đo (n−chiều) không nếu với mọi ² > 0 tồn tại một dãy các hình hộp đóng (Dk )k sao cho ∞ [ ∞ X S⊂ Dk và Vol(Dk ) < ². k=1 k=1 Rõ ràng là trong định nghĩa trên ta có thể lấy các hình hộp mở thay cho các hình hộp đóng. Ta cũng dễ dàng kiểm tra được các khẳng định sau: a) Nếu S1 ⊂ S2 và S2 có độ đo không thì S1 cũng vậy. b) Nếu Sn có độ đo không với mọi n ∈ N, thì ∪Sn cũng có độ đo không. Từ đó suy ra mọi tập không quá đếm được có độ đo không. c) Một hình hộp có độ đo không khi và chỉ khi nó suy biến . Định lý 1.2 (Lebesgue). Một hàm f bị chặn trên hình hộp đóng D là khả tích khi và chỉ khi tập các điểm gián đoạn của f có độ đo không. Để chứng minh định lý này ta cần một số kết quả bổ trợ. Giả sử f là hàm bị chặn trên một tập D ⊂ Rn . Với mỗi x ∈ D và δ > 0 ta đặt ω(f, x, δ) := sup{|f (y) − f (y 0 )| : y, y 0 ∈ D ∩ B(x; δ)}.
8 Ta gọi dao độ của hàm f tại x là giá trị sau ω(f, x) := lim ω(f, x, δ) = inf ω(f, x, δ). δ→0+ δ>0 Bổ đề 1.2. Hàm f liên tục tại x0 ∈ D khi và chỉ khi ω(f, x0 ) = 0. Bổ đề 1.3. Giả sử f là hàm bị chặn trên hình hộp đóng D và ² là một số dương sao cho ω(f, x) < ² với mọi x ∈ D. Lúc đó tồn tại một phân hoạch P của D mà S ∗ (f ; P) − S∗ (f ; P) < ². Vol(D). Bổ đề 1.4. Cho f là một hàm bị chặn trên tập đóng D. Lúc đó, với mọi số dương ² tập hợp sau là đóng {x ∈ D | ω(f, x) ≥ ²}. ˜ là hai hình hộp, f là hàm xác định trên D. Ta định nghĩa Bây giờ cho D ⊂ D hàm mở rộng: ( f (x), x ∈ D, f˜(x) := 0, x∈D ˜ \ D. Lúc đó, áp dụng ˜ R Định Rlý Lebesgue ta thấy f khả tích trên D khi và chỉ khi f khả ˜ ˜ tích trên D và D˜ f = D f. Hệ quả 1.1. Nếu f và g là các hàm khả tích trên hình hộp D thì hàm f.g cũng vậy. Hệ quả 1.2 (Định lý giá trị trung bình). Giả sử f và g là các hàm khả tích trên hình hộp D thoả mãn m ≤ f (x) ≤ M ; g(x) ≥ 0; ∀x ∈ D, với m và M là các hằng số. Khi đó, tồn tại µ ∈ [m, M ] sao cho Z Z f (x)g(x)dx = µ g(x)dx. D D Hệ quả 1.3. Nếu f là hàm khả tích trên hình hộp D thì hàm |f | cũng vậy. Hơn nữa, ta có ¯Z ¯ Z ¯ ¯ ¯ f (x)dx¯ ≤ |f (x)|dx. ¯ ¯ D D 1.2. Tích phân trên tập bất kỳ 1.2.1. Tập đo được Jordan Cho G ⊂ Rn . Ta gọi hàm χG : Rn → R xác định bởi ( 1 nếu x ∈ G, χG (x) = 0 nếu x 6∈ G
