intTypePromotion=1

Giáo trình hướng dẫn phân tích các ứng dụng của hình học phẳng trong dạng đa phân giác p6

Chia sẻ: Fdsf Gfjy | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

0
34
lượt xem
4
download

Giáo trình hướng dẫn phân tích các ứng dụng của hình học phẳng trong dạng đa phân giác p6

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'giáo trình hướng dẫn phân tích các ứng dụng của hình học phẳng trong dạng đa phân giác p6', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Giáo trình hướng dẫn phân tích các ứng dụng của hình học phẳng trong dạng đa phân giác p6

  1. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 2. H m BiÕn Phøc .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k §6. H m mò H m mò phøc • H m mò phøc w = ez = ex(cosy + isiny), z ∈ ∀ (2.6.1) x x cã phÇn thùc u = e cosy v phÇn ¶o v = e siny tho¶ ®iÒu kiÖn (C - R) nªn gi¶i tÝch trªn to n tËp sè phøc, cã ®¹o h m w’(z) = ez (2.6.2) H m mò phøc tuÇn ho n chu kú T = 2πi ez+i2π = ez v cã c¸c tÝnh chÊt kh¸c t−¬ng tù nh− h m mò thùc. • H m mò phøc l h m ®a diÖp e z = e z1 ⇔ Rez = Rez1 v Imz = Imz1 [2π] (2.6.3) Suy ra miÒn ®¬n diÖp l b¨ng ®øng α < Imz < α + 2π. KÝ hiÖu z = x + iy suy ra | w | = ex v Argw = y + k2π. Imz=2π argw=0 argw=2π Imz=0 Qua ¸nh x¹ mò phøc y=β argw = β §−êng th¼ng biÕn th nh tia 0 < Imz < 2π 0 < argw < 2π B¨ng ngang biÕn th nh gãc ∞ - mÆt ph¼ng (w) Mét mÆt ph¼ng (z) biÕn th nh H m logarit phøc • H m logarit phøc w = Ln z ⇔ z = ew (2.6.4) l h m ng−îc cña h m mò phøc. Do h m mò phøc l h m ®a diÖp nªn h m logarit phøc l h m ®a trÞ. Gi¶ sö w = u + iv, ta cã eu = | z | v v = argz + k2π víi k ∈ 9 Suy ra w = ln| z | + i(argz + k2π) víi k ∈ 9 (2.6.5) LËp luËn t−¬ng tù nh− h m c¨n phøc, ®iÓm gèc l ®iÓm rÏ nh¸nh cña h m logarit v ®Ó t¸ch nh¸nh ®¬n trÞ cÇn ph¶i c¾t mÆt ph¼ng phøc b»ng mét tia tõ 0 ra ∞. Trang 30 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
  2. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 2. H m BiÕnPhøc .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k • MiÒn ®¬n trÞ cña h m logarit phøc l D = ∀ - (-∞, 0]. Víi k = 0, h m w = ln| z | + iargz (2.6.6) l h m ®¬n trÞ, gi¶i tÝch trªn miÒn D, cã ®¹o h m w’(z) = 1 (2.6.7) z v cã c¸c tÝnh chÊt kh¸c t−¬ng tù h m logarit thùc. π 1 1 ln i VÝ dô Ln(-1) = ln| -1 | + iarg(-1) = iπ, i =e =e i i 2 §7. H m l−îng gi¸c H m l−îng gi¸c phøc • KÝ hiÖu cosz = 1 (e iz + e −iz ) sinz = 1 (e iz − e −iz ) tgz = sin z (2.7.1) 2 2i cos z C¸c h m biÕn phøc w = cosz, w = sinz v w = tgz gäi l c¸c h m l−îng gi¸c phøc. H m l−îng gi¸c phøc ®¬n trÞ, tuÇn ho n, gi¶i tÝch, cã ®¹o h m (cosz)’ = - sinz (sinz)’ = cosz, ... (2.7.2) v cã c¸c tÝnh chÊt kh¸c t−¬ng tù h m l−îng gi¸c thùc. 1 ix 1 Chó ý Víi z = x ∈ 3, cosz = (e + e-ix) ≡ cosx. Tuy nhiªn cos(i) = (e-1 + e) > 1 2 2 H m hyperbole phøc • KÝ hiÖu chz = 1 (e z + e − z ) shz = 1 (e z − e −z ) thz = shz (2.7.3) 2 2 chz C¸c h m biÕn phøc w = chz, w = shz v w = thz gäi l c¸c h m hyperbole phøc. H m hyperbole phøc ®¬n trÞ, tuÇn ho n, gi¶i tÝch, cã ®¹o h m (chz)’ = shz (shz)’ = chz, ... (2.7.4) v cã c¸c tÝnh chÊt kh¸c t−¬ng tù h m hyperbole thùc. • Ngo i ra, ta cã c¸c liªn hÖ gi÷a h m l−îng gi¸c v h m hyperbole chiz = cosz cosiz = chz shiz = isinz siniz = ishz (2.7.5) VÝ dô T×m ¶nh cña miÒn - π < Rez < π qua ¸nh x¹ w = sinz 2 2 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 31
  3. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 2. H m BiÕn Phøc .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k Ta cã w = sin(x + iy) = sinxcosiy + cosxsiniy = sinxchy + icosxshy Suy ra u = sinxchy v v = cosxshy α π/2 π/2 1 -1 Qua ¸nh x¹ w = sin z x=±π u = ±chy, v = 0 §−êng th¼ng biÕn th nh tia 2 x=α u = sinαchy, v = cosαshy §−êng th¼ng biÕn th nh hyperbole - π < Rez < π (w) - (-∞, -1] ∪ [1, +∞) MiÒn biÕn th nh miÒn 2 2 • LËp luËn t−¬ng tù t×m ¶nh c¸c h m l−îng gi¸c, h m hyperbole kh¸c. §8. BiÕn h×nh b¶o gi¸c • ¸nh x¹ f : D → ∀ gäi l biÕn h×nh b¶o gi¸c t¹i ®iÓm a nÕu nã b¶o to n gãc ®Þnh h−íng gi÷a c¸c ®−êng cong ®i qua ®iÓm a. Anh x¹ f gäi l phÐp biÕn h×nh b¶o gi¸c trªn miÒn D nÕu nã l ®¬n diÖp v b¶o gi¸c t¹i mäi ®iÓm thuéc D. α α a b Theo c¸c kÕt qu¶ ë trªn h m gi¶i tÝch v cã ®¹o h m kh¸c kh«ng t¹i ®iÓm a l mét song ¸nh, R - kh¶ vi v b¶o gi¸c trong l©n cËn ®iÓm a, gäi l mét vi ph«i b¶o gi¸c. Ng−îc l¹i mét vi ph«i b¶o gi¸c t¹i ®iÓm a l h m gi¶i tÝch v cã ®¹o h m kh¸c kh«ng t¹i ®iÓm a. B i to¸n T×m phÐp biÕn h×nh b¶o gi¸c f biÕn miÒn ®¬n liªn D th nh miÒn ®¬n liªn G. • §Ó gi¶i b i to¸n trªn ng−êi ta th−êng sö dông c¸c kÕt qu¶ d−íi ®©y, gäi l c¸c nguyªn lý biÕn h×nh b¶o gi¸c. ViÖc chøng minh c¸c nguyªn lý biÕn h×nh b¶o gi¸c l rÊt phøc t¹p v ph¶i sö dông nhiÒu kÕt qu¶ kh¸c. ¥ ®©y chóng ta chØ tr×nh b y s¬ l−îc c¸c ý t−ëng cña c¸c phÐp chøng minh. B¹n ®äc quan t©m ®Õn c¸c phÐp chøng minh chi tiÕt cã thÓ t×m xem ë phÇn t i liÖu tham kh¶o. Trang 32 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
  4. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 2. H m BiÕnPhøc .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k Nguyªn lý tån t¹i Cho D v G l c¸c miÒn ®¬n liªn giíi néi. Khi ®ã tån t¹i v« sè h m gi¶i tÝch w = f(z) biÕn h×nh b¶o gi¸c miÒn D th nh miÒn G. PhÐp biÕn h×nh ®−îc x¸c ®Þnh duy nhÊt nÕu cã thªm mét trong hai ®iÒu kiÖn sau ®©y. 1. Cho biÕt w0 = f(z0) v w1 = f(z1) víi z0 ∈ D0 v z1 ∈ ∂D 2. Cho biÕt w0 = f(z0) v arg f’(z0) = α víi z0 ∈ D0 Chøng minh • KÝ hiÖu U = { z ∈ ∀ : | z | < 1}, S = { g ∈ H(D, ∀) : ∀ z ∈ D, | g(z) | < 1} v a ∈ D Ta c«ng nhËn ∃ fa ∈ S sao cho | fa(a) | = Max | g(a) | g∈S Khi ®ã h m gi¶i tÝch fa l phÐp biÕn h×nh b¶o gi¸c biÕn miÒn D th nh miÒn U. Cã thÓ t×m ®−îc v« sè h m gi¶i tÝch f : D → U nh− vËy. Tuy nhiªn ta cã liªn hÖ z−a f = fa o h víi h : U → U, h(z) = eiα , h(a) = 0 1 − az Tõ ®ã suy ra nÕu cã thªm c¸c ®iÒu kiÖn bæ sung th× cã thÓ x¸c ®Þnh duy nhÊt h m f. • Gi¶ sö f : D → U v g : G → U l c¸c phÐp biÕn h×nh b¶o gi¸c. Khi ®ã g-1of : D → G l phÐp biÕn h×nh b¶o gi¸c biÕn miÒn D th nh miÒn G. Nguyªn lý b¶o to n miÒn Cho D l miÒn ®¬n liªn giíi néi, h m f : D → ∀ liªn tôc trªn D , gi¶i tÝch trong D v kh«ng ph¶i l h m h»ng. Khi ®ã G = f(D) còng l miÒn ®¬n liªn. Chøng minh • Do h m f liªn tôc nªn b¶o to n ®−êng cong suy ra b¶o to n tÝnh liªn th«ng • Víi mäi b = f(a) ∈ G, do miÒn D më v f ≠ const nªn cã h×nh trßn B(a, R) ⊂ D sao cho víi mäi z ∈ B(a, R), f(z) ≠ b. KÝ hiÖu µ = Min | f(z) - b | víi Γ = ∂B z∈Γ NB[f(z) - b] l sè kh«ng ®iÓm cña h m f(z) - b trong h×nh trßn B(a, R) Víi w ∈ B(b, µ) tuú ý, ta cã f(z) - w = f(z) - b + b - w v | f(z) - b | > µ > | b - w| víi z ∈ B(a, R) Theo ®Þnh lý RouchÐ (§8, ch−¬ng 4) NB[f(z) - w] = NB[f(z) - b] = 1 Do ®ã ∃ z ∈ B(a, R) sao cho w = f(z) ∈ G. V× ®iÓm w tuú ý nªn B(b, µ) ⊂ G v suy ra tËp G l tËp më Nguyªn lý t−¬ng øng biªn Cho D, G l c¸c miÒn ®¬n liªn giíi néi, h m f : D → ∀ liªn tôc trªn D , gi¶i tÝch trong D v biÕn h×nh b¶o gi¸c ∂D+ th nh ∂G+. Khi ®ã h m f biÕn h×nh b¶o gi¸c miÒn D th nh miÒn G. Chøng minh Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 33
  5. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 2. H m BiÕn Phøc .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k • Víi mäi b ∈ G, kÝ hiÖu ∆Γ[f(z) - b] l sè gia argument cña h m f(z) - b khi z ch¹y trªn ®−êng cong Γ. Theo nguyªn lý argument (§8, ch−¬ng 4) 1 1 ∆∂D[f(z) - b] = ∆∂G(w - b) = 1 ND[f(z) - b] = 2π 2π Do ®ã ∃ a ∈ D sao cho b = f(a). LËp luËn t−¬ng tù víi b ∉ G 1 1 ∆∂D[f(z) - b] = ∆∂G(w - b) = 0 ND[f(z) - b] = 2π 2π Suy ra h m f biÕn h×nh b¶o gi¸c miÒn D th nh miÒn G. Nguyªn lý ®èi xøng Cho c¸c miÒn ®¬n liªn giíi néi D1 ®èi xøng víi D2 qua ®o¹n th¼ng hoÆc cung trßn L ⊂ ∂D1 ∩ ∂D2 v h m f1 : D1 → ∀ liªn tôc trªn D 1 , gi¶i tÝch trong D1, biÕn h×nh b¶o gi¸c miÒn D1 th nh miÒn G1 sao cho cung L+ th nh cung Γ+ ⊂ ∂G1. Khi ®ã cã h m gi¶i tÝch f : D1 ∪ D2 → ∀ biÕn h×nh b¶o gi¸c miÒn D1 ∪ D2 th nh miÒn G1 ∪ G2 víi G2 l miÒn ®èi xøng víi G1 qua cung Γ. Chøng minh • XÐt tr−êng hîp L v Γ l c¸c ®o¹n th¼ng n»m trªn trôc thùc. Khi ®ã h m f2 : D2 → ∀, z α f2(z) = f1 ( z ) v f2(z) = f1(z), ∀ z ∈ L l h m gi¶i tÝch biÕn h×nh b¶o gi¸c miÒn D2 th nh miÒn G2. H m f x¸c ®Þnh nh− sau f : D1 ∪ D2 → ∀, f(z) = f1(z), z ∈ D1 ∪ L v f(z) = f2(z), z ∈ D2 l h m gi¶i tÝch biÕn h×nh b¶o gi¸c miÒn D1 ∪ D2 th nh miÒn G1 ∪ G2. • Tr−êng hîp tæng qu¸t, chóng ta dïng h m gi¶i tÝch biÕn c¸c cung L v Γ th nh c¸c ®o¹n th¼ng n»m trªn trôc thùc. §9. H m tuyÕn tÝnh v h m nghÞch ®¶o H m tuyÕn tÝnh • H m tuyÕn tÝnh w = az + b (a ≠ 0) (2.9.1) l h m gi¶i tÝch, cã ®¹o h m w’(z) = a ≠ 0 v do ®ã biÕn h×nh b¶o gi¸c mÆt ph¼ng (z) lªn mÆt ph¼ng (w). • KÝ hiÖu λ = | a | v α = arg(a). Ph©n tÝch w = λeiα z + b (2.9.2) Suy ra phÐp biÕn h×nh tuyÕn tÝnh l tÝch cña c¸c phÐp biÕn h×nh sau ®©y. Trang 34 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản