Giáo trình Hình học sơ cấp: Phần 1

Chia sẻ: Lê Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:82

Thêm vào BST

Báo xấu

1.193
lượt xem 189
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giáo trình Hình học sơ cấp nhằm trang bị cho sinh viên các cơ sở xây dựng hình học. Với mục đích này các tác giả trình bày một số tiên đề của hình học ơclit và hệ tiên đề xây dựng hình học phổ thông. Thông qua phương pháp tiên đề sinh viên nắm được các phương pháp suy diễn chứng minh trong hình học. Giáo trình gồm 2 phần, sau đây là phần 1. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Hình học sơ cấp: Phần 1

ĐAO T A M Giáo trình HÌNH HOC Sơ CÁP NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC su PHẠM
PGS.TS Đ À O TAM Giáo trình HÌNH H Ọ C S ơ CẤP NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI H Ọ C sư PHẠM
Mã số:01.02.253/411 ĐH - 2005
Mực LỤC Trang Lòi nói đầu 5 Phần t h ứ nhất: Các hệ tiên đề xây dựng hình học phổ 7 thông và thực hành ứng dụng Chương ì: Các hệ tiên đê xây dựng hình học ỏ trường phô thông 7 §1. Một sô yêu cầu cơ bản của việc xây dựng hình học bằng phương pháp tiên đề §2. Hệ tiên đề Hinbe của hình học ơclit 8 §3. Hệ tiên đề Pogorelov của hình học ơclit 24 §4. Hệ tiên đề Waylơ của hình học ơclit 27 §5. Mối quan hệ gi a các hệ tiên đề 31 §6. Hệ tiên đề xây dựng hình học phổ thông Việt Nam 32 Hướng dẫn học chương ì 39 Chương l i : Sự liên thuộc gi a các hình quan hệ song song, quan hệ vuông góc 4Q §1. Các bài toán về sự liên thuộc gi a các hình 41 §2. Quan hệ song song, phép chiêu song song 56 §3. Quan hệ vuông góc 65 §4. Seminar về chủ đề : Các bài toán aphin và xạ ảnh vận dụng vào giải bài toán hình học sơ cấp 70 Hướng dẫn học chương li 80 3
P h ầ n t h ứ hai: H ì n h đ a d i ệ n , h ì n h lồi. B i ế n h ì n h . D ự n g h ì n h 81 C h ư ơ n g I U : Hình đa diện và hình lồi 81 § 1 . Góc n h ị d i ệ n v à góc t a m d i ệ n 81 § 2 . Góc đ a d i ệ n 88 §3. Hình đa diện 90 §4. H ì n h l ồ i 95 Hướng dẫn học chương IU 102 C h ư ơ n g IV: Các p h é p b i ế n h ì n h 108 § Ì . P h é p dời h ì n h 108 §2. P h é p đồng d ạ n g 142 § 3 . Seminar: Tích các p h é p b i ế n h ì n h 154 Hướng dẫn học chương TV 157 C h ư ơ n g V: Dựng h ì n h 165 § 1 . C á c t i ê n đ ể của h ì n h học d ự n g h ì n h 165 § 2 . C á c p h é p d ự n g cơ b ả n 166 § 3 . C á c n ộ i d u n g cơ b ả n c ủ a lí t h u y ế t d ự n g 168 § 4 . D ự n g h ì n h b ằ n g p h ư ơ n g p h á p q u ỹ t í c h t ư ơ n g giao 177 §5. Dựng h ì n h b ằ n g p h ư ơ n g p h á p đ ạ i số 181 Hướng dẫn học chương V 187 Tài liệu tham khảo 191 4
MỪJ 'MÓI
Giáo t r ì n h được chia làm hai phần bao gồm năm chương, một số chướng có hưống dẫn giúp cho học sinh tự học, tự nghiên cứu tốt hơn và kèm theo một số seminar d à n h cho sinh viên. P h ầ n ì: C á c h ệ t i ê n đ ể x â y d ự n g h ì n h h ọ c p h ô t h ô n g và thực h à n h ứng dụng. Phần l i : Hình đa diện, hình lồi, biên hình, dựng hình. Đê n â n g cao tay nghề sư phạm cho sinh viên, chúng tôi cho rằng cần thực hiện giáo trình này k ế t nối với các giáo trình phương p h á p dạy học đ ạ i cương, đặc biệt là phương p h á p dạy học hình học. 6
