zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Giáo trình hướng dẫn phân tích các tính chất của hàm điều hòa dạng vi phân p6

Chia sẻ: Fgsdga Erytrh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Báo xấu

96
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'giáo trình hướng dẫn phân tích các tính chất của hàm điều hòa dạng vi phân p6', khoa học tự nhiên, vật lý phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình hướng dẫn phân tích các tính chất của hàm điều hòa dạng vi phân p6

h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 5. BiÕn §æi Fourier V BiÕn §æi Laplace .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k t ≥ 0 gäi l h m nh¶y ®¬n vÞ η(t) = 1 0 t
h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 5. BiÕn §æi Fourier V BiÕn §æi Laplace .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k 1. Do h m g kh¶ tÝch tuyÖt ®èi nªn bÞ chÆn trªn 3 ∀ (t, τ) ∈ 32, | f(τ)g(t - τ) | ≤ || g ||∞ | f(τ) | Do f kh¶ tÝch tuyÖt ®èi nªn tÝch ph©n suy réng (f∗g)(t) héi tô tuyÖt ®èi v bÞ chÆn ®Òu +∞ +∞ +∞  +∞  || f ∗ g ||1 = ∫ ∫ f (τ)g(t − τ)dτ dt ≤ ∫ | f (τ) |  ∫ | g(t − τ) | dt dτ = || f ||1 || g ||1    −∞  −∞ −∞ −∞ +∞ +∞ ∫ f (τ)g(t − τ)dτ = ∫ f (t − θ)g(θ)dθ = (g∗f)(t) ∀ t ∈ 3, (f∗g)(t) = 2. −∞ −∞ +∞ h 1 ∫ f (t − τ) lim δ(τ, h)dτ = lim h∫ ∀ t ∈ 3, (f∗δ)(t) = f (t − τ)dτ = f(t) 3. h →0 h →0 −∞ 0 4. Suy ra tõ tÝnh tuyÕn tÝnh cña tÝch ph©n §2. C¸c bæ ®Ò Fourier Bæ ®Ò 1 Cho h m f ∈ L1. Víi mçi f ∈ 3 cè ®Þnh kÝ hiÖu fx(t) = f(t - x) víi mäi t ∈ 3 Khi ®ã ¸nh x¹ Φ : 3 → L1, f → fx l liªn tôc theo chuÈn. Chøng minh Ta chøng minh r»ng ∀ ε > 0, ∃ δ > 0 : ∀ x, y ∈ 3, | x - y | < δ ⇒ || Φ(x) - Φ(y) ||1 < ε ThËt vËy Do h m f kh¶ tÝch tuyÖt ®èi nªn 1 ∀ ε > 0, ∃ N > 0 : ∫ | f (t ) | dt < ε 4 | t |≥ N Trong kho¶ng [-N, N] h m f cã h÷u h¹n ®iÓm gi¸n ®o¹n lo¹i mét a1 = - N < a2 < ... < am = N víi ∆ = Max{| ak - ak-1 | : k = 1...m} v trªn mçi kho¶ng con [ak-1, ak] h m cã thÓ th¸c triÓn th nh h m liªn tôc ®Òu ε ∀ ε > 0, ∃ δ > 0 : | x - y | < δ ⇒ | f(x) - f(y) | < 2 m∆ Tõ ®ã suy ra −íc l−îng +∞ ∫ f (t − x) − f (t − y) dt || Φ(x) - Φ(y) ||1 = −∞ ak m ∑ ∫ f (t − x) − f (t − y) dt ∫ f (t − x) − f (t − y) dt + ≤
