Giáo trình kỹ thuật điều khiển 10

Chia sẻ: Cindy Cindy | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

Thêm vào BST

Báo xấu

136
lượt xem 37
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Một phương pháp phân tích cho phép người thiết kế so sánh các thiết kế khác nhau của hệ thống. Độ nhạy của nghiệm được dùng như một chỉ số biểu diễn độ nhạy của một hệ thống đối với những biến thiên của tham số được thể hiện trong mặt phẳng s.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình kỹ thuật điều khiển 10

được như một phương pháp phân tích, cho phép người thiết kế so sánh các thiết kế khác nhau của hệ thống. Độ nhạy của nghiệm được dùng như một chỉ số biểu diễn độ nhạy của một hệ thống đối với những biến thiên của tham số được thể hiện trong mặt phẳng s. Bài tập Bài 7.1. Xem xét một hệ thống phản hồi có phương trình đặc trưng như sau: Ks ( s + 4) 1+ =0 s 2 + 2s + 2 (a) Vẽ quỹ tích nghiệm của phương trình đặc trưng của hệ thống bằng phương pháp của Evans. (b) Xác định K để phương trình đặc trưng có hai nghiệm bằng nhau và tính giá trị hai nghiệm này. (c) Xác định thời gian quá độ của hệ thống khi phương trình đặc trưng có hai nghiệm bằng nhau. Bài 7.2. Một thiết bị ghi băng sử dụng một hệ thống điều khiển tốc độ phản hồi âm với hàm chuyển của khối phản hồi là H(s) = 1. Hàm chuyển của quá trình cần điều khiển là: K G ( s) = s ( s + 2)( s 2 + 4s + 5) Vẽ quỹ tích nghiệm của phương trình đặc trưng của hệ thống khi K thay đổi. Bài 7.3. Xem xét một hệ thống phản hồi có phương trình đặc trưng như sau: K 1+ =0 ( s + 1)( s + 3)( s + 6) (a) Xác định điểm thoát của quỹ tích trên trục thực. (b) Tìm điểm gốc của các đường tiệm cận. (c) Xác định giá trị của K tại điểm thoát của quỹ tích. Bài 7.4. Một thiết bị điều khiển thang máy sử dụng một hệ thống điều khiển phản hồi đơn vị âm có hàm chuyển của quá trình là: K ( s + 1) G ( s) = s ( s + 1)( s + 20)( s + 50) Sử dụng phương pháp quỹ tích nghiệm để xác định giá trị của K sao cho tỷ số cản ζ của một cặp nghiệm phức có giá trị bằng 0,8. Bài 7.5. Xem xét một hệ thống phản hồi có phương trình đặc trưng như sau: K ( s + 1) 2 1+ =0 s ( s 2 + 1)( s + 4) (a) Vẽ quỹ tích nghiệm của phương trình khi K tăng từ 0 đến +∞. (b) Xác định khoảng giá trị của K để hệ thống ổn định. 97
(c) Với giá trị nào của K trong khoảng 0 đến +∞ phương trình chỉ có nghiệm phức? Tính giá trị của các nghiệm đó. 98
Chương VIII CÁC PHƯƠNG PHÁP ĐÁP ỨNG TẦN SỐ Tóm tắt nội dung Chúng ta đã xem xét việc sử dụng các tín hiệu vào thử như tín hiệu xung hay tín hiệu nhảy bậc trong việc phân tích hệ thống. Trong chương này, chúng ta sẽ sử dụng tín hiệu vào có dạng sin ở trạng thái thường trực và xem xét đáp ứng của hệ thống khi tần số của tín hiệu dạng sin thay đổi. Chúng ta sẽ nghiên cứu đáp ứng của G(s) khi s = iω và vài dạng đồ thị phức cho G(iω) khi ω thay