PHẨN THỨ NHẤT CÁC H Ệ TIÊN ĐỂ XÂY DỰNG HÌNH HỌC PHỔ THÔNG VÀ THỤC HÀNH ỨNG DỤNG CHƯƠNG ì CÁC H Ệ TIÊN ĐỀ XÂY DỊÍNG HÌNH HỌC ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG § 1 . M ộ t sô y ê u c ầ u cơ b ả n của v i ằ c x â y d ự n g h ì n h học bằng phương p h á p tiên đề K h i xây dựng một số lý thuyết hình học người ta cần phải có các khái niằm cơ bản (là những k h á i n i ằ m đ ầ u tiên k h ô n g định nghĩa), và các tiên đề (là những mằnh đề xuất phát, được thừa nhận là đúng). Tuy nhiên hằ thống các tiên đê cần phải được đ ả m bảo các điều k i ằ n sau: a. Điều kiện phi mâu thuẫn: điêu k i ằ n này có nghĩa là những điều nói trong các tiên để và những k ế t quả suy ra t ừ c h ú n g k h ô n g có hai cái nào t r á i ngược nhau. b. Điều kiện độc lập: mỗi tiên đê của hằ p h ả i độc lập (đối với các tiên dề khác), nghĩa là không thê suy ra được nó từ các tiên đề còn l ạ i . c. Điều kiện đầy đủ: hằ tiên đề phải đủ đê xây dựng môn học bằng suy diễn lôgíc. Trong hình học, ứng với. mỗi hằ tiên để l ạ i có một k h ô n g gian hình học t r ừ u tượng, sở dĩ gọi là "trừu tượng" vì các k h á i 7
niệm cơ bản trong hệ tiên đề k h ô n g được định nghĩa, do đó mỗi t h u ậ t ngữ chỉ một khái niệm cờ bản, ta có thê hiếu là cái gì cũng được miễn là hệ tiên đề được nghiệm đúng. M ộ t tập hợp những cái cụ t h ê như vậy được gọi là một t h ể hiện hoặc một mô hình của hệ tiên đề ầy. ứ n g với một tiên đê có thể có n h i ề u mô hình khác nhau. §2. Hê t i ê n đ ề Hinbe c ủ a h ì n h h ọ c ơ c l í t A. Hè t i ê n đ ể Hinbe trong khoa h ọ c h ì n h h ọ c N h à toán học Hinbe (người Đức, 1862 - 1943) lần đầu tiên công bô hình học tiên đê (năm 1899) sau k h i phát hiện ra hình học phi Oclít Công trình này được giải thưởng Lôbasepski năm 1930. Sau đó, phương p h á p tiên đề thịnh h à n h và xuầt hiện nhiều hệ tiên để khác. Nhiều công t r ì n h nghiên cứu tiếp tục về cơ sỏ hình học cũng đã bỏ sung, tạo ra nhiều hệ tiên đề tương đương với hệ tiên đề Hinbe. ơ đây, ta t r ì n h bày hệ tiên đề Hinbe có sửa đổi c h ú t ít. H ệ tiên đề Hinbe gồm 20 tiên đê với 6 k h á i niệm cơ bản. S á u k h á i n i ệ m cơ bản gồm: "Điểm", "đường thắng", "mặt phang" (gọi chung là các "đối tượng cơ bản"). 'Thuộc", "ở giữa ", "bằng" (gọi chung là các "tương quan cơ bản"). Các t i ê n đ ể c ủ a Hinbe c h i a l à m n ă m n h ó m : Nhóm ì chứa tám tiên để về "liên thuộc". Nhóm li chứa bốn tiên đê về "thứ tự". Nhóm IU chứa năm tiên đề về "bang nhau". Nhóm IV chứ hai tiên đề về liên tục. 8