h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 5. BiÕn §æi Fourier V BiÕn §æi Laplace .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k +∞ 1 ∫∞H(λt )e dt ixt H(t) = e-|t| v hλ(x) = (5.2.1) 2π − Bæ ®Ò 2 C¸c h m H(t) v hλ(x) cã c¸c tÝnh chÊt sau ®©y ∀ t ∈ 3, 0 < H(t) ≤ 1 lim H(λt) = 1 lim H(λt) = 0 1. λ →0 λ → +∞ +∞ 1λ ∫h ∀ (λ, x) ∈ 3 × 3* 2. hλ(x) = (x)dx = 1 + λ π λ2 + x 2 −∞ +∞ +∞ 1  ∫∞ −∫∞f (s)e ds H(λt )e dt ∀ f ∈ L1 (f ∗ hλ)(x) = ist ixt 3. 2π −     ∀ g ∈ L∞ liªn tôc t¹i x ∈ 3 lim (g ∗ hλ)(f) = g(x) 4. λ →0 ∀f∈L lim || f ∗ hλ - f ||1 = 0 1 5. λ →0 Chøng minh 1. Suy ra tõ ®Þnh nghÜa h m H(t) 2. TÝnh trùc tiÕp tÝch ph©n (5.2.1) +∞ 1  ( λ + ix ) t  11λ 0 1 1  ∫e dt + ∫ e ( − λ + ix ) t dt  =  2 π  λ + ix − − λ + ix  = π λ2 + x 2 hλ(x) =  2π  −∞    0 3. Theo ®Þnh nghÜa tÝch chËp v h m hλ +∞ +∞ +∞ 1   ∫ f (x − y)e i ( x − y ) t dy H(λt )e ixt dt (f ∗ hλ)(x) = ∫ f (x − y)h λ (y)dy = 2 π −∫  −∞  ∞  −∞ §æi biÕn s = x - y ë tÝch ph©n bªn trong nhËn ®−îc kÕt qu¶. 4. Theo ®Þnh nghÜa tÝch chËp v h m hλ +∞ +∞ ∫ g(x − y)h λ (y)dy = ∫ g(x − λs)h (s)ds víi y = λs (g ∗ hλ)(x) = 1 −∞ −∞ ¦íc l−îng trùc tiÕp ∀ (x, s) ∈ 32, | g(x - λs)h1(s) | ≤ || g ||∞ | h1(s) | Suy ra tÝch ph©n trªn bÞ chÆn ®Òu. Do h m g liªn tôc nªn cã thÓ chuyÓn giíi h¹n qua dÊu tÝch ph©n. +∞ ∫ g( x ) h (g ∗ hλ)(x) λ → 0 (s)ds = g(x) → 1 −∞ 5. KÝ hiÖu +∞ ∫ | f (x − y) − f (x) | dx ≤ 2|| f || ∀ y ∈ 3, g(y) = || fy - f ||1 = 1 −∞ Theo bæ ®Ò 1. h m g liªn tôc t¹i y = 0 víi g(0) = 0 v bÞ chÆn trªn to n 3 Tõ ®Þnh nghÜa chuÈn, tÝch chËp v h m hλ . Trang 82 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 5. BiÕn §æi Fourier V BiÕn §æi Laplace .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k +∞ +∞ +∞ ∫ | (f ∗h ∫ ∫ (f (x − y) − f (x))h || f∗hλ - f ||1 = )(x) − f (x) | dx = (y)dy dx λ λ −∞ −∞ −∞ +∞ +∞   ∫  ∫ | f (x − y) − f (x) | dx h ≤ (y)dy = (g∗hλ)(0) λ→ g(0) = 0 0   λ →   −∞ − ∞ Suy ra tõ tÝnh chÊt 4. cña bæ ®Ò 2. §3. BiÕn ®æi Fourier • Cho c¸c h m f, F ∈ L1 kÝ hiÖu ) +∞ − i ωt ∫ f (t )e ∀ ω ∈ 3, f (ω) = dt (5.3.1) −∞ ( +∞ 1 itω ∫∞F(ω)e dω ∀ t ∈ 3, F (t) = (5.3.2) 2π − Ngo i ra h m f v h m g gäi l b»ng nhau hÇu kh¾p n¬i trªn 3 nÕu ∫ | f (x) − g(x) | dx = 0 R §Þnh lý Víi c¸c kÝ hiÖu nh− trªn ) ) ∀ f ∈ L1 f ∈ C0 ∩ L1 v || f ||∞ ≤ || f ||1 1. ( ( ∀ F ∈ L1 F ∈ C0 ∩ L1 v || F ||∞ ≤ || f ||1 2. ) ( h. k .n NÕu f = F th× F = f 3. Chøng minh 1. Theo gi¶ thiÕt h m f kh¶ tÝch tuyÖt ®èi v ta cã ∀ (ω, t) ∈ 32, | f(t)e-iωt | = | f(t) | ) Suy ra tÝch ph©n (5.3.1) bÞ chÆn ®Òu. Do h m f(t)e-iωt liªn tôc nªn h m f (ω) liªn tôc. BiÕn ®æi tÝch ph©n ) π +∞ +∞ π − i ω( t + ) dt = - ∫ f (t − )e − iωt dt f (ω) = ∫ f (t )e ω ω −∞ −∞ Céng hai vÕ víi c«ng thøc (5.3.1) suy ra ) +∞ π 2| f (ω) | ≤ ∫ | f (t ) − f (t − ) || e −iωt | dt = || f - f π ||1 ω→→ 0 +∞ ω −∞ ω Do ¸nh x¹ Φ liªn tôc theo chuÈn theo bæ ®Ò 1. Ngo i ra, ta cã . Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 83
h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 5. BiÕn §æi Fourier V BiÕn §æi Laplace .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k ) ) +∞ || f ||∞ = supR| f (ω) | ≤ supR ∫ | f (t ) || e − iωt | dt = || f ||1 −∞ 2. KÝ hiÖu F-(t) = F(- t) víi t ∈ 3. BiÕn ®æi c«ng thøc (5.3.2) 1) ( +∞ 1 F(-σ)e − itσ dσ = 2 π −∫ F- (t ) víi σ = -ω F(t ) = 2π ∞ Do h m F ∈ L1 nªn h m F- ∈ L1 v kÕt qu¶ ®−îc suy ra tõ tÝnh chÊt 1. cña ®Þnh lý. 3. Theo tÝnh chÊt 3. cña bæ ®Ò 2 v tÝnh chÊt cña tÝch ph©n bÞ chÆn ®Òu 1) ( +∞ +∞ 1 f (ω)H(λω)e itω dω = itω ∫∞ ∫∞F(ω)H(λω)e dω λ0→ F(t ) (f ∗ hλ)(t) =  → 2π − 2π − MÆt kh¸c theo tÝnh chÊt 5. cña theo bæ ®Ò 2 || f∗hλ - f ||1 λ→ 0 0 → Do tÝnh chÊt cña sù héi tô theo chuÈn h. k . n ∀ t ∈ 3, (f∗hλ)(t) λ→ f(t) 0 → Do tÝnh duy nhÊt cña giíi h¹n suy ra ( h. k .n F =f • CÆp ¸nh x¹ ) ( F : L1 → C0 , f α f v F-1 : L1 → C0 , F α F (5.3.3) x¸c ®Þnh theo cÆp c«ng thøc (5.3.1) v (5.3.2) gäi l cÆp biÕn ®æi Fourier thuËn nghÞch. ) ( Do tÝnh chÊt 3. cña ®Þnh lý sau n y chóng ta lÊy F = f v ®ång nhÊt f ≡ F . H m f gäi l h m gèc, h m F gäi l h m ¶nh v kÝ hiÖu l f ↔ F. VÝ dô ) +∞ 1 1. f(t) = e η(t) ↔ f (ω) = ∫ η(t )e −(a +iω) t dt = -at víi Re a > 0 a + iω −∞ ) +∞ 2λ 0 1 1 -λ|t| ( λ − iω) t dt + ∫ e −( λ + iω) t dt = (λ > 0) ↔ f (ω) = ∫ e f(t) = e + =2 λ − iω λ + iω λ + ω 2 −∞ 0 +∞ +∞ − iωt itω ∫ δ(t)e ∫ δ(ω)e 2. δ(t) ↔ u(ω) = dω = 1 ↔ F(ω) = 2πδ(ω) dt = 1 v u(t) = −∞ −∞ ) sin Tω T 1 | t |≤ T 3. f(t) =  − iωt ∫e 0 | t | > T ↔ f (ω) = dt = 2 ω  −T ( +∞ sin ωT sin ωT iωt 1 ∫∞2 ω e dω ≡ f(t) ngo¹i trõ c¸c ®iÓm t = ± T F(ω) = 2 ↔ F (t) = ω 2π − 1) ( T 1 | ω|≤ T 1 sin Tt F(ω) =  e itω dω = 2 π −∫ ↔ F (t) = ≡ f (t) 0 | ω | > T πt 2π  T . Trang 84 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.