9 là hàm đặc trưng của tập hợp G. Tập hợp bị chặn G ⊂ Rn được gọi là đo được Jordan nếu tồn tại hình hộp đóng D ⊃ G sao cho hàm χG khả tích trên D. Lúc đó số Z Vol(G) := χG D được gọi là thể tích của G. Từ định nghĩa ta có các nhận xét sau: - Thể tích của tập đo được Jordan G không phụ thuộc việc chọn hình hộp D chứa nó. - Mọi hình hộp đều đo được và thể tích của nó trùng với định nghĩa thể tích cho bởi Công thức (1.2). - Một tập có thể tích không thì có độ đọ không (xem Bài tập 1.4). Tuy nhiên, một tập có độ đo không có thể không đo được Jordan, nên không có thể tích không. Định lý 1.3. Tập bị chặn G là đo được Jordan nếu và chỉ nếu ∂G có độ đo không. Điều này là do ∂G chính là tập hợp điểm gián đoạn của hàm χG . Hệ quả 1.4. a) Nếu G là tập đo được Jordan và D là một hình hộp chứa G thì D \ G cũng đo được Jordan. Lúc đó, Vol(D \ G) = Vol(D) − Vol(G). b) Nếu G1 và G2 là đo được Jordan, thì hợp, giao, hiệu của chúng cũng vậy. Hơn nữa: Vol(G1 ∪ G2 ) = Vol(G1 ) + Vol(G2 ) − Vol(G1 ∩ G2 ). 1.2.2. Tích phân Riemann trên tập bị chặn - Tính chất Cho G ⊂ Rn và f là một hàm số xác định trên một hình hộp đóng D ⊃ G. Ta nói hàm f khả tích trên G nếu hàm f.χG khả tích trên D và viết Z Z f := f χG . G D Cũng như định nghĩa độ đo Jordan, định nghĩa này hoàn toàn không phụ thuộc vào việc chọn hình hộp D. Nếu G là tập đo được Jordan và f là hàm khả tích trên D, thì f cũng khả tích trên G. Sau đây là một số tính chất của tích phân trên tập đo được. Định lý 1.4. Cho G là tập đo được và f, g là các hàm khả tích trên G. Lúc đó, a) Với mọi số thực α, hàm αf khả tích trên G và Z Z αf = α f. G G
10 b) Các hàm f ± g khả tích trên G và Z Z Z (f ± g) = f± g. G G G c) Nếu f (x) ≤ g(x) với mọi x ∈ G, thì Z Z f≤ g. G G d) Hàm |f | khả tích trên G và ¯Z ¯ Z ¯ ¯ ¯ f (x)dx¯ ≤ |f (x)|dx. ¯ ¯ G G e) Hàm f.g khả tích trên G, hơn nữa nếu m ≤ f (x) ≤ M ; g(x) ≥ 0; ∀x ∈ G, với m và M là các hằng số, thì tồn tại µ ∈ [m, M ] sao cho Z Z f (x)g(x)dx = µ g(x)dx. G G Định lý 1.5. Giả sử G1 , G2 là các tập đo được Jordan sao cho Vol(G1 ∩ G2 ) = 0. Lúc đó, nếu f khả tích trên mỗi tập G1 và G2 , thì f cũng khả tích trên G1 ∪ G2 và Z Z Z f= f+ f. G1 ∪G2 G1 G2 1.3. Định lý Fubini 1.3.1. Công thức tổng quát Cho G = D × E ⊆ Rm+k , với D và E lần lượt là các hình hộp đóng trong Rm và Rk . Giả sử f (x, y), x ∈ D, y ∈ E, là hàm m + k biến khả tích trên G. Với mỗi x ∈ D ta đặt Z Z− ∗ J∗ (x) := f (x, y)dy, J (x) := f (x, y)dy; x ∈ D. −E E Định lý 1.6. Với các giả thiết như trên các hàm J∗ (x) và J ∗ (x) đều khả tích trên D, có tích phân bằng nhau và bằng tích phân của hàm f trên G. Cụ thể, Z Z Z f (x, y)dxdy = J∗ (x)dx = J ∗ (x)dx, D×E D D
11 hay Z Z Z Z Z− f (x, y)dxdy = dx f (x, y)dy = dx f (x, y)dy. D×E D D −E E Nếu hàm f (x, y) liên tục trên G thì f khả tích. Mặt khác, lúc đó với mọi x ∈ D. R hàm f (x, ·) liên tục nên khả tích trên E. Do đó, J∗ (x) = J ∗ (x) = E f (x, y)dy. Áp dụng định lý trên ta trực tiếp thu được kết quả sau Định lý 1.7 (Fubini). Nếu f (x, y) là hàm liên tục trên tập G = D × E ⊆ Rm+k , với D và E lần lượt là các hình hộp đóng trong Rm và Rk , thì ta có công thức tích phân lặp Z Z Z Z Z f (x, y)dxdy = dx f (x, y)dy = dy f (x, y)dx. D×E D E E D Trường hợp nếu G = [a1 , b1 ] × · · · × [an , bn ] ⊂ Rn và f là hàm liên tục trên G thì bằng cách sử dụng Định lý Fubini n − 1 lần ta nhận được công thức Z Z b1 Z b2 Z bn f= dx1 dx2 · · · f (x1 , · · · , xn )dxn . G a1 a2 an Vì vai trò các biến là bình đẳng nên thứ tự lấy tích phân có thể thực hiện tuỳ ý mà không làm ảnh hưởng đến kết quả. Nếu f (x), g(y) lần lượt là các hàm liên tục trên các hình hộp D ⊂ Rm và E ⊂ Rk thì hàm tích h(x, y) = f (x)g(y) liên tục trên hình hộp G = D × E và Z µZ ¶ µZ ¶ f (x)g(y)dxdy = f (x)dx g(y)dy . D×E D E 1.3.2. Công thức tính tích phân hai lớp Bây giờ ta xét trường hợp G là hình thang cong trong mặt phẳng được cho dưới dạng: G = {(x, y) | x ∈ [a, b], ϕ1 (x) ≤ y ≤ ϕ2 (x)}, với ϕ1 , ϕ2 là các hàm liên tục trên [a, b]. Cách tính tích phân trên G được cho bởi định lý sau Định lý 1.8. Tập hợp G như trên là đo được Jordan trong R2 và với mọi hàm hai biến f (x, y) liên tục trên G, f khả tích và ZZ Z b Z ϕ2 (x) f (x, y)dxdy = dx f (x, y)dy. G a ϕ1 (x)
12 Thật ra kết quả này có thể mở rộng cho trường hợp f không liên tục. Ta có khẳng định sau Định lý 1.9. Giả sử f (x, y) là hàm khả tích trên G, sao cho với mọi x ∈ [a, b] tồn tại tích phân Z ϕ2 (x) J(x) := f (x, y)dy. ϕ1 (x) Lúc đó, hàm J(x) xác định, khả tích trên [a, b] và ZZ Z b Z b Z ϕ2 (x) f (x, y)dxdy = J(x)dx = dx f (x, y)dy. G a a ϕ1 (x) Tương tự, nếu G có dạng G = {(x, y) | y ∈ [c, d], ϕ1 (y) ≤ x ≤ ϕ2 (y)}, và các điều kiện cần thiết thoả mãn, ta cũng có công thức tích phân lặp ZZ Z d Z ϕ2 (y) f (x, y)dxdy = dy f (x, y)dx. G c ϕ1 (y) 1.3.3. Công thức tính tích phân ba lớp Trước hết, ta xét trường hợp miền lấy tích phân G ⊂ R3 là hình trụ mở rộng: G = {(x, y, z) | (x, y) ∈ D; ϕ1 (x, y) ≤ z ≤ ϕ2 (x, y)}, trong đó, D là một tập compact đo được Jordan trong R2 và ϕ1 , ϕ2 là các hàm liên tục trên D. Định lý 1.10. Với các giả thiết như trên, G là một tập đo được Jordan trong R3 . hơn nữa, nếu f (x, y, z) là hàm liên tục trên G thì ZZZ ZZ Z ϕ2 (x,y) f (x, y, z)dxdydz = dxdy f (x, y, z)dz. G D