N h ó m V c h ứ a m ộ t t i ê n đ ể v ề song song. 2.1. N h ó m ì - C á c t i ê n đ ể v ề l i ê n t h u ộ c T ư ơ n g q u a n cơ b ả n t r o n g n h ó m n à y là t ư ơ n g q u a n "thuộc", có k h i gọi là đi qua. C á c t i ê n đ ể t r o n g n h ó m n à y là: ì ] . Vói h a i đ i ể m b ấ t k ỳ t ồ n t ạ i đ ư ờ n g t h ẳ n g đi qua. I . V ớ i hai đ i ể m p h â n b i ệ t có k h ô n g q u á m ộ t đường t h ẳ n g đi qua. 2 Lị. M ỗ i đ ư ờ n g t h ẳ n g có í t n h ấ t h a i đ i ể m . Có ít n h ấ t ba đ i ể m k h ô n g c ù n g thuộc một đường thắng. l ị . Cho bất cứ ba đ i ể m A, B, c n à o , bao giờ cũng có m ộ t m ủ t phang a thuộc m ỗ i đ i ể m đó. M ỗ i m ủ t phang thuộc ít n h ấ t m ộ t đ i ể m . Ly Cho b ấ t cứ ba đ i ể m A, B, c n à o k h ô n g c ù n g thuộc m ộ t đường t h ẳ n g , k h ô n g bao ẹiờ có q u á m ộ t m ủ t phang thuộc m ỗ i đ i ể m đó. I . N ê u h a i đ i ể m A , B c ù n g t h u ộ c m ộ t đ ư ờ n g t h ẳ n g a, 6 đồng thời c ù n g thuộc một m ủ t phang a thì m ọ i điếm n à o k h á c thuộc đ ư ờ n g t h ắ n g a c ũ n g sẽ t h u ộ c m ủ t p h a n g a. [7. N ê u h a i m ủ t p h a n g c ù n g t h u ộ c m ộ t đ i ế m A t h ì c h ú n g sẽ c ù n g t h u ộ c ít n h ấ t m ộ t đ i ể m t h ứ h a i B. Ig. Có ít n h ấ t b ố n đ i ể m k h ô n g c ù n g t h u ộ c m ộ t m ủ t p h a n g . S a u đ â y c h ú n g t a sẽ n ê u r a m ộ t sô c á c đ ị n h nghĩa v à đ ị n h lý có l i ê n q u a n t ớ i " n h ó m ì ". Đ ị n h n g h ĩ a 1: N ê u m ọ i đ i ể m của đ ư ờ n g t h ẳ n g a đ ề u t h u ộ c m ủ t p h a n g a t h ì ta n ó i r ằ n g đ ư ờ n g t h ẳ n g a thuộc m ủ t p h a n g ơ. hoủc m ủ t p h a n g a thuộc đ ư ờ n g t h ắ n g ã. C h ú ý: C h ỉ có t ư ơ n g q u a n t h u ộ c giữa đ i ể m vói đ ư ờ n g t h ẳ n g , g i ữ a đ i ể m với m ủ t p h a n g là t ư ơ n g quan cơ b ả n (còn c á c t ư ơ n g q u a n k h á c đ ề u được đ ị n h n g h ĩ a ) . 9
C á c đ ị n h lý: Đ ị n h lý 1: Hai đường thắng phản biệt có nhiều nhất là một điểm chung. Chứng minh: Nêu hai đường t h ắ n g p h â n biệt có hai điếm chung t h ì theo tiên đề 2 c h ú n g p h ả i t r ù n g nhau nghĩa là chúng k h ô n g p h ả i là hai đường t h ẳ n g p h â n biệt nữa và điều này trái với giả t h i ế t . Đ ị n h lý 2: Một mặt phang và một đường thắng không thuộc mặt phang đó có nhiều nhất là một điểm chung. Chứng minh: Nêu đường t h ẳ n g và m ặ t p h ă n g có hai điểm chung thì theo tiên đ ể 6, đường t h ẳ n g đó sẽ thuộc mặt phang. Điều n à y t r á i với giả t h i ế t và do đó c h ú n g có nhiều nhất là một điểm chung. Đ ị n h lý 3: Nếu hai mặt phang phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thắng chung chứa tất cả các điếm chung của hai mặt phăng. Đ ị n h nghĩa 2: - H a i đường t h ẳ n g gọi là cắt nhau n ế u hai đường thẳng chỉ có một điếm chung, và điểm chung đó gọi là giao điểm của hai đường t h ẳ n g đã cho. - Đường t h ắ n g và m ặ t phang gọi là cắt nhau nêu đường t h ắ n g và m ặ t phang chỉ có một điếm chung. Điếm chung đó gọi là giao điểm của đường t h ẳ n g và m ặ t phang đã cho. - Hai m ặ t phang gọi là cắt nhau nêu hai mặt phang chỉ có một đường t h ắ n g chung và dường t h ắ n g chung đó gọi là giao tuyến của hai m ặ t phang cho trước. 10