đổi. Những đồ thị này mang lại cho chúng ta các hiểu biết sâu sắc về hiệu suất của hệ thống. Một vài số đo hiệu suất cho đáp ứng tần số của hệ thống sẽ được đề cập tới. Các số đo này có thể sử dụng được như các mô tả định lượng chất lượng của hệ thống và chúng ta có thể điều chỉnh các tham số của hệ thống để thỏa mãn các yêu cầu được định nghĩa trên các số đo hiệu suất đó. 8.1. Giới thiệu Trong các chương trước, đáp ứng và hiệu suất của hệ thống được mô tả dưới dạng của biến tần số phức s và vị trí các điểm cực và điểm không trong mặt phẳng s. Một phương pháp khác rất quan trọng và rất có tính thực tiễn cho việc phân tích và thiết kế hệ thống là phương pháp đáp ứng tần số. Đáp ứng tần số (frequency response) của một hệ thống được định nghĩa là đáp ứng ở trạng thái thường trực của hệ thống với tín hiệu vào là một tín hiệu dạng sin. Với tín hiệu sin là tín hiệu vào duy nhất, tín hiệu ra cho một hệ thống tuyến tính cũng như các tín hiệu chuyển tiếp trong toàn hệ thống đều có dạng sin ở trạng thái thường trực, chỉ khác tín hiệu vào ở biên độ và góc pha. Một thuận lợi đối với phương pháp đáp ứng tần số là rất dễ tìm các nguồn tín hiệu thử dạng sin với nhiều khoảng biên độ và tần số khác nhau. Vì vậy, việc xác định đáp ứng tần số của hệ thống bằng thử nghiệm rất dễ thực hiện và là phương pháp đáng tin cậy nhất cũng như ít phức tạp nhất trong việc phân tích hệ thống bằng thực nghiệm. Chúng ta còn có thể tìm được hàm chuyển của hệ thống từ đáp ứng tần số được xác định bằng thực nghiệm. Thêm nữa, việc thiết kế hệ thống trong miền tần số cho phép chúng ta điều khiển dải thông của hệ thống và một số số đo khác của đáp ứng đối với nhiễu. Thuận lợi thứ hai của phương pháp đáp ứng tần số là hàm chuyển mô tả hành vi dạng sin ở trạng thái thường trực của hệ thống có thể xác định được bằng cách dùng iω thay cho s trong hàm chuyển T(s) của hệ thống. Hàm chuyển biểu diễn hành vi dạng sin ở trạng thái thường trực của hệ thống khi đó sẽ là một hàm của biến phức iω, và bản thân nó cũng là một hàm phức T(iω), được đặc trưng bởi độ lớn và góc pha. Độ lớn và góc pha của T(iω) được biểu diễn bằng các đồ thị, cung cấp cho chúng ta những thông tin quan trọng cho việc phân tích và thiết kế 99
hệ thống. Điều bất lợi cơ bản của phương pháp đáp ứng tần số trong việc phân tích hệ thống là mối liên hệ không trực tiếp giữa tần số và miền thời gian. Các mối liên hệ trực tiếp giữa đáp ứng tần số và các đặc tính của đáp ứng nhất thời tương ứng khá mỏng manh, trong khi trong thực tế, đặc tính của đáp ứng tần số được điều chỉnh bằng cách sử dụng các điều kiện thiết kế thường được nhằm để mang lại đáp ứng nhất thời như mong muốn. Trong các chương trước, chúng ta đã sử dụng cặp biến đổi Laplace: ∞ ∫ f (t )e − st F ( s ) = L[ f (t )] = (8.1) dt 0 và σ +i∞ 1 ∫ F ( s )e −1 st f (t ) = L [ F ( s )] = (8.2) ds 