ϕ1 (x,y) Định lý này cũng được mở rộng cho trường hợp hàm f không liên tục như khẳng định của kết quả sau Định lý 1.11. Nếu f (x, y, z) là một hàm khả tích trên G và hơn nữa, với mỗi (x, y) ∈ D, tích phân sau tồn tại Z ϕ2 (x,y) J(x, y) = f (x, y, z)dz, ϕ1 (x,y) thì hàm J(x, y) xác định, khả tích trên D và ZZZ ZZ Z ϕ2 (x,y) f (x, y, z)dxdydz = dxdy f (x, y, z)dz. G D ϕ1 (x,y)
13 Kết hợp Định lý 1.8 và Định lý 1.10 ta có hệ quả sau Hệ quả 1.5. Nếu f (x, y, z) là một hàm liên tục trên tập G = {(x, y, z) | x ∈ [a, b], y1 (x) ≤ y ≤ y2 (x), z1 (x, y) ≤ z ≤ z2 (x, y)}, với y1 (x), y2 (x), z1 (x, y) và z2 (x, y) là các hàm liên tục, thì ta có ZZZ Z b Z y2 (x) Z z2 (x,y) f (x, y, z)dxdydz = dx dy f (x, y, z)dz. G a y1 (x) z1 (x,y) 1.4. Phép đổi biến trong tích phân bội 1.4.1. Công thức tổng quát Ta đã biết trong lý thuyết tích phân hàm một biến, nếu x = g(t) là phép đổi biến liên tục khả vi từ [α, β] lên [a, b] và f (x) là hàm khả tích trên [a, b] thì ta có công thức đổi biến Z g(β) Z β f (x)dx = f (g(t))g 0 (t)dt. g(α) α Nếu hơn nữa, g là đơn ánh thì công thức trên có thể viết lại là Z Z f (x)dx = (f ◦ g)(t)|g 0 (t)|dt. g([α,β]) [α,β] Công thức này sẽ được mở rộng cho tích phân bội. Cho G là một tập mở trong không gian Rn và g : G → Rn là một ánh xạ được cho bởi y = g(x) = (g1 (x), g2 (x), · · · , gn (x)); x ∈ G, với gi , 1 ≤ i ≤ n, là các hàm n−biến khả vi liên tục trên G. Với mỗi điểm x ∈ G Jacobian của g tại đó được ký hiệu bởi  ∂g1 ∂g1  ∂x1 · · · ∂xn  ..  . D(x) = det(Jg (x)) = det  ... .. . .  ∂gn ∂gn ∂x1 ··· ∂xn g sẽ được gọi là một phép đổi biến trên G nếu nó khả vi liên tục, đơn ánh và tập hợp {x ∈ G | D(x) = 0} có độ đo không. Định lý 1.12. Giả sử g là một phép đổi biến trên tập mở bị chặn G và f (y) là một hàm khả tích trên g(G) thì hàm (f ◦ g)(x)|D(x)| cũng khả tích trên G và Z Z f (y)dy = (f ◦ g)(x)|D(x)|dx. g(G) G
14 Định lý này cho phép chúng ta có thể đưa việc tính tích phân trên một miền có dáng điệu “xấu” về việc tính tích phân trên một miền khác có hình thù “đẹp” hơn. Các mục tiếp theo sẽ cho chúng ta thấy các ứng dụng cụ thể của định lý này. 1.4.2. Đổi biến sang toạ độ cực Ta đã biết phép đổi biến từ toạ độ đê-các vuông góc sang toạ độ cực trong mặt phẳng (x, y) = g(r, ϕ), được cho bởi hệ ( x = r cos ϕ, y = r sin ϕ. Jacobian tương ứng với phép đổi biến này là ¯ ¯ ¯cos ϕ −r sin ϕ¯ ¯ D(r, ϕ) = det(Jg (r, ϕ)) = ¯ ¯ = r. sin ϕ r cos ϕ ¯ Vì vậy công thức đổi biến của tích phân hai lớp từ toạ độ đê-các sang toạ độ cực là ZZ ZZ f (x, y)dxdy = f (r cos ϕ, r sin ϕ)rdrdϕ. g(G) G Điều quan trọng là với miền H cho trước trong R2 chúng ta cần nhận ra miền G tương ứng sao cho H = g(G). Sau đây là một số ví dụ minh hoạ. H = {(x, y) | x2 + y 2 ≤ a2 ; x ≤ 0} → G = {(r, ϕ) | 0 ≤ r ≤ a; π ≤ ϕ ≤ 2π} H = {(x, y) | a2 ≤ x2 + y 2 ≤ b2 } → G = {(r, ϕ) | a ≤ r ≤ b; 0 ≤ ϕ ≤ 2π} π π H = {(x, y) | x2 + y 2 ≤ 2x} → G = {(r, ϕ) | − ≤ ϕ ≤ ; 0 ≤ r ≤ 2 cos ϕ}. 2 2 Ví dụ 1.2. Tích diện tích hình phẳng H giới hạn bởi đường Lemniscat (x2 + y 2 )2 = 2a2 (x2 − y 2 ). Dễ thấy H là hình gồm 4 phần có diện tích bằng nhau, mỗi phần nằm trong một góc phần tư của mặt phẳng toạ độ. Phương trình của phần đường cong trong góc phần tư thứ nhất, theo toạ độ cực là r2 = 2a2 cos(2θ), θ ∈ [0, π4 ]. Vì vậy dùng phép đổi biến sang toạ độ cực ta có ZZ Z π Z a√2 cos(2θ) Z π 4 2 4 a2 S= dxdy = 4 dθ rdr = 4a cos(2θ)dθ = . H 0 0 0 2
15 1.4.3. Đổi biến sang toạ độ trụ và toạ độ cầu Phép đổi biến từ toạ độ đê-các vuông góc sang toạ độ trụ trong không gian (x, y, z) = g(r, ϕ, z), được cho bởi hệ   x = r cos ϕ, y = r sin ϕ,   z = z. Jacobian tương ứng với phép đổi biến này là ¯ ¯ ¯cos ϕ −r sin ϕ 0¯ ¯ ¯ D(r, ϕ, z) = ¯¯ sin ϕ r cos ϕ 0¯¯ = r. ¯ 0 0 1¯ Vì vậy công thức đổi biến của tích phân ba lớp từ toạ độ đê-các sang toạ độ trụ là ZZZ ZZZ f (x, y, z)dxdydz = f (r cos ϕ, r sin ϕ, z)rdrdϕdz. g(G) G Phép đổi biến này phù hợp khi H = g(G) là một hình có dạng “trụ”. Chẳng hạn, nếu H = {(x, y, z) | x2 + y 2 ≤ z ≤ 2} thì G = {(r, ϕ, z) | 0 ≤ r ≤ 1; 0 ≤ ϕ ≤ 2π; r2 ≤ z ≤ 2}. Phép đổi biến từ toạ độ đê-các vuông góc sang toạ độ cầu (x, y, z) = g(ρ, θ, ϕ), được cho bởi hệ   x = ρ sin θ cos ϕ, y = ρ sin θ sin ϕ   z = ρ cos θ. Jacobian tương ứng với phép đổi biến này là ¯ ¯ ¯sin θ cos ϕ ρ cos θ cos ϕ −ρ sin θ sin ϕ¯ ¯ ¯ D(ρ, θ, ϕ) = ¯¯ sin θ sin ϕ ρ cos θ sin ϕ ρ sin θ cos ϕ ¯¯ = ρ2 sin θ. ¯ cos θ −ρ sin θ 0 ¯ Vì vậy công thức đổi biến của tích phân ba lớp từ toạ độ đê-các sang toạ độ cầu là ZZZ ZZZ f dxdydz = f (ρ sin θ cos ϕ, ρ sin θ sin ϕ, ρ cos θ)ρ2 sin θdρdθdϕ. g(G) G Một cách tự nhiên, phép đổi biến này lại phù hợp khi H = g(G) có dạng “cầu”. Chẳng hạn, nếu H = {(x, y, z) | x2 + y 2 + z 2 ≤ 2; y ≥ 0}