Đ ị n h lý 4: Qua một đường thắng và một điểm không thuộc đường thắng đó hoặc qua hai đường thăng cát nhau bao giờ củng có một mặt phăng và chỉ một mà thôi. Định lý 5: Mỏi mặt phăng chứa ít nhất ba điểm không thắng hàng. 2.2. N h ó m l i - C á c t i ê n đ ề về t h ứ tự ơ đây có t h ê m tương; quan cơ bản "ỏi giữa". l i , . Nếu điểm B ở giữa điểm A và điểm c thì A, B, c là ba điểm k h á c nhau c ù n g thuộc một đường t h ắ n g và điếm B cũng ờ giữa c và A. 11 . Cho bất cứ hai điểm A, c n à o bao giờ cũng có ít n h ấ t 2 một điểm B t r ê n đường t h ẳ n g AC sao cho c ở giữa A và B. 11 . Trong bất cứ ba điểm nào c ù n g thuộc một đường t h ẳ n g 3 k h ô n g bao giờ có q u á một điếm ở giữa hai điếm kia. Đ ị n h nghĩa 3: M ộ t cặp điểm A và B gọi là một đoạn thắng. Ký hiệu AB hay BA. Các điểm ở giữa A và B gọi là các điểm trong của AB hay thuộc đoạn AB. Hai điếm A, B gọi là hai đầu mút của đoạn thắng đó. T ấ t cả các điếm còn l ạ i của đương t h ắ n g A B mà k h ô n g thuộc đoạn A B và hai đ ớ u m ú t được gọi là các điểm ngoài của đoạn A B . li,. Tiên đề Pát. Cho ba điểm A, B, c k h ô n g c ù n g thuộc một đường t h ẳ n g và một đường t h ẳ n g a thuộc m ặ t phảng (ABC) n h ư n g k h ô n g thuộc bất cứ điểm nào trong ba điểm A, B, c cả. N ế u đường t h ẳ n g a có một điếm chung V Ớ I đoạn A B thì nó còn có một diêm chung nữa hoặc với đoạn AC hoặc với đoạn BC. l i
C h ú ý: a) Tiên để l i , cho biết tương quan "ỏ giữa" chỉ đ ặ t ra đôi vối ba điểm khác nhau thẳng h à n g và tương quan này không phụ thuộc vào t h ứ tự của hai đầu m ú t . b) Tiên đề l i . , cho biết bao giờ cũng có một điểm B ở ngoài đoạn AC, nghĩa là mấi đoạn thắng có ít ra là một điếm ở ngoài. Do tiên đề này ta biêt thêm mấi đường t h ắ n g có ít ra là ba điếm. c) Tiên đề li.) cho biết rằng trong ba điểm t h ẳ n g hàng thì có nhiều nhất là một điếm ở giữa hai điểm kia. C á c đ i n h lý: Đ i n h lý 6: Bát kỳ một đoạn thẳng AB nào, bao giờ củng có ít nhất một điểm ở giữa hai điểm A và B đó. Chứng minh: Theo tiên đê LỊ CÓ một điểm D không thuộc đường thẳng A B . Theo tiên đề Họ trên đường thẳng AD có một điểm E sao cho D ở giữa A và E. Cũng theo tiên để IIv trên đường thang EB có một điểm F sao cho B ở giữa E và F. Theo tiên để l i , (tiên đề Pát) đối với ba điểm A, B, E không thẳng hàng, đường thẳng FD có điếm chung vói đoạn AE t ạ i D nên nó phải có điểm chung với đoạn AB hoặc với đoạn EB. Nêu đường thẳng FD có điểm chung với đoạn EB thì đường thẳng FD và đường thẳng EF phải t r ù n g nhau theo tiên đê I và đó là điề u vô lý. vì D và E là hai 2 điểm khác nhau. 12
Vậy đường t h ắ n g FD phải có một điếm chung c với đoạn AB. Ta nói r ằ n g FD cắt A B t ạ i c và như vậy c ở giữa A và B. Đ ị n h lý 7: Trong bát cứ ba điểm A, B, c nào trên một đường thắng bao giờ củng có một điểm ở giữa hai điểm kia. H ệ quả: Với các tiên đề li2, II kết hợp với định lý 6 và 7 ta có: 3 à). Với bát cứ đoạn thăng AC nào bao giờ trên đường thăng AC ta cũng có những điếm ở trong và ngoài đoạn AC. b). Với ba điểm trên một đường thăng bao giờ củng có một vá chì một (tiêm ơgiữa hai điếm kia. Đ ị n h lý 8: Nếu điếm B ở giữa A và c, điếm c ở giữa B và D thì các diêm B và c đều ở giữa A và D. Đ ị n h lý 9: Nếu điểm c ở giữa A và D, điếm B ở giữa A và c thì điểm B ở giữa A và D và điếm c ở giữa B và D. Đ ị n h lý 10: Nếu B là một điếm của đoạn AC thi đoạn AB và đoạn BC đều thuộc đoạn AC, nghĩa là môi điểm của đoạn AB hoặc của đoạn BC đều thuộc đoạn AC. Đ ị n h lý l i : Nếu B là một điểm của đoạn AC thì môi điểm của đoạn AC khác với B phải thuộc hoặc là đoạn AB hoặc là đoạn Be. Đ ị n h lý 12: Nếu môi điếm B và c đều ở giữa A và D thi mọi điểm của đoạn BC đều thuộc đoạn AO. Đ ị n h lý 13: Môi đường thăng có vô sô điếm. Đ ĩ n h nghĩa 4: Cho ba điểm 0, A, B cùng thuộc một đường thẳng. N ế u điểm 0 k h ô n g ở giữa A và B thì ta nói rằng A và B ở cùng phía đối với 0. Nêu điểm 0 ở giữa A và B thì ta nói rằng A và. tí ờ khác phía dôi với 0 . 13
Đ ị n h lý 14: Một điếm o của đường thắng a chia tát cả các điếm còn lại của đường thang đó ra làm hai lớp không rông sao cho bất cứ hai diêm nào thuộc cùng một lớp thì ở cùng phía đôi với o và bât cứ hai điếm nào khác lớp thì ở khác phía đôi với r o. Đ ị n h nghĩa 5: M ộ t điểm 0 t r ê n đường thang a chia tập hợp các điểm t r ê n đường t h ẳ n g n à y ra l à m hai lớp (theo định lý 14). M ỗ i lớp là một nửa đường thắng hay một tia nhận o làm gốc. H a i nửa đường t h ắ n g hay hai tia gọi là bù nhau nêu chúng có chung gốc và tạo n ê n một đường thắng. Đ ị n h nghĩa 6: T r ê n một tia gốc o, đ i ể m A gọi là đi trước điểm B n ê u A thuộc đoạn OB. Đ ị n h nghĩa 7: Cho ba đ i ể m A. B, c k h ô n g cùng thuộc một đương thẳng. K h i đó ba đ o ạ n t h ẳ n g AB, BC, CA tạo nên một h ì n h gọi là một tam giác. Các điếm A, B, c gọi là các đỉnh và các đoạn A B , BC, CA gọi là các cạnh của tam giác. Trong một tam giác, một đỉnh và một cạnh k h ô n g thuộc nhau gọi là một đỉnh và một cạnh đôi diện. Định lý 15: Mỗi đường thắng a của mặt phang a chia tất cả các điểm không thuộc a của a ra hai lớp không rông sao cho hai điểm , B bất kỳ thuộc hai lớp khác nhau nêu đoạn AB chứa một điểm của đường thắng a, còn hai điểm A, A' bất kỳ thuộc cùng một lớp nêu đoạn AA' không chứa điếm nào của a cả. Đ ị n h n g h ĩ a 8: M ỗ i lớp của m t phang a trong định lý 15 là một nửa m t phảng có đường biên là đường t h ẳ n g a. Hai điểm M j và M., thuộc c ù n g một nửa m t phang gọi là cùng phía đối vối đường t h ẳ n g a. Hai đ i ể m M , N thuộc hai nửa m t phảng k h á c nhau gọi là khác phía đôi với a. 14