2π i σ −i∞ ở đó biến phức s = σ + iω. Tương tự, chúng ta có cặp biến đổi Fourier: +∞ ∫ f (t )e − i ωt F (iω ) = F[ f (t )] = (8.3) dt −∞ và +∞ 1 ∫ F (iω )e i ωt −1 f (t ) = F [ F (iω )] = dω (8.4) 2π −∞ Biến đổi Fourier tồn tại cho f(t) khi: +∞ ∫ | f (t ) | dt < ∞ (8.5) −∞ Biến đổi Fourier và biến đổi Laplace có mối quan hệ rất gần gũi. Khi hàm f(t) chỉ xác định với t ≥ 0, khoảng lấy tích phân của hai biến đổi là như nhau. Khi đó, hai phép biến đổi chỉ khác nhau về dạng biến phức. Vì vậy, nếu chúng ta đã có biến đổi Laplace F(s) của một hàm f(t), chúng ta có được biến đổi Fourier cũng của f(t) bằng cách thay s bởi iω trong F(s). Chúng ta có thể tự hỏi, nếu biến đổi Fourier và biến đổi Laplace gần nhau tới như vậy, tại sao không luôn sử dụng biến đổi Laplace? Câu trả lời là, biến đổi Laplace cho phép chúng ta tìm hiểu vị trí của các điểm cực và điểm không của hàm chuyển T(s) trong mặt phẳng s, còn phương pháp đáp ứng tần số sử dụng biến đổi Fourier cho phép chúng ta xem xét hàm chuyển T(iω) cùng các đặc tính về độ lớn và pha của hệ thống, với ω là tần số của tín hiệu vào và ra của hệ thống. Khả năng biểu diễn tính chất của hệ thống bằng các phương trình và đồ thị của độ lớn và pha là một thuận lợi cho việc phân tích và thiết kế các hệ thống 100
điều khiển. Xem xét đáp ứng tần số của một hệ thống vòng kín, với tín hiệu vào r(t) có biến đổi Fourier là R(iω). Khi đó, đáp ứng tần số của hệ thống điều khiển phản hồi được xác định bằng cách thay s bởi iω trong phương trình biểu diễn mối quan hệ của hệ thống vòng kín, C(s) = T(s)R(s), để có được phương trình sau: G (i ω ) C (iω ) = T (iω ) R (iω ) = R (i ω ) (8.6) 1 + G (iω ) H (iω ) Áp dụng biến đổi Fourier nghịch cho C(iω), chúng ta sẽ thu được đáp ứng nhất thời c(t). Tuy nhiên, việc ước lượng biến đổi nghịch này thường khá khó khăn kể cả cho những hệ thống đơn giản nhất, vì vậy phương pháp tích phân bằng đồ thị có thể được sử dụng. Ngoài ra, một vài số đo của đáp ứng nhất thời có liên hệ tới các đặc tính tần số cũng có thể sử dụng được cho các mục đích trong việc thiết kế hệ thống. 8.2. Đồ thị của đáp ứng tần số Hàm chuyển G(s) của một hệ thống có thể mô tả được trong miền tần số bằng mối quan hệ như sau: G(iω) = G(s)|s = iω = R(ω) + iI(ω) (8.7) ở đó: R(ω) = real[G(iω)] và I(ω) = imag[G(iω)] (8.8) Chúng ta cũng có thể biểu diễn hàm chuyển bằng độ lớn |G(ω)| và góc pha φ(ω): G(iω) = |G(iω)|eiφ(ω) (8.9) ở đó: G (iω ) = R 2 (ω ) + I 2 (ω ) (8.10) và: I (ω ) φ (ω ) = arctan (8.11) R(ω ) Biểu diễn đồ thị của đáp ứng tần số có thể sử dụng phương trình (8.7) hay (8.9). Đồ thị của phương trình (8.7) được gọi là đồ thị cực (polar plot) của đáp ứng tần số. Các tọa độ của đồ thị cực là phần thực và phần ảo của G(iω). Ví dụ 8.1 Một bộ lọc RC đơn giản được biểu diễn trong Hình 8.1. Hàm chuyển của bộ lọc này là: V ( s) 1 G ( s) = 2 = (8.12) V1 ( s ) RCs + 1 101