16 thì √ G = {(ρ, θ, ϕ) | 0 ≤ ρ ≤ 2; 0 ≤ θ ≤ π; 0 ≤ ϕ ≤ π}. Còn nếu p H = {(x, y, z) | x2 + y 2 ≤ z; x2 + y 2 + z 2 ≤ 1} thì π G = {(ρ, θ, ϕ) | 0 ≤ ρ ≤ 1; 0 ≤ θ ≤ ; 0 ≤ ϕ ≤ 2π}. 4 1.5. Ứng dụng của tích phân bội 1.5.1. Thể tích vật thể trụ, diện tích hình phẳng Giả sử G ⊂ R2 và f (x, y) là một hàm không âm, xác định trên G. Lúc đó, T := {(x, y, z) | (x, y) ∈ G; 0 ≤ z ≤ f (x, y)} ⊂ R3 là một tập hợp trong R3 có dạng hình trụ, mà đáy dưới là tập G × {0} và đáy trên là đồ thị của f trên G. Định lý 1.13. Nếu G đo được Jordan trong R2 và f không âm, khả tích trên G, thì T là một tập đo được Jordan trong R3 và có thể tích là ZZ Vol(T ) = f (x, y)dxdy. G Đặc biệt, nếu f (x, y) = 1 với mọi (x, y) ∈ G thì thể tích của T đúng bằng diện tích của G vì vậy ZZ s(G) = dxdy. G 1.5.2. Diện tích mặt cong Trước hết, giả sử H = (ABCD) là một hình bình hành trong không gian, ta −→ −−→ ký hiệu a và b lần lượt là các vec-tơ AB và AD và α là góc lập bởi các vec-tơ này. Một cách tự nhiên, diện tích của H được định nghĩa bởi biểu thức p s(H) := kakkbk| sin(α)| = kak2 kbk2 − ha, bi2 . Bây giờ cho S là mặt cong trơn trong không gian, xác định bởi hệ phương trình tham số   x = x(u, v), y = y(u, v), (u, v) ∈ G,   z = z(u, v),
17 trong đó, G là một miền đo được Jordan, bị chặn trong R2 . Người ta cũng tìm cách định nghĩa diện tích của S. Với mỗi hình chữ nhật ∆ = [u, u + h] × [v, v + k] nằm gọn trong G cho tương ứng một mảnh cong S∆ ⊂ S. Khi h và k khá bé, ta có thể xem diện tích của S∆ xấp xỉ bằng diện tích của hình bình hành H∆ = (ABCD), với A(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) −→ −−→ và các vec-tơ a = AB, b = AD được xác định bởi a = (x0u (u, v), yu0 (u, v), zu0 (u, v))h, b = (x0v (u, v), yv0 (u, v), zv0 (u, v))k (hình bình hành này nằm trong tiếp diện của S tại A). Vì vậy, nếu P là một đa hộp nằm trong G, có diện tích gần bằng G bao gồm một số hữu hạn các hình chữ nhật ∆i khá bé, thì diện tích của S xấp xỉ bằng tổng X σ(P ) = s(H∆i ). i Ký hiệu độ mịn của P bởi γ(P ) = max{ρ(∆i )}. Từ sự phân tích trên, ta sẽ định nghĩa diện tích mặt cong S là giới hạn sau nếu nó tồn tại. s(S) := lim σ(P ) (1.3) γ(P )→0 m(P )→m(G) Định lý 1.14. Giới hạn trong (1.3) tồn tại, không phụ thuộc cách chọn P . Hơn nữa, ta có ZZ p s(S) = kak2 .kbk2 − ha, bi2 dudv, G với a = (x0u , yu0 , zu0 ), b = (x0v , yv0 , zv0 ). Đặc biệt, nếu S được cho dưới dạng hiển: S = {(x, y, f (x, y)) | (x, y) ∈ G}, với G là miền đo được trong R2 và f là hàm khả vi liên tục, thì ZZ q s(S) = 1 + fx0 (x, y)2 + fy0 (x, y)2 dxdy, G 1.5.3. Khối lượng, trọng tâm bản phẳng Nhắc lại rằng nếu một hệ gồm k chất điểm rãi trên mặt phẳng mà khối lượng và toạ độ chất điểm thứ i là mi và Mi (xi , yi ), 1 ≤ i ≤ k, thì khối lượng của hệ là m = m1 + m2 + · · · + mk và trọng tâm I(xI , yI ) của hệ có các toạ độ được tính bởi Pk Pk 1 xi m i 1yi mi xI = ; yI = . m m
18 Bây giờ cho G là một bản phẳng (tức là một hình phẳng có khối lượng) không đồng chất mà tỷ khối tại mỗi điểm (x, y) ∈ G được cho bởi f (x, y) ≥ 0. Giả sử G đo được và f là hàm khả tích trên G. Bằng một thủ tục xấp xỉ tương tự, ta đi đến định nghĩa và công thức tính khối lượng và toạ độ của trọng tâm I của bản phẳng sau đây ZZ m= f (x, y)dxdy; G ZZ ZZ 1 1 xI = xf (x, y)dxdy; yI = yf (x, y)dxdy. m G m G 1.5.4. Khối lượng, trọng tâm của cố thể Cho T ⊂ R3 là một cố thể không đồng chất trong không gian, có tỷ khối tại mỗi điểm (x, y, z) ∈ T là f (x, y, z) ≥ 0. Cũng dưới giả thiết T đo được và f khả tích ta cũng có công thức tính khối lượng của cố thể ZZZ m= f (x, y, z)dxdydz (1.4) T và các toạ độ của trọng tâm I(xI , yI , zI ): ZZZ 1 xI = xf (x, y, z)dxdydz; · · · m G Mặt khác, từ (1.4) ta cũng nhận được công thức tính thể tích của T cho trường hợp f (x, y, z) = 1 với mọi (x, y, z) ∈ T : ZZZ v(T ) = dxdydz T 1.6. Thực hành tính toán Để thực hành tính tích phân trước tiên ta cần nạp gói lệnh student: [> with(student); 1.6.1. Tích phân bội a. Tích phân bội 2. Để tính tích phân bội 2 của hàm f (x, y) trên hình hộp ∆ = [a, b] × [c, d] ta dùng lệnh Doubleint. Chú ý rằng không có lệnh doubleint! Cú pháp: [> Doubleint(f(x, y), x=a..b, y=c..d); Vì đây là lệnh trơ nên chỉ cho công thức hình thức. Để biết giá trị của nó ta phải dùng hàm định giá value hoặc hàm evalf.
19 Ví dụ: [> m:= Doubleint(x∧2*exp(x*y),x=-1..1, y=0..2); Z 2Z 1 m := x2 e(xy) dxdy 0 −1 [> value(m); 1 2 3 (−2) e + e 4 4 [> evalf(m); 1.948765487 b. Tích phân bội 3. Để tính tích phân bội 3 của hàm f (x, y, z) trên hình hộp ∆ = [a, b] × [c, d] × [e, g] ta dùng lệnh (trơ) Tripleint (không có lệnh tripleint). Cú pháp: [> Tripleint(f(x, y, z), x=a..b, y=c..d, z=e..g); Ví dụ: [> Tripleint(x*z∧2+z*sin(x*y),z=0..2,x=0..1,y=1..2); Z 2Z 1Z 2 xz 2 + zsin(xy) dzdxdy 1 0 0 1.6.2. Tích phân lặp a. Tích phân lặp 2 lớp. Để tính tích phân Z b Z y2(x) dx f (x, y)dy a y1(x) ta dùng lệnh [> int(int(f(x,y), y=y1(x)..y2(x)), x=a..b); Ví dụ: [> int(int(x*exp(y), y=1..x∧2), x=0..2); 1 4 1 e − 2e − 2 2 [> evalf(%); 1.948765487 b. Tích phân lặp 3 lớp. Tương tự, để tính tích phân Z b Z y2(x) Z z2(x,y) dx dy f (x, y, z)dz a y1(x) z1(x,y) ta dùng lệnh [> int(int(int(f(x,y,z),z=z1(x,y)..z2(x,y)),y=y1(x)..y2(x)),x=a..b);