Đ ị n h nghĩa 9: M ộ t cặp tia h, k có c ù n g gốc o gọi là m ó t góc và được ký hiệu là (h,k). Điểm 0 gọi là đính và các tia h, k gọi là cạnh của góc. N ế u A, B là hai điểm l ầ n lượt l ấ y t r ê n tia h, k thì ta có t h ê d ù n g ký hiệu góc AOB thay cho góc (h,k). Đ ị n h lý 16: Nếu A, B là hai điểm năm trên hai cạnh h, k của một góc thỉ mọi tia xuất phát từ gốc o và thuộc miền trong của góc đều cắt đoạn AB. Ngược lại, mọi tia nôi đỉnh của góc với mội điểm bất kỳ cúc đoạn AB đều thuật miền ti'Oiig của góc. 2.3. N h ó m ni - C á c t i ê n đ ề bằng n h a u Tương quan cơ bản trong n h ó m n à y là tương quan "bằng" của một đoạn thang với một đoạn t h ẳ n g k h á c và của một góc với một góc khác. Các t i ê n đ ể : H I , . Nêu cho một đoạn t h ắ n g A B t h ì t r ê n một nữa đường t h ẳ n g có gốc A' bao giờ cũng có một đ i ế m B' sao cho đoạn t h ắ n g A'B' bằng đoạn t h ẳ n g A B và được ký h i ệ u là A ' B ' = A B . Đôi với mọi đoạn t h ẳ n g A B ta đểu có A B = BA. IU.,. N ế u A'B' = A B v à A " B ' = A B thì A'B' • A"B". H I ) . Cho ba đ i ể m A, B, c t h ẳ n g h à n g v ớ i B ở giữa A và c và ba đ i ể m A', B', c t h ắ n g h à n g v ố i B' ở giữa A' và c. N ế u AB 3 A ' B \ BC = B ' C t h ì AC = A ' C . I I I . Cho một góc (h,k) và một nữa m ặ t phang xác định bởi 4 đường thẳng chứa tia h'. K h i đó trong nữa m ặ t phang nói t r ê n bao giờ cũng có một và chỉ một tia k' c ù n g gốc với t i ạ h' sao cho góc (h',k') bằng góc (h,k) và được kí hiệu là (h'.k') (h,k). Đối vối mọi góc (h,k) ta đều có (h,k) = (h,k) và (h,k) = (k,h). 15
I I I . Cho tam giác ABC và tam giác A'B'C. Nêu AB a A'B\ 5 AC • AT', và BÁC EE BVYC" thì bao giò ta cũng có ABC = A'B'C' và ACB = A'C'B. Các định lí: Định lí 17: lì. Nêu AB = A'5' f/ù AB = B'A\ 2) . Mọi đoạn thắng AB đề u băng chính nó, nghĩa là AB = .AB (phản xạ). 3) . Nếu AB — A'B' thì A'B' = AB (đối xứng). 4) . Nêu AB = A'S' và A'B' = A"B" thì AB = A"B" ròắc cầu;. Chứng minh: 1) . Theo giả thiết, AB = A B'. Theo tiên đề IU,, ta có B'A' = A'B'. Do đó, theo tiên đề I I I , ta có AB = B'A'. 2) . Theo tiên để I U , , ta có AB = BA và áp dung phần Ì định lý 17 ta có: AB s AB. 3) . Theo phần 2 của định lý 17 ta có A'B' = A'B' và theo giả thiết ta có AB = A'B'. Do áp dụng tiên đề IIIv ta có A'B' = AB. 4) . Theo giả thiết A'B' = A"B" và theo phần 3 của định lí 17 ta có A"B" = A'B'. Mặt khác theo giả thiết ta có AB = A'B' và á p dụng tiên đề IU., ta suy ra AB = A"B". Định lí 18: Nếu cho một đoạn thăng AB thi trên nửa đường thắng góc A' có duy nhát một điếm B' sao cho A'B' = AB. Định nghĩa 10: Tam giác ABC gọi là bằng tam giác A'B'C nếu AB = A'B', AC = A'C, BC = B'C và Â = Â',ồ s B ' . C s C . Ta kí hiệu AABC = AA'B'C. Định lý 19: Nếu hai tam giác ABC và AB'Ơ có AB = AB\ AC = AC và A = A' thì tam giác ABC bằng tam giác A'B'C. 16