R v1(t) v2(t) C Hình 8.1. Bộ lọc RC Thay s bằng iω, chúng ta có được hàm chuyển dạng sin ở trạng thái thường trực: 1 1 G (i ω ) = = (8.13) iωRC + 1 i ω ω1 + 1 ở đó ω1 = 1/(RC). Để vẽ đồ thị cực của G(iω), chúng ta cần biểu diễn phương trình (8.13) dưới dạng của phương trình (8.7) bằng cách như sau: 1 − i (ω ω1 ) (ω ω1 ) 1 G (i ω ) = = −i (8.14) 2 2 (ω ω1 ) 2 + 1 (ω ω1 ) + 1 (ω ω1 ) + 1 Quỹ tích của hàm chuyển G(iω) khi ω tăng từ 0 đến +∞ là nửa đường tròn có tâm tại điểm (1/2, 0) và bán kính 1/2 trong mặt phẳng cực (Hình 8.2). I(ω) ω=∞ ω=0 R(ω) 0 1 Hình 8.2. Đồ thị cực cho bộ lọc RC Hạn chế của đồ thị cực là việc tính toán đáp ứng tần số khá rắc rối và không thể hiện được ảnh hưởng của từng điểm cực hay điểm không trong đồ thị. Vì vậy, người ta sử dụng đồ thị logarit (logarithmic plot), thường gọi là đồ thị Bode (Bode plot), để đơn giản hóa việc xác định biểu diễn đồ thị của đáp ứng tần số. Lấy logarit tự nhiên của G(iω) biểu diễn dưới dạng của phương trình (8.9): ln G(iω) = ln |G(iω)| + iφ(ω) (8.15) Từ đó, chúng ta có thể vẽ đồ thị của φ(ω) và logarit của độ lớn |G(iω)| khi ω thay đổi. Người ta thường biểu diễn logarit của độ lớn |G(iω)| dưới dạng logarit cơ số 10 bằng công thức 20log10|G(iω)| với đơn vị là dB. 102
Trở lại ví dụ 8.1, hệ số thời gian của bộ lọc RC là τ = RC. Viết lại phương trình (8.13) dưới dạng sau: ωτ 1 1 1 G (i ω ) = = = −i (8.16) iωRC + 1 iωτ + 1 ω τ + 1 ω τ + 1 22 22 Logarit của độ lớn hàm chuyển là: 1 = −10 log10 (1 + ω 2τ 2 ) 20 log10 G = 20 log10 (8.18) 22 1+ ω τ Ở tần số rất nhỏ, ω
thị thay đổi rất chậm khi tần số rất lớn. Khoảng nằm giữa hai tần số ω1 và ω2, ở đó ω2 = 10ω1, được gọi là một quãng mười (decade). Khi tần số rất lớn, ω >> 1/τ, sự sai khác độ lớn của hàm chuyển giữa điểm đầu và điểm cuối một quãng mười có thể ước lượng được như sau: 20 log10 G (ω 2 ) − 20 log10 G (ω1 ) ≅ −10 log10 (ω 2τ 2 ) + 10 log10 (ω1 τ 2 ) 2 2 (8.22) = −20 log10 (ω 2τ ) + 20 log10 (ω1τ ) ω 1 = 20 log10 1 = 20 log10 = −20 (dB) ω2 10 Đồ thị Bode của hàm chuyển sử dụng thang logarit cho trục ω được thể hiện trong Hình 8.4. 20log10|G| (dB) ω (rad/s) φ(ω) (o) 1 1 10τ 10τ τ Hình 8.4. Đồ thị Bode của hàm chuyển G(iω) = 1/( iωτ + 1) sử dụng thang logarit cho trục ω Lợi ích chính yếu trong việc sử dụng đồ thị logarit là việc chuyển đổi hàm chuyển từ dạng tích thành tổng. Trong trường hợp tổng quát, chúng ta có thể biểu diễn hàm chuyển G(iω) ở dạng: 104
Q ∏ (1 + iωτ ) K l l =1 G (iω ) = (8.23) M R ∏ (1 + iωτ )∏[1 + (2ζ (iω ) N ω nk )(iω ) + (iω ω nk ) 2 ] m k m =1 k =1 Hàm chuyển này có Q điểm không, N điểm cực tại gốc tọa độ, M điểm cực nằm trên trục thực và R cặp điểm cực liên hợp phức. Rõ ràng là việc vẽ đồ thị cực cho một hàm như thế này là việc cực kỳ khó khăn. Logarit của độ lớn hàm chuyển G(iω) là: Q ∑ log 20 log10 G (iω ) = 20 log10 K + 20 10 1 + iωτ l l =1 Q M ∑ ∑ log log10 (iω ) N − 20 10 1 + iωτ m − 20 (8.24) l =1 m =1 2 ⎛ iω ⎞ R 2ζ k ∑ log iω + ⎜ ⎟ − 20 10 1 + ⎜ ωn ⎟ ω nk ⎝k ⎠ k =1 Góc pha φ(ω) là tổng các góc pha của các thành phần: Q ∑ arctan(ωτ ) φ (ω ) = l l =1 (8.25) 2ζ k ω nk ω M R ∑ arctan(ωτ ∑ arctan ω − N (90 o ) − m) − 2 −ω2 nk m =1 k =1 Từ hai công thức trên, chúng ta thấy đồ thị Bode có thể vẽ được bằng cách cộng các đồ thị của các thành phần riêng biệt của hàm chuyển. Như vậy, có bốn kiểu thành phần khác nhau có thể xuất hiện trong hàm chuyển: 1. Hằng số (K). Điểm cực/điểm không tại gốc tọa độ (iω). 2. Điểm cực/điểm không trên trục thực (1 + iωτ). 3. Các cặp điểm cực/điểm không liên hợp phức (1 + 2(ζ/ωn)iω + (iω/ωn)2). 4. Chúng ta có thể xác định đồ thị logarit của độ lớn và đồ thị góc pha cho từng thành phần của hàm chuyển, sau đó cộng chúng lại để có được đồ thị Bode cho toàn bộ hàm chuyển. Chúng ta cũng có thể đơn giản hóa việc vẽ đồ thị bằng cách sử dụng các xấp xỉ tiệm cận của các đường cong và chỉ tính các giá trị chính xác tại một số tần số đặc biệt. Hằng số (K). Giá trị logarit của hằng số cũng là một hằng số (20log10K), còn góc pha bằng không. Điểm cực hay điểm không tại gốc tọa độ (iω). Với một điểm cực tại gốc tọa 105
độ, logarit của độ lớn là: 20log10|1/(iω)| = −20log10ω (8.26) và góc pha là φ(ω) = −90o. Với N điểm cực tại gốc tọa độ, chúng ta sẽ có: 20log10|1/(iω)N| = −20Nlog10ω (8.27) và góc pha là φ(ω) = −90oN. Với một điểm không tại gốc tọa độ, logarit của độ lớn là: 20log10|iω| = 20log10ω (8.28) và góc pha là φ(ω) = 90o. Điểm cực hay điểm không nằm trên trục thực (1 + iωτ). Điểm cực nằm trên trục thực tương ứng với 1/(1 + iωτ) trong hàm chuyển, chính là ví dụ 8.1 chúng ta đã xem xét. Vì vậy, theo phương trình (8.18), logarit của độ lớn là 20 log10 G = −10 log10 (1 + ω 2τ 2 ) và góc pha là φ(ω) = −arctan(ωτ). Đường tiệm cận của 20log10|G| khi ω > τ có độ dốc là −20dB/decade. Giao điểm của hai đường tiệm cận này chính tại tần số gãy ω = 1/τ. Với điểm không nằm trên trục thực, tương ứng với iωt) (1 + trong hàm chuyển, logarit của độ lớ n là 20 log10 G = 10 log10 (1 + ω 2τ 2 ) và góc pha là φ(ω) = arctan(ωτ). Trong trường hợp này, đường tiệm cận của 20log10|G| khi ω > τ có độ dốc là 20dB/decade. Các cặp điểm cực hay điểm không liên hợp phức (1 + 2(ζ/ωn)iω + (iω/ωn)2). Thành phần của hàm chuyển tương ứng với một cặp điểm cực liên hợp phức có thể biểu diễn dưới dạng 1/(1 + i2ζu − u2), ở đó u = ω/ωn. Logarit của độ lớn khi đó được tính như sau: 1 20 log10 1 + i 2ζu − u 2 1− u2 i 2ζu = 20 log10 − 22 22 (1 − u ) + 4ζ 2u 2 22 (1 − u ) + 4ζ u (8.29) (1 − u 2 ) 2 + 4ζ 2u 2 = 20 log10 (1 − u 2 ) 2 + 4ζ 2u 2 = −10 log10 [(1 − u 2 ) 2 + 4ζ 2u 2 ] và góc pha là: 2ζu φ (ω ) = − arctan (8.30) 1− u2 Khi u 1, nghĩa là ω >> ωn, logarit của độ lớn sẽ xấp xỉ −10log10(u4) = 106