(Ta thường kí h i ệ u trường hợp này là (c.g.c)). Đ ị n h lý 20: Nếu hai tam giá c ABC và ARC có AB = A'B', A = A ' , B = tí thì tam giá c ABC bằng tam giác A'B'C. (Ta thường kí h i ệ u trường hợp này là (g.c.g)). Đ ị n h lý 21: Nếu tam giá c ABC có AC = CB thi CAB = CBA và CBA = CAB. Đ ị n h n g h ĩ a l i : Tam giác ABC có AC = CB gọi là tam giác cân tai c và theo định l i 21 trong tam giác n à y ta có hai góc B và A bằng nhau. B và A gọi là hai góc đáy của tam giai. cân ABC. Đ ị n h lý 22: Cho hai bộ ba tia (h,k,l) và (h\k\V), mỏi bộ nằm trong một mặt phang và xuất phát từ hai điểm o và 0\ Nếu sự sắp thứ tự của các tia trong hai bộ giông nhau (chăng hạn ỉ thuộc miền trong của góc (h,k) và ỉ' thuộc miền trong của góc (h'.k'j, thì nếu (h,l) = (h',ư), (l,k) = d',k') ta suy ra (h,k) = (h',k'). Đ ị n h lí 23: Nếu hai tam giá c ABC và A'B'C có AB = A'B', AC = AC, BC = B'ơ thì tam giác ABC bằng tam giác A'B'C. (Trường hợp n à y ta thường kí h i ệ u là (c.c.c)). Đ ị n h lí 24: Nếu ta có (h,k) = (h',k'), (h,k) = (h",k") thì (K~K) = (h",k"). Đ ị n h n g h ĩ a 12: a) Hai góc có chung đỉnh và một cạnh, còn các cạnh t h ứ hai là hai tia bù nhau gọi là hai góc bù nhau. b) Hai góc có chung đỉnh còn các cạnh của c h ú n g là các tia bù nhau gọi là hai góc đối đỉnh. c) Một góc bằng góc bù của nó gọi là góc vuông. Đ i n h lí 25: Nếu hai góc mà băng nhau thì các góc bù của chúng củng bằng nhau. 17
Đ ị n h lí 26: Hai góc đôi đỉnh bằng nhau. D i n h l i 27: Tất cả các góc vuông đều băng nhau. Đ i n h lí 28: Một đoạn thang có một điếm duy nhát chia nó thành hai đoạn bang nhau. Đ ị n h n g h ĩ a 13: Cho hai đoạn thẳng AB và A'B'. Nêu trên đoạn AI? ta có một điếm c sao cho AC = A'B' thì ta nói rằng đoạn AB lớn hơn đoạn A'B' hay đoạn A'B' bé hơn đoạn AB. Ta kí hiệu AB > A'B' hay A'B' < AB. Đ i n h n g h ĩ a 14: Cho hai góc (h.k) và (h',k'). Nêu xuất phát từ góc 0 của góc (h,k) ta có một tia / nằm trong góc đó sao cho (hjl) = (h',k') thì nói rằng góc (h.k) lớn hơn góc (h'.k') hay góc (h',k') bé hơn góc (h,k). Kí hiệu là (h,k) > (h'.k') hay fh'.k") < (h,k). Đ i n h lí 29: Góc ngoài của một tam giác lớn hơn mói góc trong không kể với nó. Đ ị n h lý 30: Trong một tam giác, đối diện với cạnh lớn hơn có góc lớn hơn và ngược lại đôi diện với góc lớn hơn có cạnh lớn hơn. Đ ị n h n g h ĩ a 15: Cho hai tập hợp T và T . Nếu giữa các điểm của hai tập hợp đó có một liên hệ Ì - Ì (song ánh) sao cho vối bất cứ hai điểm A, B nào của T và hai điểm tương ứng A", B' của T ta cũng có AB = A'B', thì ta nói rằng có một phép dời hình í biên T t h à n h T (và phép dời h ì n h đớo ngược f biên T t h à n h T). 2.4. N h ó m I V - T i ê n đ ể l i ê n t ụ c 1. T i ê n đ ể D ơ d ơ k i n hay t i ê n đ ể rv Nêu t ấ t cớ các điếm của một đường t h ắ n g được chia t h à n h hai lớp không rỗng sao cho: - M ỗ i điểm của đường thẳng đều thuộc một lớp và chỉ một mà thôi. 18